Trigonométrie

Exercice 1 :
1- Déterminer une mesure en radian de l’angle de mesure 150˚.
2- Déterminer une mesure en degrés de l’angle de mesure 5π
3.
Solution :
1- Les mesures en radians et degrés sont deux à deux proportionnelles :
Radians 2πx
Degrés 360 150
x=2π×150
360 =5π 6.
2-
Radians 2π5π
3
Degrés 360 y
y=
360 ×5π
3
2π
=300˚.
Exercice 2 :
1- Déterminer la mesure en radians des angles suivants : 270˚ et 100˚
2- Déterminer la mesure en degrés des angles suivants : 7π
12 et −11π 17 .
Exercice 3 : Placer les points repérés par les nombres suivants sur le cercle trigonométrique.
5π
6−2π 3
13π
6−28π 3.
Solution :
5π
6=π−π 6
−2π
3=−π−π 3=π 3−π.
13π
6=2π+π 6.
−28π
3=−30π 3+2π 3=−10π+2π 3=−10π+π−π 3.
1

Exercice 4 : Même exercice avec : −5π
3
17π
6
30π
4−27π.
Exercice 5 : Même exercice avec : −17π
2
11π
12
13π
3
57π
4.
Exercice 6 : Exprimer les cosinus et sinus suivants à l’aide des valeurs remarquables de ces deux fonctions. Justifier.
cos 17π
6et sin 17π 6.
Solution :
2

cos 17π
6=cos 2π+5π 6!
=cos 5π
6car pour tout nombre xréel, cos (x+2π)=cos x.
=cos π−π
6
=−cos π
6
=−
√3
2
sin 17π
6=sin 2π+5π 6!
=sin 5π
6car pour tout nombre xréel, sin (x+2π)=sin x.
=sin π−π
6
=sin π
6
=1
2
Exercice 7 : Même énoncé avec cos 5π
3!et sin 5π 3!.
Exercice 8 : Même énoncé avec cos −21π
4!et sin −21π 4!.
Exercice 9 : Même énoncé avec cos 171π
2!et sin 171π 2!.
Exercice 10 : Pour α∈[0; π], calculer le sinus de αsachant que cos α=1
3.
Solution : Pour tout réel α, cos2α+sin2α=1, donc sin2α=1−cos2α=8
9.
Donc sin α=−2√2
3ou sin α=2√2 3. Or α∈[0; π], donc sin α>0 donc sin α=2√2 3.
Exercice 11 : Pour β∈[−π; 0], calculer le sinus de βsachant que cos β=−1
4.
Exercice 12 : Pour γ∈−π
2;π 2, calculer le cosinus de γsachant que sin γ=1 2.
3

Réponses.
Réponses exercice 2 :
1- 3π
2et 5π 9
2- 105˚ et −1980
17 ˚≈ −116,47˚.
Réponses exercice 4 :
Réponses exercice 5 :
Réponses exercice 7 :
cos 5π
3!=1 2et sin 5π 3!=−
√3
2.
4

Réponses exercice 8 :
cos −21π
4!=−
√2
2et sin −21π 4!=
√2
2.
Réponses exercice 9 :
cos 171π
2!=0 et sin 171π 2!=−1.
Réponses exercice 11 :
sin β=−
√15
4.
Réponses exercice 12 :
cos γ=
√3
2
5