LES ENDOMORPHISMES k-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER

Bull. Soc. math. France,
117, 1989, p. 451–477.
LES ENDOMORPHISMES k-FINIS DES
MODULES DE WHITTAKER
PAR
Aboubeker ZAHID (*)
RÉSUMÉ. — Soit g une algèbre de Lie semi-simple complexe, Wh un module de Whittaker simple. On donne une décomposition de l’algèbre des endomorphismes k-finis, de Wh dans Wh, en somme directe de modules de Harish-Chandra
simples, suivant le groupe P (R)/Q(R). Ceci étant fait, pour un choix très particulier
du caractère central du module de Whittaker, on peut par un principe de translation
par les éléments de P (R), récupérer le résultat pour les autres caractères. On obtient
en particulier une famille de suralgèbres k-finis de l’algèbre enveloppante de g. Ces
suralgèbres semblent très intéressantes à étudier ; en effet on obtient dans le cas de
g = sl2 (C), soit l’algèbre de Weyl A1 , soit en translatant, l’algèbre des opérateurs différentiels sur une courbe singulière. Dans le cas de g = sl3 (C), on obtient le quotient
de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie exceptionnelle de dimension 14, par un
idéal primitif complètement premier.
ABSTRACT. — Let g be a complex semisimple Lie algebra, and let Wh a simple
Whittaker module. We give a decomposition of the algebra of k-finite vectors of
EndC (Wh), as direct sum of Harish-chandra submodules. We then obtain a family of
over rings of certain primitives quotients of enveloping algebras. In the cases g = sl2 (C)
and g = sl3 (C) the structure of this rings is uniquely determined by their structure of
g-module.
Je ne veux pas manquer d’exprimer ici ma très grande reconnaissance
à A. JOSEPH, qui a dirigé et encouragé mon travail avec beaucoup de
patience et d’attention.
Je remercie aussi C. MŒGLIN pour les discussions utiles que j’ai eu avec
elle.
Introduction
1.1. — Soient g une algèbre de Lie semi-simple complexe, h une sousalgèbre de Cartan de g. Soient R un système de racines de (g, h) et
R+ ⊂ R l’ensemble des racines positives, B ⊂ R+ l’ensemble des racines
(*) Texte reçu le 9 janvier , révisé le 12 mai .
A. ZAHID, 1 boulevard Jourdan, 75690 Paris Cedex 14, France.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
c Société mathématique de France
0037-9484/1989/451/$ 5.00
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simples, ρ la demi-somme des racines positives, Sα ∈ Aut(h∗ ) la réflexion
correspondante à la racine α ∈ R et W le groupe (de Weyl) engendré par
les Sα , α ∈ B.
Soit Xα l’élément de la base de Chevalley correspondant à la racine α
et soient :
CXα , n− =
CX−α , b = h ⊕ n+ .
n+ =
α∈R+
α∈R+
On note X → t X l’antiautomorphisme de Chevalley défini par les
conditions t Xα = X−α pour α ∈ R.
1.2. — On note Q(R) = ZR l’ensemble des poids radiciels de R, où
P (R) est l’ensemble des poids de R
(λ, α)
∈ Z, ∀α ∈ R ·
P (R) = λ ∈ h∗ : 2
(α, α)
Pour tout α ∈ R, on note α̌ = 2α/(α, α). On dit que λ ∈ h∗ est régulier
(resp. dominant) si (λ, α) = 0 (resp. si (λ, α̌) ∈
/ {−1, −2, · · ·}) pour tout
α ∈ R+ . On note P (R)+ , l’ensemble des poids dominants de P (R). Pour
tout λ ∈ h∗ , on pose Rλ = {α ∈ R : 2(α, λ)/(α, α) ∈ Z}. Si B =
{α1 , . . . , α } désigne une base de R, on notera {1 , . . . , }, la base formée
par les poids fondamentaux correspondants. On a Q(R) ⊂ P (R) et on
considèrera P (R)/Q(R) comme un groupe additif. Les représentants dans
P (R) des éléments non nuls de P (R)/Q(R) seront toujours choisis parmi
les i tels que 1 ≤ i ≤ .
1.3. — Pour tout λ ∈ h∗ , soit M (λ) le module de Verma de plus
haut poids λ − ρ et L(λ) l’unique sous-quotient simple de M (λ). On
désigne par χλ le caractère central de M (λ). Soit g l’ensemble des classes
d’équivalence de g-modules simples de dimension finie. L’application qui,
à tout λ ∈ P (R)+ , associe la classe d’isomorphisme [L(λ + ρ)] des
g-modules simples de dimension finie et de plus haut poids λ, est une
bijection de P (R)+ sur g. On note E(λ) un représentant de [L(λ + ρ)].
Si V est un g-module, on notera par Vµ le sous-espace de poids µ de V .
1.4. — Soit U (g) l’algèbre enveloppante de g et soient Z(g) le centre
de U (g), Max Z(g) l’ensemble des idéaux maximaux de Z(g).
Soit u → ǔ l’antiautomorphisme principal de U (g). Si M et N sont deux
g-modules alors HomC (M, N ) est un U (g) ⊗ U (g)-module sous l’action
(a ⊗ b) · x (m) = ax(b̌m)
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pour tous a et b dans U (g), x dans HomC (M, N ) et m dans M .
On identifie U (g) ⊗ U (g) avec U (g × g). Soit j : g → g × g défini par
j(X) = (X, X),
∀X ∈ g.
On pose k = j(g), k est alors isomorphe à g, et est donc semi-simple.
On définit le module des vecteurs k-finis de HomC (M, N ) par
L(M, N ) = x ∈ HomC (M, N ) : dimC U (k)x < ∞ ·
On vérifie facilement, que L(M, N ) est un U (g) ⊗ U (g)-sous-module de
HomC (M, N ).
1.5. — Soit V un U (g) ⊗ U (g)-module et soit E un k-module simple de
dimension finie. On peut considérer V comme un k-module et on désignera
par [V : E]k la multiplicité de E dans une suite de Jordan-Hölder de V .
Comme k est semi-simple on a :
[V : E]k = dim Homk (E, V ).
On dit que V est un module de Harish-Chandra pour la paire (g ⊗ g, k) si :
(i) dimC (Z(g) ⊗ Z(g)/ AnnZ(g)⊗Z(g) V ) < ∞ ;
(ii) dimC U (k)v < ∞, pour tout v ∈ V .
Puisque k est semi-simple, ceci équivaut à dire que V est somme directe
de U (k)-sous-modules simples de dimensions finies de V et on impose :
(iii) [V : E]k < ∞ pour tout U (k)-module simple E.
