Leçon M7 – Méthodes

Le¸con M7 – M´ethodes
Comment ´etablir les formules de Binet ?
Rq : Cette d´emonstration, purement math´ematique, est explicitement hors-programme : «Au-
cune démarche n’est imposée pour l’établissement de la nature des trajectoire. Aucune méthode
(formule de Binet, vecteur excentricité, invariants dynamiques de Lagrange ou Runge-Lenz) ne peut
donc être exigée. ». . . mais cela n’exlut pas un problème de vous guider, par des questions, dans
l’utilisation d’une de ces méthodes (➜Cf Cours M7.V,Ex-M7.3/4).
• Pour une force centrale newtonienne : −−→
OM
(−→ er,−→ eθ)
r
0
−−−→
vM/R
(−→ er,−→ eθ)
˙r
r˙ θ
−−−→
aM/R
(−→ er,−→ eθ)
¨r−r˙ θ2
r¨ θ+ 2 ˙r˙ θ
avec −−−→ aM/R=
−→
F
m=−
K
mr2
−→
er
en projetant selon
−−−−−−−−−−→
−→
eret −→ eθ
¨r−r˙ θ2=−
K
mr2
r¨ θ+ 2 ˙r˙ θ= 0 ⇔C=r2˙
θ=Cte
•r=r[θ(t)] ⇒
˙r=dr
dt=dr dθ
dθ
dt=˙
θdr
dθ
˙
θ=C
r2
⇒
˙r=C
r2
dr
dθ=−Cd dθ1 r⇔˙r=−C u0
θ
en posant u(θ)≡1
r(θ)et u0
θ=du
dθ
•¨r=d ˙r
dt=d ˙r dθ
dθ
dt=d−Cu0
θ
dθ.˙
θ=−
C2
r2u00
θ⇔¨r=−C2u2u00
θ
• Les formules de Binet consiste à « éliminer »le temps dans les expressions de v2(module de la
vitesse au carré) et de −−−→ aM/R(accélération de M) en utilisant la constante des aires C:
v2= ˙r2+r2˙
θ2
−−−→
aM/R= (¨r−r˙ θ2)−→ er
⇒
v2= (−Cu0
θ)2+1
u2u4C2
ar=−C2u2u00
θ−1
uu4C2
→
v2=C2(u02
θ+u2)
−−−→
aM/R=−C2u2(u00
θ+u)−→
er
Comment ´etablir que le vecteur de Runge-Lenz est constant ?
❏M´ethode 1.— Montrer qu’un vecteur est
une constante du mouvement revient `a montrer
que sa d´eriv´ee temporelle est nulle :
−→
A=−→ Cte ⇔ d−→
A
dt!R
=−→ 0
LO/R(M)=Cte
O
Plan de la
trajectoire
x
y
z
θ
er
eθ
vM/R
F
Pour montrer que le vecteur de Runge-Lenz −→
A=
−−−→
vM/R×
−−−→
LO/R(M)
K−−→
erest constant pour un
mouvement à force centrale newtonienne −→ F=−
K
r2
−→
er, on exprime :
d−→
A
dt!R
=1
K
d−−−→
vM/R
dtR
×
−−−→
LO/R(M) + −−−→ vM/R×
d−−−→
LO/R(M)
dt!R
−d−→
er
dtR
avec : d−−−→
vM/R
dtR
=−−−→ aM/R=
−→
F
m,−−−→
LO/R(M) = −−→ OM ×−−−→ vM/R=mr2˙ θ−→ ezet d−→
er
dtR
=d−→
er
dθ
dθ
dt=˙
θ−→ eθ
on obtient : d−→
A
dt!R
=1
Z
Z
K
−
Z
Z
K
mr2
−→
er×
mr2˙ θ−→ ez−˙ θ−→ eθ=−˙ θ(−→ er×−→ ez
|{z }
−−→ eθ
+−→ eθ) = −→ 0⇔
−→
A=−→ Cte