04Les équations de Maxwell new

LES ÉQUATIONS DE MAXWELL
L’électromagnétisme a pour objet l’étude des interactions entre particules chargées. Ce chapitre généralise les notions
introduites en régime indépendant du temps au cas des régimes variables.
r
r
On a vu qu’en régime statique, l’étude des champs E et B peut se faire séparément (absence de couplage). Nous allons
r
r
voir qu’en régime variable, il en est autrement : les champs E et B sont indissociables, on parle de « champ
électromagnétiques ».
I.
Sources de champ électromagnétique
1.
Rappels
r r r
Les sources de champ électromagnétique sont des distributions de charges et de courants : D = [ρ( r , t ), j ( r , t )]
a)
Densité de charges
Soit un point P de l’espace et un volume δτ autour de P. La densité volumique de charge en P à l’instant t est :
∑
δn k q k
δq
dq
type k
ρ(P, t ) =
= lim
= lim
dτ δτ→0 δτ δτ→0
δτ
où δnk est le nombre de porteurs de charge de type « k » dans δτ.
C’est une grandeur nivelée (moyennée) : on considère la matière comme un milieu continu, en ignorant la structure
r r
r
atomique. Il est sera de même pour les composantes de j , E et B .
Posons ν k (P, t ) = lim
δτ→0
δn k
: νk est la densité particulaire des porteurs de type « k » (en m-3).
δτ
La densité volumique de charge s’écrit donc :
ρ(P, t ) =
∑q
kνk
type k
b)
=
∑ρ
k
où ρk=qkνk est la densité volumique des charges de type k.
type k
Densité de courant
rappel : Par définition, l’intensité du courant à travers une surface Σ orientée est :
i Σ (t) =
δQ =
∑ δQ
type k
k
=
∑ δn
kqk
δQ
charge algébrique traversant Σ dans le sens « + » par unité de temps.
dt
où δQk est la charge des porteurs k traversant Σ entre t et t+dt, δnk leur nombre.
type k
Nous avons vu dans le chapitre précédent que l’intensité du courant qui traverse la surface Σ à l’instant t est le flux à
travers celle-ci du vecteur densité de courant (dont la norme s’exprime donc en A.m-2.)
Les équations de Maxwell (elm 4)
1
r
i=
P∈Σ
r
avec j(P ) =
r
∫∫ di = ∫∫ j(P).dS(P)
P∈Σ
r
∑ j (P) vecteur densité volumique de courant en P à t.
k
type k
r
r
r
où jk (P) = q k ν k (P) v k (P) = ρ k (P ) v k (P) vecteur densité de courant des porteurs de type « k »
ρ k (P) = q k ν k (P ) densité volumique de charge des porteurs de type « k »
Exemple d’un conducteur métallique
Il comporte deux types de porteurs de charge :
type « 1 » : les cations, fixes, de charge q1=ze (z entier)
type « 2 » : les électrons libres, de charge q2=-e
La densité de charge s’exprime ρ = ρ1 + ρ2 = ν1q1 + ν 2q 2 = e(ν1z − ν 2 )
Pour un conducteur en équilibre électrostatique, ρ=0
r r
r r
r
La densité de courant est : j = j2 = ν 2q 2 v2 (les cations du réseau étant fixes j 1= 0 )
2.
Equation locale de conservation de la charge
r
r
On cherche une relation entre ρ et j (si ρ varie, c’est que le vecteur j est non nul).
Soit un volume V limité par une surface fermée Σ. Soit Q(t) la charge contenue à l’instant t dans le volume V, dQ sa
variation entre t et t+dt.
Exprimons que la charge est une grandeur conservative :
dQ=δQr+δQp=δQr
Il n’y a pas d’apparition ou de disparition de charges δQp=0. La variation entre t et t+dt de la charge contenue dans V est
égale à la charge algébriquement reçue par V.
la charge algébriquement reçue par V est la charge algébriquement entrée dans V entre t et t+dt par son enveloppe
Σ, i.e. à l’opposé de la charge algébriquement sortie de V par Σ.
δQr=δQentrant=-δQsortant
Or la charge qui sort de V (en traversant Σ) entre t et t+dt, δQsortant s’écrit, puisque la surface fermée Σ est orientée
r r
vers l’extérieur : δQ sor tan t = i Σ dt = dt j.dS
∫∫
Σ
La variation de la charge Q contenue dans V entre les instants t et t+dt s’écrit,
dQ = Q( t + dt ) − Q( t ) =
La conservation de la charge s’écrit donc :
dt

dQ
d
∂ρ
dt = dt  ∫∫∫ ρdτ  = dt ∫∫∫ dτ

dt
dt  V
∂t
V

∂ρ
r r
∫∫∫ ∂t dτ = −dt ∫∫ j.dS
Σ
V
Les équations de Maxwell (elm 4)
2
En simplifiant par dt et en utilisant le théorème d’Ostrogradski pour convertir l’intégrale de surface en intégrale de
volume, on obtient :
∫∫∫
V
∂ρ
dτ = −
∂t
∫∫∫
r
div j dτ
soit
V
∫∫∫
V
 r ∂ρ 
 div j +
d τ = 0
∂t 