On notera par H, la catégorie des modules de Harish-Chandra. Les
objets de H sont de longueur finie (cf. [1, 5.7]). Lorsque M et N sont
deux U (g)-modules de longueurs finies, alors L(M, N ) est un module de
Harish-Chandra (cf. [1, 6.2]).
1.6. — On identifie g et k grâce à l’isomorphisme j de 1.4, on a alors
k = E(λ) : λ ∈ P (R)+ ·
D’autre part, on peut écrire k comme réunion disjointe :
k =
Cγ
γ∈P (R)/Q(R)
:=
E(λ) : λ ∈ P (R)+ ∩ (γ + Q(R) ·
γ∈P (R)/Q(R)
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Pour chaque module de Harish-Chandra V et pour tout élément
γ ∈ P (R)/Q(R), on définit la composante Vγ de V comme étant la
somme directe des U (k)-sous-modules simples de dimensions finies, de
type appartenant à Cγ . D’après (cf. [10, 3.7]) Vγ est un U (g) ⊗ U (g)-sousmodule de V ; de plus il est clair que Vγ est un module de Harish-Chandra.
En particulier, si M et N sont deux U (g)-modules simples, on a la
décomposition :
L(M, N ) =
L(M, N )γ
γ∈P (R)/Q(R)
en somme directe de U (g)-sous-bimodules.
2. Modules de Whittaker
2.1. — Soit η : n+ → C un homomorphisme d’algèbres de Lie tel
que η(Xα ) = 0 pour tout α ∈ B. Cet homomorphisme se prolonge en
un homomorphisme, noté encore η, de U (n+ ) dans C. On note Ker η son
noyau dans U (n+ ). Soit V un U (g)-module. Un vecteur w ∈ V est appelé
vecteur de Whittaker si
X · w = η(X)w,
∀X ∈ n+ .
Un U (g)-module V est appelé module de Whittaker s’il est engendré
par un vecteur de Whittaker w. On a alors :
V = U (g) · w.
Soit Iw l’annulateur de w dans U (g) on a :
V U (g)/Iw .
D’autre part il est clair que :
U (g) AnnZ(g) V + U (g) Ker η ⊂ Iw .
D’après [11, 3.1], on a en fait égalité et tout module de Whittaker est
alors déterminé, à isomorphisme près, par son annulateur dans Z(g), d’où
une bijection entre l’ensemble des classes d’isomorphismes de modules de
Whittaker et l’ensemble des idéaux de Z(g) (cf. [11, 3.2]). De plus, si V
est un module de Whittaker, il existe une bijection, entre les sous-modules
de V , et les idéaux de Z(g) contenant AnnZ(g) V (cf. [11, 3.7]). Donc V est
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un module de Whittaker simple si et seulement si AnnZ(g) V ∈ Max Z(g)
(cf. [11, théorème 3.6.1]).
On désigne par Wh l’ensemble des classes d’isomorphismes des modules
l’orbite de λ sous l’action
de Whittaker simples. Pour chaque λ ∈ h∗ , soit λ
de W . On considère :
V = U (g)/U (g) Ker χλ + U (g) Ker η,
muni de la représentation régulière gauche ; il est clair que V est un
module de Whittaker. D’autre part V est simple, puisque Ker χλ est un
la classe d’isomorphisme
idéal maximal de Z(g). On note alors Wh(λ),
∗
associe Wh(λ),
est
de V . L’application de h /W dans Wh, qui à λ
alors une bijection ; en effet ceci résulte de ce qui précède et du fait que
→ AnnZ(g) Wh(λ)
= Ker χλ est une bijection de h∗ /W sur Max Z(g)
λ
(cf. [4, 7.4.7, 7.4.8]).
2.2. — Soit E un g-module simple de dimension finie n. On désigne
par Ω(E), l’ensemble des poids de E. On a alors :
possède une suite
Théorème (cf. [11, 4.6]). — Le g-module E ⊗ Wh(λ)
de Jordan-Hölder de longueur n, avec des quotients simples isomorphes à
Wh((λ + ν) ), où ν ∈ Ω(E).
3. Quelques propriétés des racines d’une
algèbre de Lie semi-simple
(Pour toutes les notations, concernant ce paragraphe, voir (cf. [2]).)
3.1. — Soit H un sous-groupe de P (R)/Q(R), il existe un système
de représentants noté H, tel que les éléments non nuls de H aient
pour représentants des poids fondamentaux. Ce choix particulier sera
toujours adopté par la suite. On définit alors, pour tout sous-groupe H
de P (R)/Q(R), l’élément µH de h∗ par :
µH =
1 .
|H|
∈H
Proposition. — Il existe un homomorphisme de groupes
φ : P (R)/Q(R) −→ W
vérifiant, pour tout sous-groupe H de P (R)/Q(R), les propriétés suivantes :
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(i) µH − φ()µH = pour tout ∈ H ;
(ii) (µH − W · µH ) ∩ Q(R) = {0} ;
(iii) (µH − W · µH ) ∩ P (R) = H.
L’existence de φ, ainsi que le (i) et le (ii) de la PROPOSITION, vont
se faire en se ramenant chaque fois à une algèbre de Lie simple, de type
A , B , C et D . Pour E6 et E7 on donnera une démonstration directe.
Pour les autres types d’algèbres simples, le groupe P (R)/Q(R) est trivial.
Montrons que (i) et (ii) entraı̂nent (iii).
a) Supposons que Γ = P (R)/Q(R) n’a pour sous-groupes que {0} et
lui même. Soit µ = µΓ . Si y ∈ W et µ − yµ ∈ P (R). Alors
µ − yµ = + q
avec ∈ Γ et q ∈ Q(R).
D’après (i), on a alors µ − yµ = µ − φ()µ + q. D’où φ()−1 q =
µ − φ()−1 yµ ∈ Q(R). On a donc d’après (ii) q = 0, d’où (iii).
b) Soit H un sous-groupe propre de Γ = P (R)/Q(R). On peut alors
supposer R de type A ou D , et que β̌ = β pour tout β ∈ R.
Soit µ = µH , on a alors le lemme suivant qui est une simple vérification.
Lemme. — Pour tout β dans R, on a :
(µ, β) ∈ Z ⇐⇒ (µ, β) = 0.
Si y ∈ W et µ − yµ ∈ P (R). Alors
µ − yµ =
ai i ,
avec ai ∈ Z
∀i.
∈Γ
Soit αi ∈ B tel que i ∈
/ H. Alors
ai = (µ − yµ, αi ) = (µ, αi ) − (µ, y −1 αi ) = −(µ, y −1 αi ).
