MCC 2002 TD Séance 2: Vitesses de déformations

MCC 2002
TD Séance 2: Vitesses de déformations
le 21 Septembre 2002
1. Représentation matérielle (Lagrange (1736-1813)), ou spatiale (Euler (1707-1783))
Soit un milieu continu soumis à une transformation homogène x= f(p,t) définie, en coordonnées cartésiennes
dans le plan (0,p1,p2), pour 0 £t £T ,par:
x = p exp((t/T) 2 )
1. Calculer le gradient de la transformation : F(p,t),le champ de vitesses matérielles (lagrangien): vp(p, t )et
le champ de vitesses spatiales (eulérien) : v(x,t ).
2. Tracer la trajectoire de la particule située en (1,1 ) à l’instant t =0. Dessiner les lignes de courant
aux instants t =0 et t =T .
3. Calculer le gradient du champ de vitesse: L=Dxv. En déduire les vitesses de déformation D et de rotation
WW
WW associées au mouvement de ce milieu. Calculer le tenseur ∂F/∂t.F-1 et commenter ce résultat.
2. Ecoulement autour d'un cylindre à l'arrêt ou en mouvement
On considère le champ de vitesses suivant, en coordonnées cylindriques, avec v0 une vitesse de référence:
v(r, q)/(a2v0) = ir(2q)/r2
dans un domaine fluide extérieur à un cylindre de rayon a.
1. Représentation graphique
Donner graphiquement l'allure qualitative du champ de vitesses en r=r0≥a, en particulier en r=a, ainsi que
pour q=q0 donné et r variable. On admettra que la vitesse normale le long du cylindre doit être égale à la
vitesse normale de celui-ci. Le champ de vitesses proposé correspond-il au cas d'un cylindre fixe dans un
écoulement uniforme à grande distance ou un cylindre en mouvement dans un fluide au repos à grande
distance ? Donner les équations les deux champs de vitesses et représenter les graphiquement.
2. Trajectoires et lignes de courant
On pourra représenter les courbes en coordonnées polaires par: x(r,q) = r(q) ir(q).
2.1 cas du cylindre en mouvement uniforme dans un fluide au repos à grande distance
Donner l'équation des lignes de courant. Montrer que ce sont des cercles de diamètre orienté suivant
q=p/2 et tangents à l'axe q=0. Montrer que les trajectoires vérifient: r/2sinq=- Ú]0,t[ dt/tgq(t) +
r0/2sinq0.
2.2 cas du cylindre fixe dans un fluide en écoulement uniforme à grande distance
Donner l'équation des lignes de courant. Montrer que les trajectoires et les lignes de courant sont
confondues
3. Vitesses de déformations dans l'écoulement autour d'un cylindre
Calculer dans chaque cas le tenseur des vitesses de déformations et de rotation, ainsi que la vitesse de
variation de volume. Discuter le résultat obtenu en q=0, p/4, p/2 et en fonction de r. Examiner en particulier
le cas r=a.
Calculer la vitesse de cisaillement Drq dans le cas particulier où v0=30m/s, a=2m en r=a et q=p/2.

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1. Eléments de solution du problème 1
1. Expansion radiale uniforme, F = I exp( (t/T)2 ) , vp= 2 t/T2 exp(t/T)2) p, v(x,t) = vp(p(x,t),t) = 2 t/T2
exp((t/T)2) x exp(-(t/T)2) = 2t/T2 x => v(x,t) = 2t/T2 x . On pourrait aussi introduire le placement relatif :
y=ft(x,t) = x exp((t2-t2)/T2) , alors : v(x,t) = ∂ft/∂t/t=t = 2t/T2 x
2. Trajectoire: x(p0,t) = p0 exp((t/T)2); Lignes de courant à l'instant t0 passant par x0: djj
jj(x0,z)/dz= v(jj jj(x0,z),t0)
, jj
jj(z0)= x0. Soit: djj jj(x0,z)/dz= 2t0/T2 jj jj(x0,z), d'où: jj jj(x0,z)= x0 exp(2 (t0/T2) z)
3. L=Dxv = (2t/T2) I, D = (2t/T2) I, WW
WW = 0. On vérifie que : L=Dxv = Dpv.(Dpx)-1 = ∂F/∂t.F-1.
2. Eléments de solution du problème 2
2.1. le champ de vitesses donné est celui correspondant à un cylindre se déplaçant dans le sens des x1 à la
vitesse uniforme v0. On obtient le cylindre fixe plongé dans un fluide à la vitesse v0 avec: v/(a2v0)= -i1/a2 +
ir(2 q)/r2 .
Construction du champ de vitesses du cylindre mobile:
le champ est tangent aux cercles de centres au-dessus du centre du cylindre et qui passe par le point x où on
cherche la vitesse v. Le long du cercle, la vitesse diminue car r augmente
Pour le cylindre fixe en soufflerie:
on ajoute simplement i1/a2. On notera que la vitesse en q=±p/2, est multipliée par 2 et que la vitesse est nulle
en q=0 (point d'arrêt) et q=p
q
q
q
r
v