Cette intégrale est nulle quel que soit le volume V considéré. En prenant pour V un volume élémentaire centré sur un point
M et en faisant tendre ce volume vers zéro, on montre que l’intégrant doit être nul. On obtient ainsi :
équation locale de conservation de la charge : −
r
∂ρ
= div j
∂t
« La diminution de la charge contenue dans V est égale à ce qui sort de V à travers sa frontière Σ».
Remarque : une telle forme d’équation se retrouve couramment quand on fait le bilan d’une grandeur extensive
conservative (c’est-à-dire pour laquelle il n’y a pas de terme de production) : équation locale de conservation de la masse
en mécanique des fluides, équation de la diffusion de particules, équation de la diffusion thermique…
3.
Cas du régime permanent (stationnaire)
Les champs (scalaires et vectoriels) ont alors, par définition du régime permanent, des dérivées partielles par rapport au
temps nulles.
En particulier on a en régime permanent
∂ρ
= 0 , soit, d’après l’équation de conservation de la charge :
∂t
r
r
div j = 0 : j a une divergence nulle
ou encore, ce qui est équivalent :
r r
∫∫ j.dS = 0
r
: j est à flux conservatif
Σ
l’intensité du courant à travers une surface fermée quelconque est nulle.
conséquences : en régime permanent
On parle de l'intensité qui traverse un contour Γ sans préciser la section.
L’intensité a même valeur à travers toutes les sections d’un tube de courant.
r
r
Le long d’un tube de champ de j (appelé tube de courant), j devient plus intense quand le tube se rétrécit (quand les
lignes de champ se resserrent).
Une branche d'un circuit étant un tube de courant, on parle de l'intensité dans une branche.
Loi des nœuds en un nœud N où se joignent p branches :
∑
ik
branche k
= 0 , toutes les branches étant orientées vers N (où
toutes hors N).
II.
Les équations de Maxwell
1.
Postulat
r r r
Soit D = [ρ( r , t ), j ( r , t )] une distribution (volumique) de charges et de courants. La force exercée par D sur une charge
r
r
ponctuelle q située à l’instant t en un point M( r ) et possédant un vecteur vitesse v est donné par la formule de Lorentz :
r
r r
r r r
F =q[ E ( r ,t)+ v ∧ B ( r ,t)]
Les équations de Maxwell (elm 4)
3
r r
r r
où [ E ( r ,t), B ( r ,t)] est le champ électromagnétique créé en M par D. Ce champ vérifie le système suivant dit
« équations locales de Maxwell » :
 r ρ
divE = ε
0

r
 r
∂B
rotE = −

∂t

r

divB = 0
r
 r
r
∂E 

rotB = µ 0  j + ε0

∂t 


équation de Maxwell Gauss (MG )
équation de Maxwell Faraday (MF)
équation du flux magnétique (Mφ )
équation de Maxwell Ampère (MA)
Ces équations sont valables dans tous les milieux. Dans la pratique, elles sont utilisables telles quelles dans le vide, dans
r
les métaux et dans les plasmas (seuls milieux au programme de MP) milieux où on sait exprimer facilement ρ et j . Dans
les milieux autres (la plupart des milieux matériels, isolants, eau, verre…), ces équations sont encore valables, mais on leur
préfère une formulation plus pratique (programme de PC).
Les équations de Maxwell ont été postulées. Elles constituent la base de la théorie actuelle de l’électromagnétisme (sous la
forme où elle a été développée à partir des années 1860 et qui reste vérifiée à ce jour par des tests expérimentaux
extrêmement précis).
Remarques :
r r
r r
r r r
Dans ces équations, à part le champ [ E ( r ,t), B ( r ,t)] et sa source D = [ρ( r , t ), j ( r , t )] , seules figurent les constantes :
µ 0=4π.10-7SI (valeur exacte résultant de la définition de l’ampère) et ε0 dont on pourra retenir la valeur approchée :
ε0 ≈
1
36π.109
S.I.
Les équations du flux magnétique et de Maxwell Gauss sont des équations scalaires, les autres sont des équations
vectorielles, soit en tout 8 équations locales scalaires aux dérivées partielles entre 6 dérivées partielles par rapport au
temps et 18 dérivées partielles par rapport aux coordonnées d’espace ((3+3)*3=18).
Les équations du flux magnétique et de Maxwell Faraday expriment des propriétés intrinsèques du champ, les
équations de Maxwell Gauss et de Maxwell Ampère explicitent la liaison entre le champ et sa source.
Les équations de Maxwell sont linéaires : si on connaît une solution C1 pour D1 et une solution C2 pour D2, alors
α1C1+α2C2 est une solution pour α1D1+α2D2. Ce résultat dans le cas α1=α2=1 correspond au théorème de
superposition.
En exprimant la divergence membre à membre pour MA, on obtient :
r
r
r
r
r ∂ρ
r
 ∂E 
∂ (divE)


