Groupes

Groupes
I Généralités
A) Définition
Un groupe est un couple (G ,) constitué d’un ensemble G et d’une loi de
composition interne  sur G de sorte que :
(1)  est associative
(2) Il y a dans G un élément neutre pour  .
(3) Tout élément de G admet un symétrique pour la loi  .
C’est-à-dire :
(1) x, y, z  G, ( x  y )  z  x  ( y  z )
(2) x  G, x  e  e  x  x
(3) x  G, y  G, x  y  y  x  e
Remarque :
Si (G ,) est un groupe, il y a unicité du neutre (déjà vu en cas plus général).
Si de plus  est commutative, on dit que (G ,) est un groupe commutatif.
B) Exemples
 (N , ) n’est pas un groupe.
 ( Z , ) est un groupe.
 ( Z ,) n’est pas un groupe.
 (Q ,) n’est pas un groupe, mais (Q*,) en est un.
 Créons un groupe à trois éléments G  a, b, c
Loi  définie par la table de Pythagore donnant xy :
x
\y
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
On pose a comme élément neutre, et on choisit bc  cb  a
C) Règles de calcul
1) En notation « bizarre »
Soit G un ensemble muni d’une loi  formant un groupe.
 Il y a dans G un et un seul élément neutre :
L’existence est déjà donnée par la définition d’un groupe.
Supposons que e, e ' sont deux neutres.
Alors e  e  e'  e' (première égalité : e' est neutre ; deuxième : e est
neutre)
On peut donc parler du neutre du groupe (G ,) .
 Tout élément x de G admet un et un seul symétrique par  :
L’existence est toujours donnée par la définition d’un groupe.
Supposons que x ' , x ' ' sont deux symétriques de x.
Alors x'  x'e  x'( x  x' ' )  ( x'x)  x' '  e  x' '  x' '
On note dans ce sous paragraphe x le symétrique de x.
 Pour tout x  G, x  x :
x x  x x  e
Donc x est symétrique de x .
 Pour tous x, y  G, x  y  y  x :
( x  y )  ( y  x )  x  [ y  ( y  x )]  x  [( y  y )  x ]  x  [e  x ]  x  x  e
Et ( y  x )  ( x  y )  [( y  x )  x]  y  [ y  ( x  x)]  y  [ y  e]  y  y  y  e
Donc x  y  y  x
 Remarque :
On a, pour tout x, y, z  G, ( x  y )  z  x  ( y  z ) .
On peut donc le noter sans ambiguïté x  y  z
 « Résolution d’équations » :
Pour tous x, y, z  G :
(1) x  y  z  x  z  y
(2) y  x  z  x  y  z
Démonstration du (1) :
Si x  y  z , alors ( x  y )  y  z  y .
Or, ( x  y )  y  x  ( y  y )  x  e  x . Donc x  z  y
Si x  z  y , alors x  y  ( z  y )  y  z  ( y  y )  z  e  z
La démonstration est la même pour (2)…
 Régularité
Pour tous x, y, z  G , on a :
(1) x  z  y  z  x  y
( 2) z  x  z  y  x  y
(Les autres implications sont vraies aussi mais évidentes)
Démonstration de (1) :
Si x  z  y  z , alors ( x  z )  z  ( y  z )  z
Soit x  ( z  z )  y  ( z  z ) , donc x  e  y  e c'est-à-dire x  y
La démonstration est encore la même pour (2).
Conséquence : dans une table de Pythagore d’un groupe fini (G ,) , on ne
voit jamais deux fois le même élément dans une même rangée (ligne ou colonne) :
