01 Groupes

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Chapitre 1 : Groupes
IGénéralités
A) Dénition
Dénition (Groupe) :
Un groupe est un couple (G, ˚)constitué d’un ensemble Get d’une loi de composition interne ˚sur G
de sorte que :
‚ ˚ est associative,
‚il y a dans Gun élément neutre pour ˚,
‚tout élément de Gadmet un symétrique pour la loi ˚.
C’est-à-dire :
‚ @x, y, z PG, (x˚y)˚z=x˚(y˚z),
‚ DePG, @xPG, x ˚e=e˚x=x,
‚ @xPG, DyPG, x ˚y=y˚x=e.
Remarque :
Si (G, ˚)est un groupe, il y a unicité du neutre (déjà vu en cas plus général).
Si de plus ˚est commutative, on dit que (G, ˚)est un groupe commutatif.
B) Exemples
‚(N,+) n’est pas un groupe.
‚(Z,+) est un groupe.
‚(Z,ˆ)n’est pas un groupe.
‚(Q,ˆ)n’est pas un groupe, mais (Q˚,ˆ)en est un.
‚Créons un groupe à trois éléments G=ta, b, cu, de loi ♡dénie par la table de Pythagore donnant
x♡y:
xya b c
a a b c
b b c a
c c a b
(1.1)
On pose acomme élément neutre, et on choisit b♡c=c♡b=a.
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1 Ismaël Bouya

I. GÉNÉRALITÉS CHAPITRE 1. GROUPES
C) Règles de calcul
1) En notation « bizarre »
Soit Gun ensemble muni d’une loi ˚formant un groupe. Alors :
‚Il y a dans Gun et un seul élément neutre :
L’existence est déjà donnée par la dénition d’un groupe. Supposons que e, e1sont deux neutres.
Alors e=e˚e1=e1(première égalité : e1est neutre ; deuxième : eest neutre). On peut donc parler
du neutre du groupe (G, ˚).
‚Tout élément xde Gadmet un et un seul symétrique par ˚:
L’existence est toujours donnée par la dénition d’un groupe. Supposons que x1,x2sont deux
symétriques de x. Alors x1=x1˚e=x1˚(x˚x2)=(x1˚x)˚x2=e˚x2=x2. On note dans la
suite de cette section ¯xle symétrique de x.
‚Pour tout xPG, ¯ ¯x=x:
¯x˚x=x˚¯x=e, donc xest symétrique de ¯x.
‚Pour tous x, y PG,x˚y= ¯y˚¯x:
(x˚y)˚(¯y˚¯x) = x˚[y˚(¯y˚¯x)] = x˚[(y˚¯y)˚¯x] = x˚[e˚¯x] = x˚¯x=e, et (¯y˚¯x)˚(x˚y) =
[(¯y˚¯x)˚x]˚y= [¯y˚(¯x˚x)] ˚y= [¯y˚e]˚y= ¯y˚y=e, donc x˚y= ¯y˚¯x.
‚Remarque : On a, pour tout x, y, z PG,(x˚y)˚z=x˚(y˚z). On peut donc le noter sans ambiguïté
x˚y˚z.
‚« Résolution d’équations » : pour tous x, y, z PG,ona:
1. x˚y=zðñ x=z˚¯y,
2. y˚x=zðñ x= ¯y˚z.
Démonstration :
Si x˚y=z, alors (x˚y)˚¯y=z˚¯y. Or, (x˚y)˚¯y=x˚(y˚¯y) = x˚e=x. Donc x=z˚¯y. Si
x=z˚¯y, alors x˚y= (z˚¯y)˚y=z˚(¯y˚¯y) = z˚e=z. La démonstration est la même pour le
deuxième point.
‚Régularité : pour tous x, y, z PG,ona:
1. x˚z=y˚zùñ x=y,
2. z˚x=z˚yùñ x=y,
3. et les implications réciproques sont vraies aussi mais évidentes.
Démonstration :
Si x˚z=y˚z, alors (x˚z)˚¯z= (y˚z)˚¯z, soit x˚(z˚¯z) = y˚(z˚¯z), donc x˚e=y˚e, c’est-à-dire
x=y. La démonstration est encore la même pour le deuxième point.