div rotB = div j + div ε 0
⇔
0
=
div
j
+
ε
⇔
div
j+
=0
0

∂t
∂t
 ∂t 
( )
On retrouve l’équation de conservation de la charge : il n’est donc pas nécessaire d’ajouter la conservation de la
charge aux postulats de l’électromagnétisme car elle découle des équations de Maxwell.
r
Calculons à partir de la loi de Lorentz, la force d F qui s’exerce à l’instant t sur l’ensemble des particules porteuses de
charge contenue dans un volume élémentaire dτ centré au point M.
r
Ce volume contient νkdτ particules de type « k », de charge individuelle qk et de vitesse v k. L’ensemble a une charge
νkqkdτ et subit des forces de Lorentz de somme :
r
r r r
d F k= νkqkdτ ( E + v k∧ B )
Les équations de Maxwell (elm 4)
4
En sommant les contributions des divers types « k » de porteurs, puis en divisant par dτ, on obtient l’expression de la
force électromagnétique volumique (force s’exerçant sur l’unité de volume de matière) :
r
r
r r r
dF
fv =
= ρE + j ∧ B
dτ
Les équations de Maxwell Faraday et Maxwell Ampère jouent un rôle symétrique en ce sens qu’elles contiennent
r
r
toutes deux un champ et la dérivée temporelle de l’autre. Elles expriment le couplage entre les champs E et B qui est
r r
r r
à l’origine de la nécessité de considérer en régime variable, le champ électromagnétique [ E ( r ,t), B ( r ,t)] comme une
entité indissociable .
En régime stationnaire, elles deviennent MFs et MAs, le couplage disparaît, il est possible de séparer les équations en
r r
deux couples et d’étudier séparément le champ électrique permanent E ( r ) dont la source est constituée d’une
r r
r
distribution de charge permanente ρ( r ) et le champ magnétique permanent B ( r ) dont la source est une distribution
r r
de courants permanents j ( r ).
ρ
 r
divE = ε

0
 r r
rotE = 0

r
r
rotB = µ j
0


r
divB
=0

en régime permanent
équation de Maxwell Gauss (MG )
équation de Maxwell Faraday en régime permanent (MFs )
équation de Maxwell Ampère en régime permanent (MAs )
équation du flux magnétique (Mφ)
r r
Le domaine de l’électrostatique correspond à j = 0
2.
Contenu physique des équations de Maxwell : forme intégrale
a)
Equation de Maxwell Gauss : théorème de Gauss
Soit un volume V limité par une surface fermée Σ. D’après l’équation de Maxwell Gauss :
r r
ρ
r
∫∫ E.dS = ∫∫∫ divEdτ = ∫∫∫ ε0 dτ =
Σ
V
V
Qint
ε0
On retrouve le théorème de Gauss (contenu physique de MG).
Remarques :
en sup, le théorème de gauss est démontré à partir de la loi de Coulomb prise comme postulat de l’électrostatique. en
r
proposant Maxwell Gauss, Maxwell a postulé que cette propriété du flux de E reste valable en régime non
r
permanent, et pour des charges en mouvement, alors que le champ E de celles-ci n’est plus donné par la loi de
coulomb.
r
En régime permanent, les équations de Maxwell expriment que seules les charges ρ jouent pour E le rôle de source :
en électrostatique en particulier, les lignes de champ divergent à partir des charges « + » à la manière d’un fluide
sortant d’une source et convergent sur les charges « - » comme un fluide s’engouffrant dans un puits.
r
L’équation de Maxwell Gauss reste valable en régime non permanent, bien que ρ ne soit plus la seule source de E .
Un champ magnétique variable dans le temps est source de champ électrique (MF). Les cartes de champ
r
électrique n’ont plus nécessairement la même allure. La divergence de E est toujours liée à ρ seul, mais en plus, les
r
r
lignes de champ de E ont un caractère tourbillonnaire autour de la direction de la partie variable de B .
Les équations de Maxwell (elm 4)
5
Equation de Maxwell du flux magnétique (Mφ
φ) : conservation du flux
magnétique
b)
De Mφ, on déduit, avec le théorème de green Ostrogradsky :
r r
r
∫∫ B.dS = ∫∫∫ divBdτ = 0 : le champ magnétique est à flux conservatif.
Σ
V
r
Le flux magnétique se conserve à chaque instant à travers une section d’un tube de champ B : φ1=φ2.
On peut définir le flux magnétique à travers un contour sans préciser la surface qui s’appuie sur celui-ci.
r
Les lignes de champ magnétique s’écartent quand on va vers des régions de B moins intense.
Remarque :
La conservation du flux magnétique a été vue en sup en magnétostatique. L’équation (Mφ) postule, en accord avec
l’expérience, que cette propriété s’étend au cas des régimes non permanents.
r
r
La comparaison avec l’équation de Maxwell Gauss montre que le champ B n’a pas de sources qui joueraient pour B
r
le rôle que les charges électriques ρ jouent pour E : il n’existe pas de « charges magnétiques ».
c)
Equation de Maxwell Ampère : théorème d’Ampère généralisé
Soit Γ un contour sur lequel s’appuie une surface Σ :
r
r r
r r
r
∂E  r