On a donc d’après le LEMME ai = 0. D’où
µ − yµ =
ai i ∈ + Q(R) avec ∈ H.
∈H
Le raisonnement du a) permet alors de conclure.
3.2. — Soient g une algèbre de Lie simple de type A , où ≥ 1 et h une
sous-algèbre de Cartan de g. Considérons dans R+1 , muni de sa base
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canonique (εi )1≤i≤+1 , l’hyperplan V formée des points dont la somme
des coordonnées est nulle. On peut alors construire le système de racines
R = R(g, h) dans V . Une base de R est alors :
α1 = ε1 − ε2 ; α2 = ε2 − ε3 ; · · · ; α = ε − ε+1 .
On a alors :
+1
Q(R) = x =
xi εi ∈ V :
+1
xi ∈ Z et
i=1
xi = 0
i=1
+1
P (R) est engendré par Q(R) et ε1 −
1 εi .
+ 1 i=1
D’autre part, P (R)/Q(R) est un groupe cyclique isomorphe à Z+1 et
engendré par l’image de 1 . En effet, on a
i1 ≡ i
mod Q(R)
∀i : 1 ≤ i ≤ .
Notant Γ = {0, 1 , 2 , . . . , }, on a alors
Γ = P (R)/Q(R).
Soit C la transformation de Coxeter :
C = Sα1 Sα2 · · · Sα ,
elle est d’ordre +1 dans W et il est clair qu’on obtient un homomorphisme
φ de P (R)/Q(R) dans W en posant
φ() = C.
Lemme 1. — Soit µ l’élément de h∗
µ = µΓ =
1 1 1
ρ.
=
i =
|H|
+ 1 i=1
+1
∈Γ
On a
(i) µ − C i µ = i pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ ;
(ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}.
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On a
( + 1)Cµ = C1 + C2 + · · · + C
= 1 − α1 + 2 − (α1 + α2 ) + · · ·
+ − (α1 + α2 + · · · + α )
= (1 + 2 + · · · + )
− α1 + ( − 1)α2 + · · · + ( − i + 1)αi + · · · + α ·
= ( + 1)(µ − 1 ).
D’où
µ − Cµ = 1 .
Supposons que µ − C i µ = i , alors :
µ − C i+1 µ = µ − C(C i µ) = µ − C(µ − i )
= µ − Cµ + Ci = 1 + i − (α1 + · · · + αi )
= 1 + i − (1 + i − i+1 )
= i+1 .
Ceci montre (i). On a
µ=
+1
1
− 2(i − 1) εi .
2( + 1) i=1
Si ω ∈ W , on pose µ − ωµ =
+1
k=1
xk εk . On a alors :
µ − ωµ ∈ Q(R) ⇐⇒ xk ∈ Z ∀k : 1 ≤ k ≤ + 1 et
+1
xk = 0.
k=1
Comme W agit par permutations des εi , xk est de la forme
1
− 2(k − 1) − − 2(σ(k) − 1)
2( + 1)
σ(k) − k
=
+1
xk =
où σ est une permutation de {1, 2, . . . , + 1}. Il est alors clair que
xk ∈ Z ⇐⇒ xk = 0.
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Ceci montre (ii).
Soit maintenant H un sous groupe de P (R)/Q(R) et supposons que
avec t · i = + 1.
t = |H|
Le sous-groupe H, qui est engendré par l’image de i , est tel que
H = 0, i , 2i , . . . , (t−1)i .
Avec ces notations on a le lemme suivant :
Lemme 2. — Soit µH l’élément de h∗
µH =
1 1
= i + 2i + · · · + (t−1)i .
t
t
∈H
On a
(i) µH − C k·i µH = k·i pour tout k tel que 1 ≤ k ≤ t − 1 ;
(ii) (µH − W · µH ) ∩ Q(R) = {0}.
D’après le LEMME 1 (i)
tµH =
t−1
s·i =
s=1
t−1
(µ − C s·i µ).
s=1
D’où pour tout k (1 ≤ k ≤ t − 1) :
t(µH − C k·i µH ) =
t−1
(µ − C s·i µ) −
s=1
=
t−1
(µ − C k·i µ) +
s=1
t−1
k·i
C µ − C (k+s)i µ
s=1
t−1
(k+s)i
µ − C s·i µ
C
s=1
= (t − 1)(µ − C
k·i
µ) + (µ − C k·i µ)
= t(µ − C k·i µ)
= tk·i .
D’où (i). On a :
t
µH =
1 2t r=1
r·i
(t − 2r + 1)εk .
k=(r−1)i+1
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+1
Si w ∈ W , on pose µH − wµH =
k=1 xk εk . Comme W agit par
permutations des εi , xk est de la forme
xk =
σ(r) − r
1 (t − 2r + 1) − (t − 2σ(r) + 1 =
2t
t
où σ est une permutation de {1, . . . , t} et où r ∈ {1, . . . , t}. Il est clair que
xk ∈ Z ⇐⇒ xk = 0
d’où (ii).
3.3. — Soient g une algèbre de Lie simple de type B , avec ≥ 2 ;
h une sous algèbre de Cartan de g, R = R(g, h). On peut construire le
système de racines R dans R , muni de sa base canonique (εi )1≤i≤ . Une
base B = {α1 , . . . , α } de R est donnée par :
α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , . . . , α−1 = ε−1 − ε , α = ε .
On a alors
Q(R) =
Zεi ,
P (R) =
i=1
i=1
1
Zεi + Z 2
εi .
i =1
Le groupe P (R)/Q(R) est isomorphe à Z2 , engendré par l’image de .
On note Γ = {0, }. Soit w0 l’élément du groupe de Weyl, qui échange
B en −B. On définit l’homomorphisme φ en posant φ( ) = w0 .
Lemme. — Soit µ l’élément de h∗
µ = µΓ =
1 1
= .
|Γ|
2
∈Γ
On a :
(i) µ − w0 µ = ;
(ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}.
(i) est clair. D’autre part, comme W agit par permutations des εi et
par changement de signe εi → (±)i εi , et que µ = 14 i=1 εi , il est clair
que pour tout w ∈ W
µ − wµ ∈ Q(R) =
i=1
D’où (ii).
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Zεi ⇐⇒ µ − wµ = 0.
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3.4. — Soient g une algèbre de Lie simple de type C , avec ≥ 2, h une
sous algèbre de Cartan de g, R = R(g, h). On peut construire le système
de racines R, dans R muni de sa base canonique (εi )1≤i≤ . Une base de
R est alors
α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , . . . , α−1 = ε−1 − ε , α = 2ε .
