Optique géométrique - Rappels de cours et exercices

5
Chapitre
1
N
otion de rayons, lois de
Descartes, principe de Fermat
et stigmatisme
Depuis longtemps les scientifiques avaient constaté que la lumière se divise lorsqu’elle ar-
rive à la surface de séparation entre deux milieux, une partie étant réfléchie, l’autre subis-
sant une déviation au passage dans le second milieu. Dès l’antiquité, l’égalité des angles
incident et réfléchi est connue. Mais il faudra attendre la fin du XVIe siècle pour que la loi
de la réfraction sous sa forme actuelle (n1 sin i1 = n2 sin i2) soit énoncée.
On trouve une ébauche de description des rayons réfractés dans les essais de Ptolémée et
les savants arabes donneront des tables des angles réfractés en fonction des angles inci-
dents pour l’interface eau-verre. Mais c’est seulement en 1611 qu’on trouve la première
loi de la réfraction dans le « Dioptrique » de Kepler, énoncée sous la forme simplifiée n1i1
= n2i2 (valable pour les faibles angles). C’est un peu injustement que la loi de la réfraction
porte le nom de Snell-Descartes car c’est sans doute au mathématicien anglais Thomas
Harriot qu’on doit le premier énoncé de cette loi telle qu’on le connaît aujourd’hui. En
fait, Snell l’a probablement trouvé expérimentalement en 1621 puisqu’il n’en propose
aucune démonstration tandis que Descartes en propose une mais très discutable. À l’épo-
que, le mathématicien français Fermat s’élève d’ailleurs avec véhémence contre la pseudo-
démonstration donnée par le philosophe.
Fermat s’attaque alors à l’optique et il énonce en 1650 le principe de moindre temps : par-
mi toutes les courbes joignant deux points de l’espace, c’est celle qui correspond au temps
de parcours minimal qui est effectivement suivie par la lumière. Mais Fermat n’est pas
physicien et ce n’est qu’une dizaine d’années plus tard que la loi de la réflexion est retrou-
vée grâce à son principe. Fermat veut aller plus loin et déclare à propos de la loi de la ré-
fraction « Il me semble que la chose est aisée et qu’un peu de géométrie pourra nous tirer
d’affaire ». Il a raison ! En 1661, il effectue la démonstration de la loi de la réfraction à
partir de son principe, offrant ainsi le premier exemple de calcul variationnel appliqué à
la physique. Il déclare à ce propos : « Le fruit de mon travail a été le plus extraordinaire,
le plus imprévu et le plus heureux qui fût jamais car j’ai trouvé que mon principe donnait
justement et précisément la même proportion des réfractions que Monsieur Descartes a
établie ».
La loi de la réfraction : de Ptolémée à Fermat
Un peu d’histoire

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Rappel de cours
1. L’
OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE
L’optique géométrique se propose de décrire la propagation de la lumière en considérant
le trajet de
rayons lumineux , dont la direction et le sens représentent la direction et le
sens de propagation de l’onde lumineuse. Ainsi, dans un milieu transparent, homogène,
isotrope, caractérisé par son indice de réfraction, la lumière se propage en ligne droite.
Il faut garder à l’esprit que l’optique géométrique n’est valable que si toutes les dimensions
du problème, notamment la dimension des diaphragmes qui limitent les faisceaux, sont
très supérieures à la longueur d’onde. Sans quoi des phénomènes de diffraction intervien-
nent, et la notion même de rayon n’a plus de sens.
2. C
ARACTÉRISTIQUES D
’
UN MILIEU OPTIQUE
2.1. Milieux transparent, homogène, isotrope
Un milieu est dit :
- transparent s’il laisse passer la lumière (par opposition à un milieu opaque) ;
- homogène si ses caractéristiques optiques sont indépendantes de l’espace ;
- isotrope si ses caractéristiques optiques sont indépendantes de la direction selon laquel-
le se propage le rayon lumineux.
2.2. Indice d'un milieu
On définit l’ indice optique n d’un milieu par : , où c est la vitesse de propaga-
tion de la lumière dans le vide et
v sa vitesse de propagation dans le milieu considéré. Plus
l’indice d’un milieu est élevé, plus le milieu est
réfringent .
Dans un milieu transparent inhomogène, l'indice optique
n dépend du point de l'espace
considéré dans ce milieu.
3. P
ROPAGATION DES RAYONS LUMINEUX
3.1. Le chemin optique
Le chemin optique entre deux points A et A' correspond à la longueur parcourue par la
lumière dans le vide pendant le même temps qu'elle mettrait à parcourir le trajet AA' dans
le milieu considéré d’indice
n :
3.2. Le principe de Fermat
Le principe de Fermat prévoit que le trajet suivi par la lumière du point A au point A'
est celui pour lequel le chemin optique est extrémal.
◗◗◗
◗◗◗
nc
v
-- 1>=
◗◗◗
LAA’ ctd
t
t’
∫nsd
A
A’
∫
==

