Bull. Soc. math. France, 117, 1989, p. 451–477. LES ENDOMORPHISMES k-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER PAR Aboubeker ZAHID (*) RÉSUMÉ. — Soit g une algèbre de Lie semi-simple complexe, Wh un module de Whittaker simple. On donne une décomposition de l’algèbre des endomorphismes k-finis, de Wh dans Wh, en somme directe de modules de Harish-Chandra simples, suivant le groupe P (R)/Q(R). Ceci étant fait, pour un choix très particulier du caractère central du module de Whittaker, on peut par un principe de translation par les éléments de P (R), récupérer le résultat pour les autres caractères. On obtient en particulier une famille de suralgèbres k-finis de l’algèbre enveloppante de g. Ces suralgèbres semblent très intéressantes à étudier ; en effet on obtient dans le cas de g = sl2 (C), soit l’algèbre de Weyl A1 , soit en translatant, l’algèbre des opérateurs différentiels sur une courbe singulière. Dans le cas de g = sl3 (C), on obtient le quotient de l’algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie exceptionnelle de dimension 14, par un idéal primitif complètement premier. ABSTRACT. — Let g be a complex semisimple Lie algebra, and let Wh a simple Whittaker module. We give a decomposition of the algebra of k-finite vectors of EndC (Wh), as direct sum of Harish-chandra submodules. We then obtain a family of over rings of certain primitives quotients of enveloping algebras. In the cases g = sl2 (C) and g = sl3 (C) the structure of this rings is uniquely determined by their structure of g-module. Je ne veux pas manquer d’exprimer ici ma très grande reconnaissance à A. JOSEPH, qui a dirigé et encouragé mon travail avec beaucoup de patience et d’attention. Je remercie aussi C. MŒGLIN pour les discussions utiles que j’ai eu avec elle. Introduction 1.1. — Soient g une algèbre de Lie semi-simple complexe, h une sousalgèbre de Cartan de g. Soient R un système de racines de (g, h) et R+ ⊂ R l’ensemble des racines positives, B ⊂ R+ l’ensemble des racines (*) Texte reçu le 9 janvier , révisé le 12 mai . A. ZAHID, 1 boulevard Jourdan, 75690 Paris Cedex 14, France. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE c Société mathématique de France 0037-9484/1989/451/$ 5.00 452 A. ZAHID simples, ρ la demi-somme des racines positives, Sα ∈ Aut(h∗ ) la réflexion correspondante à la racine α ∈ R et W le groupe (de Weyl) engendré par les Sα , α ∈ B. Soit Xα l’élément de la base de Chevalley correspondant à la racine α et soient : CXα , n− = CX−α , b = h ⊕ n+ . n+ = α∈R+ α∈R+ On note X → t X l’antiautomorphisme de Chevalley défini par les conditions t Xα = X−α pour α ∈ R. 1.2. — On note Q(R) = ZR l’ensemble des poids radiciels de R, où P (R) est l’ensemble des poids de R (λ, α) ∈ Z, ∀α ∈ R · P (R) = λ ∈ h∗ : 2 (α, α) Pour tout α ∈ R, on note α̌ = 2α/(α, α). On dit que λ ∈ h∗ est régulier (resp. dominant) si (λ, α) = 0 (resp. si (λ, α̌) ∈ / {−1, −2, · · ·}) pour tout α ∈ R+ . On note P (R)+ , l’ensemble des poids dominants de P (R). Pour tout λ ∈ h∗ , on pose Rλ = {α ∈ R : 2(α, λ)/(α, α) ∈ Z}. Si B = {α1 , . . . , α } désigne une base de R, on notera {1 , . . . , }, la base formée par les poids fondamentaux correspondants. On a Q(R) ⊂ P (R) et on considèrera P (R)/Q(R) comme un groupe additif. Les représentants dans P (R) des éléments non nuls de P (R)/Q(R) seront toujours choisis parmi les i tels que 1 ≤ i ≤ . 1.3. — Pour tout λ ∈ h∗ , soit M (λ) le module de Verma de plus haut poids λ − ρ et L(λ) l’unique sous-quotient simple de M (λ). On désigne par χλ le caractère central de M (λ). Soit g l’ensemble des classes d’équivalence de g-modules simples de dimension finie. L’application qui, à tout λ ∈ P (R)+ , associe la classe d’isomorphisme [L(λ + ρ)] des g-modules simples de dimension finie et de plus haut poids λ, est une bijection de P (R)+ sur g. On note E(λ) un représentant de [L(λ + ρ)]. Si V est un g-module, on notera par Vµ le sous-espace de poids µ de V . 1.4. — Soit U (g) l’algèbre enveloppante de g et soient Z(g) le centre de U (g), Max Z(g) l’ensemble des idéaux maximaux de Z(g). Soit u → ǔ l’antiautomorphisme principal de U (g). Si M et N sont deux g-modules alors HomC (M, N ) est un U (g) ⊗ U (g)-module sous l’action (a ⊗ b) · x (m) = ax(b̌m) TOME 117 — 1989 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 453 pour tous a et b dans U (g), x dans HomC (M, N ) et m dans M . On identifie U (g) ⊗ U (g) avec U (g × g). Soit j : g → g × g défini par j(X) = (X, X), ∀X ∈ g. On pose k = j(g), k est alors isomorphe à g, et est donc semi-simple. On définit le module des vecteurs k-finis de HomC (M, N ) par L(M, N ) = x ∈ HomC (M, N ) : dimC U (k)x < ∞ · On vérifie facilement, que L(M, N ) est un U (g) ⊗ U (g)-sous-module de HomC (M, N ). 