Exercices de Théorie Quantique des Champs II Séance 6

Exercices de Th´ eorie Quantique des Champs II
S´ eance 6 : Diagrammes de Feynman ` a boucles
Rappels :
La matrice ˆ Sde la th´eorie des champs est l’op´erateur unitaire d´ecrivant la diffusion quan-
tique d’un ensemble de champs entre les infinis pass´e et futur, o`u la th´eorie est suppos´ee
ˆetre libre. (Bien entendu, entre les deux, la th´eorie n’est certainement pas libre !)
L’amplitude de diffusion entre un ´etat initial |iniet un ´etat final |outiest alors hout|ˆ S|ini.
On d´efinit la matrice ˆ Tpar ˆ S≡I+iˆ T. Si les ´etats initiaux et finaux sont des collections
de particules libres d’impulsion et de polarisation bien d´efinie, on ´ecrit
|ini=|k1, 1, k2, 2, ..., kN, Ni ≡ |{ki, i}i et |outi=|p1, ε1, p2, ε2, ..., pN0, εN0i ≡ |{pj, εj}i
o`u les kiet les pjrepr´esentent les impulsions et o`u les iet εjrepr´esentent les polarisations.
Dans ce cas, on d´efinit un ´el´ement de matrice M, invariant de Lorentz, par
h{pj, εj}|iˆ T|{ki, i}i ≡ (2π)4iM({ki, i;pj, εj})δ4Xki−Xpj.
Toutes les quantit´es mesurables (sections efficaces et temps de vie) s’expriment en termes
de M. Par exemple, dans le cas d’une diffusion 2 particules →2 particules o`u toutes les
particules ont la mˆeme masse, la section efficace de diffusion (par unit´e d’angle solide)
dans le r´ef´erentiel du centre de masse est donn´ee par
dσ
dΩCM
=|M|2
64π2E2
cm
,
o`u on note dΩ≡sin θ dθ dϕ.
Pour calculer M, on recourt aux diagrammes de Feynman. Explicitement, Mest donn´e
par la formule
iM({ki, i;pj, εj}) =
=N
Y
i=1
Zi
N0
Y
j=1
Zj1/2XDiagrammes amput´es, compl`etement connexes,
avec ki, ien entr´ee et pj, εjen sortie ,(1)
qui est en fait un corollaire de la formule de r´eduction LSZ. D´etaillons un `a un les termes
de cette expression :
— Le nombre Ziest la “renormalisation de la fonction d’onde” pour le champ i. A
l’ordre de l’arbre, Zi= 1.
— On rappelle que l’amputation d’un diagramme est d´efinie comme suit : partant de
l’extr´emit´e d’une patte externe du diagramme, trouver le dernier point o`u la patte
(et uniquement cette patte-l`a !) peut ˆetre s´epar´ee du reste du diagramme en cou-
pant un seul propagateur ; couper `a cet endroit-l`a. On dit alors qu’un diagramme
est amput´e si plus aucune amputation ne peut ˆetre effectu´ee.
— Un diagramme est compl`etement connexe ssi chaque patte externe peut ˆetre reli´ee
`a toutes les autres pattes en suivant les propagateurs du diagramme.
1