Conséquence : dans une table de Pythagore d’un groupe ni (G, ˚), on ne voit jamais deux fois le
même élément dans une même rangée (ligne ou colonne) :
Si x1˚y1=zet x1˚y2=z/x2˚y1=z, alors x1˚y1=x1˚y2/x1˚y1=x2˚y1, donc y1=y2
/x1=x2.
‚Itéré d’un élément : soit xPG. On note (ici seulement) :
x˚x=x$2,(x˚x)˚x=x˚x˚x=x$3, …
Plus rigoureusement, on dénit, pour tout nPN,x$npar récurrence en posant :
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CHAPITRE 1. GROUPES I. GÉNÉRALITÉS
˛x$0 = e
˛ @nPN, x$(n+ 1) = (x$n)˚x
Alors il est facile (mais pénible à écrire) d’établir que, pour tout n, p PN,x$(n+p) = (x$n)˚(x$p)
et (x$n)$p=x$(nˆp).
‚Itéré « un nombre négatif de fois » : pour xPG,nPN, on pose x$(´n) = ¯x$n. Alors x$(´n) = x$n,
et les règles précédentes se généralisent à Z.
2) En notation « multiplicative » (réécriture)
Dans le groupe (G, ˆ)avec les notations suivantes :
‚Le neutre 1Gappelé aussi élément unité.
‚Le symétrique de xPGest noté x´1, appelé aussi inverse de x.
‚L’itéré nfois est noté xn.
‚Le symbole ˆest souvent omis : xˆyest noté aussi xy.
Les règles précédentes donnent, avec ces notations :
‚(x´1)´1=x,
‚(xy)´1=y´1x´1,
‚xy =zðñ x=zy´1,
yx =zðñ x=y´1z,
‚xz =yz ùñ x=y,
zx =zy ùñ x=y,
‚x0= 1G,x1=x,
@nPN, x(n+1) =xnx,@nPN, x´1= (x´1)n= (xn)´1,
@n, p PZ, xnxp=x(n+p),@n, p PZ,(xn)p=xnˆp.
3) En notation « additive » (réservée aux groupes commutatifs)
Dans le groupe (G, +), avec les notations suivantes :
‚Le neutre 0Gest appelé l’élément nul de G.
‚Le symétrique de xPGest noté ´x, appelé aussi opposé de x.
‚L’itéré nfois est noté n.x ou nx.
‚On suppose de plus que le groupe (G, +) est commutatif, c’est-à-dire que @x, y PG, x +y=y+x.
Les règles donnent alors :
‚ ´(´x) = x,
‚ ´(x+y) = (´y)+(´x) = (´x)+(´y),
‚(y+x=) x+y=zðñ x=z+ (´y),
z+ (´y)est noté aussi z´y,
‚x+z=y+zùñ x=y,
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I. GÉNÉRALITÉS CHAPITRE 1. GROUPES
‚0.x = 0G,1.x =x,
@nPN,(n+ 1).x =n.x +x,@nPN,(´n).x =n.(´x) = ´(n.x), noté aussi ´n.x
@n, p PZ, n.x +p.x = (n+p).x,p.(n.x) = (pˆn).x.
D) Autres exemples de groupe
1) Groupes de nombres
(C,+),(R,+),(Q,+),(Z,+),(C˚,ˆ),(R˚,ˆ),(Q˚,ˆ)sont des groupes.
2) Groupes de permutation
Soit Eun ensemble non vide quelconque. On note S(E)l’ensemble des permutations sur E(ensemble
des bijections de Edans E). Alors ˝constitue une loi de composition interne sur S(E), et (S(E),˝)est
un groupe, appelé groupe des permutations de E. Ce groupe est non commutatif dès que Ea au moins
trois éléments.
Démonstration :
‚On peut composer deux bijections de Edans E, et on obtient une bijection de Edans E.
‚La loi ˝est associative : @f, g, h PS(E), f ˝(g˝h) = (f˝g)˝h(c’est vrai dans un cas plus général
et pas seulement pour les bijections).
‚Neutre : IdEPS(E).
‚Tout fPS(E)a un symétrique pour ˝, à savoir f´1.
Donc (S(E),˝)est un groupe.