1.5. — Soit V un U (g) ⊗ U (g)-module et soit E un k-module simple de dimension finie. On peut considérer V comme un k-module et on désignera par [V : E]k la multiplicité de E dans une suite de Jordan-Hölder de V . Comme k est semi-simple on a : [V : E]k = dim Homk (E, V ). On dit que V est un module de Harish-Chandra pour la paire (g ⊗ g, k) si : (i) dimC (Z(g) ⊗ Z(g)/ AnnZ(g)⊗Z(g) V ) < ∞ ; (ii) dimC U (k)v < ∞, pour tout v ∈ V . Puisque k est semi-simple, ceci équivaut à dire que V est somme directe de U (k)-sous-modules simples de dimensions finies de V et on impose : (iii) [V : E]k < ∞ pour tout U (k)-module simple E. On notera par H, la catégorie des modules de Harish-Chandra. Les objets de H sont de longueur finie (cf. [1, 5.7]). Lorsque M et N sont deux U (g)-modules de longueurs finies, alors L(M, N ) est un module de Harish-Chandra (cf. [1, 6.2]). 1.6. — On identifie g et k grâce à l’isomorphisme j de 1.4, on a alors k = E(λ) : λ ∈ P (R)+ · D’autre part, on peut écrire k comme réunion disjointe : k = Cγ γ∈P (R)/Q(R) := E(λ) : λ ∈ P (R)+ ∩ (γ + Q(R) · γ∈P (R)/Q(R) BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 454 A. ZAHID Pour chaque module de Harish-Chandra V et pour tout élément γ ∈ P (R)/Q(R), on définit la composante Vγ de V comme étant la somme directe des U (k)-sous-modules simples de dimensions finies, de type appartenant à Cγ . D’après (cf. [10, 3.7]) Vγ est un U (g) ⊗ U (g)-sousmodule de V ; de plus il est clair que Vγ est un module de Harish-Chandra. En particulier, si M et N sont deux U (g)-modules simples, on a la décomposition : L(M, N ) = L(M, N )γ γ∈P (R)/Q(R) en somme directe de U (g)-sous-bimodules. 2. Modules de Whittaker 2.1. — Soit η : n+ → C un homomorphisme d’algèbres de Lie tel que η(Xα ) = 0 pour tout α ∈ B. Cet homomorphisme se prolonge en un homomorphisme, noté encore η, de U (n+ ) dans C. On note Ker η son noyau dans U (n+ ). Soit V un U (g)-module. Un vecteur w ∈ V est appelé vecteur de Whittaker si X · w = η(X)w, ∀X ∈ n+ . Un U (g)-module V est appelé module de Whittaker s’il est engendré par un vecteur de Whittaker w. On a alors : V = U (g) · w. Soit Iw l’annulateur de w dans U (g) on a : V U (g)/Iw . D’autre part il est clair que : U (g) AnnZ(g) V + U (g) Ker η ⊂ Iw . D’après [11, 3.1], on a en fait égalité et tout module de Whittaker est alors déterminé, à isomorphisme près, par son annulateur dans Z(g), d’où une bijection entre l’ensemble des classes d’isomorphismes de modules de Whittaker et l’ensemble des idéaux de Z(g) (cf. [11, 3.2]). De plus, si V est un module de Whittaker, il existe une bijection, entre les sous-modules de V , et les idéaux de Z(g) contenant AnnZ(g) V (cf. [11, 3.7]). Donc V est TOME 117 — 1989 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 455 un module de Whittaker simple si et seulement si AnnZ(g) V ∈ Max Z(g) (cf. [11, théorème 3.6.1]). On désigne par Wh l’ensemble des classes d’isomorphismes des modules l’orbite de λ sous l’action de Whittaker simples. Pour chaque λ ∈ h∗ , soit λ de W . On considère : V = U (g)/U (g) Ker χλ + U (g) Ker η, muni de la représentation régulière gauche ; il est clair que V est un module de Whittaker. D’autre part V est simple, puisque Ker χλ est un la classe d’isomorphisme idéal maximal de Z(g). On note alors Wh(λ), ∗ associe Wh(λ), est de V . L’application de h /W dans Wh, qui à λ alors une bijection ; en effet ceci résulte de ce qui précède et du fait que → AnnZ(g) Wh(λ) = Ker χλ est une bijection de h∗ /W sur Max Z(g) λ (cf. [4, 7.4.7, 7.4.8]). 2.2. — Soit E un g-module simple de dimension finie n. On désigne par Ω(E), l’ensemble des poids de E. On a alors : possède une suite Théorème (cf. [11, 4.6]). — Le g-module E ⊗ Wh(λ) de Jordan-Hölder de longueur n, avec des quotients simples isomorphes à Wh((λ + ν) ), où ν ∈ Ω(E). 3. Quelques propriétés des racines d’une algèbre de Lie semi-simple (Pour toutes les notations, concernant ce paragraphe, voir (cf. [2]).) 3.1. — Soit H un sous-groupe de P (R)/Q(R), il existe un système de représentants noté H, tel que les éléments non nuls de H aient pour représentants des poids fondamentaux. Ce choix particulier sera toujours adopté par la suite. On définit alors, pour tout sous-groupe H de P (R)/Q(R), l’élément µH de h∗ par : µH = 1 . |H| ∈H Proposition. — Il existe un homomorphisme de groupes φ : P (R)/Q(R) −→ W vérifiant, pour tout sous-groupe H de P (R)/Q(R), les propriétés suivantes : BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 456 A. ZAHID (i) µH − φ()µH = pour tout ∈ H ; (ii) (µH − W · µH ) ∩ Q(R) = {0} ; (iii) (µH − W · µH ) ∩ P (R) = H. L’existence de φ, ainsi que le (i) et le (ii) de la PROPOSITION, vont se faire en se ramenant chaque fois à une algèbre de Lie simple, de type A , B , C et D . Pour E6 et E7 on donnera une démonstration directe. Pour les autres types