Remarques sur les k((X))-alg`ebres de Banach.

Remarques sur les k((X))-alg`ebres de
Banach.
Bertin Diarra
D´edi´e`alam´emoire de J.B. COFFI N’KETSIA
Abstract
Let k be a field and K = k((X)) be the field of formal Laurent series over
k. Let A be an ultrametric Banach K-algebra; taking appropriated equivalent
norm on A, we show that A is obtained by a deformation of the residual
k-algebra of A for this norm; given a deformation of a k-algebra, the reverse
construction is obvious. The same facts remain true for ultrametric complete
Hopf algebras over K. One can prove similar results for ultrametric Banach
Lie algebras over K.....
INTRODUCTION
Soit Kun corps de valuation discr`ete complet, de mˆeme caract´eristique que son
corps r´esiduel k.OnsaitqueKest isomorphe, donc peut s’identifier, au corps des
s´eries formelles de Laurent k((X)).
Soit Aun K-espace de Banach ultram´etrique tel que kAk⊂|K|.Consid´erons
A0(resp. A1) la boule unit´e”ferm´ee” (resp.”ouverte”) de A;alorsAcontient
un sous k-espace vectoriel discret Risomorphe `aA0/A1et Aest isom´etriquement
isomorphe `a l’espace R((X)) des s´eries de Laurent `acoefficientsdansR.Sideplus
Aest une alg`ebre de Banach unitaire, alors A0est une sous-k-alg`ebre de Aet A1est
un id´eal bilat`ere de A0.AinsiA0/A1est une k-alg`ebre unitaire et par transport de
structure, on a une structure de k-alg`ebre sur R. Nous allons montrer que la th´eorie
Received by the editors May 1994
Communicated by J. Van Geel
AMS Mathematics Subject Classification : 12 J 25, 13 J 05, 16 S 80, 46 H 99, 46 S 10.
Keywords : Formal Laurent series, Banach algebras, deformation of algebras.
Bull. Belg. Math. Soc. 2 (1995), 241–??

242 B. Diarra
des alg`ebres de Banach unitaires sur Kest ´equivalente `alath´eorie des d´eformations
de k-alg`ebres unitaires.
1 Espaces de Banach sur k((X))
1.1 Bases orthogonales
Soit Kun corps de valuation discr`ete complet, d’uniformisante π.
Si ν:K→ZZ ∪{+∞} est la valuation de K,onasurKla valeur absolue |a|=
|π|ν(a),|π|<1et|K∗|={|π|n,n ∈ZZ}.Ond´esigne par Λ = {a∈K/|a|≤
1}(respM=πΛ) l’anneau de valuation de K(resp. l’id´eal maximal de Λ) et on
pose k=Λ/Mle corps r´esiduel de K.
Soit Eun K-espace de Banach ultram´etrique de norme kk. Posons pour
x∈E, |||x||| =Inf {|π|n/kxk≤|π|n,n∈ZZ}. On obtient ainsi
sur Eune norme ultram´etrique telle que |||E||| ⊂ |K|et |π| |||x||| <kxk ≤ |||x|||.
Remarque 1 :
(i) Les normes kket ||| ||| sont ´egales lorsque kEk⊂|K|
(ii) Si l’on d´esigne par B+les boules ferm´ees, on a B+
kk
(0,|π|n)=B+
||| |||(0,|π|n),
n∈ZZ
Soient E0={x∈E/|||x||| ≤ 1}et E1={x∈E/|||x||| <1},onaE1=πE0;E0
est un Λ-module et W=E0/E1est un k-espace vectoriel . Le Lemme suivant est
bien connu (cf. par exemple [1],[4] ou [6] ).
Lemme 1 : Soit (j)j∈Iune base du k-espace vectoriel W=E0/E1.Consid´erons
(ej)j∈I⊂Etelle que ej=j,j ∈I.