∫ B.d l = ∫∫ rotB.dS = µ 0 ∫∫  j + ε0 ∂t .dS

Γ
Σ
Σ 
r
r r
r r
r
r r
∂E
∫ B.d l = µ 0 (i + i D ) avec i = ∫∫ j.dS et i D = ∫∫ jD .dS où jD = ε0 ∂t
Γ
Σ
Σ
r r
cas particulier du régime permanent : on retrouve le théorème d’Ampère
∫ B.d l = µ 0i
Γ
r
j joue pour le champ magnétostatique, le rôle de source. Le champ magnétostatique tourbillonne autour des courants qui
sont sa source.
r
r
r
∂E
jD = ε0
joue aussi, et au même titre qu’un courant, le rôle de source pour B : un champ électrique
∂t
variable est une source de champ magnétique. Le champ magnétique tourbillonne aussi autour de la direction de la
r
partie variable de E .
cas général :
Remarque : chacun des termes du deuxième membre dépend de la surface Σ (pour un contour Γ donné). En régime
r
variable, j n’est plus à flux conservatif.
d)
Equation de Maxwell Faraday : loi de Faraday
De MF on déduit, avec le théorème de Stokes Ampère:
∫
Γ
r r
E.d l =
∫∫
Σ
r r
rotE.dS = −
∫∫
r

 ∂B  r
.dS = − d 

 ∂t 
dt 



∫∫
Σ
r r
B.dS 


On aboutit à la loi de Faraday de l’induction :
Les équations de Maxwell (elm 4)
6
e=−
r r
e = E.d l fem d' induction, en volts
∫

Γ
r r

φ = ∫∫ B.dS flux magnétique à travers Γ , indépendant de Σ

Σ
dφ
avec
dt
cas particulier du régime permanent (incluant l’électrostatique) :
∫
r r
E.d l = 0 :
Le champ électrique en régime permanent est à circulation conservative.
r
On montre que ceci équivaut à l’existence d’un potentiel scalaire : ∃V / E = −gradV
cas général : cf chapitre 9 (dans le cadre restreint de l’ARQS); e est la force électromotrice (fém) induite sur Γ: dans le cas
où Γ est un circuit électrique filiforme, il se comporte comme un générateur électrique de fém e.
Un champ magnétique variable dans le temps est source d’un champ électrique à circulation non conservative.
3.
Propagation du champ électromagnétique
Imaginons autour d’un point O, une petite distribution de charges D dont les densités sont des fonctions du temps (ex :
dipôle oscillant : décrit le comportement d’une petite antenne métallique rectiligne).
r
r
Selon (MG) et (MA), D est la source de champs E et B variables dans le temps, non uniformes, qui vont s’établir dans
r
r
tout le voisinage de O (si E et B étaient uniformes, div et rot seraient nuls).
r r
Un point M de ce voisinage, bien que situé hors de D, (ρ=0, j = 0 ) est lui-même source de champs en raison des termes
r
r
en ∂B / ∂t et ∂E / ∂t qui jouent le rôle de source dans MF et MA respectivement. Les points tels que P du voisinage de M
sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources de champs variables dans le temps…
r
r
Le couplage introduit dans les équations de Maxwell par les termes ∂B / ∂t et ∂E / ∂t est à l’origine des
phénomènes de propagation.
Nous allons vérifier ceci avec l’artillerie lourde des mathématiques.
Auparavant, on peut rappeler une représentation imagée des phénomènes de propagation : soient deux bouchons O et P
flottant sur l’eau et initialement immobiles. Une oscillation verticale de O engendre des oscillations de l’eau qui se
transmettent de proche en proche dans toutes les directions, jusqu’à ce que celles-ci atteignent P qui est alors mis en
mouvement.
La particularité des ondes électromagnétiques est de pouvoir se propager sans support matériel (dans le vide), ce qui, à
l’époque de l’élaboration des équations de Maxwell, était inconcevable!
Prenons le rotationnel membre à membre de l’équation de Maxwell Faraday (MF) :
r
r
 ∂B 

rot rotE = rot −

 ∂t 
( )
⇔
r
r
r
∂ (rotB)
grad divE − ∆E = −
∂t
(
)
r
r
ρ
∂   r
∂E 
On obtient en utilisant (MG) et (MA) : grad  − ∆E = − µ 0  j + ε0

∂t  
∂t 
 ε0 
r
r
r
∂ 2E
ρ
∂j
∆E − ε 0µ 0 2 = grad + µ 0
ε0
∂t
∂t
Les équations de Maxwell (elm 4)
7
r
équation de propagation du champ E
r r
Dans le vide, c’est-à-dire dans une région sans charge et sans courant (ρ=0, j = 0 ), cette équation de propagation
s’écrit :
r
r
∂ 2E r
∆E − ε0µ 0 2 = 0
∂t
r r
r
équation de propagation du champ E dans le vide (ρ=0, j = 0 )
Prenons le rotationnel membre à membre de l’équation de Maxwell Ampère (MA) :
r
r
 r
∂E  