Si x1  y1  z et x1  y2  z x2  y1  z , alors x1  y1  x1  y2 x1  y1  x2  y1 ,
soit y1  y2 / x1  x2 .
 Itéré d’un élément :
Soit x  G . On note (dans ce sous paragraphe seulement) :
x  x  x$2 , ( x  x)  x  x  x  x  x$3
Plus rigoureusement :
On définit, pour tout n  N , x$n par récurrence en posant :
 x$0  e
 n  N , x$(n  1)  ( x$n)  x
Alors il est facile (mais pénible à écrire) d’établir que, pour tout n, p  N ,
x$(n  p)  ( x$n)  ( x$ p) et ( x$n)$ p  x$(n  p)
 Itéré « un nombre négatif de fois » :
Soit x  G , n  N .
On pose x$(n)  x $n
Alors x$(n)  x$n
Les règles précédentes se généralisent à Z.
2) En notation « multiplicative » (réécriture)
Dans le groupe (G ,) avec les notations suivantes :
- Le neutre 1G appelé aussi élément unité
-
Le symétrique de x  G est noté x 1 , appelé aussi inverse de x.
L’itéré n fois est noté x n .
Le symbole  est souvent omis : x  y est noté aussi xy .
Les règles précédentes donnent :
 ( x 1 ) 1  x
 ( xy) 1  y 1 x 1
 xy  z  x  zy 1
yx  z  x  y 1 z
 xz  yz  x  y
zx  zy  x  y
 x 0  1G
x1  x
n  N , x ( n 1)  x n x
n  N , x  n  ( x 1 ) n  ( x n ) 1
n, p  Z , x n x p  x ( n  p )
( x n ) p  x n p
3) En notation « additive » (réservée aux groupes commutatifs)
Dans le groupe (G,) , avec les notations suivantes :
- Le neutre 0G est appelé l’élément nul de G
- Le symétrique de x  G est noté  x , appelé aussi opposé de x.
- L’itéré n fois est noté n.x ou nx .
- On suppose de plus que le groupe (G,) est commutatif, c'est-à-dire :
x, y  G, x  y  y  x
Les règles donnent alors :
  ( x)  x
  ( x  y )  ( y )  ( x)  ( x)  ( y )
 ( y  x ) x  y  z  x  z  ( y ) ; z  ( y ) est noté aussi z  y
 xz  yz  x  y
 0.x  0G
1.x  x
n  N , (n  1).x  n.x  x
n  N , (n).x  n.( x)  (n.x) , noté aussi  n.x
n, p  Z , n.x  p.x  (n  p ). x
p.(n.x)  ( p  n) x
D) Autres exemples de groupe
- Rappels :
Groupes de nombres :
(C ,), (R ,), (Q,), ( Z ,), (C*,), (R *,), (Q*,)
- Groupes de permutation :
Soit E un ensemble non vide quelconque. On note S (E ) l’ensemble des
permutations sur E (ensemble des bijections de E dans E). Alors  constitue une loi de
composition interne sur S (E ) , et (S ( E ),) est un groupe, appelé groupe des
permutations de E. Ce groupe est non commutatif dès que E a au moins trois éléments.
Démonstration :
- On peut composer deux bijections de E dans E, et on obtient une bijection de E
dans E.
- La loi  est associative :
f , g , h  S ( E ), f  ( g  h)  ( f  g )  h
(Démontré dans un cas plus général et pas seulement pour les bijections)
- Neutre : Id E  S ( E)
- Tout f  S (E ) a un symétrique pour  , à savoir f 1 .
Donc (S ( E ),) est un groupe.
Montrons que, pour un ensemble E de plus de trois éléments, (S ( E ),) n’est pas
commutatif :
Soient a, b, c trois éléments de E distincts.
Soient f , g : E  E définies ainsi :
 f (a)  b
 g (b)  c