Montrons que, pour un ensemble Ede plus de trois éléments, (S(E),˝)n’est pas commutatif :
Soient a,b,ctrois éléments de Edistincts, et soient f, g :EÑEdénies ainsi :
$
’
’
&
’
’
%
f(a) = b
f(b) = a
@xPEzta, bu, f(x) = x
,
$
’
’
&
’
’
%
g(b) = c
g(c) = b
@xPEztb, cu, g(x) = x
.(1.2)
Alors fet gsont dans S(E), puisque ce sont des applications de Edans Eet inversibles d’inverse
elles-mêmes (elles sont involutives). Et on a alors f˝g‰g˝f:
(f˝g)(a) = f(g(a)) = f(a) = b, (1.3)
(g˝f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c. (1.4)
Exemple :
On note Snle groupe (S(E),˝)lorsque E=t1,2,3, . . . , nu. Ainsi, Snest un groupe ni de cardinal n!.
Table de Pythagore de S2:S2=tId, τ u, où Id:t1,2u ÝÑ t1,2u
xÞÝÑ x
, et τ:t1,2u Ñ t1,2uest
dénie par τ(1) = 2,τ(2) = 1.
Tableau donnant x˝y:
xyId τ
Id Id τ
τ τ Id
(1.5)
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CHAPITRE 1. GROUPES I. GÉNÉRALITÉS
Table de Pythagore de S3:S3=tIdE, τ1,2, τ2,3, τ3,1, s, s1u, où :
Id:t1,2,3u ÝÑ t1,2,3u
xÞÝÑ x
,
τa,b :t1,2,3u Ñ t1,2,3udéni par τa,b(a) = b,τa,b(b) = a,τa,b(x) = xsinon,
s:t1,2,3u Ñ t1,2,3udénie par s(1) = 2,s(2) = 3,s(3) = 1,
s1:t1,2,3u Ñ t1,2,3udénie par s1(1) = 3,s1(2) = 1,s1(3) = 2.
Tableau donnant x˝y:
xyId τ1,2τ1,3τ2,3s s1
Id Id τ1,2τ1,3τ2,3s s1
τ1,2τ1,2Id s1s τ2,3τ1,3
τ1,3τ1,3sId s1τ1,2τ2,3
τ2,3τ2,3s1sId τ1,3τ1,2
s s τ1,3τ2,3τ1,2s1Id
s1s1τ2,3τ1,2τ1,3Id s
(1.6)
3) Groupes de fonctions
Exemple :
(F(A, G),b), où Aest un ensemble quelconque, et (G, ˆ)est un groupe, avec bdéni par :
@f, g PF(A, G), f bg:AÝÑ G
xÞÝÑ f(x)ˆg(x)
(1.7)
E) Classes d’équivalence modulo n
Soit nPN, n ě2. On dénit sur Zla relation ”npar :
@x, y PZ, x ”nyùñ y´xPnZ(1.8)
Cette relation s’appelle la relation de congruence modulo n. On note plutôt x”ymod nou encore
x”y[n]. Cette relation est une relation d’équivalence.
Démonstration :
1. @xPZ, x ”nx, puisque x´x= 0 PnZ.
2. Pour tous x, y PZ, si x”ny, alors y´xPnZ, donc x´yPnZ, soit y”nx.
3. Soient x, y, z PZ. Si x”nyet y”nz, alors y´xs’écrit y´x=nk où kPZ, et z´ys’écrit
z´y=nk1où k1PZ. Donc z´x= (z´y)+(y´x) = n(k1+k)PnZ. Donc x”nz.
Donc la relation ”nest réexive (d’après 1), symétrique (d’après 2) et transitive (d’après 3), c’est
donc une relation d’équivalence.
Cette relation est compatible avec +.
Démonstration :
Pour tous x, x1, y, y1PZ, si x”nx1,y”ny1, alors x´x1PnZ,y´y1PnZ, donc x´x1+y´y1PnZ,
soit (x1+y1)´(x+y)PnZ,c’est-à-dire x+y”nx1+y1.
Pour tout xPZ, on appelle classe d’équivalence modulo n, et on note ˙x, l’ensemble des éléments de
Zcongrus à xmodulo n. (Attention, la notation n’indique pas qu’on travaille modulo n). On a alors
l’équivalence :
@x, y PZ,( ˙x= ˙yðñ x”y[n]) (1.9)
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