Compléments d`algèbre linéaire

Somme, somme directe
Compléments d’algèbre linéaire
PC
1er décembre 2014
PC
Compléments d’algèbre linéaire
Somme, somme directe
I Somme de 2 ou plusieurs sous-espaces
vectoriels
Definition
Soit E un K espace vectoriel et F1 , · · · , Fp des sous
espaces vectoriels de E
1
On appelle somme de F1 , · · · , Fp l’ensemble
P
F1 + · · · + Fp = pi=1 Fi des sommes x1 + x2 + · · · + xp , où
x1 ∈ F1 , · · · , xi ∈ Fi , · · · , xp ∈ Fp
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Compléments d’algèbre linéaire
Somme, somme directe
I Somme de 2 ou plusieurs sous-espaces
vectoriels
Definition
Soit E un K espace vectoriel et F1 , · · · , Fp des sous
espaces vectoriels de E
1
On appelle somme de F1 , · · · , Fp l’ensemble
P
F1 + · · · + Fp = pi=1 Fi des sommes x1 + x2 + · · · + xp , où
x1 ∈ F1 , · · · , xi ∈ Fi , · · · , xp ∈ Fp
P
2
On dit que la somme F = pi=1 Fi est directe lorsque
tout élément de F s’écrit de décompose de façon
unique sous la forme précédente. On note alors
F=
p
M
Fi , et si de plus F = E , on dit que F1 , · · · , Fp sont
i =1
supplémentaires.
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Compléments d’algèbre linéaire
Somme, somme directe
Example
1
Matrices symétriques et antisymétriques.
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Somme, somme directe
Example
1
Matrices symétriques et antisymétriques.
2
Somme de deux ou 3 droites vectorielles.
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Somme, somme directe
Example
1
Matrices symétriques et antisymétriques.
2
Somme de deux ou 3 droites vectorielles.
3
Fonctions paires et impaires
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Compléments d’algèbre linéaire
Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E est
un sev de E .
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Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E est
un sev de E .
2
La somme F1 , · · · , Fp est directe si et seulement si la
décomposition de OE est unique.
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Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E est
un sev de E .
2
La somme F1 , · · · , Fp est directe si et seulement si la
décomposition de OE est unique.
3
La somme de deux sous espaces vectoriels F1 et F2
est directe si et seulement si F1 ∩ F2 = {0E }
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Compléments d’algèbre linéaire
Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E est
un sev de E .
2
La somme F1 , · · · , Fp est directe si et seulement si la
décomposition de OE est unique.
3
La somme de deux sous espaces vectoriels F1 et F2
est directe si et seulement si F1 ∩ F2 = {0E }
4
La sommation de sev est commutative , associative.
Si F ⊂ G , alors F + G = G . F + 0E = OE + F
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Somme, somme directe
propriétés
Theorem
1
La somme de deux ou plusieurs sev F1 , · · · , Fp de E est
un sev de E .
2
La somme F1 , · · · , Fp est directe si et seulement si la
décomposition de OE est unique.
3
La somme de deux sous espaces vectoriels F1 et F2
est directe si et seulement si F1 ∩ F2 = {0E }
4
La sommation de sev est commutative , associative.
Si F ⊂ G , alors F + G = G . F + 0E = OE + F
5
Deux ou plusieurs sev propres relatifs à des valeurs
propres distinctes d’un endomorphisme sont en
somme directe.
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Somme, somme directe
Cas de la dimension finie
1
Soit E un K − ev et F , G des sev de dimension finie de
E . Alors
dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )
En particulier, dim(F + G ) É dimF + dimG avec égalité
si et seulement si la somme F + G est directe.
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Somme, somme directe
Cas de la dimension finie
1
Soit E un K − ev et F , G des sev de dimension finie de
E . Alors
dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G )
2
En particulier, dim(F + G ) É dimF + dimG avec égalité
si et seulement si la somme F + G est directe.
Soit E un K − ev et F1 , · · · , Fp des sous espaces
vectoriels
de E de dimension finie. Alors,
X
dim( (F1 + · · · + Fp ) É dim(F1 + · · · +p ) avec égalité si
et seulement si la somme est directe.
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Compléments d’algèbre linéaire
Somme, somme directe
Démonstration.
1
On considère u : F × G → E : (x , y) 7→ x + y
Theorem
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Somme, somme directe
Démonstration.
1
On considère u : F × G → E : (x , y) 7→ x + y
2
On considère
u : F1 × F2 × · · · × Fp → E : (x1 , · · · , xp ) 7→ x1 + · · · + xp
Theorem
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Somme, somme directe
Démonstration.
1
On considère u : F × G → E : (x , y) 7→ x + y
2
On considère
u : F1 × F2 × · · · × Fp → E : (x1 , · · · , xp ) 7→ x1 + · · · + xp
Theorem
1
Soient F1 , · · · , Fp des sev non nuls de E en somme
directe. La famille (B1 , · · · , Bp ), obtenue par
concaténation de bases B1 , · · · , Bp de F1 , · · · , Fp
respectivement est une base de F1 + · · · + Fp . En
particulier , si F1 , · · · , Fp sont supplémentaires, c’est
une base de E .
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Somme, somme directe
Démonstration.
1
On considère u : F × G → E : (x , y) 7→ x + y
2
On considère
u : F1 × F2 × · · · × Fp → E : (x1 , · · · , xp ) 7→ x1 + · · · + xp
Theorem
1
Soient F1 , · · · , Fp des sev non nuls de E en somme
directe. La famille (B1 , · · · , Bp ), obtenue par
concaténation de bases B1 , · · · , Bp de F1 , · · · , Fp
respectivement est une base de F1 + · · · + Fp . En
particulier , si F1 , · · · , Fp sont supplémentaires, c’est
une base de E .
2
Réciproquement, en fractionnant une base de E , les
sev engendrés par chaque partie sont
supplémentaires.
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