TD 2016 - LSLL - Physique Chimie au lycée par Wahab Diop LSLL

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EXERCICES SUR LA GRAVITATION UNIVERSELLE
Exercice n°1
Chapitre : EXERCICES SUR LA GRAVITATION UNIVERSELLE

u
Exercice n°2
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Exercice n°3:
Données : Constante de gravitation G = 6,6710-11 S.I, masse de la Terre M = 6.1024 kg, Rayon de la
terre R = 6400 km, distance Terre-Soleil d = 1,5.108 km.
1. Deux corps ponctuels A et B, de masses respectives m et m’, séparés par une distance d, s’attirent
selon la loi de la gravitation universelle. Rappeler l’expression de l’intensité des forces d’interaction
gravitationnelle, s’exerçant entre les corps A et B.
2. Dans l’espace, le soleil, la Terre et autres astres, peuvent être considérés comme des corps
ponctuels. Le Soleil exerce sur la Terre une force de gravitation d’intensité F = 3,5.1022 N.
Déterminer la valeur de la masse du Soleil.
3. Dans le champ de gravitation, un satellite de la Terre, en mouvement dans le plan de l’équateur, y
effectue un mouvement circulaire uniforme à l’altitude h1 = 400 km.
3.1. Préciser le référentiel d’étude du mouvement de ce satellite.
3.2. Exprimer la vitesse linéaire V de ce satellite, puis calculer sa valeur.
3.3. Etablir les expressions littérales de la période T et de la vitesse angulaire ω du satellite dans ce
même repère. Faire l’application numérique
4. Entre autres conditions, un satellite de la Terre est géostationnaire si la période de son
mouvement vaut 86.400 s. Justifier cette valeur de la période.
5. Exprimer puis calculer l’altitude h d’un satellite géostationnaire
Exercice n°4:
Données : Constante de gravitation universelle G = 6,67.10-11 SI ; masse de la terre M = 6.1024 kg ;
Rayon de la terre R = 6 400 km.
1. Donner la signification de satellite géostationnaire. Dans quelles conditions un satellite peut-il
être géostationnaire ?
2. En précisant le référentiel d’étude, montrer que le mouvement d’un tel satellite est circulaire
uniforme.
3. Soit h l’altitude d’un satellite géostationnaire. Etablir, en fonction de G, M, R et h, l’expression de :
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Chapitre : EXERCICES SUR LA GRAVITATION UNIVERSELLE
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3.1. la vitesse linéaire V du satellite,
3.2. la période de révolution T du satellite.
3.3. Calculer l’altitude h d’un satellite géostationnaire
4. Le satellite se déplace vers l’est à l'altitude h= 150 𝑘𝑚. Calculer l’intervalle du temps qui sépare
deux passages successifs du satellite à la verticale d’un point donné de l’équateur.
GMm
5. L’énergie potentielle de pesanteur de ce satellite, de masse m, a pour expression Ep=- R+h
5.1. Préciser l’état de référence pour cette énergie potentielle.
5.2. Etablir une relation simple entre l'énergie cinétique Ec et l'énergie potentielle Ep du satellite
5.3. En déduire alors l’expression de son énergie mécanique Em en fonction de Ec.
6. On considère maintenant un satellite quelconque à une altitude h. Le satellite subit des
frottements équivalents à une force de freinage de module f = λ mv², expression où λ est une
constante, v étant la vitesse du satellite. Ce freinage est très faible, et on peut supposer que les
révolutions restent presque circulaires et que pour chacune d'elle, l'altitude h du satellite diminue
de Δh avec Δh≪ h.
π
6.1. Montrer que la variation de vitesse du satellite peut s’écrire Δv=- T Δh où T est la période du
satellite.
6.2. Justifier l'évolution de la vitesse du satellite.
Exercice n°5:
On admet que la Terre a une répartition de masse à symétrie sphérique. Elle est considérée comme
une sphère de centre O, de rayon R = 6370 km et de masse M = 5,97.1024 kg.
Le constante de gravitation universelle est G = 6,67. 10-11 N. kg-2. m2. Un satellite, assimilé à un point
matériel, décrit une orbite circulaire de rayon r dans le plan équatorial, autour de la Terre.
1) Montrer que le mouvement du satellite est uniforme.
2) Etablir l'expression de sa vitesse v en fonction de r, M et G. En déduire l'expression de la période
T du mouvement du satellite en fonction de r, M et G.
3) Les données suivantes constituent un extrait de la fiche technique de la mission de la navette
spatiale américaine DISCOVERY pour l'étude environnementale sur l’atmosphère moyenne de la
Terre :
Masse de la navette en orbite : m = 69,68.103 kg; Altitude moyenne h = 296 km.
