CHAPITRE 5 Suites et fonctions

CHAPITRE 5
Suites et fonctions
5.1 Espaces vectoriels norm´es r´eels ou complexes
Ici, Kd´esigne soit R, soit C.
5.1.1 Normes et distances
D´ efinition 5.1.1.Norme, espace vectoriel norm´e
Soit Eun e.v. sur K, on appelle norme sur Etoute application (not´ee k.kou N(.))
de Edans R+v´erifiant :
(i)∀x∈E,kxk= 0 ⇒x= 0 (on a en fait ´equivalence grˆace `a (ii)),
(ii)∀x∈E,∀λ∈K,kλ.xk=|λ|.kxk,
(iii)∀(x, y)∈E2,kx+yk6kxk+kyk.
On dit alors que (E, k.k)est un espace vectoriel norm´e. S’il y a ambigu¨ıt´e on notera
aussi k.kEla norme sur E.
D´em : Si x= 0 (vecteur nul) alors 0.x =x(0 ´el´ement neutre de K) donc, avec (ii),
kxk=k0.xk= 0kxk= 0 ce qui prouve la r´eciproque 
Exemples : Normes N1,N2et N∞
(i) Sur Kn(x= (xi)) : N1(x) =
n
P
i=1 |xi|,N2(x) = rn
P
i=1 |xi|2,N∞(x) = sup
i∈[[1,n]] |xi|.
D´em :
•N1est une norme : N1:Kn→R+est imm´ediat. Montrons les autres
propri´et´es :
–Si N1(x) = 0 alors ∀i∈[[1, n]], xi= 0 (si une somme de termes
positifs est nulle alors tous ses termes sont nuls1) donc x= 0.
–|λxi|=|λ|.|xi|donc, en additionnant, on a N1(λx) = |λ|N1(x).
–De mˆeme |xi+yi|6|xi|+|yi|donc N1(x+y)6N1(x) + N1(y)
1Pour s’en convaincre, raisonner par l’absurde
257

258 CHAPITRE 5. SUITES ET FONCTIONS
•N2est une norme : N2:Kn→R+est imm´ediat. Montrons les autres
propri´et´es :
–Si N2(x) = 0 alors ∀i∈[[1, n]], x2
i= 0 donc x= 0.
–|λxi|=|λ|.|xi|donc
N2(λx) = v
u
u
t
n
X
i=1 |λ|2.|xi|2
=v
u
u
t|λ|2
n
X
i=1 |xi|2
=|λ|N2(x).
–L’in´egalit´e triangulaire a ´et´e vue au chapitre 4 avec l’in´egalit´e de
Minkowski.
•N∞:Kn→R+est imm´ediat. Montrons les autres propri´et´es :
–Si N∞(x) = 0 alors ∀i∈[[1, n]], xi= 0 car le sup est nul donc x= 0.
–|λxi|=|λ|.|xi|donc, en passant au sup (qui est ici un maximum), on
aN∞(λx) = |λ|N∞(x).
–|xi+yi|6|xi|+|yi|6sup
j|xj|
| {z }
=N∞(x)
+ sup
j|yj|
| {z }
=N∞(y)
donc N∞(x) + N∞(y) est un
majorant de l’ensemble des |xi+yi|ce qui entraˆıne que
sup
i|xi+yi|=N∞(x+y)6N∞(x) + N∞(y)
(ibis) Sur K[X] (avec P=
n
P
i=0
aiXi) : N1(P) =
n
P
i=0 |ai|,N2(P) = rn
P
i=0 |ai|2,
N∞(P) = sup
i∈[[0,n]] |ai|.
D´em : C’est la mˆeme d´emonstration que celle que l’on vient de faire 
(ii) Sur C([a, b]) : N1(f) = Zb
a|f(t)|dt,N2(f) = sZb a|f(t)|2dt,
N∞(f) = sup
t∈[a,b]|f(t)|.
D´em : Pour N1, voir le th´eor`eme 5.53 page 332, pour N2, voir la proposition
5.4.2 page 334 et pour la norme infinie, voir le th´eor`eme 5.1 page 260 
(iii) Sur ℓjo`u j∈ {1,2,∞} N1(u) =
+∞
P
n=0 |un|(sur ℓ1), N2(u) = s+∞
P
n=0 |un|2(sur ℓ2),
N∞(u) = sup
n∈N|un|(sur ℓ∞) cf. d´efinition 5.3.5 page 320.
D´em : Pour N1, on verra ceci avec les s´eries (mˆeme d´emonstration que pour le
(i), cf. th´eor`eme 5.42 page 320), pour N2, voir aussi plus loin dans ce chapitre,
ℓ2est un espace de Hilbert (cf. th´eor`eme 5.43 page 320). Enfin, pour N∞, on
reprend la premi`ere d´emonstration (cf. th´eor`eme 5.4 page 266) 
D´ efinition 5.1.2.Distance associ´ee `a une norme
On d´efinit la distance entre deux points de Epar d(x, y) = kx−yk.