d’algèbres simples, le groupe P (R)/Q(R) est trivial. Montrons que (i) et (ii) entraı̂nent (iii). a) Supposons que Γ = P (R)/Q(R) n’a pour sous-groupes que {0} et lui même. Soit µ = µΓ . Si y ∈ W et µ − yµ ∈ P (R). Alors µ − yµ = + q avec ∈ Γ et q ∈ Q(R). D’après (i), on a alors µ − yµ = µ − φ()µ + q. D’où φ()−1 q = µ − φ()−1 yµ ∈ Q(R). On a donc d’après (ii) q = 0, d’où (iii). b) Soit H un sous-groupe propre de Γ = P (R)/Q(R). On peut alors supposer R de type A ou D , et que β̌ = β pour tout β ∈ R. Soit µ = µH , on a alors le lemme suivant qui est une simple vérification. Lemme. — Pour tout β dans R, on a : (µ, β) ∈ Z ⇐⇒ (µ, β) = 0. Si y ∈ W et µ − yµ ∈ P (R). Alors µ − yµ = ai i , avec ai ∈ Z ∀i. ∈Γ Soit αi ∈ B tel que i ∈ / H. Alors ai = (µ − yµ, αi ) = (µ, αi ) − (µ, y −1 αi ) = −(µ, y −1 αi ). On a donc d’après le LEMME ai = 0. D’où µ − yµ = ai i ∈ + Q(R) avec ∈ H. ∈H Le raisonnement du a) permet alors de conclure. 3.2. — Soient g une algèbre de Lie simple de type A , où ≥ 1 et h une sous-algèbre de Cartan de g. Considérons dans R+1 , muni de sa base TOME 117 — 1989 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 457 canonique (εi )1≤i≤+1 , l’hyperplan V formée des points dont la somme des coordonnées est nulle. On peut alors construire le système de racines R = R(g, h) dans V . Une base de R est alors : α1 = ε1 − ε2 ; α2 = ε2 − ε3 ; · · · ; α = ε − ε+1 . On a alors : +1 Q(R) = x = xi εi ∈ V : +1 xi ∈ Z et i=1 xi = 0 i=1 +1 P (R) est engendré par Q(R) et ε1 − 1 εi . + 1 i=1 D’autre part, P (R)/Q(R) est un groupe cyclique isomorphe à Z+1 et engendré par l’image de 1 . En effet, on a i1 ≡ i mod Q(R) ∀i : 1 ≤ i ≤ . Notant Γ = {0, 1 , 2 , . . . , }, on a alors Γ = P (R)/Q(R). Soit C la transformation de Coxeter : C = Sα1 Sα2 · · · Sα , elle est d’ordre +1 dans W et il est clair qu’on obtient un homomorphisme φ de P (R)/Q(R) dans W en posant φ() = C. Lemme 1. — Soit µ l’élément de h∗ µ = µΓ = 1 1 1 ρ. = i = |H| + 1 i=1 +1 ∈Γ On a (i) µ − C i µ = i pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ ; (ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 458 A. ZAHID On a ( + 1)Cµ = C1 + C2 + · · · + C = 1 − α1 + 2 − (α1 + α2 ) + · · · + − (α1 + α2 + · · · + α ) = (1 + 2 + · · · + ) − α1 + ( − 1)α2 + · · · + ( − i + 1)αi + · · · + α · = ( + 1)(µ − 1 ). D’où µ − Cµ = 1 . Supposons que µ − C i µ = i , alors : µ − C i+1 µ = µ − C(C i µ) = µ − C(µ − i ) = µ − Cµ + Ci = 1 + i − (α1 + · · · + αi ) = 1 + i − (1 + i − i+1 ) = i+1 . Ceci montre (i). On a µ= +1 1 − 2(i − 1) εi . 2( + 1) i=1 Si ω ∈ W , on pose µ − ωµ = +1 k=1 xk εk . On a alors : µ − ωµ ∈ Q(R) ⇐⇒ xk ∈ Z ∀k : 1 ≤ k ≤ + 1 et +1 xk = 0. k=1 Comme W agit par permutations des εi , xk est de la forme 1 − 2(k − 1) − − 2(σ(k) − 1) 2( + 1) σ(k) − k = +1 xk = où σ est une permutation de {1, 2, . . . , + 1}. Il est alors clair que xk ∈ Z ⇐⇒ xk = 0. TOME 117 — 1989 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 459 Ceci montre (ii). Soit maintenant H un sous groupe de P (R)/Q(R) et supposons que avec t · i = + 1. t = |H| Le sous-groupe H, qui est engendré par l’image de i , est tel que H = 0, i , 2i , . . . , (t−1)i . Avec ces notations on a le lemme suivant : Lemme 2. — Soit µH l’élément de h∗ µH = 1 1 = i + 2i + · · · + (t−1)i . t t ∈H On a (i) µH − C k·i µH = k·i pour tout k tel que 1 ≤ k ≤ t − 1 ; (ii) (µH − W · µH ) ∩ Q(R) = {0}. D’après le LEMME 1 (i) tµH = t−1 s·i = s=1 t−1 (µ − C s·i µ). s=1 D’où pour tout k (1 ≤ k ≤ t − 1) : t(µH − C k·i µH ) = t−1 (µ − C s·i µ) − s=1 = t−1 (µ − C k·i µ) + s=1 t−1 k·i C µ − C (k+s)i µ s=1 t−1 (k+s)i µ − C s·i µ C s=1 = (t − 1)(µ − C k·i µ) + (µ − C k·i µ) = t(µ − C k·i µ) = tk·i . D’où (i). On a : t µH = 1 2t r=1 r·i (t − 2r + 1)εk . k=(r−1)i+1 BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 460 A. ZAHID +1 Si w ∈ W , on pose µH − wµH = k=1 xk εk . Comme W agit par permutations des εi , xk est de la forme xk = σ(r) − r 1 (t − 2r + 1) − (t − 2σ(r) + 1 = 2t t où σ est une permutation de {1, . . . , t} et où r ∈ {1, . . . , t}. Il est clair que xk ∈ Z ⇐⇒ xk = 0 d’où (ii). 3.3. — Soient g une algèbre de Lie simple de type B , avec ≥ 2 ; h une sous algèbre de Cartan de g, R = R(g, h). On peut construire le système de racines R dans R , muni de sa base canonique (εi )1≤i≤ . Une base B = {α1 , . . . , α } de R est donnée par : α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , . . . , α−1 = ε−1 − ε , α = ε . On a alors Q(R) = Zεi , P (R) = i=1 i=1 1 Zεi + Z 2 εi . i =1 Le groupe P (R)/Q(R) est isomorphe à Z2 , engendré par l’image de . On note Γ = {0, }. Soit w0 l’élément du groupe de Weyl, qui échange B en −B. On définit l’homomorphisme φ en posant φ( ) = w0 . Lemme. — Soit µ l’élément de h∗ µ = µΓ = 1 1 = . |Γ| 2 ∈Γ On a : (i) µ − w0 µ = ; (ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}. (i) est clair. D’autre part, comme W agit par permutations des εi et par changement de signe εi → (±)i εi , et que µ = 14 i=1 εi , il est clair que pour tout w ∈ W µ − wµ ∈ Q(R) = i=1 D’où (ii). TOME 117 — 1989 — N o 4 Zεi ⇐⇒ µ − wµ = 0. ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 461 3.4. — Soient g une algèbre de Lie simple de type C , avec ≥ 2, h une sous algèbre de Cartan de g, R = R(g, h). On peut construire le système de racines R, dans R muni de sa base canonique (εi )1≤i≤ . Une base de R est alors α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , . . . , α−1 = ε−1 − ε , α = 2ε . Les poids fondamentaux correspondants sont donnés par : i = ε1 + ε2 + · · · + εi , ∀i : 1 ≤ i ≤ , et on obtient Q(R) = x = xi εi : xi ∈ Z et xi pair ; i=1 P (R) = i=1 Zεk . i=1 Le groupe P (R)/Q(R) est isomorphe à Z2 , engendré par l’image de 1 . On note Γ = {0, 1 } et on définit φ en posant φ() = Sβ , où β est la plus grande racine de R. Sβ laisse fixes les εi avec i = 1 et envoie ε1 sur −ε1 . Lemme. — Soit µ l’élément de h∗ µ = µH = 1 1 1 = 1 = ε1 . |Γ| 2 2 ∈Γ Alors : (i) µ − Sβ µ = 1 ; (ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}. Preuve. — (i) est clair. D’autre part, comme W agit par permutations des εi avec changement de signe εi → (±)i εi , et que Q(R) est constitué de vecteurs à coordonnées entières dont la somme est paire, on a pour tout w∈W µ − wµ ∈ Q(R) ⇐⇒ µ − wµ = 0. D’où (ii). BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 462 A. ZAHID 3.5. — Soient g une algèbre de Lie simple de type D , avec ≥ 3, h une sous algèbre de Cartan de g, R = R(g, h). On peut construire le système de racines R, dans R muni de sa base canonique (εi )1≤i≤ . Une base de R est donnée par α1 = ε1 − ε2 , α2 = ε2 − ε3 , . . . , α−1 = ε−1 − ε , α = ε−1 + ε . Les poids fondamentaux correspondants sont donnés par : i = ε1 + ε2 + · · · + εi , −1 = 1 2 −1 k=1 εk − 12 ε , ∀i : 1 ≤ i ≤ , = 1 2 −1 k=1 εk + 12 ε . On a alors xi εi : xi ∈ Z et xi pair ; Q(R) = x = i=1 P (R) = i=1 i=1 Zεk + Z 12 εk . k=1 D’autre part, le groupe de Weyl agit par permutations des εi , avec changement de signe εi → (±1)i εi , vérifiant i (±1)i = 1. On pose, en désignant par Si la réflexion Sαi : xi = S−2 S−3 · · · Si+1 Si , ∀i : 1 ≤ i ≤ − 2, Xii+1 = S xi S−1 xi+1 , x−1 = 1; ∀i : 1 ≤ i ≤ − 2. L’élément xi n’est autre que le cycle (ε−1 , ε−2 , . . . , εi+1 , εi ) et Xii+1 est l’application définie par : Xii+1 (εk ) = εk , ∀k : 1 ≤ k ≤ i − 1 ; Xii+1 (εi ) Xii+1 (εk ) = −ε , Xii+1 (εi+1 ) = −ε−1 ; = εk−2 ∀k : i + 2 ≤ k ≤ . 3.5.1. — Supposons dans cette partie que est impair. Le groupe P (R)/Q(R) est isomorphe à Z4 , engendré par l’image de . En effet 1 ≡ 2 Q(R) et −1 ≡ 3 Q(R) . TOME 117 — 1989 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 463 On pose Γ = {0, 1 , −1 , }. Soit z l’élément du groupe de Weyl W −3 −1 z = X12 X34 · · · X−4 X−2 . On vérifie que z(ε1 ) = −ε , z(ε ) = ε1 , z(εk ) = −ε−k+1 pour tout k satisfaisant 2 ≤ k ≤ − 1 et que z est d’ordre 4. On pose alors φ( ) = z. Lemme 1. — Soit µ l’élément de h∗ : µ = µH = 1 1 = 1 + −1 + . Γ 4 ∈Γ On a : (i) µ − zµ = , µ − z 2 µ = 1 et µ − z 3 µ = −1 ; (ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}. −1 On a µ = 14 (2ε1 + σ) où σ = k=2 εk . Comme z(ε1 ) = −ε , z(ε ) = ε1 et z(σ) = −σ, (i) devient une simple vérification. Supposons que µ − wµ = k=1 xk εk , avec w ∈ W . Comme W agit par permutation des εi avec changement de signe pair, les seules possibilités pour les xk d’être entiers sont soit xk = 0 si k ≥ 2, soit xk = 1 pour k = 1. / Q(R), on a bien (ii). Comme ε1 ∈ Il existe un seul sous groupe propre H de P (R)/Q(R), engendré par l’image de 1 , on pose H = {0, 1 }. Lemme 2. — Soit µ l’élément de h∗ µ = µH = 1 1 = 1 . |H| 2 ∈H On a : (i) µ − z 2 µ = 1 ; (ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}. 3.5.2. — On suppose dans cette partie que est pair, on a alors P (Q)/Q(R) Z2 × Z2 , formé par 0 et par les images de 1 , −1 et , qui sont chacune d’ordre 2. On pose Γ = {0, 1 , −1 , }. Soient dans W les éléments suivants : τ1 = S1 S2 · · · S−2 S−1 S S−2 · · · S2 S1 ; −2 τ2 = X12 X34 · · · X−3 S ; τ3 = τ1 τ2 . BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 464 A. ZAHID On vérifie aussitôt que les τi (pour i = 1, 2) s’expriment sur la base εk de la façon suivante : τ1 (ε1 ) = −ε1 , τ1 (εk ) = −εk , ∀k : 2 ≤ k ≤ − 1 et τ1 (ε ) = −ε ; ∀k : 1 ≤ k ≤ . τ2 (εk ) = −ε−k+1 On a alors τ12 = τ22 = 1, τ3 = τ1 τ2 = τ2 τ1 , τ32 = 1, et par conséquent {1, τ1 , τ2 , τ3 } forme un sous groupe de W , isomorphe à Z2 × Z2 . On définit alors l’homomorphisme φ en posant φ(1 ) = τ1 , φ( ) = τ2 et φ(−1 ) = τ1 τ2 . (On a φ(−1 ) = φ(1 )φ( ) puisque −1 ≡ + 1 modulo Q(R).) Lemme 1. — Soit µ l’élément de h∗ : 1 1 µ = µH = = 1 + −1 + . |Γ| 4 ∈Γ On a : (i) µ − τ1 µ = 1 , µ − τ2 µ = et µ − τ3 µ = −1 ; (ii) (µ − W µ) ∩ Q(R) = {0}. Les sous groupes propres de P (R)/Q(R) sont H 1 , H 2 et H 3 avec H1 = {0, 1 }, H2 = {0, } et H3 = {0, −1}. Lemme 2. — Soit µi l’élément de h∗ : 1 µi = , i = 1, 2, 3. |Hi | ∈Hi On a : (i) µ1 − τ1 µ1 = 1 , µ2 − τ2 µ2 = et µ3 − τ3 µ3 = −1 . (ii) (µi − W µi ) ∩ Q(R) = {0}, i = 1, 2, 3. 