 f (b)  a
 g (c )  b
x  E \ a, b, f ( x)  x x  E \ b, c, g ( x)  x


Alors f et g sont dans S (E ) , puisque ce sont des applications de E dans E et
inversibles d’inverse elles-mêmes (elles sont involutives).
Et on a alors f  g  g  f :
( f  g )( a)  f ( g (a))  f (a)  b
( g  f )( a)  g ( f (a))  g (b)  c
Exemples :
- On note S n le groupe (S ( E ),) lorsque E  1,2,3,..., n . Ainsi, S n est un
groupe fini de cardinal n! .
 Table de Pythagore de S2 :
S2  Id, , où :
Id : 1,2  1,2
x x
 : 1,2  1,2 définie par  (1)  2 ;  (2)  1
Tableau donnant x  y :
x
\y
Id


Id 
 Id
Id
 Table de Pythagore de S3 :
S 3  Id E , 1, 2 , 2,3 , 3,1 , s, s ', où :
Id : 1,2,3  1,2,3
x x
 a ,b : 1,2,3  1,2,3 défini par  a ,b (a)  b ;  a ,b (b)  a ;  a ,b ( x)  x sinon.
s : 1,2,3  1,2,3 définie par s(1)  2 ; s(2)  3 ; s(3)  1
s': 1,2,3  1,2,3 définie par s' (1)  3 ; s' (2)  1 ; s' (3)  2 .
Tableau donnant x  y :
y
Id  1, 2  1,3  2,3 s
s'
x\
Id Id  1, 2  1,3  2,3 s
s'
 1, 2  1, 2 Id
s'
s  2,3  1,3
 1,3  1,3 s
Id
s '  1, 2  2,3
 2,3  2,3 s '
s
Id  1,3  1, 2
s
s  1,3  2,3  1, 2 s '
Id
s'
s '  2,3  1, 2  1,3 Id
s
- (F( A, G ),) , où :
A est quelconque, et (G ,) est un groupe, avec :
 défini par :
f , g  F( A, G), f  g : A  G
x f ( x)g ( x)
E) Classes d’équivalence modulo n.
Soit n  N , n  2 .
On définit sur Z la relation  par :
n
Pour tous x, y  Z , x  y  y  x  nZ
n
Cette relation s’appelle la relation de congruence modulo n.
On note plutôt x  y mod n ou encore x  y [n]
Cette relation est une relation d’équivalence :
(1) x  Z , x  x puisque x  x  0  nZ
n
(2) Pour tous x, y  Z , si x  y alors y  x  nZ donc x  y  nZ soit y  x
n
n
(3) Soient x, y, z  Z . Si x  y et y  z , alors y  x s’écrit y  x  nk où k  Z ,
n
n
et z  y s’écrit z  y  nk ' où k ' Z . Donc z  x  ( z  y )  ( y  x)  n(k ' k )  nZ .
Donc x  z .
n
Donc  est réflexive (1), symétrique (2) et symétrique (3), c’est donc une relation
n
d’équivalence.
Cette relation est compatible avec + :
Pour tout x, x' , y, y ' Z :
Si x  x ' , y  y ' , alors :
n
n
x  x' nZ , y  y ' nZ donc x  x' y  y ' nZ soit ( x' y ' )  ( x  y )  nZ , c'està-dire x  y  x' y ' .
n
Pour tout x  Z , on appelle classe d’équivalence modulo n, et on note x ,
l’ensemble des éléments de Z congrus à x modulo n. (Attention, la notation n’indique
pas qu’on travaille modulo n). On a alors l’équivalence :
x, y  Z , ( x  y  x  y [n]) .
En effet :
Soient x, y  Z
Si x  y . Déjà, x  x (car  est réflexive), c’est à dire x  y , donc x  y [n] .
n
Si x  y [n] . Soit z  x . Alors z  x [n] . Donc z  y [n] (car  est transitive).
n
Donc z  y . Donc x  y . De même, y  x . Donc x  y .
D’où l’équivalence, pour tous x, y  Z .
On note Z / nZ l’ensemble des classes d’équivalences modulo n.
Ainsi, Z / nZ  a, a  Z.
Proposition, définition :
Z / nZ est fini, et de cardinal n.

Pour tous x, y  Z , on pose x  y  x  y .
Alors  définit une loi de composition interne sur Z / nZ , et ( Z / nZ ,) est un
groupe commutatif.
Démonstration :
 Soit x  Z .
Alors il existe a  0, n  1 tel que x  a , c'est-à-dire tel que x  a [n] .
En effet :


En prenant a  x  nk , où k  nx , on a alors :
k  nx  k  1 , donc nk  x  nk  n , soit 0  x  nk  n , c'est-à-dire 0  a  n 1 ,
d’où l’existence.
Donc x  Z , a  0, n  1 , x  a


Donc Z / nZ contient au plus n éléments, à savoir les a, a  0, n  1 . On doit
donc maintenant montrer que tous ces éléments sont distincts.
Soient x, y  0, n  1 , supposons que x  y , c'est-à-dire que x  y [n] .


Il existe donc k  Z tel que y  x  nk .
Alors y  x  nk . On a :
0  x  n  1. Donc nk  y  nk  n  1  n(k  1)
Donc k  ny  k  1
 . Or, 0  y  n  1 . Donc 0   1   1
Donc k     0 . Donc y  x  nk  x .
Donc x, y  0, n 1 , x  y  x  y
Soit, par contraposée : x, y  0, n 1 , x  y  x  y .
Donc k 
y
n
y
n
y
n
1
n

Donc Z / nZ contient au moins n éléments, à savoir les a, a  0, n  1

Donc Z / nZ est fini, de cardinal n.
 Montrons déjà que la loi  est bien définie, c'est-à-dire que pour tous x, y  Z