5.1. ESPACES VECTORIELS NORM ´ ES R ´ EELS OU COMPLEXES 259
Remarque 5.1.1. dv´erifie :
(i)∀(x, y)∈E2,d(x, y) = 0 ⇔x=ys´eparation,
(ii)∀(x, y)∈E2,d(x, y) = d(y, x)sym´etrie,
(iii)∀(x, y, z)∈E3:d(x, y)6d(x, z) + d(z, y)in´egalit´e triangulaire.
D´em : Ces trois propri´et´es sont simples `a prouver :
•d(x, y) = 0 ⇔ kx−yk= 0 ⇔x=y,
•d(x, y) = kx−yk=ky−xk= d(y, x),
•d(x, y) = kx−yk=k(x−z) + (z−y)k6kx−zk+kz−yk= d(x, z) + d(z, y)
D´ efinition 5.1.3.Boule ouverte, ferm´ee
L’ensemble B(a, r) = {x∈E, d(a, x)< r}est appel´e boule ouverte de centre a, de
rayon r > 0, et l’ensemble B(a, r) = {x∈E, d(a, x)6r}, boule ferm´ee de centre a,
de rayon r.
norme 2 norme infinie norme 1
D´ efinition 5.1.4.Distance `a un ensemble
Soit Aun ensemble non vide, alors on pose d(x, A) = inf
y∈Ad(x, y).
D´ efinition 5.1.5.Vecteur unitaire
On dit que x∈Eespace vectoriel norm´e est un vecteur unitaire ssid´ef kxk= 1 (cela
d´epend ´evidemment de la norme choisie).
Si x∈E\ {0}alors u=x
kxkest appel´e vecteur unitaire associ´e `a x.
Proposition 5.1.1.Si Eest un espace pr´ehilbertien (r´eel ou complexe), la norme
euclidienne kxk=p(x|x)v´erifie kxk= sup
kyk61|(x|y)|.
D´em : Si x= 0 l’´egalit´e est imm´ediate, on se place donc dans le cas o`u x6= 0. On
va montrer l’´egalit´e par double in´egalit´e :

