Valorisation des ressources au sein d`une chaîne logistique { }N

Valorisation des ressources au sein d’une chaîne logistique
Jean-Claude Hennet1, Sonia Mahjoub1,2
1
LSIS-CNRS ; Université de Marseille ; Avenue Escadrille Normandie Niemen, F-13297 Marseille, France
2
{jean-claude.hennet, sonia.mahjoub}@lsis.org
FIESTA , ISG de Tunis, 41 rue de la liberté, 2000 Le Bardo, Tunisie
Mots-clés : théorie des jeux coopératifs, programmation linéaire.
1. Introduction
Le problème de formation d’une chaine logistique au sein d’un réseau d’entreprises peut être
modélisé grâce à la théorie des jeux coopératifs. Chaque entreprise candidate est vue comme un joueur
cherchant à maximiser sa fonction d’utilité, qui est son espérance de profit. Le moyen pour atteindre
ce but est la formation d’une coalition de joueurs, qui consiste en la mise en commun de ressources de
production en vue de maximiser l’espérance de profit total obtenu par la production et la vente de
produits finis. Le problème de distribution de ce profit espéré entre les entreprises fédérées est crucial
aussi bien dans la réalité que dans le modèle de jeux coopératifs, où il conditionne les propriétés
d’efficacité, de rationalité, de stabilité et d’équité d’une coalition. Le jeu de production linéaire est
décrit dans cet article. Il peut conduire à des politiques de répartition du profit stables mais non
équitables. Pour obtenir des politiques stables et équitables, nous proposons de remplacer les
contraintes de capacité des ressources par des contraintes de saturation linéaires par morceaux.
2. Un modèle coopératif de formation d’une chaîne logistique
Soit un ensemble d’entreprises N = {1,..., N } et l’ensemble P (N ) de toutes les coalitions possibles
entre ces entreprises. Dans le modèle de jeux coopératifs proposé, la capacité productive d’une
entreprise j ∈ N est représentée par les quantités possédées des différentes ressources de production.
Pour les R types de ressources considérées dans ce modèle, on note c rj la quantité de ressource r
(r=1,…,R) disponible pour l’entreprise j. On construit alors la matrice non négative des capacités de
production C = ((c rj )) ∈ ℜ R× N . A chaque coalition S ∈ P (N ) , on associe le vecteur caractéristique
N
e S ∈ {0,1} tel que :
(e S ) j = 1 si j ∈ S
et le vecteur des capacités de production C S = Ce S .
(e S ) j = 0 si j ∉ S
2.1 Le modèle de production multi-étape
On définit, sur une période de référence, le vecteur non négatif ω ∈ ℜ n des productions brutes
pour les n produits primaires, intermédiaires et finis. Le vecteur ω est relié au vecteur y ∈ ℜ n des
produits sortants (produits mis sur le marché) par l’intermédiaire du bilan de matières (bill of
materials), avec comme matrice de sortie la matrice identité Ι n ∈ ℜ n×n et comme matrice d’entrée la
matrice des coefficients techniques, notée Π = ((π ij )) ∈ ℜ n×n . Par définition, le coefficient non négatif
π ij représente la quantité de produit i qui entre dans la production d’une unité de produit j. L’équation
du bilan de matières s’écrit : y = (Ι n − Π )ω . Le vecteur de production brute ω s’exprime alors ainsi en
fonction du vecteur des produits sortants y : ω = (Ι n − Π ) −1 y .
2.2 Le jeu de production linéaire
Le modèle linéaire de production repose sur l’hypothèse de taux de profit constant et sur
l’hypothèse de proportionnalité entre ressources et production. Selon la première hypothèse,
l’espérance de profit, P, liée à la vente des produits sur le marché, est proportionnelle aux quantités
n
vendues : P = p T y = ∑ p i y i avec p = [ p1 ,  , p n ]T . Selon la seconde hypothèse,
les quantités
i =1
produites sont proportionnelles aux quantités de ressources utilisées. On définit alors la matrice
M = ((m ri )) ∈ ℜ R×n telle que le coefficient m ri représente la quantité de ressource r nécessaire à la
production d’une unité de produit i. La contrainte de faisabilité de la production ω par S s’écrit :
(1)
Mω ≤ C S
Dans ce cadre linéaire, la fonction de profit maximal espéré, v( S ) ≥ 0 , associée à chaque coalition
S ∈ P (N ) , est la solution du programme linéaire suivant :
n
Maximiser P = ∑ p i y i sous M ( I − Π ) −1 y ≤ Ce S , y ∈ ℜ +n , e S ∈ {0,1}
N
(2)
i =1
Le jeu de production linéaire (LPG) étudié en particulier par Owen (1975), Van Gellekom et al.
(2000) vise à trouver la coalition optimale S * qui maximise v(S ) et une répartition du profit (u j ) ,
j ∈ N qui soit dans le cœur du jeu, c'est-à-dire qui satisfasse à la fois les conditions d’efficacité
(Pareto optimalité) :
∑ u i = v(S* ) et de rationalité : ∑ u i ≥ v(S )
j∈N
pour toute coalition S ∈ P (N ) .Une
j∈S
condition additionnelle pour la stabilité robuste de la coalition est la propriété d’équité, formulée dans
(Hennet et Mahjoub, 2010) sous la forme: u j > 0 ∀j ∈ S * . Il a été montré que la solution
parfaitement compétitive, dite solution d’Owen, est dans le cœur mais n’est pas équitable en général.
Hennet et Mahjoub (2010) ont proposé une condition d’existence de solutions équitables dans le cœur
du jeu. Cependant cette condition est rarement satisfaite. Pour corriger ce défaut, nous proposons dans
cet article de modifier la formulation du problème (2) par modifications des contraintes (1).
2.3 Le jeu de production avec contraintes de saturation sur les ressources
Le risque de non-équité de la solution d’Owen pour le LPG vient du fait que les ressources
excédentaire pour le vecteur de production optimal ne sont pas valorisées, c'est-à-dire que leurs
propriétaires ne reçoivent pas de rémunération pour leur possession. La solution proposée dans cet
article consiste à introduire des coûts marginaux non nuls pour les ressources en excès, en remplaçant
les contraintes de capacité de production (2) par des contraintes de saturation linéaires par morceaux,
qui s’appliquent avant d’atteindre la capacité maximale des ressources. Elles s’écrivent en fonction
d’un vecteur de variables auxiliaires, ξ ∈ ℜ n+ , correspondant à des consommations désirées de
ressources, sous la forme (terme à terme) : Mω ≤ min( Mξ , A1Ce S + AMξ , Ce S ) . Les degrés de liberté
introduits par ces nouvelles contraintes permettent de conférer la propriété d’équité recherchée à la
solution du jeu de production linéaire.
Références
[1] J-C. Hennet, S. Mahjoub, Toward the fair sharing of profit in a supply network formation,
International Journal of Production Economics,127( 1), 112-120, 2010.
[2] G.Owen. On the core of linear production games, Math. Programming 9, 358.370, 1975.
[3] J.R.G. Van Gellekom, J.A.M. Potters, J.H. Reijnierse M.C. Engel and S.H. Tijs,
Characterization of the Owen Set of Linear Production Processes, Games and Economic Behavior,
32(1), 139-156, 2000.