, x  y ne dépend que de x  y , et non pas de x et de y :
Si x' est tel que x '  x , et y ' tel que y '  y , alors x'  x et y '  y , soit x' y '  x  y
n
n
n


donc x  y  x' y ' .
Déjà,  est évidemment une loi de composition interne sur Z / nZ
 est associative : en effet, pour tous x, y, z  Z , on a :




( x  y )  z  x  y  z  ( x  y )  z  x  ( y  z )  x  y  z  x  ( y  z )
Pour tout x  Z , on a :


x  0  x  0  x  0  x  0  x
Donc Z / nZ admet un élément neutre pour  , à savoir 0 .
Soit x  Z , posons y   x (ainsi, y  Z ). On a alors :




x  y  x  y  x  ( x)  0  ( x)  x  y  x  y  x
Donc tout élément de Z / nZ admet un symétrique pour  .
Enfin,  est commutative : pour tous x, y  Z , on a :


x  y  x  y  y  x  y  x
Donc ( Z / nZ ,) est bien un groupe commutatif. (on notera plutôt + pour  )
II Sous-groupes (notation multiplicative)
A) Définition
Soit (G ,) un groupe.
Soit H une partie de G.
On dit que H constitue un sous-groupe de (G ,) lorsque :
(1) 1G  H
(2) H est stable par  : x, y  H , x  y  H
(3) H est stable par passage à l’inverse : x  H , x 1  H
Proposition :
Si H est un sous-groupe de (G ,) , alors  constitue une loi de composition interne
sur H, et ( H ,) est un groupe.
- Déjà,  est bien une loi de composition interne sur H d’après (2)
- L’associativité n’est pas perdue par restriction.
- Neutre : c’est 1G qui est dans H d’après (1)
- Existence d’un inverse pour tout x de H d’après (3).
B) Exemples
- R * est un sous-groupe de (C *,) , Q * de (R *,) (et aussi de (C *,) ),
2n , n  Z ,  1,1, Q* sont des sous-groupes de (Q*,)



U est un sous-groupe de (C *,) ( U  z  C, z  1)
U n est un sous-groupe de (U ,) ( U n  z  C , z n  1)
- Des sous-groupes de (C ,) sont : Z , Q, R , 0 z  C*, Arg( z)   [ ]
(Le dernier est une droite du plan complexe passant par O)
- Pour n  N , nZ est un sous-groupe de Z.
- Si (G ,) est un groupe, alors 1G  et G sont des sous-groupes de G (les autres
sous-groupes sont appelés les sous-groupes propres de G)
- Id, s, s' est un sous-groupe (commutatif) de S 3  Id E , 1, 2 , 2,3 , 3,1 , s, s ' qui
n’est pas commutatif.
Soit n  N * , A une partie de 1,2,..., n non vide.
Soit H    S n ,  ( A)  A, c'est-à-dire que H est l’ensemble des permutations
qui laissent stable A (remarque : si   S n , comme  est bijective,  ( A) a le même
cardinal que A, donc  ( A)  A   ( A)  A )
Alors H est un sous-groupe de (S n ,) :
- Id  H
- H est stable par  : si  ( A)  A ,  ' ( A)  A , alors    ' ( A)  A
- H est stable par passage au symétrique : si  ( A)  A , alors  1 ( A)  A
En effet :
Supposons que  ( A)  A . Alors  ( A)  A
Soit x  A . Donc x   ( A) .
Il existe donc y dans A tel que x   ( y ) , avec y  A
Donc  1 ( x)  y , donc  1 ( x)  A
D’où l’inclusion  1 ( A)  A (et même l’égalité puisque  1 est bijective)
- Des sous-groupes de (F(R , R ),) :
 L’ensemble des fonctions polynomiales
 f ,   R où f est un élément fixé de F(R , R ) .
  f  F(R , R ), f (0)  0
 C n (R , R ) où n  N , D n (R , R ) où n  N
 Ensemble des fonctions T-périodiques (à T fixé)
 Ensemble des fonctions k-lipschitzienne (à k fixé)
 Ensemble des fonctions uniformément continues
 Ensemble des fonctions paires, impaires…
- Sous-groupes de Z / nZ :
Pour n  6 :
0 , 0 ,1,2 ,3 ,4 ,5 , 0 ,2 ,4 , 0 ,3

 

 
sous-groupes propres
1 engendre Z / 6Z ,
2 et 4 engendrent
5 aussi.
0 ,2 ,4 .


