Identités trigonométriques Autres fonctions trigonométriques Après les fonctions sinus, cosinus et tangente, nous allons voir trois autres types de fonctions. La fonction sécante est l’inverse de la fonction cosinus : hypoténuse 1 Sec t = = adjacent cos t La fonction cosécante est l’inverse de la fonction sinus : hypoténuse 1 Cosec t = = sin t opposé La fonction cotangente est l’inverse de la fonction tangente: adjacent 1 cos t Cotan t = = = opposé tan t sin t Simplification d’expression algébrique Sec t = 1 cos t cosec t = 1 sin t cotan t = cos t sin t Exemple 1 : Sin t x cotan t = sin t x cos t = cos t sin t Exemple 2 : Sin t x cos t x sec t x cotan t = sin t x cos t x 1 cos t x = cos t cos t sin t Exemple 3 : Cos t x cosec t = cos t x 1 = cotan t sin t Identités trigonométriques Il y en a trois. Première identité de base. Sylvain Lacroix 2005-2006 Page 1 www.sylvainlacroix.ca Identités trigonométriques Avec Pythagore sin2t + cos2t = 1 Deuxième identité de base. sin 2 t cos 2 t 1 + = tan2t + 1 = sec2t 2 2 2 cos t cos t cos t Démonstration : mOF mOA mOAxmOG 1x1 mOF = = = = sec t mOG mOC mOC cos t Troisième identité de base. cosec t G sin 2 t cos 2 t 1 + = 1 + cotan2t = cosec2t 2 2 2 sin t sin t sin t Démonstration : mBE mOB mOBxmOC 1x cos t = mBE = = = cot ant mOC mCG mCG sin t mOE mOB mOBxmOG 1x1 = mOE = = = cos ect mOG mCG mCG sin t Sylvain Lacroix 2005-2006 Page 2 www.sylvainlacroix.ca Identités trigonométriques Trouver les valeurs trigonométriques À partir d’une valeur trigonométrique et d’un quadrant où se situe le point P(t), on peut trouver la valeur des autres fonctions trigonométriques. Exemple : sin t = 1/2 et t e [ π 2 ,π ] 1 1 3 3 sin2t + cos2t = 1 cos2t = 1 - sin2t cos t = 1 − ( ) 2 = 1 − ( ) = = 2 4 4 2 3 car il est dans le deuxième quadrant 2 1 ( ) sin t 1 3 Tan t = = 2 =− =− cos t 3 3 3 −( ) 2 1 2 1 2 3 = =− =− Sec t = cos t 3 3 3 − 2 1 1 Cosec t = = =2 1 sin t ( ) 2 1 3 3 3 Cotan t = =− =− 3 3 3 − 3 Donc, cos t = - Démonstration d’identité trigonométrique Il suffit de transformer le membre de gauche de l’égalité pour obtenir l’équivalent du membre de droite. Exemple 1 : tan2t - sin2t = sin2t x tan2t tan2t-sin2t = sin 2 t sin 2 t sin 2 t cos 2 t sin 2 t (1 − cos 2 t ) sin 2 t sin 2 t 2 sin t = = = = tan2t*sin2t 2 2 2 2 2 cos t cos t cos t cos t cos t Exemple 2 : Cot2t – cosec2t = -1 Cot2t – cosec2t = cos 2 t 1 cos 2 t − 1 − sin 2 t = = = -1 sin 2 t sin 2 t sin 2 t sin 2 t Sylvain Lacroix 2005-2006 Page 3 www.sylvainlacroix.ca Identités trigonométriques Exemple 3 : Sec2t + cosec2t = 1 cos t sin 2 t 2 1 1 sin 2 t cos 2 t + = + = cos 2 t sin 2 t cos 2 t sin 2 t cos 2 t sin 2 t sin 2 t + cos 2 t 1 = 2 2 2 cos t sin t cos t sin 2 t Sec2t + cosec2t = Exemple 4 : Sec t – cos t = tan t sin t Sec t – cos t = (1 − cos 2 t ) sin 2 t sin t sin t 1 -cos t = = = = tan t sin t cos t cos t cos t cos t Exemple 5 : tan2t + sec2t = 2sec2t -1 Rappel : 1 + tan2t = sec2t tan2t = sec2t -1 tan2t + sec2t = sec2t -1 + sec2t = 2sec2t -1 Sylvain Lacroix 2005-2006 Page 4 www.sylvainlacroix.ca