Nombre d'orbites n = 189. (nombre de tours effectués par DISCOVERY de sa date de lancement
jusqu'à la date d'atterrissage).
3.1- Déterminer à partir des données techniques, les valeurs numériques de la vitesse et de la
période du mouvement de la navette spatiale DISCOVERY.
3.2- La navette a atterri le 18 Août 1997 à Kennedy Space Center.
Déterminer la date de lancement de la navette ; on négligera les durées de la mise sur orbite et de
l'atterrissage.
4) DISCOVERY a atterri le 18 août 1997, à la date t = 7 h 07 min. Dans la phase d'approche à
l'atterrissage, moteurs à l'arrêt, la navette est soumise à son poids et aux forces de frottement de
l'air.
On trouvera ci-dessous la valeur de sa vitesse à différentes dates.
Date
Altitude (km) Vitesse (m.s-1)
On prendra g = 9,7 m. s-2 pendant toute la phase
t1 = 6 h 59 min 54,86
1475
d'approche.
T2 = 7 h 04 min 11,58
223,5
4.4.1- Calculer le travail du poids du DISCOVERY
entre les dates t1 et t2.
4.4.2- En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, calculer le travail des forces de frottement de
l'air sur DISCOVERY entre les instants t1 et t2 de la phase d'approche à l'atterrissage. (Extrait Bac
S1S3 2003).
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Exercice n°6:
Données numériques :
• Masse de la Terre M = 6.1024 kg; Rayon de la Terre R = 6 400 km
• Constante de gravitation universelle G = 6, 67.10−11 N.m2.kg−2
• Période de rotation de la Terre (dans le référentiel géocentrique)
T0=86164s
I.
Satellite sur Terre
1) Un satellite S1 considéré ponctuelle de masse m est au repos sur la Terre
en un point de latitude λ. Quel est son mouvement dans le référentiel
galiléen géocentrique ?
2) Exprimer sa vitesse v0 et son énergie cinétique EcO , dans le référentiel géocentrique, en
fonction de m, R, To et λ.
3) En déduire l’expression de l’énergie mécanique totale EO sachant que l’expression de l’énergie
GmM
potentielle de gravitation est Ep=- r . A.N. : m = 800 kg et latitude λ= 40◦. Calculer les valeurs
de vO , EcO et EO .
II.
Satellite sur orbite circulaire
Le satellite S1 est maintenant sur une orbite circulaire autour de la Terre.
1) Etude générale
a) Faire l’étude du satellite dans le référentiel géocentrique et déterminer la relation entre le rayon
r de l’orbite, la vitesse v du satellite et g0 le champ de gravitation à la surface de la Terre.
b) Déduire l’expression de la période T de révolution en fonction du rayon r, gO et R.
c) Exprimer l’énergie cinétique Ec. En déduire l’expression de l’énergie totale E en fonction de m, r,
go et R
2) Orbite circulaire rasante
Le satellite est d’abord envoyé sur une orbite basse de rayon r1. L’altitude z1, de l’ordre de quelques
centaines de kilomètres, est très faible devant le rayon R de la Terre. On peut donc considérer r1
R (orbite rasante)
a) Donner l’expression de sa vitesse v1 (1ère vitesse cosmique) en fonction de go et R
b) Donner l’expression de la période T1 et de l’énergie mécanique totale E1.
c) Calculer go, v1, T1 et E1.
d) Exprimer l’énergie qu’il a fallu fournir au satellite, initialement au repos sur la Terre à la
latitude λ, pour le mettre sur l’orbite rasante. Cette énergie dépend-elle du point de lancement sur
terre ? Où sont situées les bases de lancement les plus favorables du point de vue énergétique ?
3) Orbite circulaire géostationnaire
Le satellite est ensuite envoyé sur l’orbite géostationnaire de rayon r2.
a) Qu’est-ce qu’un satellite géostationnaire ? En déduire la valeur de sa période de révolution T2
dans le référentiel géocentrique.
b) Exprimer et calculer le rayon r2 et l’altitude z2 du satellite géostationnaire.
c) Exprimer et calculer la vitesse v2 et l’énergie E2 du satellite géostationnaire.
d) Un autre satellite S2 de masse m2=103 kg est en orbite circulaire autour de la Terre de rayon
r’=20 000 km dans le plan équatorial. A t=0s les satellites S1 et S2 sont sur la même verticale "côte à
côte" et évoluent dans le même sens.
Calculer sa vitesse angulaire '.
Calculer l’intervalle de temps minimal τ où les deux satellites se retrouvent de nouveau sur
une même verticale « côte à côte » (pas nécessairement la même verticale qu’à t=0).