rot rotB = rot µ 0  j + ε0

 
∂t  
 
r
r
r
r
∂ (rotE )
grad divB − ∆B = ε0µ 0
+ rot (µ 0 j)
∂t
( )
(
)
r
r
r
r
∂  ∂B 
On obtient en utilisant (Mφ) et (MF) : grad 0 − ∆B = µ 0ε0 −
 + µ 0 rot j
∂t  ∂t 
()
r
r
r
∂ 2B
∆B − ε0µ 0 2 = −µ 0 rot j
∂t
r
équation de propagation du champ B
Dans le vide, cette équation s’écrit :
r
r
∂ 2B r
∆B − ε0µ 0 2 = 0
∂t
r r
r
équation de propagation du champ B dans le vide (ρ=0, j = 0 )
conclusion
r
r
Dans le vide, les six composantes de E et B vérifient l’équation suivante, dite « équation classique des ondes » ou
« équation de d’Alembert » ou « équation des cordes vibrantes » (établie au 18ème par D’Alembert pour modéliser les
vibrations d’une corde tendue) :
∆s −
1 ∂ 2s
1
= 0 avec pour les composantes du champ électromagnétique
= ε0µ 0
v²
v 2 ∂t 2
Les solutions de cette équation étaient déjà connues à l’époque de Maxwell (la grandeur s se propage à la vitesse v).
Maxwell constate donc que sa théorie prédit une propagation du champ électromagnétique à la vitesse :
v=
1
ε 0µ 0
≈ 310 000 km / s , avec les valeurs de ε0 et µ0 mesurées à l’époque
Par ailleurs Huygens et Fresnel ont été conduits à faire une théorie ondulatoire de la lumière (étude des phénomènes
d’interférences et de diffraction) et Fizeau mesure en 1851 la célérité de la lumière : c≈315 000 km/s
Comparant ces valeurs, Maxwell propose d’admettre la nature électromagnétique de la lumière : il identifie c et v. Ce
n’était pas du tout évident à l’époque : l’électromagnétisme et l’optique étaient étudiés séparément! La lumière constitue
un cas particulier d’onde électromagnétique (fréquences de l’ordre de 1015 Hz).
Remarque 1: la valeur de la célérité de la lumière ne se mesure plus puisque elle a été définitivement fixée par la définition
du mètre en 1983 c=2,997 924 58.108 m/s.
Remarque 2 : D’après les équations de Maxwell, les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide à une célérité
indépendante de leur nature et du référentiel; ceci va à l’encontre des lois de la mécanique classique. C’est ce qui a conduit
Einstein à construire la théorie de la relativité. Il a montré entre autres, que la célérité de la lumière c s’identifie à la limite
supérieure de la vitesse de tout objet ainsi que de la vitesse de propagation de toute information.
Les équations de Maxwell (elm 4)
8
III.
Résolution des équations de Maxwell
r
r
On a trouvé des équations découplées pour E et B mais elles sont du second ordre, et dans un milieu autre que le vide,
r
elles sont encore compliquées : chacune fait intervenir simultanément ρ et j .
r
On a vu en sup que le champ électrostatique E dérive d’un potentiel scalaire V : la connaissance de ce potentiel permet de
r
calculer le champ électrostatique par E = −gradV . Cette méthode est généralisable à un champ électromagnétique
quelconque : on obtient, en introduisant également un potentiel vecteur, une solution de principe.
rappel mathématique
1.
r r
r
rota = 0 ⇔ ∃ϕ / a = gradϕ
r
r r
r
divb = 0 ⇔ ∃a / b = rota
Existence d’un couple de potentiels dont dérive le champ électro
magnétique
r
r
L’équation du flux magnétique (Mφ) montre qu’il existe un champ de vecteur tel que B = rotA (même en régime
permanent d’ailleurs).
En reportant dans l’équation (MF), on déduit :
r
r
r
r
r ∂A
 r ∂A 
∂
 = 0 ⇔ ∃ψ / E +
rotE = − rotA ⇔ rot E +
= gradψ

∂t
∂t 
∂t

( )
On pose ψ=-V pour retrouver le cas particulier de l’électrostatique.
Les équations de Maxwell du flux magnétique (Mφ) et de Maxwell Faraday (MF) autorisent donc l’introduction d’un
r r
r
couple de potentiels [V( r ,t); A ( r ,t)] à partir desquels le champ électromagnétique peut être calculé :
r
r
∂A
E = −gradV −
∂t

