04Les équations de Maxwell new

Les équations de Maxwell (elm 4) 1
L’électromagnétisme a pour objet l’étude des interactions entre particules chargées. Ce chapitre généralise les notions
introduites en régime indépendant du temps au cas des régimes variables.
On a vu qu’en régime statique, l’étude des champs
E
r
et
B
r
peut se faire séparément (absence de couplage). Nous allons
voir qu’en régime variable, il en est autrement : les champs
E
r
et
B
r
sont indissociables, on parle de « champ
électromagnétiques ».
I. Sources de champ électromagnétique
1. Rappels
Les sources de champ électromagnétique sont des distributions de charges et de courants : )]t,r(j),t,r([D
r
r
r
ρ=
a) Densité de charges
Soit un point P de l’espace et un volume δτ autour de P. La densité volumique de charge en P à l’instant t est :
δτ
δ
=
δτ
δ
=
τ
=ρ
∑
→δτ→δτ
ktype kk
00
qn
lim
q
lim
d
dq
)t,P(
où δn
k
est le nombre de porteurs de charge de type « k » dans δτ.
C’est une grandeur nivelée (moyennée) : on considère la matière comme un milieu continu, en ignorant la structure
atomique. Il est sera de même pour les composantes de j
r
,
E
r
et
B
r
.
Posons
δτ
δ
=ν
→δτ
k
0
k
n
lim)t,P( : ν
k
est la densité particulaire des porteurs de type « k » (en m
-3
).
La densité volumique de charge s’écrit donc :
∑∑
ρ=ν=ρ
ktype kk ktype k
q)t,P( où ρ
k
=q
k
ν
k
est la densité volumique des charges de type k.
b) Densité de courant
rappel : Par définition, l’intensité du courant à travers une surface Σ orientée est :
dt
Q
)t(i
δ
=
Σ
charge algébrique traversant Σ dans le sens « + » par unité de temps.
∑∑
δ=δ=δ
ktype kk ktype k
qnQQ où δ Q
k
est la charge des porteurs k traversant Σ entre t et t+dt, δ n
k
leur nombre.
Nous avons vu dans le chapitre précédent que l’intensité du courant qui traverse la surface Σ à l’instant t est le flux à
travers celle-ci du vecteur densité de courant (dont la norme s’exprime donc en A.m
-2
.)
LES ÉQUATIONS DE MAXWELL

Les équations de Maxwell (elm 4) 2
∫∫∫∫
Σ∈Σ∈
==
PP
)P(Sd).P(jdii
r
r
avec
∑
=
ktype k
)P(j)P(j
r
r
vecteur densité volumique de courant en P à t.
où )P(v)P()P(v)P(q)P(j
kkkkkk
r
r
r
ρ=ν= vecteur densité de courant des porteurs de type « k »
)P(q)P(
kkk
ν=ρ densité volumique de charge des porteurs de type « k »
Exemple d’un conducteur métallique
Il comporte deux types de porteurs de charge :
 type « 1 » : les cations, fixes, de charge q
1
=ze (z entier)
 type « 2 » : les électrons libres, de charge q
2
=-e
La densité de charge s’exprime
)z(eqq
21221121
ν−ν=ν+ν=ρ+ρ=ρ
Pour un conducteur en équilibre électrostatique, ρ=0
La densité de courant est :
2222
vqjj
r
r
r
ν==
(les cations du réseau étant fixes j
r
1
= 0
r
)
2. Equation locale de conservation de la charge
On cherche une relation entre ρ et j
r
(si ρ varie, c’est que le vecteur j
r
est non nul).
Soit un volume V limité par une surface fermée Σ. Soit Q(t) la charge contenue à l’instant t dans le volume V, dQ sa
variation entre t et t+dt.
Exprimons que la charge est une grandeur conservative :
dQ=δQ
r
+δQ
p
=δQ
r
Il n’y a pas d’apparition ou de disparition de charges δQ
p
=0. La variation entre t et t+dt de la charge contenue dans V est
égale à la charge algébriquement reçue par V.
 la charge algébriquement reçue par V est la charge algébriquement entrée dans V entre t et t+dt par son enveloppe
Σ, i.e. à l’opposé de la charge algébriquement sortie de V par Σ.
δQ
r
=δQ
entrant
=-δQ
sortant
Or la charge qui sort de V (en traversant Σ) entre t et t+dt, δQ
sortant
s’écrit, puisque la surface fermée Σ est orientée
vers l’extérieur :
∫∫
Σ
Σ
==δ Sd.jdtdtiQ
ttansor
r
r
 La variation de la charge Q contenue dans V entre les instants t et t+dt s’écrit,
∫∫∫∫∫∫
τ
∂ρ∂
=
τρ==−+=
VV
d
t
dtd
dt
d
dtdt
dt
dQ
)t(Q)dtt(QdQ
La conservation de la charge s’écrit donc :
∫∫∫∫∫
Σ
−=τ
∂
ρ
∂
Sd.jdtd
t
dt
V
r
r