 
3 engendre 0 ,3 .
On dit que 1 est un élément d’ordre 6, 2 et 4 d’ordre 3, 3 d’ordre 2.
C) Les sous-groupes de ( Z ,) .
Déjà, les nZ , où n  N , sont des sous-groupes de Z.
Y en a-t-il d’autres ?
Soit G un sous-groupe de Z autre que 0.
Il contient donc un élément non nul de Z, et son opposé (l’un d’eux étant alors
dans N * ). Donc l’ensemble G  N * est non vide et est une partie de N. il admet donc
un plus petit élément, disons n  1. Alors G  nZ .
En effet :
Déjà, une récurrence rapide montre que k  N , kn  G , puis comme G est stable
par passage à l’inverse, k  Z , kn  G , donc nZ  G
L’autre inclusion maintenant :
Soit x  G . La division euclidienne de x par n donne :
x  nq  r , où q  Z et r  0, n  1 .


Donc r  x  nq  x  (nq) .

G
G
Donc r  G . Comme n est le plus petit élément de G  N * , on a nécessairement
r  0 (car r  n )
Donc x  nZ
Ainsi, les sous-groupes de Z sont exactement les nZ , où n  N .
D) Une caractérisation condensée des sous-groupes
Proposition :
Soit (G ,) un groupe, H une partie de G.
1  H
Alors H est un sous-groupe de (G,)   G
1
x, y  H , xy  H
Démonstration :
La première implication est évidente. Pour l’autre :
1  H
Supposons que  G
1
x, y  H , xy  H
Alors déjà 1G  H …
En prenant x  1G , Alors, pour tout y  H , y 1  H .
Pour tout x, y  H , y 1  H , donc x( y 1 ) 1  H c'est-à-dire xy  H
E) Intersections de sous-groupes
Théorème :
Soit (G ,) un groupe.
Alors toute intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G.
Démonstration :
Soit ( H i )iI une famille de sous-groupes de G indexée par I. Notons H   H i
iI
Déjà, 1G  H , puisque i  I ,1G  H i .
Soient x, y  H . Alors, pour tout i  I , x  H i , y  H i donc xy1  H i .
Donc xy1  H .
Donc H est un sous-groupe de (G ,) .
F) Sous-groupe engendré par une partie
Soit (G ,) un groupe.
Soit A une partie de G.
On appelle sous-groupe engendré par A le plus petit sous-groupe de G contenant A.
Il y en a bien un, puisque déjà G contient A. Donc l’ensemble  des sous-groupes
de G contenant A n’est pas vide.
Considérons alors  H . C’est un sous-groupe de G, il contient A et est contenu
H 
dans tout sous-groupe de G contenant A.
On note alors A   H
H 
Cas particulier :
Un sous-groupe engendré par un singleton a est noté a , et on parle du sousgroupe engendré par l’élément a.
Exemples :
- Dans Z / 6Z :
2  0 ,2 ,4 
 
3  0 ,3
5  Z / 6Z (on dit que 5 est un générateur de Z / 6Z )
2 ,3  Z / 6Z ( 2 ,3 est une partie génératrice de Z / 6Z )
- Dans (R , ) : 2  2Z
- Dans S 3  Id E , 1, 2 , 2,3 , 3,1 , s, s ' :
s  Id, s, s' ; s'  Id, s, s' ;  1, 2  Id, 1, 2  ; s, a ,b  S 3
G) Groupe monogène
Définition :
Soit (G ,) un groupe.
On dit que G est monogène lorsqu’il admet un générateur, c'est-à-dire lorsqu’il
existe a  G tel que a  G , c'est-à-dire : a  G, a  G
Remarque :
a  ak , k  Z
En effet :
- Soit H un sous-groupe de G contenant a. Alors, comme H est stable par  et
passage à l’inverse, une récurrence évidente montre qu’alors H contient a k , k  Z .
- L’ensemble a k , k  Z est effectivement un sous-groupe de G contenant a :
Il contient 1G  a 0 .








Il est stable par  , puisque pour tous x, y  a k , k  Z , x s’écrit x  a k , y s’écrit
y  a k ' (où k , k ' Z ) et xy  a k a k '  a k k '  a k , k  Z
Il est stable par passage à l’inverse puisque pour tout x  a k , k  Z , x s’écrit
x  a k où k  Z , et x 1  (a k ) 1  a  k  a k , k  Z .
C’est donc un sous-groupe de G, et enfin il contient a puisque a  a 1 .
Donc a k , k  Z est un sous-groupe de G qui contient a, et c’est le plus petit.