r
r
B = rotA
r r
r r
r r
r
Le champ électromagnétique [ E ( r ,t); B ( r ,t)] dérive d’un couple de potentiel [V( r ,t); A ( r ,t)] appelés respectivement
potentiel scalaire et potentiel vecteur.
r
régime permanent : on retrouve bien E = −gradV
r
r
∂A
régime variable : E comporte une partie à circulation non conservative −
appelée champ électromoteur de Neumann,
∂t
qui agit sur les électrons libres d’un conducteur et explique l’apparition de courants induits dans un conducteur placé dans
r
un champ magnétique variable B (t).
r
r
Remarque : non unicité du couple de potentiels. Le potentiel vecteur A est défini à un gradient additif près : si A 0 est un
r r
potentiel vecteur, alors A = A 0 + gradϕ en est un également (ils ont même rotationnel), et si V0 est un potentiel scalaire, la
r
r
r
r
∂ϕ
fonction V = V0 −
en est un également (V et A donnent les mêmes E et B que V0 et A 0). Cette non unicité des
∂t
potentiels n’a rien de gênant car il s’agit d’intermédiaires de calcul.
On peut donc imposer au couple de potentiels une condition supplémentaire dite « condition de Jauge ». Diverses jauges
sont utilisées en fonction des simplifications de calculs visées. Par exemple, parmi les couples de potentiels d’un champ
r 1 ∂V
r
donné, il en existe un satisfaisant à la condition de jauge de Lorentz : divA +
= 0 . (En statique elle s’écrit div A =0.)
c² ∂t
Les équations de Maxwell (elm 4)
9
2.
Equation de propagation des potentiels
En introduisant les potentiels dans l’équation de Maxwell Gauss (MG), on déduit, avec la condition de Jauge de Lorentz :
équation de propagation du potentiel scalaire V, avec la condition de Jauge de Lorentz : ∆V −
1 ∂ ²V
ρ
=−
c² ∂t ²
ε0
De même, en introduisant les potentiels dans l’équation de (MA), on déduit, avec la condition de Jauge de Lorentz :
r
r
r
r
∂²A
équation de propagation du potentiel vecteur A , avec la condition de Jauge de Lorentz ∆A − µ 0ε 0
= −µ 0 j
∂t ²
Rappelons qu’il s’agit de trouver une solution pour les potentiels et d’en déduire le champ électromagnétique. On peut
r
r
remarquer que les équations de propagation des potentiels sont plus simples que celles obtenues pour E et B : on n’en a
r
que 4, et les densités ρ et j interviennent de façon découplée.
3.
Solutions
a)
Cas du régime permanent
Le potentiel V est solution de ∆V = −
ρ
. On retrouve l’équation de Poisson, vue en électrostatique.
ε0
On admet que pour une distribution source ρ(P) donnée, D, d’extension finie, la solution V(M) astreinte à être nulle à
l’infini est unique et vaut :
V(M ) =
1
4πε 0
∫∫∫
P∈D
ρ(P)dτ
potentiel absolu d’une distribution permanente de charges, d’extension finie
PM
r
r
r
Le potentiel vecteur est solution de ∆A = −µ 0 j : pour chaque composante de A , on a une équation de la même forme
que pour V, à la transposition près suivante : ρ ↔ jx , V ↔ A x ,
r
µ
A(M) = 0
4π
∫∫∫
P∈D
1
↔ µ 0 . On en déduit la solution :
ε0
r
j(P)dτ
potentiel vecteur d’une distribution permanente de courants, d’extension finie
PM
On peut établir la formule de Biot et Savart (valable uniquement en régime permanent) à partir de cette solution.
b)
Cas général : solution des potentiels retardés
Dans le cas d’un régime quelconque, on montre qu’une solution physiquement acceptable, dite « solution des potentiels
retardés » est la suivante :
1
V ( M, t ) =
4πε 0
∫∫∫
PM
) dτ
c
PM
ρ(P, t −
P∈D
et
r
µ
A ( M, t ) = 0
4π
∫∫∫
P∈D
r
PM
j (P, t −
)d τ
c
PM
r
Ces solutions s’obtiennent formellement à partir des potentiels permanents en remplaçant ρ(P,t) et j (P,t) par leur valeur à
des instants affectés des retards ∆t=PM/c.
Tout se passe comme si les potentiels correspondaient à la superposition de signaux envoyés vers M par les diverses
sources P de D et se propageant tous à la vitesse c.
Les solutions des « potentiels retardés » sont liées à la flèche du temps, comme le second principe.
Les équations de Maxwell (elm 4)
10
4.
Approximation des régimes quasi stationnaires : ARQS (ou ARQP)
a)
Définition
C’est l’approximation consistant à négliger les phénomènes de propagation, c’est-à-dire les retards qui figurent dans les
expressions ci-dessus (i.e. à considérer : PM/c<<t). On peut donc utiliser en régime non permanent mais « quasipermanent », les potentiels instantanés suivants :
r
r
µ0
j (P, t )dτ
1
ρ(P, t )dτ
Dans l’ARQS
V ( M, t ) =
et A (M, t ) =
4πε 0
PM
4π
PM
∫∫∫
P∈D
∫∫∫
P∈D
r
r
∂A
E = −gradV −
tout en calculant les champs par : 
∂t
r
r
B = rotA
b)
Domaine de validité de l’ARQS
L’ARQS consiste à négliger les temps de propagation SM/c devant les temps caractéristiques de l’évolution de la
distribution source D, par exemple devant sa période si cette évolution est périodique, ou devant son temps de relaxation si
cette évolution est transitoire.
Cas d’une évolution périodique : SM/c«λ/c, soit SM«λ
L’ARQS est donc valable pour le champ électromagnétique d’une distribution D variant dans le temps avec une fréquence
ν, en un point M tel que SM soit faible devant λ=c/ν.
courants industriels : ν=50Hz; λ=6000km : l’ARQS est excellente (loi des nœuds, champ d’un solénoïde)
limite supérieure des générateurs utilisés en TP : ν=10MHz; λ=30m : l’ARQS reste valable
hyperfréquences : ν>1GHz; λ=30cm : ondes centimétriques. Les phénomènes de propagation jouent un rôle essentiel
(radio, TV, lumière, micro ondes, IR) et on ne peut en aucun cas les négliger.
c)
Champ magnétique dans l’ARQS
r
r
r
Le potentiel A a la même structure qu’en régime permanent, par suite B = rot A a même structure qu’en régime
r
r
permanent; il vérifie donc rot B =µ 0 j :
r
Dans l’ARQS, B vérifie les lois de la magnétostatique
d)
Les courants dans l’ARQS
r
r
∂E
D’après ce qui précède, dans l’ARQS, on néglige la densité volumique de courant de déplacement jD = ε0
devant la
∂t
r
r
r
densité volumique de courant j . L’équation de Maxwell Ampère s’écrivant : rot B =µ 0 j , on voit, en prenant la
r
divergence, que le caractère conservatif de l’intensité (flux de j ) et ses conséquences (loi des nœuds) sont valables dans
l’ARQS comme en régime permanent.
e)
Champ électrique dans l’ARQS
Le potentiel V a même structure qu’en régime permanent, mais le champ électrique n’est pas identique à celui du régime
r
permanent : il en diffère par le terme − ∂A / ∂t (champ électromoteur de Neumann) qui traduit le phénomène d’induction.
Les équations de Maxwell (elm 4)
11
f)
Récapitulation : les équations de Maxwell dans l’ARQS
Finalement, dans l’ARQS, la seule simplification dans les équations de Maxwell est de négliger la densité volumique de
r
courant de déplacement ε0∂E / ∂t .
Le seul changement par rapport au cas du régime permanent est dans l’équation de Maxwell Faraday (MF) : dans l’ARQS,
on prend en compte les phénomènes d’induction mais on néglige les phénomènes de propagation (cadre des TP).
r
divB = 0