Les poids fondamentaux correspondants sont donnés par :
i = ε1 + ε2 + · · · + εi ,
∀i : 1 ≤ i ≤ ,
et on obtient
Q(R) = x =
xi εi : xi ∈ Z et
xi pair ;
i=1
P (R) =
i=1
Zεk .
i=1
Le groupe P (R)/Q(R) est isomorphe à Z2 , engendré par l’image de 1 .
On note Γ = {0, 1 } et on définit φ en posant
φ() = Sβ ,
où β est la plus grande racine de R. Sβ laisse fixes les εi avec i = 1 et
envoie ε1 sur −ε1 .
Lemme. — Soit µ l’élément de h∗
µ = µH =
1 1
1
= 1 = ε1 .
|Γ|
2
2
∈Γ
Alors :
(i) µ − Sβ µ = 1 ;
(ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}.
Preuve. — (i) est clair. D’autre part, comme W agit par permutations
des εi avec changement de signe εi → (±)i εi , et que Q(R) est constitué de
vecteurs à coordonnées entières dont la somme est paire, on a pour tout
w∈W
µ − wµ ∈ Q(R) ⇐⇒ µ − wµ = 0.
D’où (ii).
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3.5. — Soient g une algèbre de Lie simple de type D , avec ≥ 3, h une
sous algèbre de Cartan de g, R = R(g, h). On peut construire le système
de racines R, dans R muni de sa base canonique (εi )1≤i≤ . Une base de R
est donnée par
α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , . . . , α−1 = ε−1 − ε , α = ε−1 + ε .
Les poids fondamentaux correspondants sont donnés par :
i = ε1 + ε2 + · · · + εi ,
−1 =
1
2
−1
k=1
εk − 12 ε ,
∀i : 1 ≤ i ≤ ,
=
1
2
−1
k=1
εk + 12 ε .
On a alors
xi εi : xi ∈ Z et
xi pair ;
Q(R) = x =
i=1
P (R) =
i=1
i=1
Zεk + Z 12
εk .
k=1
D’autre part, le groupe de Weyl agit par permutations des εi , avec
changement de signe εi → (±1)i εi , vérifiant i (±1)i = 1. On pose, en
désignant par Si la réflexion Sαi :
xi = S−2 S−3 · · · Si+1 Si , ∀i : 1 ≤ i ≤ − 2,
Xii+1
= S xi S−1 xi+1 ,
x−1 = 1;
∀i : 1 ≤ i ≤ − 2.
L’élément xi n’est autre que le cycle (ε−1 , ε−2 , . . . , εi+1 , εi ) et Xii+1
est l’application définie par :
Xii+1 (εk ) = εk ,
∀k : 1 ≤ k ≤ i − 1 ;
Xii+1 (εi )
Xii+1 (εk )
= −ε ,
Xii+1 (εi+1 ) = −ε−1 ;
= εk−2
∀k : i + 2 ≤ k ≤ .
3.5.1. — Supposons dans cette partie que est impair. Le groupe
P (R)/Q(R) est isomorphe à Z4 , engendré par l’image de . En effet
1 ≡ 2 Q(R) et −1 ≡ 3 Q(R) .
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On pose Γ = {0, 1 , −1 , }. Soit z l’élément du groupe de Weyl W
−3 −1
z = X12 X34 · · · X−4
X−2 .
On vérifie que z(ε1 ) = −ε , z(ε ) = ε1 , z(εk ) = −ε−k+1 pour tout k
satisfaisant 2 ≤ k ≤ − 1 et que z est d’ordre 4. On pose alors φ( ) = z.
Lemme 1. — Soit µ l’élément de h∗ :
µ = µH =
1 1
= 1 + −1 + .
Γ
4
∈Γ
On a :
(i) µ − zµ = , µ − z 2 µ = 1 et µ − z 3 µ = −1 ;
(ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}.
−1
On a µ = 14 (2ε1 + σ) où σ = k=2 εk . Comme z(ε1 ) = −ε , z(ε ) = ε1
et z(σ) = −σ, (i) devient une simple vérification.
Supposons que µ − wµ = k=1 xk εk , avec w ∈ W . Comme W agit par
permutation des εi avec changement de signe pair, les seules possibilités
pour les xk d’être entiers sont soit xk = 0 si k ≥ 2, soit xk = 1 pour k = 1.
/ Q(R), on a bien (ii).
Comme ε1 ∈
Il existe un seul sous groupe propre H de P (R)/Q(R), engendré par
l’image de 1 , on pose H = {0, 1 }.
Lemme 2. — Soit µ l’élément de h∗
µ = µH =
1 1
= 1 .
|H|
2
∈H
On a :
(i) µ − z 2 µ = 1 ;
(ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}.
3.5.2. — On suppose dans cette partie que est pair, on a alors
P (Q)/Q(R) Z2 × Z2 , formé par 0 et par les images de 1 , −1 et ,
qui sont chacune d’ordre 2. On pose Γ = {0, 1 , −1 , }. Soient dans
W les éléments suivants :
τ1 = S1 S2 · · · S−2 S−1 S S−2 · · · S2 S1 ;
−2
τ2 = X12 X34 · · · X−3
S ;
τ3 = τ1 τ2 .
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
464
A. ZAHID
On vérifie aussitôt que les τi (pour i = 1, 2) s’expriment sur la base εk
de la façon suivante :
τ1 (ε1 ) = −ε1 , τ1 (εk ) = −εk , ∀k : 2 ≤ k ≤ − 1 et τ1 (ε ) = −ε ;
∀k : 1 ≤ k ≤ .
τ2 (εk ) = −ε−k+1
On a alors
τ12 = τ22 = 1,
τ3 = τ1 τ2 = τ2 τ1 ,
τ32 = 1,
et par conséquent {1, τ1 , τ2 , τ3 } forme un sous groupe de W , isomorphe
à Z2 × Z2 . On définit alors l’homomorphisme φ en posant φ(1 ) = τ1 ,
φ( ) = τ2 et φ(−1 ) = τ1 τ2 . (On a φ(−1 ) = φ(1 )φ( ) puisque
−1 ≡ + 1 modulo Q(R).)
Lemme 1. — Soit µ l’élément de h∗ :
1 1
µ = µH =
= 1 + −1 + .
|Γ|
4
∈Γ
On a :
(i) µ − τ1 µ = 1 , µ − τ2 µ = et µ − τ3 µ = −1 ;
(ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}.
Les sous groupes propres de P (R)/Q(R) sont H 1 , H 2 et H 3 avec
H1 = {0, 1 }, H2 = {0, } et H3 = {0, −1}.