Alors tout x∈Es’´ecrit de fa¸con unique x=X
j∈I
λjej,λ
j∈K, lim
jλj=0et
|||x||| = Sup
j∈I
|λj|. En particulier |π|Sup|λj|<kxk≤Sup|λj|
D´emonstration
Soit x∈E,x 6=0;ona|||x||| =|π|n,donc|||π−nx||| =1. Onpeutalors
supposer x∈E0avec |||x||| =1. Ainsi,dansW,onax=X
j0∈J0
λj0j0avec λj0∈Λ.
Posons x0=X
j0∈J0
λj0ej0on a x=x0et |||x||| =1=|||x0||| =max
j0∈J0
|λj0|.Ou
bien x=x0,oubien|||x−x0||| =|π|n1,n
1≥1, c’est-`a-dire x=x0+πn1x1
avec |||x1||| =1. Parr´ecurrrence, on obtient x=
q
X
ν=0
πnνxν+πnq+1 xq+1 avec pour

Remarques sur les k((X))-alg`ebres de Banach. 243
0≤ν≤q, xν=X
jν∈Jν
λjνejν,λ
jν ∈ΛetJνfini; n0=0,n ν<n ν+1.Ilvientque
x=X
ν≥0
πnνxν. Onend´eduit aussitˆot que x=X
ν≥0X jν∈Jν
πnνλjνejν=X
j∈I
λjejavec
lim
jλj=0et|||x||| =1=Sup
j∈I
|λj|.
Appliquant le Lemme 1 au cas o`uK=k((X)) est le corps des s´eries formelles
de Laurent `a coefficients dans le corps ket o`uEest un k((X))-espace de Banach
ultram´etrique, on voit que le sous-k-espace vectoriel Vde Eengengr´epar(ej)j∈I
est isomorphe `aW=E0/E1.Deplustoutx∈Es’´ecrit de fa¸con unique x=
X
n≥n0
Xn·vn,n
0∈ZZ,v n∈Vet E0={x=X
n≥0
Xn·vn,v
n∈V}.
R´eciproquement, soit Vun k-espace vectoriel. Posons V((X)) = {y=(vn)n∈ZZ ⊂
V/ ∃n◦∈ZZetvn=0,pourn<n
◦}.C’estunk-espace vectoriel. Si l’on pose
pour y∈V((X)),ord(y)=Inf{n∈ZZ/vn6=0}et |y|=|X|ord(y),ona|y1+y2|≤
max(|y1|,|y2|)et|λy|=|y|pour λ∈k, λ 6=0. OnvoitqueV((X)) est un groupe
topologique complet et V0((X)) = {y=(vn)n∈ZZ,v
n=0,∀n≤−1}est un sous
k-espace vectoriel ferm´edeV((X)). Posons pour a=X
j≥0
λjXj∈Λ=k[[X]] et y=
(vn)n∈ZZ ∈V0((X)),a·y=((a·y)n)n∈ZZ o`u(a·y)n=0sin≤−1et(a·y)n=X
p+q=n
λpvq
si n≥0. On v´erifie aussitˆot que V0((X)) est un Λ-module; de plus |a·y|=|a||y|.
Consid´erons pour m∈ZZety∈V0((X)),X
m·y=(wn)n∈ZZ ∈V((X)) o`uwn=0si
n<met wn=vn−msi n≥m;onaord(Xm·y)=ν(Xm)+ord(y)=m+ord(y).
Alors si y=(vn)n∈ZZ ∈V((X)) avec ord(y)=n0, posant y0=(wn)n∈ZZ o`uwn=0si
n≤−1etwn=vn0+n,sin≥0, on obtient y=Xn0·y0avec y0∈V0((X)).
On d´efinit donc sur V((X)) une structure de k((X))-espace vectoriel en posant,
pour a=Xm0a0,a
0∈Λ,y=Xn0·y0∈V((X)),y 0∈V0((X)),a·y=Xm0+n0·(a0·y0).