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-2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Cylindre en mouvement
-2 -1 0 1 2 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Cylindre fixe
2.1.1 Cas cylindre mobile.
Lignes de courant à l'instant t0 passant par x0:
on va retrouver analytiquement les lignes de courant. on prend le repère cylindrique autour du cylindre à
l'instant t=t0. Ce repère est figé pour le calcul de la ligne de courant à cet instant.
djj
jj(z,x0)/dz = v(jj jj(z,x0),t0) , soit ici en prenant: z=q pour paramètre et: jj jj(q,x0)=r(q,x0) ir(q)
on raisonne avec v0=1 et a=1.
r' ir(q) + r iq(q) = ir(2q)/r2 = (cosq ir + sinq iq)/r2 => r'=cosq/r2, r=sinq/r2 => r'/r = cosq/sinq

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=> r/sinq = d
le lieu des points comme on le voit sur la figure ci-contre est bien un cercle de diamètre: d=r0/sinq0 où (r0,q0)
représente le point par où passe la ldc
Trajectoire passant par p0 pour tout t:
Attention: on prend le repère cylindrique autour du cylindre à l'instant t, mais le cylindre bouge, le repère est
mobile: la définition de r et q changent.
La position absolue d'une particule, initialement en p0 et maintenant en jj
jj(p0,t) est:
jj
jj(p0,t) = v0t i1 + v0 r ir(q) = c(t) + v0 r ir(q)
et l'équation de la trajectoire est:
djj
jj/dt = ir(2q)/r2 soit : v0 i1 + d/dt(r ir(q)) = ir(2q)/r2
on note (.)'=d/dt (cette fois-ci le paramètre est le temps)
q
r
d
q
r
v
0
t
c(t)

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=> r' ir(q) + r q' iq(q) = -v0 i1 - ir(2 q)/r2
Trajectoires cylindre mobile
(j'ai représenté le cylindre à l'instant initial seulement)
2.2 Cas cylindre immobile.
Lignes de courant à l'instant t0 passant par x0
on prend le repère cylindrique autour du cylindre à l'instant t=0. on prend q comme paramètre r(q).
r' ir + r iq = - i1 + ir(2q)/r2 = (-1+1/r2) cosq ir + (1+1/r2) sinq iq => r'=(-1+1/r2) cosq, r=(1+1/r2)sinq
=> r' sinq - r cosq = - 2 cosq sinq => (r/sinq)' = -2cosq/sinq
=> r = sinq (r0/sinq0 -2 Log (sinq/sinq0))
Trajectoire passant par p0 pour tout t:
on prend le repère cylindrique autour du cylindre à l'instant t=0
djj
jj(t,p0)/dt = v(jj jj(t,p0),t) , en prenant pour paramètre t et: jj jj(t,p0)=r(t,x0) ir(q(t,x0))
=> r' ir(q) + r q' iq(q) = - i1 + ir(2 q)/r2 .
on obtient exactement les mêmes courbes à la paramétrisation près en q ou en t (c'est toujours le cas en
stationnaire)
Cylindre immobile: Lignes de courant et trajectoires
2.3. Vitesses de déformations et de rotations
2.3.1Cylindre immobile:
v/(a2v0)= -i1 + ir(2q)/r2
( rappel coordonnées cartésiennes/curvilignes: Dxv = ∂v/∂xmƒim = ∂v/∂xn ∂xn/∂xmƒim = ∂v/∂xnƒ——
——xxn