Groupes

I Généralités
A) Définition
Un groupe est un couple
),( G
constitué d’un ensemble G et d’une loi de
composition interne sur G de sorte que :
(1) est associative
(2) Il y a dans G un élément neutre pour .
(3) Tout élément de G admet un symétrique pour la loi .
C’est-à-dire :
exyyxGyGx
xxeexGx
zyxzyxGzyx
,,)3(
,)2(
)()(,,,)1(
Remarque :
Si
),( G
est un groupe, il y a unicité du neutre (déjà vu en cas plus général).
Si de plus est commutative, on dit que
),( G
est un groupe commutatif.
B) Exemples
),(  N
n’est pas un groupe.
),(  Z
est un groupe.
),(  Z
n’est pas un groupe.
),(  Q
n’est pas un groupe, mais
)*,(Q
en est un.
 Créons un groupe à trois éléments
cbaG ,,
Loi définie par la table de Pythagore donnant
yx
:
bacc
acbb
cbaa
cba
y
x\
On pose a comme élément neutre, et on choisit
abccb 
C) Règles de calcul
1) En notation « bizarre »
Soit G un ensemble muni d’une loi formant un groupe.
 Il y a dans G un et un seul élément neutre :
L’existence est déjà donnée par la définition d’un groupe.
Supposons que
',ee
sont deux neutres.
Alors
'' eeee 
(première égalité :
'e
est neutre ; deuxième : e est
neutre)
On peut donc parler du neutre du groupe
),( G
.
 Tout élément x de G admet un et un seul symétrique par :
L’existence est toujours donnée par la définition d’un groupe.
Supposons que
'',' xx
sont deux symétriques de x.
Alors
'''''')'()''(''' xxexxxxxxexx 
On note dans ce sous paragraphe
x
le symétrique de x.
 Pour tout
xxGx  ,
:
exxxx 
Donc x est symétrique de
x
.
 Pour tous
xyyxGyx  ,,
:
exxxexxyyxxyyxxyyx  ][])[()]([)()(
Groupes

Et
eyyyeyyxxyyxxyyxxy  ][)]([])[()()(
Donc
xyyx 
 Remarque :
On a, pour tout
)()(,,, zyxzyxGzyx 
.
On peut donc le noter sans ambiguïté
zyx 
 « Résolution d’équations » :
Pour tous
Gzyx ,,
:
zyxzxy
yzxzyx
)2(
)1(
Démonstration du (1) :
Si
zyx 
, alors
yzyyx  )(
.
Or,
xexyyxyyx  )()(
. Donc
yzx 
Si
yzx 
, alors
zezyyzyyzyx  )()(
La démonstration est la même pour (2)…
 Régularité
Pour tous
Gzyx ,,
, on a :
yxyzxz
yxzyzx
)2(
)1(
(Les autres implications sont vraies aussi mais évidentes)
Démonstration de (1) :
Si
zyzx 
, alors
zzyzzx  )()(
Soit
)()( zzyzzx 
, donc
eyex 
c'est-à-dire
yx 
La démonstration est encore la même pour (2).
Conséquence : dans une table de Pythagore d’un groupe fini
),( G
, on ne
voit jamais deux fois le même élément dans une même rangée (ligne ou colonne) :
Si
zyx  11
et
zyxzyx  1221
, alors
12112111 yxyxyxyx 
,
soit
2121 /xxyy 
.
 Itéré d’un élément :
Soit
Gx
. On note (dans ce sous paragraphe seulement) :
2$xxx 
,
3$)( xxxxxxx 
Plus rigoureusement :
On définit, pour tout
Nn
,
nx$
par récurrence en posant :
xnxnxn
ex
)$()1$(,
0$ N
Alors il est facile (mais pénible à écrire) d’établir que, pour tout
Npn,
,
)$()$()$( pxnxpnx 
et
)$()$$( pnxpnx 
 Itéré « un nombre négatif de fois » :
Soit
Gx
,
Nn
.
On pose
nxnx $)$( 
Alors
nxnx $)$( 
Les règles précédentes se généralisent à Z.
2) En notation « multiplicative » (réécriture)
Dans le groupe
),( G
avec les notations suivantes :
- Le neutre
G
1
appelé aussi élément unité
- Le symétrique de
Gx
est noté
1
x
, appelé aussi inverse de x.
- L’itéré n fois est noté
n
x
.
- Le symbole est souvent omis :
yx
est noté aussi
xy
.
Les règles précédentes donnent :

pnpn
pnpn
nnn
nn
G
xx
xxxpn
xxxn
xxxn
xx
x
yxzyzx
yxyzxz
zyxzyx
zyxzxy
xyxy
xx
)(
,,
)()(,
,
1
)(
)(
)(
11
)1(
1
0
1
1
111
11
Z
N
N
3) En notation « additive » (réservée aux groupes commutatifs)
Dans le groupe
),( G
, avec les notations suivantes :
- Le neutre
G
0
est appelé l’élément nul de G
- Le symétrique de
Gx
est noté
x
, appelé aussi opposé de x.
- L’itéré n fois est noté
xn.
ou
nx
.
- On suppose de plus que le groupe
),( G
est commutatif, c'est-à-dire :
xyyxGyx  ,,
Les règles donnent alors :
xx  )(
)()()()()( yxxyyx 
)()( yzxzyxxy 
;
)( yz 
est noté aussi
yz 
xxnxnn
xx
x
yxzyzx
G
.).1(,
.1
0.0
N
).().().(, xnxnxnn  N
, noté aussi
xn.
xnpxnp
xpnxpxnpn
)()..(
).(..,,  Z
D) Autres exemples de groupe
- Rappels :
Groupes de nombres :
)*,(),*,(),*,(),,(),,(),,(),,(  QRCZQRC
- Groupes de permutation :
Soit E un ensemble non vide quelconque. On note
)(ES
l’ensemble des
permutations sur E (ensemble des bijections de E dans E). Alors constitue une loi de
composition interne sur
)(ES
, et
)),(( ES
est un groupe, appelé groupe des
permutations de E. Ce groupe est non commutatif dès que E a au moins trois éléments.
Démonstration :
- On peut composer deux bijections de E dans E, et on obtient une bijection de E
dans E.
- La loi est associative :
hgfhgfEhgf  )()(),(,,  S