Evidemment, tous les diagrammes apparaissant dans la somme (1) ont N+N0pattes
externes.
L’objectif de cette s´eance est de calculer la section efficace de diffusion φφ →φφ pour la
th´eorie φ4en dimension 4, en prenant en compte les effets `a une boucle. Pour ce faire,
nous aurons besoin d’un peu de machinerie pr´eliminaire pour g´erer les diagrammes `a
boucles, puis nous passerons `a la th´eorie φ4, dont nous d´eriverons les r`egles de Feynman
au moyen des int´egrales de chemin. Enfin, on appliquera ces r`egles au calcul de l’´el´ement
de matrice Mpour la diffusion φφ →φφ.
Ce calcul est en fait un pr´etexte pour observer et interpr´eter les ph´enom`enes profonds qui
apparaissent lorsque les effets quantiques de la th´eorie de champs sont pris en compte :
nous verrons qu’il y a une diff´erence cruciale entre – d’une part – les param`etres apparais-
sant dans l’action de la th´eorie et – d’autre part – les param`etres physiques, observables,
de cette mˆeme th´eorie. Nous verrons ´egalement que la d´efinition de ces param`etres phy-
siques d´epend explicitement d’une ´echelle d’´energie (que nous appellerons M).
I. M´ethodes de calcul des diagrammes `a boucles
Rappels :
Lorsqu’un propagateur apparaˆıt dans un diagramme de Feynman, les r`egles de Feyn-
man (en repr´esentation d’impulsion) stipulent que ce propagateur doit contribuer au
diagramme par une quantit´e proportionnelle `a
1
p2+m2−iε.
Un diagramme `a boucles est un diagramme contenant des propagateurs qui forment des
boucles, de sorte que l’impulsion dans ces boucles doit ˆetre int´egr´ee. On se retrouve ainsi
`a calculer des int´egrales du genre
Zd4p
(2π)4
1
(p2+ ∆ −iε)n,(2)
o`u ∆ >0.
1. En supposant que l’int´egrale (2) converge, montrez que le contour d’int´egration de
Feynman permet de r´ecrire cette int´egrale comme
iZd4pE
(2π)4
1
(p2
E+ ∆)n,(3)
o`u pEest maintenant un vecteur d’impulsion euclidien, obtenu `a partir de pau
moyen de la rotation de Wick
p0=ip0
E, pi=pi E.
En particulier, p2
E≡(p0 E)2+pi Epi E.
2. Le probl`eme, c’est que l’int´egrale (3) diverge en g´en´eral. Montrez que, si vous
effectuez l’int´egrale (3) en int´egrant dans R4sur une boule de rayon Λ, on doit
avoir une proportionnalit´e du type
Zd4pE
(2π)4
1
(p2
E+ ∆)n∝Λ4−2n(4)
2

`a grand Λ. Comment l’int´egrale d´epend-elle de Λ lorsque n= 2 ? D´eduisez-en que
l’int´egrale (3) diverge d`es que n≤2.
Remarque :
En th´eorie quantique des champs, l’´echelle d’´energie Λ est appel´ee un cutoff (en
anglais).
3. Motivation :
Lorsque l’int´egrale (3) diverge, on doit d´efinir un proc´ed´e de r´egularisation pour
contrˆoler la divergence. Une possibilit´e est d’utiliser le cutoff Λ mentionn´e ci-
dessus, en gardant Λ fini au cours des calculs. Une autre possibilit´e (que nous uti-
liserons tout le temps dans cette s´eance et qui est motiv´ee par des consid´erations
de sym´etrie), c’est de r´ealiser que l’int´egrale (2) d´epend de la dimension d’espace-
temps d. Pour dsuffisamment petit, l’int´egrale converge toujours, puisque la me-
sure d’int´egration devient ddpet le terme de droite de (4) est remplac´e par Λd−2n,
qui tend vers z´ero `a grand Λ d`es que d < 2n. Pour r´ecup´erer la version quadridi-
mensionnelle des r´esultats ainsi obtenus, on ´ecrit d= 4 −2et on garde fini au
cours des calculs. Cette r´egularisation est appel´ee r´egularisation dimensionnelle.
(Le apparaissant ici n’a rien `a voir avec le εdu d´enominateur dans (2) !)
Montrez que
Zddp
(2π)d
1
(p2+ ∆ −iε)n=2i (4π)d/2Γ(d/2) Z+∞
0
dpE
pd−1
E
(p2
E+ ∆)n.
4. Montrez l’´egalit´e suivante :
Z+∞
0
dpE
pd−1
E
(p2
E+ ∆)n=1
21 ∆n−d/2Z1
0
dx xn−d/2−1(1 −x)d/2−1.(5)
5. On d´efinit la fonction Bˆeta d’Euler par
B(α, β)≡Z1
0
dx xα−1(1 −x)β−1.
Montrez que
Γ(α)Γ(β) = B(α, β)Γ(α+β).
6. D´eduisez-en la valeur de l’int´egrale (5) et montrez que
Zddp
(2π)d
1
(p2+ ∆ −i)n=i (4π)d/2
Γ(n−d/2)
Γ(n)1 ∆n−d/2
.(6)
7. Application num´ero 1 : prenez n= 2 dans (6) et ´ecrivez d= 4 −2. En utilisant
le fait que
Γ() = 1
−γ+O()
(o`u γ'0.557 est la constante d’Euler-Mascheroni), montrez que
Zddp
(2π)d
1
(p2+ ∆ −iε)2=i (4π)21 −γ+ ln(4π)−ln ∆+O().
3

