Autour du cardinal d′un ensemble de matrices binaires

Autour du cardinal d′un ensemble
de matrices binaires
Adrien REISNER1
Abstract. We here study a couple of algebraic and analytic properties of certain binary matrices
in the spaces Mn(R). In particular, we study power series whose coefficients are functions of the
cardinal of these matrices, as well the rank of this family of matrices.
Keywords: binary bistochastic matrices, rank, power series.
MSC 2000: 15A03, 15A18.
On consid`ere l′ensemble Undes matrices binaires de taille ncomportant exacte-
ment deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne (pour toute
matrice A∈Unla matrice 1
2Aest bistochastique). On d´esigne par un= Card Unet
on pose u0= 1, u1= 0. Jnest la matrice de Mn(R) dont tous les coefficients sont
´egaux `a 1.
Exemples. Pour n= 2, la seule matrice de U2est la matrice J2=1 1
1 1 .
Donc u2=1.Pour n=3, U3est form´e des 6 matrices Aj, j : 1,...,6 (suivant la position
du seul ´el´ement nul (a1i)i:1,2,3de la premi`ere ligne): (a11 = 0) : A1=
0 1 1
1 1 0
1 0 1
,
A2=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
; (a12 = 0) : A3=
1 0 1
1 1 0
0 1 1
,A4=
1 0 1
0 1 1
1 1 0
; (a13 = 0) :
A5=
1 1 0
1 0 1
0 1 1
,A6=
1 1 0
0 1 1
1 0 1
. Donc u3= 6.
1. ´ Etude de un.On d´esigne par Hnle sous-ensemble de Uncomportant un 1 en
position (1,1) et hn= Card Hn. En outre, Knest le sous-ensemble de Hncomportant
un 1 en position (1,2) et un 1 en position (2,1) et kn= Card Kn. X0= [1] d´esignant
le vecteur de Rndont tous les coefficients sont ´egaux `a 1 on a le
Th´eor`eme 1. a)Pour toute matrice A∈Un,2est valeur propre de Aet X0est
un vecteur propre associ´e `a cette valeur propre. b)On a:
A∈Un
A=hnJn.
D´emonstration. a) Pour toute matrice A∈Unil est imm´ediat que le vecteur X0
est vecteur propre associ´e `a la valeur propre λ= 2 (la matrice 1
2Aest bistochastique):
AX0= 2X0,∀A∈Un.
1TELECOM ParisTech; e-mail: [e-mail]
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b) Pour (i, j) fix´e soit (Un)ij l′ensemble (Un)ij ={A∈Un;aij = 1}et pour toute
matrice Ade Und´esignons par A′la matrice obtenue `a partir de la matrice Aen
´echangeant les lignes 1 et ipuis les colonnes 1 et j. Il est imm´ediat que cette matrice
A′appartient `a l′ensemble Hnet que l′application (Un)ij →Hn, A 7→ A′est bijective.
Par suite pour tout i, j : 1,...,n: Card(Un)ij = Card Hn=hn,d′o`u l′assertion b).
Corollaire. On a un=n
2hn.
D´emonstration. Compte tenu des deux assertions pr´ec´edentes il vient:
A∈Un
AX0
=hnJnX0soit 2unX0=nhnX0et le corollaire est ainsi d´emontr´e, le vecteur X0´etant
vecteur propre de la matrice Jnpour la valeur propre n.
Th´eor`eme 2. On a: a)hn= (n−1)2kn, n ≥2; b)kn=un−2+hn−1pour n≥4.
D´emonstration. a) Pour tout (i, j),2≤i, j ≤n, soit Hij
nl′ensembles des
´el´ements de Hnayant un 1 dans la position (i, 1) et un 1 en position (1, j). Ces
ensembles Hij
n,2≤i, j ≤n, constituent une partition de Hnet il y a (n−1)2de
tels ensembles. Remarquons que H22
n=Kn. De plus, l′application ϕi,j :Hij n→Kn,
A7→ Aij ,o`u la matrice Aij est obtenue `a partir de la matrice Apar ´echange des lignes
2 et iet des colonnes 2 et j(lorsque i= 2 ou j= 2 on ne fait pas d′´echange) est de
fa¸con ´evidente bijective, soit pour tout (i, j),2≤i, j ≤n, Card Hij
n= Card Kn=kn.