3.6. — Soient g une algèbre de Lie simple de type E6 , h une sous algèbre de Cartan de g, R = R(g, h), B = {α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6 } une base de racines. Le groupe P (R)/Q(R) est isomorphe à Z3 , engendré par l’image de 6 (par exemple). On pose Γ = {0, 1 , 6 } et on note sαk par k. On définit l’homomorphisme φ en posant z = φ(6 ) = 6543245134625431. Soit α̃ la plus grande racine de R, i.e. α̃ = α1 +2α2 +2α3 +3α4 +2α5 +α6 . On a alors : z(α1 ) = −α̃, z(α2 ) = α5 , z(α4 ) = α4 , z(α5 ) = α3 , TOME 117 — 1989 — N o 4 z(α3 ) = α2 , z(α6 ) = α1 . ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 465 On vérifie que z 3 = 1. Lemme. — Soit µ l’élément de h∗ : µ = µΓ = 1 1 = (1 + 6 ). |Γ| 3 ∈Γ On a : (i) µ − zµ = 6 et µ − z 2 µ = 1 ; (ii) (µ − W µ) ∩ P (R) = {0, 1 , 6 }. Preuve. — (i) est une simple vérification. Pour tout β ∈ R, on a (µ, β̌) = (µ, β) = 0, ± 31 , ± 32 . Posons Si = {β ∈ R | (µ, β) = 13 i}, pour i = 0, ±1, ±2. 6 Soit y ∈ W tel que µ − yµ ∈ P (R), on a alors µ − yµ = i=1 ai i avec ai ∈ Z pour tout i 1 ≤ i ≤ 6. Donc, pour tout β ∈ R, on a (µ − yµ, β) = (µ, β)−(µ, y −1 β) ∈ Z. On en déduit y −1 α1 , y −1 α6 ∈ S1 ∪S−2 , y −1 αi ∈ S0 pour 2 ≤ i ≤ 5 et par conséquent µ − yµ = a1 1 + a6 6 . Il est impossible d’avoir y −1 α1 ∈ S−2 et y −1 α6 ∈ S−2 car ceci entraı̂ne yµ = −2µ ce qui est impossible. Donc les seuls cas restant sont : y −1 α1 ∈ S1 et y −1 α6 ∈ S1 =⇒ µ − yµ = 0, y −1 α1 ∈ S1 et y −1 α6 ∈ S2 =⇒ µ − yµ = 6 , y −1 α1 ∈ S2 et y −1 α6 ∈ S1 =⇒ µ − yµ = 1 . Ceci démontre (ii). 3.7. — Soient g une algèbre de Lie simple de type E7 , h une sousalgèbre de Cartan de g, R = R(g, h), B = {α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6 , α7 } une base de racines. Le groupe P (R)/Q(R) est isomorphe à Z2 , engendré par l’image de 7 . On pose Γ = {0, 7 }. On note sαk par k. On définit l’homomorphisme φ en posant t = φ(7 ) = 765432456134524376541234567. Soit α̃ la plus grande racine de R, i.e. α̃ = 2α1 + 2α2 + 2α3 + 4α4 + 3α5 + 2α6 + α7 . On a alors : t(α1 ) = α6 , t(α2 ) = α2 , t(α3 ) = α5 , t(α4 ) = α4 , t(α5 ) = α3 , t(α6 ) = α1 et t(α7 ) = −α̃. On vérifie que t2 = 1. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 466 A. ZAHID Lemme. — Soit µ l’élément de h∗ : µ = µΓ = 1 = 12 7 . |Γ| ∈Γ On a : (i) µ − tµ = 7 ; (ii) (µ − W µ) ∩ P (R) = {0, 7 }. Preuve. — (i) est une simple vérification. Pour tout β ∈ R, on a (µ, β̌) = (µ, β) = 0, ± 12 . Posons Si = {β ∈ R | (µ, β) = 12 i}. Soit y ∈ w tel que µ − yµ ∈ P (R), on a alors µ − yµ = a7 avec a ∈ Z. Comme dans 3.6 on trouve y −1 α7 ∈ S1 et y −1 αi ∈ S0 , avec 1 ≤ i ≤ 6, et par conséquent µ − yµ = 7 . Ceci montre (ii). 3.8.— Soient H un sous groupe de P (R)/Q(R) et µ = µH = 1/|H| ∈H . D’après la PROPOSITION 3.1, l’ensemble Wµ = {w ∈ W | µ − wµ ∈ Q(R)} est réduit au stabilisateur de µ dans W . Lemme 1. (i) Le module de Verma M (yµ) est simple pour tout y ∈ W . (ii) Les modules de Harish-Chandra simples V , avec AnnZ(g) V = Ker χµ et r AnnZ(g) V = Ker χ−µ sont, à isomorphisme près, les modules L(M (φ()µ), M (µ)) avec ∈ H. Preuve. (i) résulte de (cf. [4, 7.6.24]) et du fait que (yµ, α̌) ∈ Z ⇔ (yµ, α̌) = 0 pour tout y ∈ W . (ii) résulte de la classification des modules de Harish-Chandra simples (cf. [5, 4.1]) et de la PROPOSITION 3.1. Lemme 2. — Supposons que + ≡ 0 modulo Q(R), avec et dans H. Alors φ( ) · = − . En effet on a = µ − φ()µ. D’où φ( ) = φ( )µ − φ( )φ()µ ou encore φ( ) = φ( )µ − µ = − . 4. Endomorphismes k-finis des modules de Whittaker simples 4.1. — Soient H un sous groupe de P (R)/Q(R) et µ = µH . Le théorème suivant donne une décomposition, suivant le groupe H, de l’algèbre des TOME 117 — 1989 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 467 endomorphismes k-finis, d’un module de Whittaker simple Wh( µ), en somme directe de sous modules de Harish-Chandra simples, deux à deux non isomorphes. Théorème. — Soit g une algèbre de Lie semi simple complexe. Pour tout sous groupe H de P (R)/Q(R) on a L Wh( µ), Wh( µ) ∼ L M (φ()µ), M (µ) . = ∈H Preuve. — D’après 1.6, L := L(Wh( µ), Wh( µ)) s’écrit L = où Γ = P (R)/Q(R). a) Soient ∈ Γ et λ ∈ ( + Q(R)) ∩ P (R)+ . On a ∈Γ L [L : E(λ)]k = [L : E(λ)]k = dim Homk E(λ), L = dim Homg E(λ) ⊗ Wh( µ), Wh( µ) . D’après 2.2, le module E(λ)⊗ Wh( µ) possède une suite de Jordan-Hölder, avec des quotients simples isomorphes à Wh((µ + ν)) où ν ∈ Ω(E(λ)), tel que [E(λ) ⊗ Wh( µ) : Wh((µ + ν) )] soit égale à la multiplicité de ν dans E(λ). On en