Correction Biostat ED 2populaire

CORRECTION SAR 2 BIOSTATISTIQUES
Exercice 1 :
1) ACE
A. Vrai : Soit p la probabilité d’avoir la maladie A ou B,
Ma : l’évènement {être atteint de la maladie A}
Mb : l’événement {être atteint de la maladie B}
On a donc p = P(Ma) + P(Mb) – P(Ma∩Mb)
Or, Ma et Mb sont indépendants (dit dans l’énoncé)
Donc
Et

X suit une loi Binomiale de paramètre B(n=20 ; p=0.06)
On a ainsi

B. Faux : On cherche
C. Vrai : On cherche
D. Faux : Soit Y la variable aléatoire « nombre d’échantillons qui contient au moins un
malade »
Et p’ la probabilité d’avoir un échantillon qui contient au moins un malade.
Y suit une loi Binomiale de paramètre B(n=4 ; p’=0.71)

E. Vrai : On cherche dans cet item
2) ACDE
A. Vrai.
B. Faux : A ne suit pas une loi de Poisson mais une loi Binomiale. Cependant, on peut
approximer cette loi Binomiale par une loi de Poisson de paramètre λ=5 car les
conditions de validité sont vérifiées (p<0,1 et n>50).
C. Vrai:
Avec
et
D. Vrai : On peut également approximer la loi de probabilité de B par une loi de Poisson
de paramètre λ = 25.
On a donc
E. Vrai :
sont indépendantes.
car les maladies A et B
Exercice 2 :
1) ACDE
A. Vrai.
B. Faux : attention à utiliser √5 quand on centre et on réduit.
C. Vrai : P ( X < 4 ) = P ( Z < 0,44 ) puis grâce à la table on trouve α = 0,66 donc P = 10,66/2 = 0,67
D. Vrai : loi normale = loi continue, on ne calcule que des intervalles
E. Vrai : P = P ( -0,44 < Z < 0,9 ) puis grâce à la table on trouve P = 1-(0,66/2)-(0,37/2) =
0,485
2) ACE
A.
B.
C.
D.
E.
Vrai : espérance = 11 x 0,55 variance = 11 x 0,55(0,45)
Faux.
Vrai : P( 0F )=0,45^11 = 1,5 x 10-4
Faux : P( 11G ) = P( 0F ) > 10-4
Vrai : P (6F) = ( 11 ! / (5 ! x 6 !)) x 0,45^6 x ,55 ^5 = 0,24
Exercice 3 :
1) CE
Chez le premier P2, la sensibilité
vaut
et la spécificité
. Cependant,
on ne peut calculer la
car les cellules (A) et (B) ont été choisies séparément et leur proportions
respectives sont égales.
Chez le second P2, la sensibilité et la spécificité ne peuvent être calculées, car dépendantes de la
fréquence du signe au sein de la population testée, fréquence qui ici est fixée arbitrairement. En
revanche, on peut cette fois calculer la
qui ne dépend pas de cette valeur, soit :
Pour calculer la proportion de cellules (B) dans la population, on utilise la
utiliser la
, mais cela complique un peu les calculs) :
(on peut aussi
. Or
Soit
La proportion de cellules (A) dans la population vaudra de fait
.
2) CD
On va utiliser une loi binomiale pour calculer les probabilités demandées On se place dans un cas
avec n = 16 et
. Alors
Soit
De plus
.
Donc
Enfin,
Pour ce calcul, on considère les nouvelles proportions des cellules au sein de l’échantillon, soit
et
.
Ensuite, on sait que
.
C’est-à-dire que dès lors que
, la moyenne sera supérieure à 15, donc
et
3) AE
Dans un premier temps, il faut traduire chaque proposition : on notera H l’événement « choisir les
items au hasard ».
A:
. Or ici, on rappelle que X est continue et que donc
. Donc la
proposition est fausse.
B:
.
Or
et
Pour ce faire, on
va centrer et réduire X par rapport à
, en posant
. On cherche alors
soit
.
Ceci correspond dans la table à une probabilité de
C:
. Donc finalement,
(Théorème de Bayes)
De la même façon que précédemment, on réduit et on centre cette fois-ci X par rapport à N_1 pour
obtenir
, soit
Pour calculer
, on centre et on réduit par rapport à
, soit
.
Donc au final,
D:
Donc on réduit et on centre pour chaque valeur :
Soit
Exercice 4 :
1) AE
A. Vrai : Soit A « nombre d’appel reçu au cours d’une tranche horaire ».
A ~P(λ=3)
P(A=0) = 0,049
B. Faux
C. Faux : P(A=1) = 0,149
D. Faux
E. Faux : P(A>4) = 1 – P(A<4) = 1 – P(H=0) – P(H=1) – P(H=2) – P(H=3)= 0,36
2) AC
A. Vrai : Soit X «nombre de tranches vide dans une journée»
X~Bin (n= 12; π = P(A=0) = 0,05)
B. Faux.
C. Vrai : E(X) = nπ = 0,6
D. Faux.
E. Faux : P(X=0) = 0,54
Exercice 5 : CE
A. Faux : Soit X « probabilité qu’un p2 aille en cours »
X~Bin (n;p)
P(X=0) = (1 - p)n
B. Faux
C. Vrai
D. Faux : la loi binomiale peut être approximée par une loi de Poisson de paramètre
λ=np
E. Vrai : P(X=0) = e-np
Exercice 6 : BE
A. Faux : l’aire sous la courbe d’une densité de probabilité est une probabilité et doit donc
obligatoirement être comprise entre 0 et 1. Or, ici, on sait qu’elle est de plus de (31)x0,8=1,6.
B. Vrai.
C. Faux : la courbe 1 ne peut pas être une densité de probabilité.
D. Faux : la courbe 2 ne peut pas être une densité de probabilité.
E. Vrai : F(X=3)=0,8.
Exercice 7 :
1) ADE
A. Vrai : chaque événement « naissance » n’a que deux issues possibles, garçon ou fille,
et il est répété n fois.
B. Faux : Cf A.
C. Faux :
0,018.
D. Vrai : Cf C.
E. Vrai :
2) AD
A.
B.
C.
D.
E.
Vrai : E(X)=44x(105/205)=22,5.
Faux : E(X)=44x(105/205)=21,5.
Faux : n>50, mais π=0,51>0,1.
Vrai : nπ=22,5≥5 et n(1-π)=21,5≥5. On calcule µ=nπ=22,5 et σ2=nπ(1-π)=11,0.
Faux : Cf D.