De plus |a·y|=|a||y|;c’est-`a-dire V((X)) est un k((X))-espace de Banach. Soit
y=(vn)n∈ZZ ∈V((X)) d’ordre ord(y)=n0on a y=
m
X
q=n0
(δnqvq)n∈ZZ +ymo`u
ym=(wn)n∈ZZ,w
n=0sin≤met wn=vnsi n≥m+1. Ona|ym|≤|X|m+1 et
y=X
q≥n0
(δnqvq)n∈ZZ.Identifiantv∈V`a j(v)=(δ0nv)n∈ZZ,onvoitque(δnq vq)n∈ZZ =
Xq·vq,d’o`uy=X
q≥n0
Xq·vq,cequijustifiel’´ecriture V((X)). On a :
Th´eor`eme 1 : Soit Eun k((X))−espace de Banach ultram´etrique. Il existe un
sous-k-espace vectoriel discret Vde Etel que les k((X))-espaces de Banach Eet
V((X)) sont isomorphes
En fait (E,||| |||) s’identifie `a(V((X)),||); E0`a V0((X)) = V[[X]] et E1`a
X·V[[X]].

244 B. Diarra
1.2 Produits tensoriels topologiques. Applications lin´eaires
continues
Rappelons que si Eet Fsont deux K-espaces de Banach ultram´etriques, alors
leur produit tensoriel topologique Eb
⊗Fest le compl´et´e du produit tensoriel E⊗F
muni de la norme tensorielle kzk=Inf
Px1⊗yi=zmax
ikxikkyik.Soientkket kk
1
deux normes ´equivalentes sur E(resp. F). Les normes tensorielles kket kk
1
correspondantes sur E⊗Fsont ´equivalentes et donnent le mˆeme espace compl´et´e
Eb
⊗F; leurs prolongements `aEb ⊗Fsont ´equivalentes.
Th´eor`eme 2 : Soient Eet Fdeux k((X))-espaces de Banach ultram´etriques.
Soit V(resp. W)unsous-k-espace vectoriel discret de E(resp. F) tel que
(E,||| |||)[resp.(F, ||| |||)] s’identifie `aV((X)) [resp.W ((X))].
Alors Eb
⊗Fest isomorphe `a(V⊗kW)((X)).
D´emonstration : Soit (ej)j∈June base du k-espace vectoriel V.Toutx∈E
s’´ecrit de fa¸con unique x=X
j∈J
λjej,λ
j∈k((X)),lim
jλj=0,avec|||x||| = Sup
j∈J
|λj|;
c’est-`a-dire (ej)j∈Jest une base orthonormale de (E,||| |||).
Soit (f`)`∈Lune k-base de W.Alors(ej⊗f`)(j,`)∈J×Lest une base orthonormale
de l’espace de Banach Eb
⊗Fmuni de la norme produit tensoriel des ||| ||| (cf. [4]).
Ainsi
(ej⊗f`)(j,`)∈J×Lest k((X))-libre et donc k-libre. On en d´eduit aussitˆot que
(ej⊗f`)(j,`)∈J×Lest une k-base de V⊗kW;deplusV⊗kWest un sous-k-espace
vectoriel discret de Eb
⊗F.
Soit z∈Eb
⊗F,onaz=X
j,`
λj`ej⊗f`,λ
j` ∈k((X)),lim
j,` λj` =0avec|||z||| =
Sup
j,`
|λj`|. Ainsi pour tout >0, il existe Nfini, N⊂J×Ltel que
|||z−X
(j,`)∈N
λj` ej⊗f`||| ≤ . Posons n=min
(j,`)∈N
ν(λj`); pour tout (j, `)∈
N,onaλj` =X
n≥n
αj`(n)Xn,avecαj`(n)∈k.D’o`uz=X
(j,`)∈N
λj`ej⊗f`=
X
(j,`)∈NX
n≥n
αj`(n)Xnej⊗f`=X
n≥n
Xn·wno`uwn=X
(j,`)∈N
αj`(n)ej⊗f`∈V⊗kW.