Ce r´esultat sera utile lorsque nous calculerons la renormalisation de la constante
de couplage dans la th´eorie φ4.
8. Application num´ero 2 : prenez n= 1 dans (6), ´ecrivez d= 4 −2et utilisez le
prolongement analytique de la fonction Gamma d’Euler pour ´evaluer l’int´egrale
Zddp
(2π)d
1
p2+ ∆ −iε
`a l’ordre z´ero en . Ce r´esultat sera utile lorsque nous calculerons la renormalisation
de la masse du champ φdans la th´eorie φ4.
9. Quelle diff´erence frappante avez-vous observ´ee entre les divergences rencontr´ees
dans les applications num´eros 1 et 2 ? Comment traduiriez-vous cette diff´erence
en termes du cutoff Λ ?
10. Motivation :
En pratique, lorsqu’on calcule l’int´egrale sur une boucle dans un diagramme de
Feynman, il est tr`es rare de tomber sur une int´egrale de la forme (2). Au contraire,
on trouve la plupart du temps une combinaison du genre
Zd4p
(2π)4
1
(p+k1)2+ ∆1
1
(p+k2)2+ ∆2··· 1 (p+kn)2+ ∆n
.
Pour une telle combinaison, la mani`ere d’int´egrer sur pn’est pas ´evidente. On
recourt alors `a une astuce qui permet de convertir le produit des 1/(p2
i+ ∆i) en
un unique terme de la forme 1/(P2+ ∆)n.
Soient Aet Bdeux nombres r´eels non nuls. Montrez que
1
AB =Z1
0
dx 1
[xA + (1 −x)B]2.(7)
Le nombre xsur lequel on int`egre ici est appel´e un param`etre de Feynman.
Remarque :
La formule (7) peut ˆetre g´en´eralis´ee comme suit :
1
A1A2...An
=Z1
0
dx1dx2...dxnδXxi−1(n−1)!
[x1A1+x2A2+···xnAn]n.
II. Masse physique d’un champ scalaire dans la th´eorie φ4
La th´eorie φ4(en dimension quatre) est d´ecrite par l’action
S[φ] = Zd4x−1
2∂µφ∂µφ−m2
0
2φ2−λ0 4! φ4,(8)
o`u φest un champ scalaire r´eel et o`u m2
0et λ0sont des param`etres r´eels positifs. Le but
de cet exercice est de calculer la masse du champ φen prenant en compte la contribution
des interactions mais en se restreignant `a l’ordre non trivial le plus bas – c’est-`a-dire `a
l’ordre d’une boucle.
4

1. On rappelle que les r`egles de Feynman pour la th´eorie (8), en repr´esentation d’im-
pulsion, sont les suivantes :
=−i
p2+m2
0−i,(9)
=−iλ0.(10)
Observez que la r`egle de Feynman pour le vertex d’interaction peut ˆetre obtenue
de mani`ere “quick and dirty” en calculant la d´eriv´ee quatri`eme de l’action par
rapport au champ φ:
∂4
∂φ4−1 2∂µφ∂µφ−m2
0
2φ2−λ0 4! φ4=−λ0.
Pourquoi est-ce le cas ? D’o`u vient le facteur idans la r`egle de Feynman pour ce
vertex ?
2. Rappelez pourquoi, dans le cas λ0= 0, on peut interpr´eter m0comme la “masse”
du champ φ. Vous attendez-vous `a ce que cette interpr´etation tienne toujours la
route lorsque λ0est non nul ? Plus g´en´eralement, qu’appelleriez-vous la masse du
champ φ?
3. Motivation :
On d´esire maintenant calculer la transform´ee de Fourier de la fonction `a deux
points du champ φ:
DΩTnˆ
˜
φ(p)ˆ
˜
φ(−p)oΩE≡ h˜ φ(p)˜ φ(−p)i.
Pour faire le calcul, on supposera que le param`etre λ0est “petit”, de sorte qu’on
peut tout calculer en s´erie de puissances en λ0. Chaque puissance ncorrespond `a
une certaine somme de diagrammes de Feynman contenant nvertex d’interaction.
En termes concrets, la fonction `a deux points peut s’´ecrire comme
h˜ φ(p)˜ φ(−p)i=,
o`u le cercle gris´e repr´esente la somme de tous les diagrammes de Feynman connexes,
avec une impulsion pen entr´ee et une impulsion pen sortie.
(a) Rappelez la d´efinition d’un diagramme irr´eductible `a une particule (1PI).
(b) Comment d´efiniriez-vous un diagramme irr´eductible `a nparticules ?
(c) Expliquez pourquoi le cercle gris´e peut ˆetre r´ecrit comme
= + + + ··· ,(11)
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