260 CHAPITRE 5. SUITES ET FONCTIONS
•Soit y∈Etel que kyk61 alors, par Cauchy-Schwarz, on a
|(x|y)|6kxk.kyk6kxk
donc A={|(x|y)|,kyk61}est born´e par kxkd’o`u sup
kyk61|(x|y)|6kxk.
•Soit maintenant y=x
kxk,kyk= 1 et |(x|y)|=kxk2 kxk=kxkce qui signifie que
kxk ∈ Adonc kxk6sup A= sup
kyk61|(x|y)|.
Conclusion : on a bien montr´e que kxk= sup
kyk61|(x|y)|
D´ efinition 5.1.6.Ensemble born´e, diam`etre
On dit que A6=∅est un ensemble born´e ssid´ef il existe une boule ferm´ee contenant
A. Dans ce cas, on parle du diam`etre de A:
δ(A) = sup
(x,y)∈A2
d(x, y).
D´em : Cette d´efinition est l´egitime car A⊂B(a, r) par d´efinition d’o`u, par in´egalit´e
triangulaire, d(x, y)6d(x, a) + d(a, y)62rpour tout (x, y)∈A2par cons´equent
{d(x, y),(x, y)∈A2}est major´e donc il poss`ede une borne sup´erieure 
D´ efinition 5.1.7.Application born´ee, Ensemble B(A, F )
Soient Eet Fsont deux e.v.n., on dit que f∈ F(A, F )o`u A⊂Eest une application
born´ee ssid´ef f(A)est born´e dans F.
L’ensemble des applications born´ees est not´e B(A, F ).
Th´ eor` eme 5.1.L’ensemble B(A, F ) muni de la norme N∞(f) = sup
x∈Akf(x)kFest
un espace vectoriel norm´e.
D´em : C’est la d´emonstration classique que l’on retrouve ici, on v´erifie les axiomes
de la norme (on a ´evidemment N∞(f)∈R+), k.kFd´esigne la norme sur F.
•Si N∞(f) = 0 alors ∀x∈A,f(x) = 0 soit f= 0.
•On utilise la propri´et´e
sup
α∈A
λα =λsup
α∈A
α
pour A⊂Ret λ>0 :
–λα 6λsup
α∈A
αest imm´ediat donc λsup
α∈A
αest un majorant de l’ensemble
{λα, α ∈A}donc
sup
α∈A
λα 6λsup
α∈A
α.
–Si λ= 0, l’´egalit´e est imm´ediate, supposons λ > 0 alors, on applique
l’in´egalit´e que l’on vient de montrer `a B={λα, α ∈A}et µ=1
λd’o`u
sup
β∈B
µβ 6µsup
β∈B
βor µβ =αet β∈B⇔µβ =α∈Ad’o`u
sup
α∈A
α61
λsup
α∈A
λα

5.1. ESPACES VECTORIELS NORM ´ ES R ´ EELS OU COMPLEXES 261
Cette derni`ere in´egalit´e permet de conclure `a l’´egalit´e en multipliant par λ.
On prend alors A={kf(x)kF, x ∈A}d’o`u N∞(λf) = |λ|N∞(f) (en rem-
pla¸cant λpar |λ|et en utilisant la propri´et´e kλf(x)kF=|λ|.kf(x)kF).
• kf(x) + g(x)kF6kf(x)kF+kg(x)kF6N∞(f) + N∞(g) donc N∞(f) + N∞(g)
est un majorant de {kf(x) + g(x)kF, x ∈A}et par cons´equent
N∞(f+g)6N∞(f) + N∞(g);
Conclusion : N∞est bien une norme sur B(A, F ) donc B(A, F ) muni de N∞est
bien un espace vectoriel norm´e 
D´ efinition 5.1.8.Application lipschitzienne
Soit k∈R+, on dit que f:A⊂E→Fest k-lipschitzienne ssid´ef
kf(x)−f(y)k6kkx−yk.
On dit que fest lipschitzienne ssid´ef ∃k∈R+telle que fest k-lipschitzienne.
Proposition 5.1.2.
La compos´ee de deux applications lipschitziennes est lipschitzienne.
L’ensemble des fonctions lipschitziennes de F(A, F )est un sous-espace vectoriel de
F(A, F )
D´em : Notons Lip (A, F ) l’ensemble des applications lipschitziennes de Adans F
(notation non standard, utilis´ee de fa¸con ´episodique).
•Soit f∈Lip (A, F ), g∈Lip (B, G) avec f(A)⊂B(pour pouvoir d´efinir g◦f),
A⊂Eet B⊂F. On suppose que fest k-lipschitzienne et g h-lipschitzienne.
Alors, pour tout (x, y)∈A2on a
kg◦f(x)−g◦f(y)kG6hkf(x)−f(y)kF6khkx−ykE
donc g◦fest lipschitzienne.
•Si fet gsont dans Lip (A, F ) (ensemble non vide car l’application nulle en
fait partie), si fest k-lipschitzienne et g h-lipschitzienne. Alors, pour tout
(x, y)∈A2et tout (λ, µ)∈K2on a
k(λf +µg)(x)−(λf +µg)(y)kF=kλ(f(x)−f(y)) + µ(g(x)−g(y))kF
6|λ|.kf(x)−f(y)kF+|µ|.kg(x)−g(y)kF
6|λ|kkx−ykE+|µ|hkx−ykE
6(|λ|k+|µ|h)kx−ykE
donc λf +µg est bien lipschitzienne 
Exemples :
(i) Les applications x7→ kxket x7→ d(x, A) sont 1-lipschitziennes.
D´em :