Lemme 2. — Soit µi l’élément de h∗ :
1 µi =
,
i = 1, 2, 3.
|Hi |
∈Hi
On a :
(i) µ1 − τ1 µ1 = 1 , µ2 − τ2 µ2 = et µ3 − τ3 µ3 = −1 .
(ii) (µi − W µi ) ∩ Q(R) = {0}, i = 1, 2, 3.
3.6. — Soient g une algèbre de Lie simple de type E6 , h une sous
algèbre de Cartan de g, R = R(g, h), B = {α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6 } une
base de racines. Le groupe P (R)/Q(R) est isomorphe à Z3 , engendré par
l’image de 6 (par exemple). On pose Γ = {0, 1 , 6 } et on note sαk par
k. On définit l’homomorphisme φ en posant
z = φ(6 ) = 6543245134625431.
Soit α̃ la plus grande racine de R, i.e. α̃ = α1 +2α2 +2α3 +3α4 +2α5 +α6 .
On a alors :
z(α1 ) = −α̃, z(α2 ) = α5 ,
z(α4 ) = α4 , z(α5 ) = α3 ,
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o
4
z(α3 ) = α2 ,
z(α6 ) = α1 .
ENDOMORPHISMES
K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER
465
On vérifie que z 3 = 1.
Lemme. — Soit µ l’élément de h∗ :
µ = µΓ =
1 1
= (1 + 6 ).
|Γ|
3
∈Γ
On a :
(i) µ − zµ = 6 et µ − z 2 µ = 1 ;
(ii) (µ − W µ) ∩ P (R) = {0, 1 , 6 }.
Preuve. — (i) est une simple vérification. Pour tout β ∈ R, on a
(µ, β̌) = (µ, β) = 0, ± 31 , ± 32 . Posons Si = {β ∈ R | (µ, β) = 13 i}, pour
i = 0, ±1, ±2.
6
Soit y ∈ W tel que µ − yµ ∈ P (R), on a alors µ − yµ = i=1 ai i avec
ai ∈ Z pour tout i 1 ≤ i ≤ 6. Donc, pour tout β ∈ R, on a (µ − yµ, β) =
(µ, β)−(µ, y −1 β) ∈ Z. On en déduit y −1 α1 , y −1 α6 ∈ S1 ∪S−2 , y −1 αi ∈ S0
pour 2 ≤ i ≤ 5 et par conséquent µ − yµ = a1 1 + a6 6 . Il est impossible
d’avoir y −1 α1 ∈ S−2 et y −1 α6 ∈ S−2 car ceci entraı̂ne yµ = −2µ ce qui
est impossible. Donc les seuls cas restant sont :
y −1 α1 ∈ S1
et y −1 α6 ∈ S1 =⇒ µ − yµ = 0,
y −1 α1 ∈ S1
et y −1 α6 ∈ S2 =⇒ µ − yµ = 6 ,
y −1 α1 ∈ S2
et y −1 α6 ∈ S1 =⇒ µ − yµ = 1 .
Ceci démontre (ii).
3.7. — Soient g une algèbre de Lie simple de type E7 , h une sousalgèbre de Cartan de g, R = R(g, h), B = {α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6 , α7 } une
base de racines. Le groupe P (R)/Q(R) est isomorphe à Z2 , engendré par
l’image de 7 . On pose Γ = {0, 7 }. On note sαk par k. On définit
l’homomorphisme φ en posant
t = φ(7 ) = 765432456134524376541234567.
Soit α̃ la plus grande racine de R, i.e. α̃ = 2α1 + 2α2 + 2α3 + 4α4 + 3α5 +
2α6 + α7 . On a alors :
t(α1 ) = α6 , t(α2 ) = α2 , t(α3 ) = α5 ,
t(α4 ) = α4 , t(α5 ) = α3 , t(α6 ) = α1
et t(α7 ) = −α̃.
On vérifie que t2 = 1.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
466
A. ZAHID
Lemme. — Soit µ l’élément de h∗ :
µ = µΓ =
1 = 12 7 .
|Γ|
∈Γ
On a :
(i) µ − tµ = 7 ;
(ii) (µ − W µ) ∩ P (R) = {0, 7 }.
Preuve. — (i) est une simple vérification.
Pour tout β ∈ R, on a (µ, β̌) = (µ, β) = 0, ± 12 . Posons Si = {β ∈ R |
(µ, β) = 12 i}. Soit y ∈ w tel que µ − yµ ∈ P (R), on a alors µ − yµ = a7
avec a ∈ Z. Comme dans 3.6 on trouve y −1 α7 ∈ S1 et y −1 αi ∈ S0 , avec
1 ≤ i ≤ 6, et par conséquent µ − yµ = 7 .
Ceci montre (ii).
3.8.— Soient H un sous groupe de P (R)/Q(R) et µ = µH =
1/|H| ∈H . D’après la PROPOSITION 3.1, l’ensemble Wµ = {w ∈ W |
µ − wµ ∈ Q(R)} est réduit au stabilisateur de µ dans W .
Lemme 1.
(i) Le module de Verma M (yµ) est simple pour tout y ∈ W .
(ii) Les modules de Harish-Chandra simples V , avec AnnZ(g) V =
Ker χµ et r AnnZ(g) V = Ker χ−µ sont, à isomorphisme près, les modules
L(M (φ()µ), M (µ)) avec ∈ H.
Preuve.
(i) résulte de (cf. [4, 7.6.24]) et du fait que (yµ, α̌) ∈ Z ⇔ (yµ, α̌) = 0
pour tout y ∈ W .
(ii) résulte de la classification des modules de Harish-Chandra simples
(cf. [5, 4.1]) et de la PROPOSITION 3.1.
Lemme 2. — Supposons que + ≡ 0 modulo Q(R), avec et dans H. Alors
φ( ) · = − .
En effet on a = µ − φ()µ. D’où φ( ) = φ( )µ − φ( )φ()µ
ou encore φ( ) = φ( )µ − µ = − .
4. Endomorphismes k-finis des modules
de Whittaker simples
4.1. — Soient H un sous groupe de P (R)/Q(R) et µ = µH . Le théorème
suivant donne une décomposition, suivant le groupe H, de l’algèbre des
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4
ENDOMORPHISMES
K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER
467
endomorphismes k-finis, d’un module de Whittaker simple Wh(
µ), en
somme directe de sous modules de Harish-Chandra simples, deux à deux
non isomorphes.
Théorème. — Soit g une algèbre de Lie semi simple complexe. Pour
tout sous groupe H de P (R)/Q(R) on a
L Wh(
µ), Wh(
µ) ∼
L M (φ()µ), M (µ) .