Remarque :





Plus généralement, A est l’ensemble des produits de puissances d’éléments de
A.
Définition :
Un groupe G est dit cyclique lorsqu’il est monogène et fini.
Exemples :
- ( Z ,) est monogène infini : Z  k.1, k  Z   1 (Attention, notation additive)
Tous les sous-groupes de Z sont monogènes (infinis) : nZ  k.n, k  Z  n
- ( Z / nZ ,) est cyclique, engendré par 1 (qui n’est généralement pas le seul)


2 i
- (U n ,) est aussi cyclique : U n   k , k  Z   où e n .
III Morphismes de groupes
(Morphisme est une apocope de homomorphisme)
A) Définition (en notation « bizarre »)
Soient (G , # ) et ( H ,) deux groupes.
Un morphisme de (G , # ) vers ( H ,) est une application  : G  H telle que :
x, y  G,  ( x # y )   ( x) ( y )
Exemples :
 exp est un morphisme de (R , ) vers (R *,)
 x  x de (R * ,) vers (R *,) (ou vers (R * ,) aussi)
 x  ax de (R , ) vers (R , )
   ei de (R *,) vers (C *,)
 L’ensemble SC (N , R ) des suites réelles convergentes est un sous-groupe de
(R N ,) et l’application u  lim( u ) est un morphisme de (SC (N , R ),) vers
(R , ) .
B) Propriétés (notation multiplicative)
Proposition :
Soit  un morphisme d’un groupe (G ,) vers un groupe ( H ,) .
Alors :
 x, y  G,  ( xy)   ( x) ( y )
  (1G )  1H
 x  G,  ( x 1 )  ( ( x)) 1
 x  G, n  Z ,  ( x n )  ( ( x)) n
Démonstration :
 C’est la définition.
  (1G )   (1G 1G )   (1G )   (1G ) .
L’élément a   (1G ) de H vérifie donc a  a  a . Donc a  a  a 1  1H