déduit donc que [L : E(λ)]k = 0 si et seulement si Wh( µ) est isomorphe à un sous-quotient de E(λ) ⊗ Wh( µ). D’où L : E(λ) k = 0 ⇐⇒ ∃ ν ∈ Ω E(λ) ⇐⇒ ∃ ν ∈ Ω E(λ) avec µ = (µ + ν) et ∃ y ∈ W : µ − yµ = −ν. D’après la PROPOSITION 3.1, ceci est encore équivalent à : ∃ ∈ H : − ∈ Ω E(λ) . Or, si existe, il doit vérifier + ∈ Q(R). Ceci montre, d’une part que L = 0 ⇐⇒ ∈ H et d’autre part que L : E(λ) k ≤ dim E(λ)− où ∈ H doit vérifier + ≡ O mod Q(R). BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 468 A. ZAHID b) Soit ∈ H ; d’après a), L est un module de Harish-Chandra non nul. Soit V = 0 un sous-module simple de L . D’après 3.8, V est nécessairement isomorphe à L(M (φ()µ), M (µ)). D’autre part, on a pour tout E ∈ k (cf. [3, 6.8]), [V : E]k = L(M (µ − ), M (µ)) : E k = dim E . Donc si λ ∈ ( + Q(R)) ∩ P (R)+ on a, d’après a) et d’après le LEMME 2 du paragraphe 3.8 dim E(λ)− = dim E(λ) = [V : E(λ)]k ≤ [L : E(λ)]k ≤ dim E(λ)− . D’où finalement L = V L M (µ − ), M (µ) = L M (φ()µ), M (µ) . En particulier, on a pour tout λ ∈ ( + Q(R)) ∩ P (R)+ [L : E(λ)] = dim E(λ) . 4.2. — Soit µ = µH . Posons M = Wh( µ) et L = L(M, M ). Alors L= L . ∈H Soient 1 et 2 deux éléments de H. D’après la simplicité de M on a L1 · L2 M = L1 M = M. D’où L1 · L2 = 0. D’autre part, puisque les poids de U (g) pour l’action adjointe de g, n’appartiennent qu’à Q(R), on a L1 · L2 ⊂ L1 +2 . Comme L1 · L2 est un U (g)-bimodule et que L1 +2 est simple on a L1 · L2 = L1 +2 ainsi L est un anneau (fortement) gradué par le groupe H. Proposition. (i) L0 = U (g)/ Ann M est un sous-anneau simple complètement premier de L. TOME 117 — 1989 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 469 (ii) L est simple. (iii) Tout élément homogène de L est non diviseur de 0. L’action de U (g) sur M , permet par passage au quotient, de plonger U (g)/ Ann M dans L(M, M ). D’autre part U (g)/ Ann M = U (g)/ Ann M (µ) L M (µ), M (µ) . Comme I(µ) = U (g) Ker χµ = Ann M (µ), est un idéal primitif complètement premier, on a L0 = U (g)/I(µ) est intègre ; d’autre part L0 est simple, puisqu’il est simple comme U (g)-bimodule. Ceci montre (i). Soit K un idéal de L, alors K est un U (g)-sous-bimodule de L, qui est somme directe de sous-modules simples L , deux à deux non isomorphes, et par conséquent K contient ses composantes homogènes. Supposant K = 0, on a L ⊂ K avec ∈ H. D’où L− L = L0 ⊂ K et puis K = L. Ceci montre (ii). Soient 1 et 2 dans H, a ∈ L1 et b ∈ L2 , a et b non nuls. On a L−1 a = 0 et bL−2 = 0. En effet L−1 a = 0 entraı̂ne L1 L−1 a = L0 a = 0, puis L0 aM = 0, d’où aM est un sous-module de M , ce qui donne a = 0 ou L0 M = 0, ce qui est impossible. De même bL−2 = 0 entraı̂ne bL−2 M = bM = 0, d’où b = 0, ce qui est impossible. Il existe donc a ∈ L−1 et il existe b ∈ L−2 tels que a a = 0 et bb = 0. Comme L0 est intègre on a (aa )(bb ) = a (ab)b = 0. D’où ab = 0. Ceci montre (iii). 5.1. Le cas de g = sl2 (C). (cf. [9, 2.3]). — On a dans ce cas µ), le module Γ = {0, } et µ = 12 = 12 ρ = 14 α. On pose M = Wh( de Whittaker simple, de caractère χµ . D’après le THÉORÈME 4.1, l’algèbre L = L(M, M ) se décompose en somme directe de sous -U (g)-bimodules simples L = L0 ⊕ L1 et on a [L : E()] = 1. On notera alors F1 le k-type minimal de L isomorphe à E(). Il est de dimension 2. On note F0 l’image de g dans L0 . BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 470 A. ZAHID Soient E un g-module de dimension finie, et p ≥ 2 un entier p naturel. On désigne par Ap (E) (resp. S p (E)), le sous-g-module de E, formé des tenseurs antisymétriques (resp. symétriques). On a besoin du lemme suivant qui se déduit de (cf. [7, 5.9.]). Lemme. — Soient g une algèbre de Lie semi simple complexe, U un quotient primitif de U (g), et F un ad g-sous-module non nul de U . Si [F, F ] = 0 alors F = C · 1. Preuve. — Sinon la sous-algèbre de U engendrée par F , serait commutative, ad g-stable et non réduite aux scalaires, ce qui est exclu par (cf. [7, 5.9]). Proposition. — L’algèbre L est isomorphe à l’algèbre de Weyl A1 . Preuve. — D’après la formule des caractères de Weyl F1 ⊗ F2 ≡ E(0) ⊕ E(2) = E(0) ⊕ Ead . D’après la PROPOSITION 4.2(iii) F12 = 0. Comme on a S 2 (F1 ) ∼ = Ead −→ F12 −→ 0, F12 est isomorphe à Ead . Si [F1 , F1 ] = 0, alors F12 serait ad g-stable commutative non réduite aux scalaires, ce qui contredit le lemme. Donc [F1 , F1 ] = 0. D’autre part on a A2 (F1 ) ∼ = E(0) −→ [F1 , F1 ] −→ 0. On en déduit que [F1 , F1 ] = C · 1 on peut alors choisir une base {p, q} de F1 telle que [p, q] = 1. On a alors Cq 2 + C(qp + pq) + Cp2 ∼ = Ead . = S 2 (F1 ) ∼ Comme on a [L : Ead ]k = 1, il résulte que F0 = Cq 2 + C(qp + pq) + Cp2 . TOME 117 — 1989 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 471 D’où la proposition puisque L est engendré par F0 et F1 . Soit n ∈ Z. On peut montrer facilement que L = L Wh (µ + n) , Wh((µ + n)) admet la même structure de U (g)-bimodules que L(Wh( µ), Wh( µ)). Pour n = 1, un calcul simple montre que L est isomorphe à l’algèbre des opérateurs différentiels sur la courbe x2 = y 3 . (cf. Smith). 