On en d´eduit alors pour n≥2 : hn= Card Hn=
n
i,j=2
Card Hij
n=
n
i,j=2
Card Kn=
(n−1)2kn.
b) Pour n≥4, Knest r´eunion disjointe des deux parties suivantes: 1) Kn1
ensemble des ´el´ements de Knayant un 1 dans la position (2,2). L′application de Kn1
dans Un−2qui `a chaque matrice Afait associer la matrice obtenue `a partir de Aen
supprimant les deux premi`eres lignes et les deux premi`eres colonnes est manifestement
bijective; donc: Card Kn1= Card Un−2=un−2. 2) Kn2ensemble des ´el´ements de
Knayant un 0 dans la position (2,2). Dans ce cas on consid`ere l′application de
Kn2dans Hn−1qui `a chaque matrice Afait associer la matrice obtenue de celle-ci
en rempla¸cant le 0 de la position (2,2) par 1 puis en supprimant la premi`ere ligne
et la premi`ere colonne. On d´efinit ainsi une application bijective. Il vient alors:
Card Kn2= Card Hn−1=hn−1. Finalement, pour n≥4 on a: kn= Card Kn=
Card Kn1+ Card Kn2=un−2+hn−1.
On pose pour tout n∈N:wn=un
(n!)2.
Th´eor`eme 3. a)wnv´erifie la relation de r´ecurrence wn=1
2nwn−2+n−1 nwn−1,
n≥2, avec w0= 1 et w1= 0.
b)wn∈[0,1] pour tout n∈N.
c)La s´erie de terme g´en´eral wndiverge.
d)La s´erie ∞
n=0
wnxnconverge pour x∈]−1,1[.
D´emonstration. a) Pour n≥4 il vient, compte tenu du th´eor`eme pr´ec´edent et
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du corollaire:
un=n
2hn=n 2(n−1)2(un−2+hn−1) = n 2(n−1)2un−2+n(n−1)un−1.
A l′aide des conventions u0= 1 et u1= 0 cette relation est encore v´erifi´ee pour n= 2
et n= 3.On a alors pour n≥2: wn=un
(n!)2=1 2nwn−2+n−1 nwn−1.
b) Pour tout n, un≥0,donc wn≥0.Montrons par r´ecurrence que wn≤1,
n∈N. D′abord, w0= 1 ≤1 et w1= 0 ≤1.Soit n≥2 et supposons que wn−2≤1 et
wn−1≤1; alors, compte tenu de l′assertion pr´ec´edente: wn=1
2nwn−2+n−1 nwn−1≤
1
2n+n−1 n=2n−1 2n≤1.
c) Il est clair que wn>0,∀n≥2.Compte tenu de l′assertion a), il vient: wn≥
n−1
nwn−1et par suite: wn≥2 nw2=1 2nu2=1 2n,pour n≥3.Ceci montre que la
s´erie wndiverge.
d) 0 ≤wn≤1 (voir b)) implique |wnxn| ≤ |xn|. La s´erie g´eom´etrique xn´etant
convergente pour −1< x < 1,on d´eduit que ∞
n=0
wnxnest absolument convergente,
donc convergente pour |x|<1.
Th´eor`eme 4. Pour x∈]−1,1[ on a: W(x) = ∞
n=0
wnxn=e−1
2x
√1−x.
D´emonstration. Soit x∈]−1,1[. D′apr`es l′assertion a) du Th´eor`eme 3,
2nwn= 2(n−1)wn−1+wn−2, n ≥2.