=
∈H
Preuve. — D’après 1.6, L := L(Wh(
µ), Wh(
µ)) s’écrit L =
où Γ = P (R)/Q(R).
a) Soient ∈ Γ et λ ∈ ( + Q(R)) ∩ P (R)+ . On a
∈Γ
L
[L : E(λ)]k = [L : E(λ)]k
= dim Homk E(λ), L
= dim Homg E(λ) ⊗ Wh(
µ), Wh(
µ) .
D’après 2.2, le module E(λ)⊗ Wh(
µ) possède une suite de Jordan-Hölder,
avec des quotients simples isomorphes à Wh((µ + ν)) où ν ∈ Ω(E(λ)),
tel que [E(λ) ⊗ Wh(
µ) : Wh((µ + ν) )] soit égale à la multiplicité de
ν dans E(λ). On en déduit donc que [L : E(λ)]k = 0 si et seulement
si Wh(
µ) est isomorphe à un sous-quotient de E(λ) ⊗ Wh(
µ). D’où
L : E(λ) k = 0 ⇐⇒ ∃ ν ∈ Ω E(λ)
⇐⇒ ∃ ν ∈ Ω E(λ)
avec µ
= (µ + ν)
et ∃ y ∈ W : µ − yµ = −ν.
D’après la PROPOSITION 3.1, ceci est encore équivalent à :
∃ ∈ H : − ∈ Ω E(λ) .
Or, si existe, il doit vérifier + ∈ Q(R). Ceci montre, d’une part
que
L = 0 ⇐⇒ ∈ H
et d’autre part que
L : E(λ) k ≤ dim E(λ)−
où ∈ H doit vérifier + ≡ O mod Q(R).
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
468
A. ZAHID
b) Soit ∈ H ; d’après a), L est un module de Harish-Chandra
non nul. Soit V = 0 un sous-module simple de L . D’après 3.8, V est
nécessairement isomorphe à L(M (φ()µ), M (µ)). D’autre part, on a pour
tout E ∈ k (cf. [3, 6.8]),
[V : E]k = L(M (µ − ), M (µ)) : E k = dim E .
Donc si λ ∈ ( + Q(R)) ∩ P (R)+ on a, d’après a) et d’après le LEMME 2
du paragraphe 3.8
dim E(λ)− = dim E(λ) = [V : E(λ)]k
≤ [L : E(λ)]k ≤ dim E(λ)− .
D’où finalement
L = V L M (µ − ), M (µ) = L M (φ()µ), M (µ) .
En particulier, on a pour tout λ ∈ ( + Q(R)) ∩ P (R)+
[L : E(λ)] = dim E(λ) .
4.2. — Soit µ = µH . Posons M = Wh(
µ) et L = L(M, M ). Alors
L=
L .
∈H
Soient 1 et 2 deux éléments de H. D’après la simplicité de M on a
L1 · L2 M = L1 M = M.
D’où L1 · L2 = 0. D’autre part, puisque les poids de U (g) pour l’action
adjointe de g, n’appartiennent qu’à Q(R), on a
L1 · L2 ⊂ L1 +2 .
Comme L1 · L2 est un U (g)-bimodule et que L1 +2 est simple on a
L1 · L2 = L1 +2
ainsi L est un anneau (fortement) gradué par le groupe H.
Proposition.
(i) L0 = U (g)/ Ann M est un sous-anneau simple complètement
premier de L.
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ENDOMORPHISMES
K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER
469
(ii) L est simple.
(iii) Tout élément homogène de L est non diviseur de 0.
L’action de U (g) sur M , permet par passage au quotient, de plonger
U (g)/ Ann M dans L(M, M ). D’autre part
U (g)/ Ann M = U (g)/ Ann M (µ) L M (µ), M (µ) .
Comme I(µ) = U (g) Ker χµ = Ann M (µ), est un idéal primitif complètement premier, on a L0 = U (g)/I(µ) est intègre ; d’autre part L0 est
simple, puisqu’il est simple comme U (g)-bimodule. Ceci montre (i).
Soit K un idéal de L, alors K est un U (g)-sous-bimodule de L, qui est
somme directe de sous-modules simples L , deux à deux non isomorphes,
et par conséquent K contient ses composantes homogènes.
Supposant K = 0, on a L ⊂ K avec ∈ H. D’où L− L = L0 ⊂ K
et puis K = L. Ceci montre (ii).
Soient 1 et 2 dans H, a ∈ L1 et b ∈ L2 , a et b non nuls. On a
L−1 a = 0 et bL−2 = 0.
En effet L−1 a = 0 entraı̂ne L1 L−1 a = L0 a = 0, puis L0 aM = 0, d’où
aM est un sous-module de M , ce qui donne a = 0 ou L0 M = 0, ce qui
est impossible.
De même bL−2 = 0 entraı̂ne bL−2 M = bM = 0, d’où b = 0, ce qui
est impossible.
Il existe donc a ∈ L−1 et il existe b ∈ L−2 tels que a a = 0 et
bb = 0. Comme L0 est intègre on a
(aa )(bb ) = a (ab)b = 0.
D’où ab = 0. Ceci montre (iii).
5.1. Le cas de g = sl2 (C). (cf. [9, 2.3]). — On a dans ce cas
µ), le module
Γ = {0, } et µ = 12 = 12 ρ = 14 α. On pose M = Wh(
de Whittaker simple, de caractère χµ . D’après le THÉORÈME 4.1, l’algèbre
L = L(M, M ) se décompose en somme directe de sous -U (g)-bimodules
simples
L = L0 ⊕ L1
et on a
[L : E()] = 1.
On notera alors F1 le k-type minimal de L isomorphe à E(). Il est de
dimension 2. On note F0 l’image de g dans L0 .
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
470
A. ZAHID
Soient E un g-module de dimension finie, et p ≥ 2 un entier
p naturel.
On désigne par Ap (E) (resp. S p (E)), le sous-g-module de
E, formé
des tenseurs antisymétriques (resp. symétriques). On a besoin du lemme
suivant qui se déduit de (cf. [7, 5.9.]).
Lemme. — Soient g une algèbre de Lie semi simple complexe, U un
quotient primitif de U (g), et F un ad g-sous-module non nul de U .
Si [F, F ] = 0 alors F = C · 1.
Preuve. — Sinon la sous-algèbre de U engendrée par F , serait commutative, ad g-stable et non réduite aux scalaires, ce qui est exclu par
(cf. [7, 5.9]).
Proposition. — L’algèbre L est isomorphe à l’algèbre de Weyl A1 .
Preuve. — D’après la formule des caractères de Weyl
F1 ⊗ F2 ≡ E(0) ⊕ E(2) = E(0) ⊕ Ead .