Soit x  G . Alors  ( x 1 ) ( x)   ( x 1 x)   (1G )  1H
De même,  ( x) ( x 1 )  1H
Donc  ( x 1 )  ( ( x)) 1
 Soit x  G . Montrons par récurrence que n  N ,  ( x n )  ( ( x)) n :
Pour n  0 ,  ( x 0 )   (1G )  1H  ( ( x)) 0
Soit n  N , supposons que  ( x n )  ( ( x)) n .
Alors  ( x n1 )   ( x n x)   ( x n ) ( x)  ( ( x)) n  ( x)  ( ( x)) n1
On passe aux n négatifs avec le point précédent.
C) Noyau et image d’un morphisme
Définition, proposition :
Soit  un morphisme d’un groupe (G ,) vers un groupe ( H ,) .
L’image de  , notée Im  , c’est  (G ) , c'est-à-dire  ( x), x  G
Alors Im  est un sous-groupe de H.
Démonstration :
- Im  contient 1H car 1H   (1G )
- Im  est stable par  :
Soient u , v  Im  . Alors u s’écrit  (x ) où x  G , v s’écrit  ( y ) où y  G .
Donc u  v   ( x)   ( y )   ( xy)  Im 
- Im  est stable par passage à l’inverse :
Soit u  Im  . Alors u s’écrit  (x ) où x  G .
Et : u 1  ( ( x)) 1   ( x 1 )  Im 
Définition :
Soit  un morphisme d’un groupe (G ,) vers un groupe ( H ,) .
Le noyau de  , noté ker  est par définition :
ker   x  G, ( x)  1H 
Proposition :
ker  est un sous-groupe de G.
Démonstration :
- 1G  ker  car  (1G )  1H .
- Pour tous x, y  ker  , on a  ( xy)   ( x)  ( y)  1H 1H  1H donc xy  ker  .
- Pour tout x  ker  ,  ( x 1 )  ( ( x)) 1  (1H ) 1  1H donc x 1  ker  .
Théorème :
Soit  un morphisme d’un groupe (G ,) vers un groupe ( H ,) . Alors :
(1) Pour tous x, y  G ,  ( x)   ( y)  xy1  ker 
(2)  est injective  ker   1G 
Démonstration :
(1) On a les équivalences :
 ( x)   ( y)   ( x)( ( y)) 1  1H   ( x) ( y 1 )  1H   ( xy 1 )  1H
 xy 1  ker 
(2) Supposons  injective :
Soit x  ker  . Alors  ( x)  1H   (1G ) .
Donc, comme  est injective, x  1G . Donc ker   1G 
De plus, ker  est un sous-groupe de G, donc 1G  ker  , donc 1G   ker  .
D’où l’égalité.
Réciproquement, supposons que ker   1G  :
Soient alors x, y  G . Supposons que  ( x)   ( y ) .
Alors xy1  ker  . Donc xy 1  1G . Donc x  y .
Donc  est injective.
Exemple :
L’application  : R  C * est un morphisme de (R , ) vers (C *,) de noyau
 ei
2Z et d’image U
D) Composition
Proposition :
La composée, quand elle est définie, de deux morphismes de groupes est un
morphisme de groupes.
Démonstration :
Soient (G,), ( H , # ), ( I ,) trois groupes.
Soient GH : G  H et HI : H  I deux morphismes.
Alors  HI  GH est bien définie, et va de (G ,) dans ( I ,) .
Soient x, y  G . On a :
 HI   GH ( x  y )   HI ( GH ( x  y ))
  HI ( GH ( x)#  GH ( y ))
  HI ( GH ( x)) HI ( GH ( y ))
 ( HI   GH ( x))( HI   GH ( y ))
E) Isomorphisme
Proposition, définition :
Soit  un morphisme bijectif de (G ,) vers ( H ,) . Alors  1 est un morphisme
(bijectif) de ( H ,) vers (G ,) . On dit que  est un isomorphisme.
Lorsqu’il existe un isomorphisme entre deux groupes, on dit que ces deux groupes
sont isomorphes.
Démonstration :
Soit  un morphisme bijectif de (G ,) vers ( H ,) .
Soient x, y  H .
Soient u , v  G tels que  (u )  x,  (v)  y . (C'est-à-dire u   1 ( x), v   1 ( y) ).
Alors  1 ( x  y)   1 ( (u)   (v))   1 ( (uv))  u  v   1 ( x)   1 ( y)
Donc  1 est un morphisme de ( H ,) vers (G ,) .
Exemples :
 (]  2 , 2 [,) et (R , ) sont isomorphes, où  est la loi définie par :
x, y ]  2 , 2 [, tan( x  y)  tan x  tan y
C'est-à-dire x, y ]  2 , 2 [, x  y  Arctan (tan x  tan y)
(Ainsi, x, y ]  2 , 2 [,  ( x  y)   ( x)   ( y) , où   tan , qui réalise bien une
bijection de ]  2 , 2 [ dans R)
 f :Z U
est un morphisme surjectif de ( Z ,) vers (U n ,) mais non
2 ik
k e n
injectif. Son noyau est nZ :
Déjà, c’est un morphisme, puisque pour tous x, y  Z , on a :
f ( x  y)  e
2 i ( x y ) 
n
e
2 ix
n
e
2 iy
n
 f ( x) f ( y ) .
2 ik
f est surjective puisque tout élément z  U n s’écrit e n où k  Z .
Mais f n’est pas injective : pour tout x  Z , on a les équivalences :
x  ker f  f ( x)  1  2 xn  2Z  nx  Z  x  nZ
Donc le noyau de f est nZ , donc f n’est pas injective.
 : Z / nZ  U n où k est tel que k  u par contre est bijectif.
2 ik
ue n
Démonstration :
Déjà, il faut montrer que la définition de  est cohérente, c'est-à-dire que
dépend que de k et non pas de k.
Si deux éléments k , k ' Z sont tels que k  k' , on a alors :
e
2 ik
n
ne
k  k ' nZ . Donc k  k ' ker f . Donc f (k )  f (k ' ) (on est en notation additive)
2 ik
2 ik '
Donc e n  e n .
C’est un morphisme :
Pour tous u, u ' Z / nZ s’écrivant u  k et u'  k' où k , k ' Z :
 (u  u' )  e
2 i ( k k ') 
n
e
2 ik
n
e
2 ik '
n
  (u) (u' ) .
 est surjective, puisque tout élément z  U n s’écrit e
 est aussi injective :
Soit u  ker  . Alors u s’écrit k où k  Z .
2 ik
n
où k  Z .