En multipliant les deux membres de cette ´egalit´e par xn−1, puis en sommant, on
obtient alors:
2∞
n=2
nwnxn−1= 2x∞
n=2
(n−1)wn−1xn−2+x∞
n=2
wn−2xn−2.
Il vient: 2(W′(x)−w1) = 2xW ′(x) + xW (x) soit puisque w1=u1= 0:
W′(x) = x
2(1 −x)W(x),∀x∈]−1,1[.
D′ici et du fait que W(0) = 1,on obtient alors
W(x) = e−1
2x
√1−x,∀x∈]−1,1[.
Remarque. Une ´etude plus approfondie permet de trouver, en utilisant la fonc-
tion Γ ainsi que la formule de Stirling, un ´equivalent de unlorsque n→ ∞, `a savoir:
un∼2n
e
2n+1
2√π, mais cette ´etude d´epasse le niveau de cet article.
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2. ´ Etude de rang. On se propose dans cette partie de d´eterminer le rang rndu
syst`eme constitu´e des un, matrices de Unconsid´er´ees comme ´el´ements de Mn(R).
Proposition. Avec ces notations on a:r2= 1 et r3= 5.
D´emonstration. Pour n= 2, U2contenant la seule matrice non nulle J2:r2= 1.
Pour n= 3, U3contient les 6 matrices Ai, i : 1,...,6,trouv´ees page 124. D´esignons
par Jle sous - espace vectoriel de Mn(R) engendr´e par ces 6 matrices. D′apr`es
l′assertion b) du Th´eor`eme 1, la matrice J3appartient Jet par suite Jest aussi
engendr´e par les 6 matrices J−Ai,i: 1,...,6. Ces 6 matrices sont dans l′ordre:
J−A1=
1 0 0
0 0 1
0 1 0
,J−A2=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,J−A3=
0 1 0
0 0 1
1 0 0
,J−A4=
0 1 0
1 0 0
0 0 1
,J−A5=
0 0 1
0 1 0
1 0 0
,J−A6=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
. Soient λi, i : 1,...,6,
des r´eels donn´es. Alors
6
i=1
λi(J−Ai) = 0 ⇔
λ1+λ2λ3+λ4λ5+λ6
λ4+λ6λ2+λ5λ1+λ3
λ3+λ5λ1+λ6λ2+λ4
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0 ⇔λ1=−λ2=−λ3=λ4=λ5=−λ6. On en d´eduit r3= 5.
Soit Vnl′espace vectoriel des matrices A∈ Mn(R) telles que X0= [1] soit `a
la fois vecteur propre de Aet de sa transpos´ee tA. [Vnest effectivement un sous-
espace vectoriel de Mn(R) car 0 ∈Vnet si (α, β)∈R2et (A, B)∈(Vn)2alors:
(αA +βB)X0∈Vect(X0) et (αtA+βtB)X0∈Vect(X0).]
Th´eor`eme 5. Un⊂Vn. Pour A∈Vnsi AX0=λX0,alors tAX0=λX0.
D´emonstration. Si A∈Un, sa transpos´ee tAappartient aussi `a Un. Comme X0
est vecteur propre de toute matrice de Unon a: Un⊂Vn.
Soit alors A= (aij )∈Vn, λ la valeur propre de Aassoci´ee au vecteur propre X0,
i.e. AX0=λX0et µcelle de la transpos´ee tAassoci´ee `a X0:t AX0=µX0.Pour
tout i, j : 1,...,n, on a:
n
k=1
aik =λet
n
k=1
akj =µ. Par suite: nλ =
n
i=1
(
n
j=1
aij ) =
n
j=1
(
n
i=1
aij ) = nµ soit λ=µ.
Th´eor`eme 6. a)dim Vn= (n−1)2+ 1;b)rn≤(n−1)2+ 1.