r
 r
∂B
rot
E
=
−

∂t

 r ρ
divE =
ε0

r
 r
rotB = µ 0 j
IV.
équation du flux magnétique (MφARQS )
équation de Maxwell Faraday (MFARQS )
équation de Maxwell Gauss (MG ARQS )
équation de Maxwell Ampère (MA ARQS )
Comportement des champs et potentiels à la traversée d’une nappe
de charges et de courants surfaciques : relations de passage
Les équations de Maxwell décrivent le champ créé par des distributions volumiques de charges et de courants, qui, seules,
ont une réalité physique.
Dans certains cas, lorsque les sources sont localisées au voisinage d’une surface, il est pratique de les modéliser par des
répartitions surfaciques.
Dans ce cas, les équations de Maxwell (valables pour toutes distributions réelles, c’est-à-dire volumiques), doivent
être remplacées par des relations de passage (valables uniquement en cas de modélisation surfacique).
1.
Définitions
a)
Densité surfacique de charges
Soit une distribution de charges (réelle, donc volumique) répartie sur une fine pellicule d’épaisseur 2ε au voisinage d’une
surface Σ, délimitant deux faces notées (1) et (2).
r
Au voisinage de chaque point M, on peut définir une normale u z à la surface (orientée par exemple du côté (1) vers le
côté (2)) et deux point M1 et M2 situés aux bords de la distribution sur cette normale.
On définit la densité surfacique de charge σ en M en calculant la charge dq portée par un cylindre droit autour de M, de
r
génératrice u z de section dS de la pellicule et en la mettant sous la forme σdS :
dq =
∫
d ²q =
∫
(1)
ρ(P)dSdz = dS
∫
M2
M1
ρ(P)dz de la forme σdS avec : σ =
Σ
M1
-ε
M
M2
0
ε
ρ(z)dz
(1)
dS
(2)
M
uz
uz
Distribution réelle
Les équations de Maxwell (elm 4)
M1
Σ
(2)
dS
∫
M2
Modèle surfacique
12
Souvent on suppose la répartition uniforme le long de la normale : σ(Μ)=(2ε)ρ(M)
Le modèle de la distribution surfacique correspond à la limite de cette expression lorsque l’épaisseur 2ε tend vers 0. (Le
produit de 2ε par ρ, σ, restant fini, on remarque que le modèle surfacique correspond à une densité volumique ρ tendant
vers l’infini).
b)
Densité surfacique de courant
Soit une distribution de courants (réelle, donc volumique) répartie sur une fine pellicule d’épaisseur 2ε au voisinage d’une
surface Σ, délimitant deux faces notées (1) et (2).
r
Au voisinage de chaque point M, on peut définir une normale n (M) à la surface (orientée par exemple du côté (1) vers le
côté (2)) et deux point M1 et M2 situés aux bords de la distribution sur cette normale. On la note Mz ici.
r
La pellicule étant fine et les charges ne pouvant pas sortir de la distribution, le vecteur densité de courant j en M et au
voisinage de M est tangent à Σ. Notons par exemple Mx sa direction (perpendiculaire au plan de la figure).
r
Considérons une section dS de la pellicule de courant (dans le plan de la figure), perpendiculaire à j , de largeur 2ε
(l’épaisseur de la pellicule) et de longueur dy.
Σ
dS
(1)
M1
-ε
dy
Σ
(2)
(1)
j
M
jS
M2
ε
0
(2)
z
dy
M
z
ux
dz
Distribution réelle
Modèle surfacique
r
On définit la densité surfacique de courant j S en M en calculant l’intensité di du courant traversant dS et en la mettant
r
sous la forme jS dy :
r r
di = j.dS =
∫
∫
r
r
r
j dy.dz.u x = dyu x
∫
M2
M1
r
r r
j dz de la forme dyu x . jS avec
M2
r
r
js (M ) = j dz
∫
M1
r
r
Souvent on suppose la répartition uniforme le long de la normale : j s(Μ)=(2ε) j (M)
Le modèle de la distribution surfacique correspond à la limite de cette expression lorsque l’épaisseur 2ε tend vers 0. (Le
r r
produit de 2ε par j , js , restant fini, on remarque que le modèle surfacique correspond à une densité volumique de courant
r
j tendant vers l’infini).
2.
Relations de passage
Au voisinage de M, on peut assimiler la pellicule portant les charges et les courants à son plan tangent et adopter un
r
système de coordonnées cartésiennes dont u z est la normale en M à ce plan, orientée de (1) vers (2).
Pour chacune des composantes des champs, on cherche sa variation lors de la traversée de la distribution surfacique :
ε
Pour s= Ex,…Bz, on cherche
 ∂s 
∆s = s 2 − s1 = lim s(M 2 ) − lim s(M 1 ) = lim{s(ε) − s(−ε)} = lim  dz
M 2 →M
M1 → M
ε →0
ε→0  ∂z 
−ε
∫
Dans le modèle surfacique,
Une composante s peut présenter une discontinuité à la traversée de la nappe, ce qui correspond à un ∆s non nul, ou
encore à une dérivée ∂s / ∂z non bornée.
Les équations de Maxwell (elm 4)
13
Les dérivées ∂s / ∂x , ∂s / ∂y et ∂s / ∂t sont bornées puisque dans les directions Mx et My et au cours du temps, les
causes des champs (c’est-à-dire les charges et les courants) étant continues, les champs sont continus.
a)
Relation de passage correspondant à l’équation de Maxwell Gauss
On part de l’équation de Maxwell Gauss :
r
ρ
∂E x ∂E y ∂E z
ρ
divE =
⇔
+
+
=
ε0
∂x
∂y
∂z
ε0
Intégrons sur l’épaisseur de la couche de passage et faisons tendre ε vers 0, pour passer au modèle surfacique :
ε
 ∂E x ∂E y ∂E z
∫  ∂x + ∂y + ∂z
−ε
ε

