4 Les Lois discrètes 1)VARIABLE ALEATOIRE CONSTANTE X p i P( X xi ) b 1 • Espérance :E(X) = b.1=b Variance : V(X) = 0 2)LOI DE BERNOULLI X p i P( X xi ) 0 Q=1-p • Espérance :E(X) = p Variance : V(X) = pq 1 p 3)LOI BINOMIALE a)Présentation • Épreuve aléatoire avec deux issues: • A de probabilité P(A) = p • A de probabilité q = 1 – p • On répète n fois avec indépendance • X est le nombre de réalisations de A • alors X suit une loi binomiale B(n,p) de paramètres n et p b)Autre Présentation X X 1 X 2 ... X n • avec Xi Loi de Bernoulli et Xi est le nombre de réalisation du ième tirage c)Définition • On appelle loi binomiale B(n,p) la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète X telle que X () 0,1,2,..., n • avec P( X=k ) = C k p k q n k n d) • Espérance : E( X ) = np • Variance : V( X ) = npq • Écart Type : n pq 4)LOI DE POISSON Définition • On appelle loi de Poisson de paramètres la loi de probabilité d’une v.a. discrète X telle que X () 0,1,2,..., n,... k e • Avec P(X=k)= k! Propriété E( X ) V (X ) Utilisation de la Table • Pour la loi de Poisson avec =2 (paramètre de la loi =2) • P( X=3 ) = 0,180 (valeur k=3) APPROXIMATION DE LA LOI BINOMIALE B(n,p) PAR LA LOI DE POISSON • Si n est grand( n 30 ) • Si p est petit( p 0,1 ) • Si np < 15 • Alors on peut remplacer la loi binomiale B(n,p)par une loi de Poisson de paramètre =np