D´emonstration. a) On munit Mn,1(R) de sa structure euclidienne canonique
et on note B0={e1,...,en}la base canonique de Mn,1(R). Soit e′
1=1
√nX0. On
compl`ete la famille orthonorm´ee (e′
1) en une base orthonorm´ee B1={e′ 1,...,e′
n}
de Mn,1(R). On note Pla matrice de passage de B0`a B1et pour A∈ Mn(R)
soit fl′endomorphisme de Mn,1(R) canoniquement associ´e `a A. Compte tenu du
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th´eor`eme 5:
A∈Vn⇔ ∃λ∈P/Ae′
1=t
Ae′
1=λe′ 1⇔
⇔ ∃λ∈P, ∃A′∈ Mn−1(R)/Mat(f, B1) = λ0
0A′⇔
⇔ ∃λ∈P, ∃A′∈ Mn−1(R)/A =Pλ0
0A′P−1.
Il vient alors, l′application M7→ P M P −1´etant un automorphisme de Mn(R),
dimVn= dim{λ0
0A′;λ∈R, A′∈ Mn−1(R)}= 1 + (n−1)2.
b) On en d´eduit puisque Un⊂Vn:rn= dim(Vect(Un)) ≤dimVn= (n−1)2+ 1.
Pour n≥3 soit A= (aij ) une matrice de Uncomportant des 1 en positions (1,1)
et (2,2) et des 0 en positions (1,2) et (2,1). La matrice B= (bij ) d´efinie par bij =aij
si i > 2 ou j > 2, bij = 1 −aij si i≤2 et j≤2 est une matrice binaire ayant les
mˆemes lignes et les mˆemes colonnes que A`a partir de la troisi`eme ligne ou colonne.
La d´efinition des ´el´ements (1,1),(2,2),(1,2) et (2,1) de cette matrice Bmontre alors
que B∈Un. Pour tout i, j : 1,...,n:aij −bij = 0 si i > 2 ou j > 2; aij −bij = 1 si
i=j,i≤2 et j≤2; aij −bij =−1 si i6=j,i≤2 et j≤2. La matrice A−Bne
comporte donc que des ´el´ements nuls sauf en positions (i, j) avec i≤2 et j≤2.
Soit r′
nle rang du syst`eme constitu´e de toutes les matrices U−U′o`u U, U ′∈Un.
Th´eor`eme 7. a)r′
n≥(n−1)2;b)rn=n2−2n+ 2.
D´emonstration. a) Pour tout i, j : 1,...,n notons Aij la matrice obtenue `a
partir de la matrice Apar l′´echange des lignes iet 2 et les colonnes jet 2 et par Bij
la matrice obtenue `a partir de la matrice Bpar les mˆemes ´echanges. Ces matrices Aij
et Bij appartiennent `a Un. De plus, Aij −Bij est une matrice `a coefficients nuls sauf
en positions (1,1),(i, j),(1, j) et (i, 1) et telle que l′´el´ement de la position (i, j) est
1. On remarque que par suppression de la premi`ere ligne et de la premi`ere colonne
de Aij −Bij on obtient la matrice Ei−1,j−1de la base canonique de Mn−1(R). La
famille {Aij −Bij }i,j:2,...,n est donc libre, et par suite: r′
n≥(n−1)2.
b) D′apr`es l′assertion b) du Th´eor`eme 6 et de l′assertion a) pr´ec´edente on a les
in´egalit´es suivantes: (n−1)2≤r′
n≤rn≤(n−1)2+1.Montrons que l′in´egalit´e r′ n≤rn
est stricte. En effet, pour tout U, U′∈Unon a (U−U′)X0= 0. Or JnX0=nX0et
par suite la matrice Jnne peut ˆetre combinaison lin´eaire des ´el´ements U−U′avec
U, U′∈Un, mais elle est combinaison lin´eaire des ´el´ements de Un(voir Th´eor`eme 1
b)). Donc on a l′in´egalit´e stricte: r′
n< rn.
On en d´eduit finalement l′´egalit´e: rn= (n−1)2+ 1.
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