D’après la PROPOSITION 4.2(iii)
F12 = 0.
Comme on a
S 2 (F1 ) ∼
= Ead −→ F12 −→ 0,
F12 est isomorphe à Ead . Si [F1 , F1 ] = 0, alors F12 serait ad g-stable
commutative non réduite aux scalaires, ce qui contredit le lemme. Donc
[F1 , F1 ] = 0.
D’autre part on a
A2 (F1 ) ∼
= E(0) −→ [F1 , F1 ] −→ 0.
On en déduit que
[F1 , F1 ] = C · 1
on peut alors choisir une base {p, q} de F1 telle que
[p, q] = 1.
On a alors
Cq 2 + C(qp + pq) + Cp2 ∼
= Ead .
= S 2 (F1 ) ∼
Comme on a [L : Ead ]k = 1, il résulte que
F0 = Cq 2 + C(qp + pq) + Cp2 .
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4
ENDOMORPHISMES
K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER
471
D’où la proposition puisque L est engendré par F0 et F1 .
Soit n ∈ Z. On peut montrer facilement que
L = L Wh (µ + n) , Wh((µ + n))
admet la même structure de U (g)-bimodules que L(Wh(
µ), Wh(
µ)). Pour
n = 1, un calcul simple montre que L est isomorphe à l’algèbre des
opérateurs différentiels sur la courbe x2 = y 3 . (cf. Smith).
5.2. Le cas de g = sl3 (C). — On a dans ce cas
Γ = {0, 1 , 2 }
et µ =
1
1
(1 + 2 ) = ρ.
3
3
On pose M = Wh(
µ), le module de Whittaker simple, de caractère χµ .
D’après le THÉORÈME 4.1, l’algèbre L = L(M, M ) se décompose en somme
directe de sous-U (g)-bimodules simples
L = L0 ⊕ L1 ⊕ L2
et on a
[L : E(i )]k = 1 pour
i = 1, 2.
On notera alors Fi le k-type minimal de Li isomorphe à E(i ). On note
F0 l’image de g dans L0 . Soit g2 l’algèbre de Lie simple exceptionnelle de
dimension 14. D’après (cf. [8, 6.3, Table]) il existe un unique idéal primitif
complètement premier J0 ; vérifiant GK dim(U (g)/J0 ) = 6.
Si on désigne par α et β , les poids fondamentaux de g2 , correspondants à α racine courte et β racine longue, on a
1
J0 = AnnU(g) L(α + β ).
3
Proposition. — L := F0 ⊕ F1 ⊕ F2 est une algèbre de Lie simple,
isomorphe à g2 . De plus on a
L∼
= U (g2 )/J0 .
En particulier L est intègre.
Preuve.
a) Il est clair que [F0 , Fi ] ⊂ Fi pour i = 1, 2.
b) D’après la formule de caractères de Weyl
F1 ⊗ F1 ∼
= E(2 ) ⊕ E(21 );
3
F1 ∼
= E(0) ⊕ E(1 + 2 ) ⊕ E(1 + 2 ) ⊕ E(31 ).
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
472
A. ZAHID
D’autre part, A2 (F1 ) est un ad g-module non nul de dimension 3
isomorphe E(2 ). D’où
E(2 ) ∼
= A2 (F1 ) −→ [F1 , F1 ] −→ 0.
Comme E(2 ) est de multiplicité 1 dans L, on a [F1 , F1 ] ⊂ F2 .
Si [F1 , F1 ] = 0, alors d’après la PROPOSITION 4.2 (iii) 0 = F := F13 ⊂
L0 , satisfait à l’hypothèse du lemme, d’où F = C · 1. D’autre part, S 3 (F1 )
est un g-module non nul de dimension 10 isomorphe à E(31 ), d’où
E(31 ) ∼
= S 3 (F1 ) −→ F13 −→ 0.
Ceci contredit F13 = C·1. On a donc [F1 , F1 ] = F2 . De même, [F2 , F2 ] = F1 .
c) Montrons que [F1 , F2 ] = F0 , ce qui établira que L est une algèbre
de Lie simple de dimension 14, isomorphe à g2 . On a
F2 = [F1 , F1 ] = F1 , [F2 , F2 ] .
D’après l’identité de Jacobi on a
F2 ⊂ [F1 , F2 ], F2 ,
de telle sorte que [F1 , F2 ] est non nul. Soit q1 un vecteur de plus haut
poids 1 dans F1 . On pose
q2 = [X−α1 , q1 ],
q3 = [X−α2 , q2 ].
Le système {qi }i=1,2,3 est alors une base de F1 , formée de vecteurs de
poids. On pose p3 = [q1 , q2 ]. C’est un vecteur de poids 2 dans F2 . On
définit enfin
p2 = [X−α2 , p3 ], p1 = [X−α1 , p1 ].
On a alors
p2 = [q1 , q3 ],
p1 = [q2 , q3 ].
Le système {pi }i=1,2,3 est alors une base de F2 , formée de vecteurs de
poids. D’après la formule de caractères de Weyl
E(1 + 2 ) ⊕ E(0) ∼
= F1 ⊗ F2 −→ [F1 , F2 ] −→ 0.
La représentation triviale de [F1 , F2 ] étant égale à
3
[qi , pi ] = q1 , [q2 , q3 ] + q2 , [q1 , q3 ] + q3 , [q1 , q2 ] = 0
i=1
on a
TOME
[F1 , F2 ] ∼
= E(1 + 2 ).
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o
4
ENDOMORPHISMES
K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER
473
3
Montrons que
i=1 qi pi est non nul. Comme F1 F2 est ad g-stable
non nul, F1 F2 U (g) est un sous-bimodule non nul de L0 , donc égal à L0 .
On en déduit que la représentation triviale de L, qu’on note T se trouve
dans F1 L2 , il existe alors un module N simple de dimension finie dans L2 ,
tel que
T ⊂ F1 N et F1 ⊗ N −→ F1 N −→ 0.
D’où
N∼
= F1∗ ∼
= E(2 )
3
et puis N = F2 , puisque [E(2 ) : L]k = 1. On a donc i=1 qi pi = 1 à un
scalaire non nul près.
Montrons que m := [F1 F2 + F2 F1 : E(1 + 2 )]k = 2. On a :
0 = m ≤ L, E(1 + 2 ) k = 2
E(1 + 2 ) = Ead .
Si m = 1, il existe un homomorphisme entre la copie de Ead dans F1 F2
et celle dans F2 F1 , par conséquent il existe un scalaire α, tel que l’on ait
(par exemple)
q1 p2 = αp2 q1 et q3 p2 = αp2 q3 .