Il vient que Eb
⊗Fest l’adh´erence du sous-k((X))-espace vectoriel
G=nX
n≥n0
Xn·wn,n
0∈ZZ,w n∈V⊗kWo.
Mais (G, ||| |||)estisom´etriquement isomorphe `a(V⊗kW)((X)); ainsi G,complet,
est un sous-espace ferm´edeEb
⊗F.IlvientqueEb ⊗F=Gest isomorphe `a(V⊗k
W)((X)).

Remarques sur les k((X))-alg`ebres de Banach. 245
Remarque 2 :
(i) Le k[[X]]-module (Eb
⊗F)0={z∈Eb ⊗F/|||z||| ≤ 1}s’identifie `a(V⊗kW)[[X]].
(ii) Posons Λ=k[[X]].LeΛ-module produit tensoriel E0⊗ΛF0s’identifie `aun
sous-Λ-module de (Eb
⊗F)0d’adh´erence E0⊗ΛF0´egale `a(Eb ⊗F)0.
Soient Eet Fdeux K-espaces de Banach ultram´etriques. L’espace de Banach
L(E,F), form´e des applications K-lin´eaires continues ϕ:E→F,estind´ependant
des normes ´equivalentes choisies sur Eet F.LorsqueK=k((X)), identifions
(E,||| |||)`aV((X)) et (F, ||| |||)`aW((X)).
Th´eor`eme 3 : Soient Eet Fdeux k((X))-espaces de Banach ultram´etriques.
Alors
(i) L(E,F)est isomorphe `aHomk(V, W)((X)). En particulier le dual topologique
E0de Eest isomorphe `aV∗((X)) o`uV∗est le dual de V.
(ii) L’alg`ebre de Banach L(E)est isomorphe `al’alg`ebre des s´eries formelles de
Laurent `a coeffficients dans Endk(V).
(i) Consid´erons ϕ∈L(E,F); par d´efinition, on a |||ϕ||| = Sup
x6=0
|||ϕ(x)|||
|||x||| ∈|K|.
Supposons ϕ6=0;ona|||ϕ||| =|X|n0,n
0∈ZZ. Puisque V⊂E0, on a pour tout v∈
V, |||ϕ(v)||| ≤ |||ϕ||| |||v||| ≤ |X|n0,doncϕ(v)∈Xn0·F0={X
n≥n0
Xn·wn,w
n∈W}
et ϕ(v)= X
n≥n0
Xn·ϕn(v)avecϕn(v)∈W, n ≥n0. Puisque ϕest k((X))-lin´eaire,
les applications ϕn:V→Wsont k-lin´eaires.
Soit x=X
m≥m0
Xm·vm∈E;onaϕ(x)= X
m≥m0
Xm·ϕ(vm)=
=X
m≥m0
Xm·X
n≥n0
Xn·ϕn(vm)= X
n≥n0+m0
Xn·X
p+q=n
ϕp(vq)(onposeϕn=0sin<n
0).
Il vient que ϕest uniquement d´etermin´e par la famille (ϕn)n≥n0⊂Homk(V, W).
D’o`u l’isomorphisme d’espaces de Banach ϕ→X
n≥n0
Xn·ϕn=e ϕde L(E,F)sur
Homk(V,W)((X)).
(ii) Soit Gun troisi`eme espace de Banach avec (G, ||| |||)=U((X)). Con-
sid´erons ϕ:E→Fet ψ:F→Gdeux applications lin´eaires continues. Pour tout
v∈Von a ψ◦ϕ(v)= X
n≥n0
Xn·ψ(ϕm(v)) = X
n≥n0
Xn·X
m≥m0
Xm·ψm(ϕn(v)) =
=X
n≥n0+m0
Xn·X
p+q=n
ψp◦ϕq(v). Ainsi, il correspond `aψ◦ϕ∈L(E,G)l’´el´ement
X
n≥n0+m0
Xn·X
p+q=n
ψp◦ϕqde Homk(V,U)((X)).