5.2. Le cas de g = sl3 (C). — On a dans ce cas Γ = {0, 1 , 2 } et µ = 1 1 (1 + 2 ) = ρ. 3 3 On pose M = Wh( µ), le module de Whittaker simple, de caractère χµ . D’après le THÉORÈME 4.1, l’algèbre L = L(M, M ) se décompose en somme directe de sous-U (g)-bimodules simples L = L0 ⊕ L1 ⊕ L2 et on a [L : E(i )]k = 1 pour i = 1, 2. On notera alors Fi le k-type minimal de Li isomorphe à E(i ). On note F0 l’image de g dans L0 . Soit g2 l’algèbre de Lie simple exceptionnelle de dimension 14. D’après (cf. [8, 6.3, Table]) il existe un unique idéal primitif complètement premier J0 ; vérifiant GK dim(U (g)/J0 ) = 6. Si on désigne par α et β , les poids fondamentaux de g2 , correspondants à α racine courte et β racine longue, on a 1 J0 = AnnU(g) L(α + β ). 3 Proposition. — L := F0 ⊕ F1 ⊕ F2 est une algèbre de Lie simple, isomorphe à g2 . De plus on a L∼ = U (g2 )/J0 . En particulier L est intègre. Preuve. a) Il est clair que [F0 , Fi ] ⊂ Fi pour i = 1, 2. b) D’après la formule de caractères de Weyl F1 ⊗ F1 ∼ = E(2 ) ⊕ E(21 ); 3 F1 ∼ = E(0) ⊕ E(1 + 2 ) ⊕ E(1 + 2 ) ⊕ E(31 ). BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 472 A. ZAHID D’autre part, A2 (F1 ) est un ad g-module non nul de dimension 3 isomorphe E(2 ). D’où E(2 ) ∼ = A2 (F1 ) −→ [F1 , F1 ] −→ 0. Comme E(2 ) est de multiplicité 1 dans L, on a [F1 , F1 ] ⊂ F2 . Si [F1 , F1 ] = 0, alors d’après la PROPOSITION 4.2 (iii) 0 = F := F13 ⊂ L0 , satisfait à l’hypothèse du lemme, d’où F = C · 1. D’autre part, S 3 (F1 ) est un g-module non nul de dimension 10 isomorphe à E(31 ), d’où E(31 ) ∼ = S 3 (F1 ) −→ F13 −→ 0. Ceci contredit F13 = C·1. On a donc [F1 , F1 ] = F2 . De même, [F2 , F2 ] = F1 . c) Montrons que [F1 , F2 ] = F0 , ce qui établira que L est une algèbre de Lie simple de dimension 14, isomorphe à g2 . On a F2 = [F1 , F1 ] = F1 , [F2 , F2 ] . D’après l’identité de Jacobi on a F2 ⊂ [F1 , F2 ], F2 , de telle sorte que [F1 , F2 ] est non nul. Soit q1 un vecteur de plus haut poids 1 dans F1 . On pose q2 = [X−α1 , q1 ], q3 = [X−α2 , q2 ]. Le système {qi }i=1,2,3 est alors une base de F1 , formée de vecteurs de poids. On pose p3 = [q1 , q2 ]. C’est un vecteur de poids 2 dans F2 . On définit enfin p2 = [X−α2 , p3 ], p1 = [X−α1 , p1 ]. On a alors p2 = [q1 , q3 ], p1 = [q2 , q3 ]. Le système {pi }i=1,2,3 est alors une base de F2 , formée de vecteurs de poids. D’après la formule de caractères de Weyl E(1 + 2 ) ⊕ E(0) ∼ = F1 ⊗ F2 −→ [F1 , F2 ] −→ 0. La représentation triviale de [F1 , F2 ] étant égale à 3 [qi , pi ] = q1 , [q2 , q3 ] + q2 , [q1 , q3 ] + q3 , [q1 , q2 ] = 0 i=1 on a TOME [F1 , F2 ] ∼ = E(1 + 2 ). 117 — 1989 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 473 3 Montrons que i=1 qi pi est non nul. Comme F1 F2 est ad g-stable non nul, F1 F2 U (g) est un sous-bimodule non nul de L0 , donc égal à L0 . On en déduit que la représentation triviale de L, qu’on note T se trouve dans F1 L2 , il existe alors un module N simple de dimension finie dans L2 , tel que T ⊂ F1 N et F1 ⊗ N −→ F1 N −→ 0. D’où N∼ = F1∗ ∼ = E(2 ) 3 et puis N = F2 , puisque [E(2 ) : L]k = 1. On a donc i=1 qi pi = 1 à un scalaire non nul près. Montrons que m := [F1 F2 + F2 F1 : E(1 + 2 )]k = 2. On a : 0 = m ≤ L, E(1 + 2 ) k = 2 E(1 + 2 ) = Ead . Si m = 1, il existe un homomorphisme entre la copie de Ead dans F1 F2 et celle dans F2 F1 , par conséquent il existe un scalaire α, tel que l’on ait (par exemple) q1 p2 = αp2 q1 et q3 p2 = αp2 q3 . D’où p22 = (q1 q3 − q3 q1 )p2 = α2 p2 (q1 q3 − q3 q1 ) = α2 p22 . Comme p22 = 0 on a α2 = 1. Supposons que α = 1. Comme 3i=1 [qi , pi ] = 0, on aura [F1 , F2 ] = 0, ce qui est impossible. Supposons α = −1. On trouve D’où q1 p2 + p2 q1 = 0. [q12 , q3 ] = q1 p2 + p2 q1 = 0 [q12 , q2 ] = q1 p3 + p3 q1 = 0 de sorte que [q12 , F1 ] = 0. ∼ E(21 ), qui est un module Mais q12 est le générateur de F := S 2 (F1 ) = simple. Donc [F, F1 ] = 0, et par conséquent [F, F ] = 0. On pose G = F 3 , il contient le vecteur q16 qui est non nul, et qui engendre un sous ad g-module simple isomorphe à E(61 ) contenu dans L0 . Comme [G, G] = 0, il y a contradiction avec le lemme. On a donc m = 2 de telle sorte que F0 est un sous-module de F1 F2 + F2 F1 . Il existe donc un scalaire α tel que q1 p2 = αp2 q1 + e12 BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 474 A. ZAHID où e12 ∈ F0 est un vecteur de poids α1 . Comme e12 est proportionnel à Xα1 , [q1 , e12 ] = 0. D’où q12 p2 = αq1 p2 q1 + q1 e12 et q1 p2 q1 = αp2 q12 + e12 q1 . De sorte que q12 p2 − q1 p2 q1 = α(q1 p2 q1 − p2 q12 ). Ou encore q1 [q1 , p2 ] = α[q1 , p2 ]q1 et q13 [q1 , p2 ] = α3 [q1 , p2 ]q13 . La filtration de L0 , induite par la filtration canonique de U (g), est telle que le gradué gr L0 est commutatif intègre, donc puisque q13 et [q1 , p2 ] sont deux éléments non nuls de L0 , on a (gr q13 ) gr [q1 , p2 ] = gr q13 [q1 , p2 ] = α3 gr [q1 , p2 ]q13 = α3 gr [q1 , p2 ] gr q13 . D’où α3 = 1. Supposons α = 1. Alors [q1 , p2 ] s’exprime comme somme de deux contributions, de bons poids, des deux représentations adjointes. On a alors [q1 , p2 ] = ae12 + b He12 + e13 e32 , avec a et b scalaires et H = [e12 , e21 ] + 2[e23 , e32 ] ∈ h. Comme [q1 , e12 ] = [q1 , e13 ] = [q1 , e32 ] = 0, on a q13 , [q1 , p2 ] = 0 =⇒ [q13 , H] = 0. D’où la contradiction. On a donc α = 1 et [q1 , p2 ] = e12 . Par conséquent : [F1 , F2 ] = F0 . d) Il est clair que la sous algèbre de Cartan h de g est encore une sous algèbre de Cartan de g2 . On note R = R(g2 , h) le système de racines de g2 relativement à h. On pose α = 1 − α1 TOME 117 — 1989 — N o 4 et β = α1 . ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 475 On vérifie alors que {α, β} constitue une base de racines de R, avec α racine courte et β racine longue. On désigne par α et β les poids fondamentaux correspondants. On a alors le tableau suivant : Racines positives longues β = α1 3α + β = α2 3α + 2β = α1 + α2 Racines positives courtes α = 1 − α1 α + β = 1 2α + β = 2 Poids fondamentaux α = 2α + β = 2 β = 3α + 2β = 1 + 2 = ρ Posons m+ = ⊕ν∈R+ CXν m− = t m+ , comme R+ ⊂ R+ on a n+ ⊂ m+ . e) L’injection de g2 dans L, se prolonge en un homomorphisme d’algèbres de U (g2 ) dans L. Cet homomorphisme est surjectif puisque chaque composante de L est engendré par son k-type minimal. D’autre part, M étant un L-module simple fidèle, L est une algèbre primitive. L’idéal I de U (g2 ) tel que L soit isomorphe U (g2 )/I est alors un idéal primitif. D’après le théorème de Duflo, il existe λ dans h∗ tel que I = AnnU(g2 ) L(λ) = I(λ), où L(λ) est l’unique quotient simple du module de Verma M (λ) associé à g2 , h, m+ , λ. Comme on a un plongement de LO = U (g))/I(µ) dans U (g2 )/I(λ), il vient que I(λ) ∩ U (g) = I(µ). Soit eλ ∈ L(λ), un vecteur non nul de plus haut poids λ − ρg2 . Puisque n+ ⊂ m+ et d’après (cf. [4, 7.1.8]) on a U (g)eλ est une image du module de Verma M (λ − ρg2 + ρ) associé à g, h, n+ , λ − ρg2 . On en déduit alors χµ = χλ−ρg2 +ρ = χλ−α . D’où ∃ y ∈ W = W (g, h) : λ = yµ + α . Posons θ1 = α + 13 β , θ2 = 2α − 23 β , θ3 = α + 13 β . On montre par un calcul simple que λ ∈ θ1 , S β θ 1 , θ2 , S β θ 2 , θ3 , S β θ 3 . Comme β ∈ / Rθi : i = 1, 2, 3 et d’après (cf. [6, 5.14]) on a I(θi ) = I(Sβ θi ) : i = 1, 2, 3. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 476 A. ZAHID Par conséquent λ ∈ {θ1 , θ2 , θ3 }. Soit eλ ∈ L(λ), un vecteur non nul de poids λ − ρg2 , et soit C l’élément de U (g) : C= X−α Xα + Hα1 α∈R 2 3 Hα1 + 13 Hα2 + Hα2 ( 13 Hα1 + 23 Hα2 . D’après (cf. [3, 7.8.5]), C ∈ Z(g). D’où C − χµ (C) ∈ I(µ) = U (g) ∩ I(λ) et par suite 0 = C − χµ (C) · eλ = C · eλ − χµ (C)eλ . On vérifie alors que nécessairement λ = θ1 = α + 13 β . Finalement I = I(α + 13 β ) = J0 est l’idéal de Joseph, c’est l’unique idéal primitif complètement premier, de dimension Gelfand-Kirillov égale à 6 (cf. [8]). BIBLIOGRAPHIE [1] BERNSTEIN (J.) and GELFAND (S.I.). — Tensor product of finite and infinite dimensional representations of semi-simple Lie algebras, Compositio Math., t. 41, , p. 245–285. [2] BOURBAKI (N.). — Groupes et algèbres de Lie, chapitres IV, V, VI. [3] CONZE (N.). — Algèbres d’opérateurs différentiels et quotients des algèbres enveloppantes, Bull. Soc. Math. France, t. 102, , p. 379–415. [4] DIXMIER (J.). — Algèbres enveloppantes, Cahiers scientifiques XXXVII. — Gauthiers-Villars, Paris, . [5] DUFLO (M.). — Représentations irréductibles des groupes semi simples complexes, Lecture Notes in Math., t. 497, , p. 26–88. [6] JANTZEN (J.C.). — Einhüllenden Algebren helbeinfacher Lie-Algebren, Ergebbnisse der Mathematik, Berlin Springer, . TOME 117 — 1981 — N o 4 ENDOMORPHISMES K-FINIS DES MODULES DE WHITTAKER 477 [7] JOSEPH (A.). — On the Gelfand-Kirrillov conjecture, for induced ideals in the semi simple case, Bull. Soc. Math. France, t. 107, , p. 139–159. [8] JOSEPH (A.). — The minimal orbit in a simple Lie algebra and its assiciated maximal ideal, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), t. 9, , p. 1–30. [9] JOSEPH (A.). — Kostant’s problem and Goldie rank, Lecture Notes in Math., t. 880, , p. 249–266. [10] JOSEPH (A.) and STAFFORD (J.T.). — Modules of k-finite vectors over semi simple Lie algebras, London Math. Soc. (3), t. 49, , p. 361–384. [11] KOSTANT (B.). — On Whittaker vectors, and representation theory, Invent. Math., t. 48, , p. 101–184. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE