2.2
Le jeu de production linéaire
Le modèle linéaire de production repose sur l’hypothèse de taux de profit constant et sur
l’hypothèse de proportionnalité entre ressources et production. Selon la première hypothèse,
l’espérance de profit, P, liée à la vente des produits sur le marché, est proportionnelle aux quantités
vendues :
avec
. Selon la seconde hypothèse, les quantités
produites sont proportionnelles aux quantités de ressources utilisées. On définit alors la matrice
nR
ri
mM ×
ℜ∈= ))(( telle que le coefficient
représente la quantité de ressource r nécessaire à la
production d’une unité de produit i. La contrainte de faisabilité de la production
par S s’écrit :
(1)
Dans ce cadre linéaire, la fonction de profit maximal espéré,
, associée à chaque coalition
, est la solution du programme linéaire suivant :
{ }
1,0 ,,)( sous Maximiser 1
1
N
S
n
S
n
i
ii eyCeyIMypP ∈ℜ∈≤Π−= +
−
=
∑
(2)
Le jeu de production linéaire (LPG) étudié en particulier par Owen (1975), Van Gellekom et al.
(2000) vise à trouver la coalition optimale
qui maximise
et une répartition du profit
,
qui soit dans le cœur du jeu, c'est-à-dire qui satisfasse à la fois les conditions d’efficacité
(Pareto optimalité) :
et de rationalité :
pour toute coalition
.Une
condition additionnelle pour la stabilité robuste de la coalition est la propriété d’équité, formulée dans
(Hennet et Mahjoub, 2010) sous la forme:
. Il a été montré que la solution
parfaitement compétitive, dite solution d’Owen, est dans le cœur mais n’est pas équitable en général.
Hennet et Mahjoub (2010) ont proposé une condition d’existence de solutions équitables dans le cœur
du jeu. Cependant cette condition est rarement satisfaite. Pour corriger ce défaut, nous proposons dans
cet article de modifier la formulation du problème (2) par modifications des contraintes (1).
2.3
Le jeu de production avec contraintes de saturation sur les ressources
Le risque de non-équité de la solution d’Owen pour le LPG vient du fait que les ressources
excédentaire pour le vecteur de production optimal ne sont pas valorisées, c'est-à-dire que leurs
propriétaires ne reçoivent pas de rémunération pour leur possession. La solution proposée dans cet
article consiste à introduire des coûts marginaux non nuls pour les ressources en excès, en remplaçant
les contraintes de capacité de production (2) par des contraintes de saturation linéaires par morceaux,
qui s’appliquent avant d’atteindre la capacité maximale des ressources. Elles s’écrivent en fonction
d’un vecteur de variables auxiliaires,
, correspondant à des consommations désirées de
ressources, sous la forme (terme à terme) :
),,min( 1SS CeAMCeAMM
ξξω
+≤
. Les degrés de liberté
introduits par ces nouvelles contraintes permettent de conférer la propriété d’équité recherchée à la
solution du jeu de production linéaire.
Références
[1] J-C. Hennet, S. Mahjoub, Toward the fair sharing of profit in a supply network formation,
International Journal of Production Economics,127( 1), 112-120, 2010.
[2] G.Owen. On the core of linear production games, Math. Programming 9, 358.370, 1975.
[3] J.R.G. Van Gellekom, J.A.M. Potters, J.H. Reijnierse M.C. Engel and S.H. Tijs,
Characterization of the Owen Set of Linear Production Processes, Games and Economic Behavior,
32(1), 139-156, 2000.