2 ik
Alors  (u)  e n  1 . Donc k  nZ . Donc u  k  0 . Donc ker   0 .
Comme ker  est un sous-groupe de nZ , on a aussi l’autre inclusion et donc
l’égalité. Donc  est injective.
Donc  est bijective. Donc (U n ,) et ( Z / nZ ,) sont isomorphes.
Remarque :
La relation « être isomorphe à » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des
groupes :
- Elle est réflexive (l’identité est un isomorphisme d’un groupe G vers G)
- Elle est symétrique (si G est isomorphe à H, alors H est isomorphe à G)
- Elle est transitive (la composée de deux isomorphismes est un isomorphisme)
F) Vocabulaire (rappels)
- Un morphisme de G vers H est aussi appelé homomorphisme de G vers H.
- Un isomorphisme de G vers H est un morphisme bijectif de G vers H.
- Un endomorphisme de G est un morphisme de G vers G.
- Un automorphisme de G est un morphisme bijectif de G vers lui-même.
isomorphisme de G vers lui-même.
endomorphisme bijectif de G.
IV Ordre d’un élément d’un groupe
Soit (G ,) un groupe.
Théorème, définition :
Soient a  G, n  N * . Alors les trois affirmations suivantes sont équivalentes :
(1) a est fini et de cardinal n.
(2) Il existe k  N * tel que a k  1G , et n est le plus petit des ces entiers.
(3) L’ensemble k  Z , a k  1G  n’est pas réduit à 0, c’est même nZ .
Lorsque l’une des ces affirmations (et donc les trois) est vraie, on dit que a est un
élément d’ordre fini de G, égal à n.
Démonstration :
Considérons  : Z  G . Alors  est un morphisme de ( Z ,) vers (G ,) .
k a k
En effet, k , k ' Z , a k  k '  a k a k ' .
On a :
Im  a k , k  Z  a


ker  est un sous groupe de ( Z ,) donc du type mZ où m  N .
- Si m  0 , ker   0 donc  est injective. Donc  réalise une bijection de Z sur
Im  a . Donc a est infini.
-


Si m  1 , a  a0 , a1 ,...a m1 . En effet :


Une première inclusion, a , a ,...a m1  a est déjà évidente.
0
1
Soit maintenant b  a .
Alors b s’écrit a k où k  Z . La division euclidienne de k par m ( m  0 ) donne :
k  mq  r avec r  0, m  1 .




Donc b  a mq r  (a m ) q a r  a r  a 0 , a1 ,...a m1 , d’où l’autre inclusion, et l’égalité.

1G car
mmZ  ker
De plus, card( a )  m : il n’existe pas i, j distincts dans 0, m  1  tels que a i  a j car
si par exemple 0  i  j  m  1 , et si on avait a i  a j , on aurait a i  j  1G ce qui ne se peut
pas car 0  i  j  m  1 donc j  i  mZ .
Avec cela, il est maintenant facile de montrer que (1)  (2)  (1) et (1)  (3)  (1) :
Supposons (1).
Alors, en gardant les notations précédentes, m  n .
Donc n est bien le plus petit des k  N * tels que a k  1G , car a m  1G et
k  1, m 1 , a k  1G (puisque a 0  1G et on a montré que les a k , k  0, m 1  sont distincts)
Et d’autre part l’ensemble des k  Z tels que a k  1G est bien nZ (c’est ker  )
Donc (1)  ( 2) et (1)  (3) .
Supposons maintenant (3) : On est alors dans la situation m  n  1 (car ker   0)
Donc le sous-groupe engendré par a est de cardinal n.
De même, (2)  (1) .
Exemples :
Dans ( Z / 6 Z , ) :
2 est d’ordre 3 : 2  0 ,2 ,4  de cardinal 3
Autre justification : 3.2  2  2  2  0 et 1.2  2  0 , 2.2  4  0
3 est d’ordre 2, 1 et 5 sont d’ordre 6, 0 est d’ordre 1.
Dans ( Z ,) , 0 est d’ordre 1, tout les autres sont d’ordre infini.
Dans (S8 ,) :
Notation (dans S n ) : la permutation 1  a1 ... est notée généralement

Prenons par exemple    13

2 3 4 5 6 7 8 
5 7 2 4 8 6 1 
1 2

a a
 1 2
3  8 
a3  a8 
.
. Alors  est d’ordre fini, car   S8 et S8
est de cardinal fini (Donc au pire  est d’ordre ce cardinal, à savoir 15)