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Exercice n°8:
Pour étudier le passage d’une comète au voisinage de notre planète, un satellite lanceur de sonde
est mis en orbite autour de la terre. Données : constante gravitationnelle G = 6,67.10-11N.m2kg-2 ;
masse de la terre
MT =5,98.1024kg ; rayon de la terre RT = 6400km. La terre est considérée
comme un corps à répartition sphérique de masse.
1) Etude du mouvement circulaire du système « lanceur-sonde » dans le référentiel géocentrique.
Dans un premier temps, le système « lanceur-sonde » est supposé mis en orbite circulaire à
l’altitude h0 =200km. Il évolue à une vitesse v0.
a) En supposant ce système uniquement soumis au champ gravitationnel terrestre, monter que
son mouvement est uniforme.
b) Exprimer la vitesse v0 en fonction de G, MT, RT et h0, et calculer sa valeur en km.s-1.
c) Etablir l’expression de sa période et la calculer.
𝐺𝑀
2) L’énergie potentiel de gravitation s’écrit Ep= - 𝑇𝑚 , r étant le rayon de l’orbite, m est la masse
𝑟
du système.
a) Déterminer pour l’altitude h0, l’expression de l’énergie mécanique Em0 du système en fonction
de r0 puis en fonction de la vitesse V0.
b) Lorsque l’altitude du satellite est peu élevée, il peut subir les frottements des hautes couches de
l’atmosphère. Son énergie mécanique diminue suivant la loi Em = Em0(1+αt) ; α>0. On suppose
que la trajectoire est circulaire. En comparant les énergies, montrer que le rayon de l’orbite
diminue avec le temps alors que la vitesse augmente.
3) Etude de la sonde s’éloignant de la terre : A l’altitude h0, le lanceur et la sonde se séparent. Le
lanceur communique à la sonde une vitesse V0’ (supérieure à V0) qui devra lui permettre
d’échapper à l’attraction terrestre.
a) Donner l’expression de la valeur minimale Vmin de la vitesse V0’ que le lanceur doit alors
communiquer à la sonde en fonction de G, MT, RT et h0.
Quelle relation relie alors Vmin et V0 ?
Exercice n°10:
Masse de la Lune : ML= 7,34. 1022 kg ; RL = 1 740 km
Distance des surfaces de la Terre et de la Lune D = 384. 103 km
Durée du jour solaire : T1 = 86 400 s ; Durée du jour sidéral T2 = 86 164 s.
1. Calculer le champ de gravitation créé par la Lune à sa surface.
2. Calculer la force de gravitation qu'exerce la Lune sur la Terre.
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Exercice n°7:
Dans tout cet exercice, la terre est considérée comme une sphère homogène, de masse M, de centre O
et de rayon R.
1. Etablir l’expression qui donne l’intensité G du vecteur champ de gravitation terrestre à une altitude
h en fonction de sa valeur G0 au niveau du sol (h = 0).
2. Dans le repère géocentrique, un satellite de la terre décrit une orbite circulaire à une altitude h1 :
établir l’expression de sa période de révolution T1 en fonction de R, G0 et h1.
AN : R = 6 370 km ; G0 = 9,8 N/kg ; h1 = 3 600 km. Calculer T1.
3. On considère maintenant que le satellite, sous l’influence d’actions diverses, perd de l’altitude à
chaque tour. La réduction d’altitude à la fin de chaque tour est supposée égale au millième de l’altitude
en début de tour :
h
Δh = 1 000
Le satellite étant initialement à l’altitude h1, montrer que dans ces conditions, ses altitudes ultérieures
à la fin de chaque tour varient en progression géométrique. En déduire la valeur n du nombre de tours
effectués par le satellite quand il atteint l’altitude h2 = 100 km.
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3. En quel point du segment joignant les centres de la Lune et de la Terre la force de gravitation estelle nulle ?
4. Démontrer que l'énergie potentielle de gravitation d'un corps de masse m situé à la distance r du
m.M
centre d'une planète de masse M, vaut : Ep = - K r . Prendre Ep = 0 à l'infini.
5. Exprimer la vitesse de libération Vl ou deuxième vitesse cosmique, d'un objet par rapport à une
planète de masse M et rayon R en fonction de K, M et R. Faire l'application numérique pour la Terre
et pour la Lune.
6. Déterminer l'altitude à laquelle doit évoluer un satellite terrestre géostationnaire.
7. Un satellite passe tous les 26 jours au-dessus de la verticale d'un lieu terrestre après 370
révolutions, son altitude est alors de 830 km. Ces données sont-elles compatibles avec le fait que le
satellite a une trajectoire circulaire autour de la Terre ? Justifier la réponse. On admet que la période
est mesurée à 1 % près. (Extrait Bac S1 S3 2001)
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