(Démontré dans un cas plus général et pas seulement pour les bijections)
- Neutre :
)(Id E
ES
- Tout
)(Ef S
a un symétrique pour , à savoir
1
f
.
Donc
)),(( ES
est un groupe.
Montrons que, pour un ensemble E de plus de trois éléments,
)),(( ES
n’est pas
commutatif :
Soient a, b, c trois éléments de E distincts.
Soient
EEgf :,
définies ainsi :
xxgcbEx
bcg
cbg
xxfbaEx
abf
baf
)(,,\
)(
)(
)(,,\
)(
)(
Alors f et g sont dans
)(ES
, puisque ce sont des applications de E dans E et
inversibles d’inverse elles-mêmes (elles sont involutives).
Et on a alors
fggf  
:
cbgafgafg
bafagfagf
)())(())((
)())(())((
Exemples :
- On note
n
S
le groupe
)),(( ES
lorsque
nE ,...,3,2,1
. Ainsi,
n
S
est un
groupe fini de cardinal
!n
.
 Table de Pythagore de
2
S
:
,Id
2S
, où :
xx2,12,1:Id 
2,12,1: 
définie par
1)2(;2)1( 
Tableau donnant
yx
:
Id
IdId
Id\
y
x
 Table de Pythagore de
3
S
:
',,,,,Id 1,33,22,13 ss
E
S
, où :
xx3,2,13,2,1:Id 
3,2,13,2,1:
, ba
défini par
xxabba bababa  )(;)(;)( ,,,
sinon.
3,2,13,2,1: s
définie par
1)3(;3)2(;2)1(  sss
3,2,13,2,1:' s
définie par
2)3(';1)2(';3)1('  sss
.
Tableau donnant
yx
:
sss
sss
ss
ss
ss
ss
ss
y
x
Id''
Id'
Id'
'Id
'Id
'IdId
'Id\
3,12,13,2
2,13,23,1
2,13,13,23,2
3,22,13,13,1
3,13,22,12,1
3,23,12,1
3,23,12,1
-
)),,(( GAF
, où :
A est quelconque, et
),( G
est un groupe, avec :
défini par :

)()(
:),,(, xgxfx GAgfGAgf  F
E) Classes d’équivalence modulo n.
Soit
2,  nn N
.
On définit sur Z la relation
n
par :
Pour tous
ZZ nxyyxyx n ,,
Cette relation s’appelle la relation de congruence modulo n.
On note plutôt
nyx mod
ou encore
][nyx 
Cette relation est une relation d’équivalence :
(1)
xxx n  ,Z
puisque
Znxx  0
(2) Pour tous
Zyx,
, si
yx n
alors
Znxy 
donc
Znyx 
soit
xy n
(3) Soient
Zzyx ,,
. Si
yx n
et
zy n
, alors
xy 
s’écrit
nkxy 
où
Zk
,
et
yz 
s’écrit
'nkyz 
où
Z'k
. Donc
Znkknxyyzxz  )'()()(
.
Donc
zx n
.
Donc
n
est réflexive (1), symétrique (2) et symétrique (3), c’est donc une relation
d’équivalence.
Cette relation est compatible avec + :
Pour tout
Z',,', yyxx
:
Si
',' yyxx nn 
, alors :
Znxx  '
,
Znyy  '
donc
Znyyxx  ''
soit
Znyxyx  )()''(
, c'est-
à-dire
'' yxyx n
.
Pour tout
Zx
, on appelle classe d’équivalence modulo n, et on note
x
,
l’ensemble des éléments de Z congrus à x modulo n. (Attention, la notation n’indique
pas qu’on travaille modulo n). On a alors l’équivalence :
])[(,, nyxyxyx   Z
.
En effet :
Soient
Zyx,
Si
yx  
. Déjà,
xx 
(car
n
est réflexive), c’est à dire
yx 
, donc
][nyx 
.
Si
][nyx 
. Soit
xz 
. Alors
][nxz 
. Donc
][nyz 
(car
n
est transitive).
Donc
yz 
. Donc
yx  
. De même,
xy  
. Donc
yx  
.
D’où l’équivalence, pour tous
Zyx,
.
On note
ZZ n/
l’ensemble des classes d’équivalences modulo n.
Ainsi,
ZZZ  aan ,/ 
.
Proposition, définition :
ZZ n/
est fini, et de cardinal n.
Pour tous
Zyx,
, on pose
yxyx
.
Alors définit une loi de composition interne sur
ZZ n/
, et
),/( ZZ n
est un
groupe commutatif.
Démonstration :
 Soit
Zx
.
Alors il existe
1,0  na
tel que
ax  
, c'est-à-dire tel que
][nax 
.
En effet :