Les équations de Maxwell (elm 4) 3
En simplifiant par dt et en utilisant le théorème d’Ostrogradski pour convertir l’intégrale de surface en intégrale de
volume, on obtient :
0d
t
jdivsoitdjdivd
t
VV V
=τ
∂ρ∂
+τ−=τ
∂ρ∂
∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫
r
r
Cette intégrale est nulle quel que soit le volume V considéré. En prenant pour V un volume élémentaire centré sur un point
M et en faisant tendre ce volume vers zéro, on montre que l’intégrant doit être nul. On obtient ainsi :
équation locale de conservation de la charge : jdiv
t
r
=
∂
ρ
∂
−
« La diminution de la charge contenue dans V est égale à ce qui sort de V à travers sa frontière Σ».
Remarque : une telle forme d’équation se retrouve couramment quand on fait le bilan d’une grandeur extensive
conservative (c’est-à-dire pour laquelle il n’y a pas de terme de production) : équation locale de conservation de la masse
en mécanique des fluides, équation de la diffusion de particules, équation de la diffusion thermique…
3. Cas du régime permanent (stationnaire)
Les champs (scalaires et vectoriels) ont alors, par définition du régime permanent, des dérivées partielles par rapport au
temps nulles.
En particulier on a en régime permanent 0
t= ∂ρ∂
, soit, d’après l’équation de conservation de la charge :
0jdiv =
r
: j
r
a une divergence nulle
ou encore, ce qui est équivalent :
0Sd.j =
∫∫
Σ
r
r
: j
r
est à flux conservatif
l’intensité du courant à travers une surface fermée quelconque est nulle.
conséquences : en régime permanent
 On parle de l'intensité qui traverse un contour Γ sans préciser la section.
 L’intensité a même valeur à travers toutes les sections d’un tube de courant.
 Le long d’un tube de champ de j
r
(appelé tube de courant), j
r
devient plus intense quand le tube se rétrécit (quand les
lignes de champ se resserrent).
 Une branche d'un circuit étant un tube de courant, on parle de l'intensité dans une branche.
 Loi des nœuds en un nœud N où se joignent p branches : 0i
kbranche k
=
∑
, toutes les branches étant orientées vers N (où
toutes hors N).
II. Les équations de Maxwell
1. Postulat
Soit )]t,r(j),t,r([D
r
r
r
ρ= une distribution (volumique) de charges et de courants. La force exercée par D sur une charge
ponctuelle q située à l’instant t en un point M(
r
r
) et possédant un vecteur vitesse v
r
est donné par la formule de Lorentz :
F
r
=q[
E
r
(
r
r
,t)+ v
r
∧
B
r
(
r
r
,t)]

Les équations de Maxwell (elm 4) 4
où [
E
r
(
r
r
,t),
B
r
(
r
r
,t)] est le champ électromagnétique créé en M par D. Ce champ vérifie le système suivant dit
« équations locales de Maxwell » :
∂
∂
ε+=
φ=
∂
∂
−=
ε
ρ
=
(MA) Ampère Maxwellde équation rot
)(M magnétique fluxdu équation
(MF)Faraday Maxwellde équation rot
)(M Gauss Maxwellde équation
t
E
jµB
0Bdiv
t
B
E
GEdiv
00
0
r
r
r
r
r
r
r
Ces équations sont valables dans tous les milieux. Dans la pratique, elles sont utilisables telles quelles dans le vide, dans
les métaux et dans les plasmas (seuls milieux au programme de MP) milieux où on sait exprimer facilement ρ et j
r
. Dans
les milieux autres (la plupart des milieux matériels, isolants, eau, verre…), ces équations sont encore valables, mais on leur
préfère une formulation plus pratique (programme de PC).
Les équations de Maxwell ont été postulées. Elles constituent la base de la théorie actuelle de l’électromagnétisme (sous la
forme où elle a été développée à partir des années 1860 et qui reste vérifiée à ce jour par des tests expérimentaux
extrêmement précis).
Remarques :
Dans ces équations, à part le champ [
E
r
(
r
r
,t),
B
r
(
r
r
,t)] et sa source )]t,r(j),t,r([D
r
r
r
ρ= , seules figurent les constantes :
µ
0
=4 π .10
-7
SI (valeur exacte résultant de la définition de l’ampère) et ε
0
dont on pourra retenir la valeur approchée :
9
0
10.36
1
π
≈ε S.I.
Les équations du flux magnétique et de Maxwell Gauss sont des équations scalaires, les autres sont des équations
vectorielles, soit en tout 8 équations locales scalaires aux dérivées partielles entre 6 dérivées partielles par rapport au
temps et 18 dérivées partielles par rapport aux coordonnées d’espace ((3+3)*3=18).
Les équations du flux magnétique et de Maxwell Faraday expriment des propriétés intrinsèques du champ, les
équations de Maxwell Gauss et de Maxwell Ampère explicitent la liaison entre le champ et sa source.
Les équations de Maxwell sont linéaires : si on connaît une solution C
1
pour D
1
et une solution C
2
pour D
2
, alors
α
1
C
1
+ α
2
C
2
est une solution pour α
1
D
1
+ α
2
D
2
. Ce résultat dans le cas α
1
= α
2
=1 correspond au théorème de
superposition.
En exprimant la divergence membre à membre pour MA, on obtient :
(
)
0
t
jdiv
t)Ediv(
jdiv0
t
E
divjdivBrotdiv
00
=
∂ρ∂
+⇔
∂
∂
ε+=⇔
∂
∂
ε+= r
r
r
r
r
r
On retrouve l’équation de conservation de la charge : il n’est donc pas nécessaire d’ajouter la conservation de la
charge aux postulats de l’électromagnétisme car elle découle des équations de Maxwell.
Calculons à partir de la loi de Lorentz, la force d
F
r
qui s’exerce à l’instant t sur l’ensemble des particules porteuses de
charge contenue dans un volume élémentaire d τ centré au point M.
Ce volume contient ν
k
d τ particules de type « k », de charge individuelle q
k
et de vitesse v
r
k
. L’ensemble a une charge
ν
k
q
k
d τ et subit des forces de Lorentz de somme :
d
F
r
k
= ν
k
q
k
d τ (
E
r
+ v
r
k
∧
B
r
)

