Leçon M7 – Méthodes

Leçon M7 – Méthodes
Comment établir les formules de Binet ?
Rq : Cette démonstration, purement mathématique, est explicitement hors-programme : « Aucune démarche n’est imposée pour l’établissement de la nature des trajectoire. Aucune méthode
(formule de Binet, vecteur excentricité, invariants dynamiques de Lagrange ou Runge-Lenz) ne peut
donc être exigée. ». . . mais cela n’exlut pas un problème de vous guider, par des questions, dans
l’utilisation d’une de ces méthodes (➜ Cf Cours M7.V, Ex-M7.3/4).
−−→
−
−→
−
−→
2
v−
a−
• Pour une force centrale newtonienne : OM r
M/R ṙ
M/R r̈ − r θ̇
−
−
−
−
−
−
(→
er ,→
eθ ) r θ̇
(→
er ,→
eθ ) r θ̈ + 2ṙ θ̇
(→
er ,→
eθ ) 0

K
−
→
 r̈ − rθ̇2
= − 2
F
K −
en projetant selon
−
−
−
→
→
mr
avec aM/R =
= − 2 er −−−−
−−−−
−−−→
→
−

m
mr
er et →
eθ
rθ̈ + 2ṙθ̇ = 0
⇔ C = r2 θ̇ = Cte


C
1
dr
d


dr
dr dθ
dr
ṙ
=
=
−C
⇔ ṙ = −Cu0θ




2
=
= θ̇

 ṙ =
r
dθ
dθ
r
dt
dθ dt
dθ
⇒
• r = r[θ(t)] ⇒


1
du



 θ̇ = C
en posant u(θ) ≡
et u0θ =


2
r
r(θ)
dθ
0
2
d − Cuθ
dṙ dθ
C
dṙ
=
=
.θ̇ = − 2 u00θ ⇔ r̈ = −C 2 u2 u00θ
• r̈ =
dt
dθ dt
dθ
r
• Les formules de Binet consiste à « éliminer »le temps dans les expressions de v 2 (module de la
−→
vitesse au carré) et de −
a−
M/R (accélération de M ) en utilisant la constante des aires C :

1

2
2
 v 2 = (−Cu0θ )2 + 2 u4 C 2
v 2 = C 2 (u02
v
= ṙ2 + r2 θ̇2
θ +u )
u
→ −−−→
−
−→
→ ⇒ 
2 −
→
a−
aM/R = −C 2 u2 (u00θ + u) −
er
M/R = (r̈ − r θ̇ ) er
 a = −C 2 u2 u00 − 1 u4 C 2
r
θ
u
Comment établir que le vecteur de Runge-Lenz est constant ?
z
❏ Méthode 1.— Montrer qu’un vecteur est
une constante du mouvement revient à montrer
que sa dérivée temporelle est nulle :
−
→!
−
→ −→
dA
−
→
A = Cte ⇔
= 0
dt
LO/R(M)=Cte
Plan de la
trajectoire
y
O
θ
F
eθ
er
R
vM/R
x
−−−→ −−−→
−
→ vM/R × LO/R (M ) −
−→
er est constant pour un
Pour montrer que le vecteur de Runge-Lenz A =
K
−
→
K→
er , on exprime :
mouvement à force centrale newtonienne F = − 2 −
r

!
 −−−→
−−−→ −
→!
→
dLO/R (M
−−−→
d−
er
dA
1  dvM/R
)
−
−
−
→

× LO/R (M ) + vM/R ×
=
−
dt
K
dt
dt
dt R
R
R
R
−−−→ −
−
→
→
dvM/R
−−→ −−−→
d→
er
d−
er dθ
F −−−→
−
−
−
→
−
→
→
2
avec :
= aM/R = , LO/R (M ) = OM × vM/R = mr θ̇ ez et
=
= θ̇ −
eθ
dt
m
dt
dθ
dt
R!
R
−
→
−
→ −→
K
1 −Z
dA
−
→
Z−
→
→
→
→
→
2 −
eθ ) = 0 ⇔ A = Cte
er × mr
θ̇ →
ez − θ̇ −
eθ = −θ̇(−
er × −
ez +−
=
on obtient :
2
| {z }
Z
K
dt
Z
mr
→
−
R
−eθ