Chapitre 4 : Dérivation et applications

Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse
Fiche de cours 4 - D´eriv´ees des fonctions et applications.
D´eriv´ee premi`ere.
D´efinition :
(i) Soit fune fonction d´efinie au voisinage d’un r´eel a. On dit que fest d´erivable en asi
la limite :
lim
x→a,x6=a
f(x)−f(a)
x−a
existe et est un r´eel. On la nomme alors le nombre d´eriv´e de fen a, et on la note f0(a).
(ii) Cette d´efinition s’adapte dans les cas o`u la limite existe `a gauche, `a droite, et on parle
alors de d´eriv´ee `a gauche f0(a−) ou f0
g(a), et de d´eriv´ee `a droite, f0(a+), f0 d(a).
(iii) Si la d´eriv´ee existe en tout point d’un intervalle I, on dit que la fonction fest d´erivable
sur I, et on d´efinit ainsi une nouvelle fonction, la fonction d´eriv´ee, f0.
Remarques :
(1) Si la fonction n’est pas continue en a, par exemple si la fonction n’est pas continue `a droite, f(x)−f(a)
peut avoir une limite non nulle `∈R∗∩ {−∞,+∞} `a droite, ou pas de limite du tout. Dans le premier cas
la limite de f(x)−f(a)
x−a≡”` 0+”est alors infinie, avec un signe d´ependant de `: DONC DANS CE
CAS LA D´ ERIV´ EE N’EXISTE PAS.
(2) Si f(x)−f(a) n’a pas de limite en a,LA D´ ERIV´ EE N’EXISTE PAS NON PLUS : sinon on
aurait une limite nulle pour : (f(x)−f(a)) = f(x)−f(a)
x−a(x−a)→f0(a).0 = 0.
(3) Reste donc le seul cas o`u la question a un sens, le cas o`u la fonction fest continue en a.
Que signifie alors l’existence de la d´eriv´ee ? La limite ´etudi´ee est une forme ind´etermin´ee ” 0
0”, et l’existence
des d´eriv´ees signifie qu’on peut lever ces ind´eterminations. D’o`u l’apport de l’usage des d´eriv´ees et plus tard
des d´eveloppements limit´es pour ´etudier des limites compliqu´ees.
Calcul des d´eriv´ees :
Propri´et´e (d´eriv´ees et d´eveloppement limit´e) :
(1) Une fonction d´efinie sur un intervalle Iest d´erivable en un point a∈Isi et seulement
si on peut trouver deux r´eels Aet B, et une fonction ε:I→R, tels que : ∀x∈I, f(x) =
A+B(x−a)+(x−a)ε(x) et lim
x→aε(x) = 0.
(2) Si les conditions du (1) sont r´ealis´ees, on a A=f(a), B =f0(a).
Preuve :
Si la fonction est d´erivable, posons pour x6=a, x ∈I:
ε(x) = f(x)−f(a)
x−a−f0(a), et ε(a) = 0.
Alors par d´efinition de la d´eriv´ee, lim
x→aε(x) = 0, et par d´efinition de ε,ona:
ε(x).(x−a) = (f(x)−f(a)) −f0(a)(x−a)⇒f(x) = f(a) + f0(a)(x−a) + ε(x)(x−a).
R´eciproquement, si A,Bet εexistent, l’´egalit´e propos´ee pour x=adonne :
f(a) = A+B.0+0.ε(a)⇒A=f(a).
Donc, si x6=a, on trouve :
f(x) = f(a) + B(x−a)+(x−a)ε(x)⇒f(x)−f(a) = (B+ε(x))(x−a)⇒f(x)−f(a)
x−a=B+ε(x).
Ainsi l’hypoth`ese faite sur εentraˆıne que f(x)−f(a)
x−aa une limite ´egale `a B+ 0 = Bquand x→a, c’est-`a-dire
que fa une d´eriv´ee ´egale `a Ben a.