1. N OTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET STIGMATISME
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Lorsque le milieu est homogène ( n = cte), la lumière se propage en ligne droite.
La propagation d'un rayon lumineux dans un milieu transparent inhomogène est gouver-
née par l'équation dite « équation des rayons » et qui s'écrit :
où
n est l'indice au point courant M, est le vecteur unitaire tangent au rayon en M et s
l'abscisse curviligne le long du rayon.
3.3. Lois de Descartes
• Réflexion et réfraction Un rayon lumineux et la normale au point d’incidence sur la sur-
face d’un dioptre ou d’un miroir définissent un plan appelé plan d’incidence. Si
i
1
désigne
l’angle d’incidence,
i ’ l’angle réfléchi et i
2
l’angle réfracté par rapport à la normale les lois
de Descartes s’énoncent ainsi :
Le rayon réfléchi et le rayon réfracté appartiennent au plan d’incidence.
Pour la réflexion , on a i ’ = i
1
.
Pour la réfraction , on a n
1
sin i
1
= n
2
sin i
2
.
• Incidence critique et réflexion totale Le rayon réfléchi existe toujours ; en revanche, si
le rayon se propage d’un milieu vers un autre milieu moins réfringent, il existe un angle
d’incidence critique
i
c
tel que :
Pour un angle d’incidence supérieur à
i
c
, il y a réflexion totale.
grad(n)d(nu)
ds
-----------=
u
M
u
ic sin n2
n1
----=
i2
i1i’
n1
n2
n1<n2
i2
i1i’
n1
n2
n1>n2
i1<ic

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4. INSTRUMENTS OPTIQUES
4.1. Dioptre et miroir
On appelle dioptre une surface de séparation entre deux milieux homogènes, transpa-
rents et isotropes et on considère un miroir comme un dioptre particulier. Le comporte-
ment d’un rayon lumineux à la surface d’un dioptre ou d’un miroir est régi par les lois de
Descartes.
4.2. Stigmatisme
Un système optique (S) est dit rigoureusement stigmatique pour deux points A et A’, si
tout rayon lumineux issu de A passe par A’ après avoir traversé (S) ; Cette condition cor-
respond à un chemin optique LAA' constant quel que soit le rayon lumineux considéré. On
dit que les points A et A’ sont conjugués par rapport à (S). Les cas de stigmatisme rigou-
reux étant rares (miroir plan ou dioptre sphérique aux points de Weierstrass), on se con-
tente souvent d’un stigmatisme approché, obtenu pour deux points A et A’ lorsque tout
rayon issu de A passe au voisinage de A’ après avoir traversé (S). LAA' n'est alors constant
qu'au premier ordre.
La relation liant les positions relatives de deux points conjugués est appelée relation de
conjugaison.
π
icic
n1
n2
n1>n2
i1=ic
Émergence
rasante
2
i1i’
n1
n2
n1>n2
i1>ic
Réflexion
totale
◗◗◗