Théorème central Limite On se place dans une situation d`épreuves

Théorème central Limite
On se place dans une situation d’épreuves répétées, caractérisées par une suite X1, X2, X3, …, Xi,…,
Xn de n variables aléatoires indépendantes et de même loi (c'est-à-dire l’espérance
E(Xi) = μ et la variance V (Xi) = σ2 quelque soit i{0,1, …, n} ).
On définit ainsi deux nouvelles variables aléatoires :


la somme Sn = X1 + X2 +…+ Xi + ...+ Xn
la moyenne Mn =
A l’aide des propriétés de linéarité et d’indépendance, on détermine les valeurs de l’espérance et
de la variance de ces deux nouvelles variables :
E(Sn ) = nμ
E(Mn ) = μ
V(Sn ) = nσ2
V(Mn) =
Théorème central limite
Soit la variable aléatoire Sn résultant de la somme de n variables aléatoires indépendantes
et de même loi, on construit la variable centrée réduite telle que :
Alors pour tout tR, la fonction de répartition Fn(t) = P(Zn≤ t) est telle que :
quand n → + ∞.
C'est-à-dire quand n tend vers +∞, Fn est distribuée suivant la loi normale centrée réduite
N(0,1).
Remarque : On peut calculer Zn aussi bien à partir de Sn que de Mn car :
=
En conclusion :
 Une variable aléatoire résultant de la somme de plusieurs v.a. ayant même loi et même
paramètres (espérance et variance) est distribuée suivant une loi normale réduite lorsque
le nombre d’épreuves n tend vers l’infini.

Le théorème central limite s’applique quelque soit la loi de probabilité suivie par les
variables aléatoires discrètes ou continues, pourvu que les épreuves soient
indépendantes, reproductibles et en très grand nombre.
Cas particulier : Loi Uniforme – Loi normale
Programme STI2D :

La loi normale est introduite à partir de l’observation, à l’aide d’un logiciel, du cumul des valeurs
obtenues lors de la répétition à l’identique d’une expérience aléatoire dont le résultat suit une loi
uniforme.

On peut simuler une loi normale à partir de la loi uniforme sur [0,1].
Principe :
 D’après le théorème central limite, si on considère une variable aléatoire Sn résultant de la
somme de plusieurs v.a. suivant la même loi uniforme, alors Zn définie par
est
distribuée suivant une loi normale réduite lorsque le nombre d’épreuves n tend vers l’infini.
Rappels sur l’espérance et la variance d’une loi uniforme :

E(X) =
●
Var(X) =