D’où
p22 = (q1 q3 − q3 q1 )p2 = α2 p2 (q1 q3 − q3 q1 ) = α2 p22 .
Comme p22 = 0 on a α2 = 1.
Supposons que α = 1. Comme 3i=1 [qi , pi ] = 0, on aura [F1 , F2 ] = 0,
ce qui est impossible. Supposons α = −1. On trouve
D’où
q1 p2 + p2 q1 = 0.
[q12 , q3 ] = q1 p2 + p2 q1 = 0
[q12 , q2 ] = q1 p3 + p3 q1 = 0
de sorte que
[q12 , F1 ] = 0.
∼ E(21 ), qui est un module
Mais q12 est le générateur de F := S 2 (F1 ) =
simple. Donc [F, F1 ] = 0, et par conséquent [F, F ] = 0.
On pose G = F 3 , il contient le vecteur q16 qui est non nul, et
qui engendre un sous ad g-module simple isomorphe à E(61 ) contenu
dans L0 . Comme [G, G] = 0, il y a contradiction avec le lemme. On a
donc m = 2 de telle sorte que F0 est un sous-module de F1 F2 + F2 F1 .
Il existe donc un scalaire α tel que
q1 p2 = αp2 q1 + e12
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
474
A. ZAHID
où e12 ∈ F0 est un vecteur de poids α1 . Comme e12 est proportionnel à
Xα1 , [q1 , e12 ] = 0. D’où
q12 p2 = αq1 p2 q1 + q1 e12
et q1 p2 q1 = αp2 q12 + e12 q1 .
De sorte que
q12 p2 − q1 p2 q1 = α(q1 p2 q1 − p2 q12 ).
Ou encore
q1 [q1 , p2 ] = α[q1 , p2 ]q1
et
q13 [q1 , p2 ] = α3 [q1 , p2 ]q13 .
La filtration de L0 , induite par la filtration canonique de U (g), est telle
que le gradué gr L0 est commutatif intègre, donc puisque q13 et [q1 , p2 ] sont
deux éléments non nuls de L0 , on a
(gr q13 ) gr [q1 , p2 ] = gr q13 [q1 , p2 ]
= α3 gr [q1 , p2 ]q13
= α3 gr [q1 , p2 ] gr q13 .
D’où α3 = 1. Supposons α = 1. Alors [q1 , p2 ] s’exprime comme somme
de deux contributions, de bons poids, des deux représentations adjointes.
On a alors
[q1 , p2 ] = ae12 + b He12 + e13 e32 ,
avec a et b scalaires et H = [e12 , e21 ] + 2[e23 , e32 ] ∈ h. Comme [q1 , e12 ] =
[q1 , e13 ] = [q1 , e32 ] = 0, on a
q13 , [q1 , p2 ] = 0 =⇒ [q13 , H] = 0.
D’où la contradiction. On a donc α = 1 et [q1 , p2 ] = e12 . Par conséquent :
[F1 , F2 ] = F0 .
d) Il est clair que la sous algèbre de Cartan h de g est encore une
sous algèbre de Cartan de g2 . On note R = R(g2 , h) le système de racines
de g2 relativement à h. On pose
α = 1 − α1
TOME
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o
4
et β = α1 .
ENDOMORPHISMES
K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER
475
On vérifie alors que {α, β} constitue une base de racines de R, avec α
racine courte et β racine longue. On désigne par α et β les poids
fondamentaux correspondants. On a alors le tableau suivant :
Racines positives longues
β = α1
3α + β = α2
3α + 2β = α1 + α2
Racines positives courtes
α = 1 − α1
α + β = 1
2α + β = 2
Poids fondamentaux
α = 2α + β = 2
β = 3α + 2β = 1 + 2 = ρ
Posons m+ = ⊕ν∈R+ CXν m− = t m+ , comme R+ ⊂ R+ on a n+ ⊂ m+ .
e) L’injection de g2 dans L, se prolonge en un homomorphisme
d’algèbres de U (g2 ) dans L. Cet homomorphisme est surjectif puisque
chaque composante de L est engendré par son k-type minimal. D’autre
part, M étant un L-module simple fidèle, L est une algèbre primitive.
L’idéal I de U (g2 ) tel que L soit isomorphe U (g2 )/I est alors un idéal
primitif. D’après le théorème de Duflo, il existe λ dans h∗ tel que
I = AnnU(g2 ) L(λ) = I(λ), où L(λ) est l’unique quotient simple du module
de Verma M (λ) associé à g2 , h, m+ , λ. Comme on a un plongement de
LO = U (g))/I(µ) dans U (g2 )/I(λ), il vient que I(λ) ∩ U (g) = I(µ).
Soit eλ ∈ L(λ), un vecteur non nul de plus haut poids λ − ρg2 . Puisque
n+ ⊂ m+ et d’après (cf. [4, 7.1.8]) on a U (g)eλ est une image du module
de Verma M (λ − ρg2 + ρ) associé à g, h, n+ , λ − ρg2 . On en déduit alors
χµ = χλ−ρg2 +ρ = χλ−α .
D’où
∃ y ∈ W = W (g, h) : λ = yµ + α .
Posons
θ1 = α + 13 β ,
θ2 = 2α − 23 β ,
θ3 = α + 13 β .
On montre par un calcul simple que
λ ∈ θ1 , S β θ 1 , θ2 , S β θ 2 , θ3 , S β θ 3 .
Comme β ∈
/ Rθi : i = 1, 2, 3 et d’après (cf. [6, 5.14]) on a
I(θi ) = I(Sβ θi ) : i = 1, 2, 3.
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476
A. ZAHID
Par conséquent λ ∈ {θ1 , θ2 , θ3 }.
Soit eλ ∈ L(λ), un vecteur non nul de poids λ − ρg2 , et soit C l’élément
de U (g) :
C=
X−α Xα + Hα1
α∈R
2
3 Hα1
+ 13 Hα2 + Hα2 ( 13 Hα1 + 23 Hα2 .
D’après (cf. [3, 7.8.5]), C ∈ Z(g). D’où
C − χµ (C) ∈ I(µ) = U (g) ∩ I(λ)
et par suite
0 = C − χµ (C) · eλ = C · eλ − χµ (C)eλ .
On vérifie alors que nécessairement λ = θ1 = α + 13 β .
Finalement I = I(α + 13 β ) = J0 est l’idéal de Joseph, c’est l’unique
idéal primitif complètement premier, de dimension Gelfand-Kirillov égale
à 6 (cf. [8]).
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N
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ENDOMORPHISMES
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