ρ
dz = ∫ dz

ε

−ε 0
ε
ε
∂E y
ρ
∂E x
 ∂E 
et
étant bornés, les deux premiers termes tendent vers 0 quand ε tend vers 0 : lim ∫  z dz = lim ∫ dz
ε
→
0
ε
→
0
∂x
∂y
∂z 
ε
− ε
−ε 0
∆E z =
σ
ε0
Remarque : ∆Εz≠0 : on dit que la composante normale du champ électrique subit une discontinuité à la traversée d’une
nappe de charge. Cette discontinuité est due à la modélisation forte « distribution surfacique ». Pour une distribution
réelle, donc volumique, Ez(z) est continue, même si elle peut varier fortement à la traversée d’une distribution d’épaisseur
faible dans la direction Mz (grande variation sur une épaisseur faible devient « discontinuité à la traversée d’une
distribution surfacique »).
b)
Relations de passage correspondant à l’équation de Maxwell Ampère
On trouve de même en intégrant (MA) sur la couche de passage et en passant à la limite ε0 :
ε
avec jS x = ∫ jx (z)dz
∆By = −µ 0 jS x
c)
∆Bx = 0
et
−ε
Relation de passage correspondant à l’équation de Maxwell (Mφ
φ)
On trouve de même en intégrant (Mφ) sur la couche de passage et en passant à la limite ε0 :
∆Bz = 0
d)
Relation de passage correspondant à l’équation de Maxwell Faraday
On trouve de même en intégrant (MA) sur la couche de passage et en passant à la limite ε0 :
∆E x = ∆E y = 0
3.
Récapitulation avec notations intrinsèques
r
r
Indiçons par N (normale) les composantes sur u z = n1→ 2 et par T (tangentielle), les composantes dans le plan xOy.
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Rappel E = E N + E T où E N = E N N = E z u z et E T = E T T = E x u x + E y u y idem pour B .
avec σ = lim
∫
ε
ε→0 − ε
r
ε r
ρ(z)dz et jS = lim ∫ j(z)dz
ε →0 − ε
r
r
M φ ⇒ ∆B N = 0
r
r
MF ⇒ ∆E T = 0
r
σ r
MG ⇒ ∆E N = n1→ 2
ε0
r r
r
MA ⇒ ∆BT = µ 0 jS ∧ n1→ 2
Les potentiels, primitives des champs, sont continus : ∆V=0
Les équations de Maxwell (elm 4)
14
et
r r
∆A=0
r σ r
: ∆E = n1→ 2
ε0
et
r r
r
∆B = µ 0 jS ∧ n1→ 2