Les équations de Maxwell (elm 4) 5
En sommant les contributions des divers types « k » de porteurs, puis en divisant par dτ, on obtient l’expression de la
force électromagnétique volumique (force s’exerçant sur l’unité de volume de matière) :
BjE
dFd
f
v
r
r
r
r
r∧+ρ=
τ
=
 Les équations de Maxwell Faraday et Maxwell Ampère jouent un rôle symétrique en ce sens qu’elles contiennent
toutes deux un champ et la dérivée temporelle de l’autre. Elles expriment le couplage entre les champs
E
r
et
B
r
qui est
à l’origine de la nécessité de considérer en régime variable, le champ électromagnétique [
E
r
(
r
r
,t),
B
r
(
r
r
,t)] comme une
entité indissociable .
En régime stationnaire, elles deviennent MF
s
et MA
s
, le couplage disparaît, il est possible de séparer les équations en
deux couples et d’étudier séparément le champ électrique permanent
E
r
(
r
r
) dont la source est constituée d’une
distribution de charge permanente ρ (
r
r
) et le champ magnétique permanent
B
r
(
r
r
) dont la source est une distribution
de courants permanents j
r
(
r
r
).
φ=
=
=
ε
ρ
=
)(M magnétiqueflux du équation 0Bdiv
)(MA permanent régimeen Ampère Maxwell deéquation jµBrot
)(MFpermanent régimeen Faraday Maxwell deéquation 0Erot
)G(M Gauss Maxwell deéquation Ediv
permanent régime en
s0
s
0
r
r
r
r
r
r
Le domaine de l’électrostatique correspond à j
r
= 0
r
2. Contenu physique des équations de Maxwell : forme intégrale
a) Equation de Maxwell Gauss : théorème de Gauss
Soit un volume V limité par une surface fermée Σ . D’après l’équation de Maxwell Gauss :
0
int
V0 V
Q
ddEdivSd.E ε =τ
ε
ρ
=τ=
∫∫∫∫∫∫∫∫
Σ
r
r
r
On retrouve le théorème de Gauss (contenu physique de MG).
Remarques :
en sup, le théorème de gauss est démontré à partir de la loi de Coulomb prise comme postulat de l’électrostatique. en
proposant Maxwell Gauss, Maxwell a postulé que cette propriété du flux de
E
r
reste valable en régime non
permanent, et pour des charges en mouvement, alors que le champ
E
r
de celles-ci n’est plus donné par la loi de
coulomb.
En régime permanent, les équations de Maxwell expriment que seules les charges ρ jouent pour
E
r
le rôle de source :
en électrostatique en particulier, les lignes de champ divergent à partir des charges « + » à la manière d’un fluide
sortant d’une source et convergent sur les charges « - » comme un fluide s’engouffrant dans un puits.
L’équation de Maxwell Gauss reste valable en régime non permanent, bien que ρ ne soit plus la seule source de
E
r
.
Un champ magnétique variable dans le temps est source de champ électrique (MF). Les cartes de champ
électrique n’ont plus nécessairement la même allure. La divergence de
E
r
est toujours liée à ρ seul, mais en plus, les
lignes de champ de
E
r
ont un caractère tourbillonnaire autour de la direction de la partie variable de
B
r
.