Chapitre 1.13 – La dérivée en cinématique

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 1.13 – La dérivée en cinématique
La dérivée
En mathématique, on définit la dérivée d’une fonction
(
)
xf tel que
(
)
(
)
(
)
x
xfxxf
x
xf
xf
x
∆
−
∆
+
==
→∆
lim
d
d
)('
0
où )(' xf correspond à la fonction qui évalue la pente de la tangente en tout point de la
fonction
(
)
xf .
Exemple graphique :
La pente bleu au point rouge 5
=
x est
évaluée à l’aide de la dérivée de la fonction
(
)
xf et est égale à
(
)
5'f .
Exemple numérique :
Soit
(
)
74 =f et 2)4('
=
f À la coordonnée 4
=
x, la valeur associée
est 7 et la pente à cette coordonnée est 2.
La vitesse et l’accélération à l’aide de la dérivée
Nous avons donné la définition suivante à la vitesse et l’accélération :
(
)
t
txttx
tv
t
x
∆
−
∆
+
=
→∆
)(
lim
)(
0
et
(
)
t
tvttv
ta
t
x
∆
−
∆
+
=
→∆
)(
lim
)(
0
Grâce au calcul différentiel, on peut maintenant utiliser la définition de la dérivée et donner
les définitions suivantes à la position, la vitesse et à l’accélération :
La position :
(
)
tx unité :
(
)
[
]
m=tx
La vitesse :
t
tx
tv
x
d
)(d
)( = unité :
(
)
[
]
m/s =tv
x
L’accélération : 2
2
d
)(d
d
)(d
)(
t
tx
t
tv
ta
x
x
== unité :
(
)
[
]
2
m/s=ta
x
N.B. La fonction de la vitesse et de l’accélération peuvent être évaluées efficacement si
l’on connaît la fonction de la position en fonction du temps, car elles peuvent être obtenues
à partir de l’opération de la dérivée.

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Situation A : Une planche à roulettes sur un plan incliné : calcul avec dérivée.
À partir de l’équation de la position 75,125,0)(
2
++−= tttx associée au mouvement de
la planche à roulettes de la situation 3 du chapitre 1.3, on désire évaluer (a) l’équation de
la vitesse
(
)
tv
x
et (b) l’équation de l’accélération
(
)
ta
x
.
(a) On peut appliquer la dérivée par rapport au temps à la fonction
(
)
tx et obtenir
(
)
tv
x
:
( )
t
tx
tv
x
d
)(d
=
⇒
( )
(
)
t
tt
tv
x
d
75,125,0d
2
++−
= (Remplacer
(
)
tx )
⇒
( )
(
)
( ) ( ) 75,1
d
d
d
d
25,0
d
d
2
t
t
t
t
t
tv
x
++−= (Distributivité de la dérivée)
⇒
( )
(
)
( ) ( ) 1
d
d
75,1
d
d
d
d
25,0
2
t
t
t
t
t
tv
x
++−= (Factorisation des constantes)
⇒
(
)
(
)
(
)
(
)
075,11225,0 ++−= ttv
x
(Évaluer les dérivées)
⇒
(
)
15,0 +−= ttv
x
(Simplifier)
(b) On peut appliquer la dérivée par rapport au temps à la fonction
(
)
tv
x
et obtenir )(ta
x
:
( )
t
tv
ta
x
x
d
)(d
=
⇒
( )
(
)
t
t
ta
x
d
15,0d
+
−
= (Remplacer
(
)
tx )
⇒
( ) ( ) ( ) 1
d
d
5,0
d
d
t
t
t
ta
x
+−= (Distributivité de la dérivée)
⇒
( ) ( ) ( ) 1
d
d
d
d
5,0
t
t
t
ta
x
+−= (Factorisation des constantes)
⇒
(
)
(
)
(
)
015,0 +−=ta
x
(Évaluer les dérivées)
⇒
(
)
5,0−=ta
x
(Simplifier)
Voici la représentation graphique de nos trois équations du mouvement :
Graphique de
)(tx
Graphique de
)(tvx Graphique de )(tax
0 1 2 3 4 5
3
2
1
0
x
(m)
t
(s)
B
A
0 1 2 3 4 5
1
0
–1
–2
x
v (m/s)
t
(s)
B
A
0 1 2 3 4 5
1
0
–1
–2
x
a (m/s
2
t
(s)

