ANALYSE FONCTIONELLE ET TH´EORIE DES OP´ERATEURS

MASTER (MATH´ EMATIQUES PURES)
ANALYSE FONCTIONELLE ET
TH´ EORIE DES OP´ ERATEURS
COURS et
EXERCICES
Emmanuel Fricain
- 2009-2010 -

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Table des mati`eres
1 Op´erateurs born´es... 7
1.1 Adjoint d’une application lin´eaire continue . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Op´erateurs normaux, unitaires, positifs... . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Spectre des applications lin´eaires et continues . . . . . . . . . . . 14
1.4 Exercices, compl´ements de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Op´erateurs compacts 23
2.1 Applications lin´eaires compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Th´eorie spectrale des op´erateurs compacts . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Exercices................................ 40
2.3.1 Premiers exemples d’op´erateurs compacts : shifts pond´er´es,
op´erateurs int´egraux et op´erateur de Volterra . . . . . . . 40
2.3.2 Op´erateurs de Hilbert–Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 D´ecomposition des op´erateurs compacts . . . . . . . . . . 42
3 Alg`ebres de Banach 45
3.1 Introduction.............................. 45
3.2 Inversibilit´e et spectre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Id´eaux et caract`eres d’une alg`ebre de Banach . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Les alg`ebres quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Id´eauxmaximaux........................... 65
3.6 Applications.............................. 68
3

4TABLE DES MATI ` ERES
3.6.1 L’alg`ebre des fonctions continues sur un compact . . . . . 68
3.6.2 L’alg`ebre de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7 La transformation de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8 Exercices................................ 84
4 Calcul fonctionnel holomorphe... 93
4.1 Aspect alg´ebrique : calcul fonctionnel rationnel . . . . . . . . . . . 93
4.2 D´efinition du calcul fonctionnel holomorphe.. . . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 Formules de Cauchy pour le cas polynˆomial et rationnel . . 97
4.2.2 D´efinition du calcul fonctionnel de Dunford-Schwarz . . . . 100
4.2.3 Propri´et´es du calcul fonctionnel de Dunford-Schwarz . . . 101
4.3 Exercices................................ 105
5 Calcul fonctionnel continu... 107
5.1 Introduction aux C∗-alg`ebres..................... 107
5.1.1 Involution........................... 107
5.1.2 Caract`eres dans une C∗-alg`ebre ............... 111
5.2 Le th´eor`eme de Gelfand–Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Le calcul fonctionnel continu pour les normaux . . . . . . . . . . . 114
5.4 Mesures spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.1 D´efinitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.2 Int´egrale d’une fonction scalaire par rapport `a une mesure
spectrale............................ 124
5.5 Le th´eor`eme spectral... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A Quelques rappels d’analyse fonctionnelle 139
A.1 Produit de Cauchy de s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.2 Quelques grands principes d’analyse fonctionnelle . . . . . . . . . 140
A.2.1 Th´eor`emes de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.2.2 Th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . 141

TABLE DES MATI ` ERES 5
A.2.3 Crit`ere d’inversibilit´e `a gauche . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.3 Suppl´ementaire toplogique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.4 Ensembles compacts et relativement compacts . . . . . . . . . . . 148
A.5 Topologie faible et faible∗...................... 161
A.6 Espaces s´eparables, espaces r´eflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B Quelques compl´ements d’analyse complexe 171
B.1 Rappels d’analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.2 Fonctions r´egl´ees `a valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.3 Fonctions holomorphes `a valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . 179
Bibliographie 189