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Maximisation et minimisation
Dans plusieurs problèmes de cinématique, il est intéressant d’évaluer des valeurs extrémaux
(maximum et minimum). Pour évaluer un extrémum, il faut connaître l’agent qui fait varier
le paramètre que l’on veut maximiser ou minimiser. L’agent qui fait varier la position est la
vitesse et l’agent qui fait varier la vitesse est l’accélération. Pour ce qui est de
l’accélération, l’agent ne porte pas de nom particulier.
Pour maximiser ou minimiser un paramètre (position, vitesse ou accélération), il faut que
leur agent de variation soit nul (égal à zéro).
Exemple : Un objet atteint une hauteur maximale lorsque sa vitesse est nulle, car l’objet ne
peut pas gagner d’altitude s’il ne possède pas de vitesse vers le haut.
Voici un tableau qui résume les conditions à satisfaire afin de maximiser (max) ou
minimiser (min) la position, la vitesse ou l’accélération :
Paramètre à maximiser ou
minimiser Notation Condition à satisfaire
Position
max
x ou min x
( ) 0
d
d
==
t
x
tv
x
Vitesse max
x
vou min
x
v
( ) 0
d
d
==
t
v
ta
x
x
Accélération
1
max
x
aou min
x
a
( ) 0
d
d
==
t
a
tj
x
x
Procédure :
1) Évaluer les temps qui permettent
de satisfaire la condition de
maximisation/minimisation.
2) Choisir le temps qui correspond à
la situation physique à résoudre.
3) Évaluer le paramètre à maximiser
ou minimiser à l’aide du temps
choisi approprié.
(
)
st
(
)
mx
(
)
tx
: Temps où
0d/d
=
=
txv
x
max
x
min
x
min
x
max
x
min
t
max
t
1
La dérivée de l’accélération porte le nom de « jerk » avec la notation « j ». Ce concept est utilisé en
ingénierie pour évaluer les variations brutales d’accélération (ex : train, métro).

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Exercices
Exercice A : La vitesse au 2
ième
degré. La vitesse d’une particule est donnée par l’équation
suivante en m/s:
(
)
7212 2 ++= tttv
a) Évaluez l’équation permettant d’obtenir l’accélération en fonction du temps.
b) Quelle est l’accélération à 3 secondes.
Exercice B : La fusée verticale. Une fusée avec propulseur se déplace verticalement selon
l’équation suivante en mètres par rapport au niveau du sol :
(
)
251,02,0 23 +++= tttty
a) À quelle hauteur est lancée initialement la fusée.
b) Quelle est la vitesse de la fusée après 3 secondes.
c) Quelle est l’accélération de la fusée après 5 secondes.
Exercice C : La bille s’immobilise. À quel moment une bille s’immobilise si elle se
déplace sur une table inclinée selon l’équation suivante :
(
)
352 2 ++−= tttx
Exercice D : La bille en accélération verticale. Une bille s’élève vers le haut selon
l’équation suivante en mètres :
(
)
1285 4 ++−= ttty
Évaluez la hauteur maximale atteinte par la bille.

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Solutions
Exercice A : Le vitesse au 2
ième
degré.
a) ( )
(
)
224
d
d
+== t
t
tv
ta b)
(
)
(
)
2
m/s7423243 =+== ta
Exercice B : La fusée verticale.
a)
(
)
m20 == ty
b) ( )
(
)
52,06,0
d
d2
++== tt
t
ty
tv
y
et
(
)
(
)
(
)
m/s11532,036,03 2 =++== tv
y
c) ( )
(
)
2,02,1
d
d
+== t
t
tv
ta
y
y
et
(
)
(
)
2
m/s2,62,052,15 =+==ta
y
Exercice C : La bille s’immobilise.
Vitesse de la bille : ( )
(
)
54
d
d
+−== t
t
tx
tv
x
S’immobiliser signifie que 0 =
x
v :
(
)
0 = tv
x
⇒
054
=
+
−
t
⇒
54
=
t
⇒
s25,1
= t
La bille s’immobilise après 1,25 secondes .
Exercice D : La bille en accélération verticale.
Vitesse de la bille : ( )
(
)
820
d
d
3
+−== t
t
ty
tv
y
La hauteur maximale signifie que 0 =
y
v :
(
)
0 = tv
y
⇒
0820
3
=+− t
⇒
820
3
= t
⇒
4,0
3
= t
⇒
3
4,0=t
⇒
737,0
=
t
On remplace ce temps dans l’équation de la position et l’on obtient la position maximale :
(
)
(
)
(
)
12737,08737,05737,0
4
++−== ty
⇒
m42,16
max
= y