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Propri´et´e (op´erations) : si f, g sont deux fonctions d´efinies au voisinage du point a, alors :
(1) Pour tout couple (α, β)∈R,x7→ α.f(x) + β.g(x) est d´erivable en a, de d´eriv´ee :
α.f0(a) + β.g0(a).
(2) La fonction produit x7→ f(x).g(x) est d´erivable en a, de d´eriv´ee :
f0(a)g(a) + f(a)g0(a).
(3) Si g(a)6= 0, la fonction quotient x7→ f(x)
g(x), est d´efinie au voisinage de aet d´erivable
en a, avec :
(f
g)0(a) = f0(a)g(a)−g0(a)f(a) g2(a).
(4) On retiendra les formules qui en r´esultent sur un intervalle :
(α.f +β.g)0=α.f0+β.g0; (f.g)0=f0.g +f.g0; (f
g)0=f0.g −g0.f g2, si gne s’annule pas.
Preuve : On part des deux d´eveloppements limit´es de fet gau voisinage de a.
f(x) = A+B(x−a) + ε1(x)(x−a) et g(x) = C+D(x−a) + ε2(x)(x−a).
On aura alors :
α.f(x) + β.g(x) = (α.A +β.C)+(α.B +β.D)(x−a) + η(x)(x−a),
et : f(x)g(x) = AC + (AD +BC)(x−a) + δ(x)(x−a), avec :
η(x) = α.ε1(x) + β.ε2(x), δ(x)=[A+B(x−a)]ε2(x)+[C+D(x−a)]ε1(x) + ε1(x).ε2(x) + BD(x−a).
qui tendent respectivement vers :
α.0 + β.0 = 0 et [A+B.0].0+[C+D.0].0 + 0.0 + BD.0 = 0 quand x→a.
Pour le quotient, on commence par faire la division des polynˆomes, mais pas la division euclidienne, la division ”suivant les
puissances croissantes”, en remarquant que par hypoth`ese, dans ce cas, C=g(a)6= 0 :
A+B(x−a) = A
C(C+D(x−a)) −A CD(x−a) + B(x−a)
=A
C(C+D(x−a)) + BC −AD C(x−a)
=A
C(C+D(x−a)) + (x−a)BC −AD C2(C+D(x−a)) −BC −AD C2D(x−a)2
= [ A
C+BC −AD C2(x−a)](C+D(x−a)) −BCD −AD2 C2(x−a)2
En remarquant que A+B(x−a) = f(x)−(x−a)ε1(x), C +D(x−a) = g(x)−(x−a)ε2(x), on obtient :
f(x)−(x−a)ε1(x) = £A
C+BC −AD C2(x−a)¤(g(x)−ε2(x)(x−a)) −BCD −AD2 C2(x−a)2
D’o`u : f(x)
g(x)=A C+BC −AD C2(x−a)+(x−a)λ(x), avec une sympathique expression de :
λ(x) = ε1(x)
g(x)−ε2(x)( 1 g(x))[ A C+BC −AD C2(x−a)] −BCD −AD2 g(x)C2(x−a),
qui tend avec bonheur vers :
0
g(a)−0( 1 g(a))[ A C+BC −AD C2.0] −BCD −AD2 g(a)C2.0 = 0 quand xtend vers a.
Exemple : La d´eriv´ee d’une fonction lin´eaire x7→ A.x +Best la constante x7→ A. On
en d´eduit que la d´eriv´ee de la fonction x7→ (x−x0)nest la fonction x7→ n.(x−x0)n−1,
et que celle d’un polynˆome P(x) = a0+a1.x +a2.x2+... +an.xnest le polynˆome P0(x) =
a1+ 2a2.x + 3a3.x2+... +nan.xn−1.
Preuve : Le taux d’accroissement d’une fonction affine entre deux r´eels xet yest :(A.x +B)−(A.y +B)
x−y=
Ax−y
x−y=A, la d´eriv´ee est donc bien la constante ´egale `a A.
En appliquant la formule donnant la d´eriv´ee d’un produit on voit par r´ecurrence sur nque la d´eriv´ee de
x7→ (x−x0)nest bien la fonction indiqu´ee, et la lin´earit´e de la d´erivation permet de conclure pour les
polynˆomes.
Propri´et´e (composition d’applications et d´eriv´ees) :
(1) Soient fd´efinie sur un intervalle Icontenant a, et gd´efinie sur un intervalle J
contenant f(a) = b, telle que gof soit d´efinie sur I. Si fest d´erivable en a, et si gest d´erivable
en f(a) = b, alors gof est d´erivable en aet (gof)0(a) = f0(a).g0(b) = f0(a).g0[f(a)].
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(2) Si fest une bijection d’un intervalle Isur l’intervalle J, d´erivable en a∈Iavec
f0(a)6= 0, alors la bijection r´eciproque f−1est d´erivable en b=f(a), de d´eriv´ee 1
f0(a), c’est-`a-
dire que (f−1)0(b) = 1
f0(f−1(b)).
Preuve : On partira du D.L. de f(x) = b+T(x−a)+(x−a)ε1(x), avec b=f(a), T =f0(a).
Dans la premi`ere formule, on a en plus le DL de gau point b:
g(y) = U+V(y−b) + (y−b)ε2(y),
ce qui donne en rempla¸cant ypar f(x) :
g[f(x)] = U+V(f(x)−b)+(f(x)−b)ε2(f(x))
=U+V[T(x−a)+(x−a)ε1(x)] + [T(x−a) + (x−a)ε1(x)]ε2(f(x))
=U+V T (x−a)+(x−a)µ(x), avec :
µ(x) = V ε1(x)+(T+ε1(x))ε2(f(x)),
qui tend vers 0 comme on le v´erifie en notant que f´etant continue en a,ε2(f(x)) tend vers la limite de ε2(y) pour y→b=f(a),
c’est-`a-dire vers 0.
Pour la deuxi`eme formule, posons pour un y∈J,x=f−1(y)∈I, on trouve :
y=b+T(f−1(y)−a)+(f−1(y)−a)ε1(f−1(y))
⇒y−b= [T+ε1(f−1(y))](f−1(y)−a)
⇒(f−1(y)−a) = y−b
T+ε1(f−1(y))
⇒f−1(y) = a+y−b
T+ε1(f−1(y)) =a+1 T(y−b) + ν(y)(y−b)
Avec ν(y) = 1
T+ε1(f−1(y)) −1 T=−ε1(f−1(y)) T(T+ε1(f−1(y))) → − 0 T(T+ 0) = 0.
Interpr´etation g´eom´etrique de la d´eriv´ee.
Si A(xA, yA), B(xB, yB) sont deux points du plan d’abscisses distinctes, le nombre :
T=yB−yA
xB−xA
= ”∆y
∆x”
est la pente pde l’unique droite d’´equation : y=p.x +C, qui passe par Aet B. Ce nombre
est aussi la tangente de l’angle (−→ ı,−→ AB).
Si A=M0(a, f(a)) et B=M(x, f(x)) sont deux points de la courbe de f, la droite (AM)
est la s´ecante `a la courbe men´ee des points Aet M, et le rapport :
T(x) = f(x)−f(a)
x−a=∆f ∆x,
qui est donc la pente de la droite (AM), est aussi le taux d’accroissement de fentre aet x.
Ainsi, la direction de la droite (AM) tend vers une ”position limite” si et seulement le
rapport T(x) tend vers un nombre limite, et on en d´eduit :
Propri´et´e : Une fonction fest d´erivable au point asi et seulement si la courbe de fadmet
une tangente au point M0(a, f(a)). Si c’est le cas, l’´equation de cette tangente est :
y−f(a) = f0(a)(x−a) ou encore : y=f0(a).x +f(a)−a.f0(a).
Accroissements finis et applications (monotonie, signe de la d´eriv´ee, ...)
La d´eriv´ee ´etant la limite d’un taux d’accroissement, il semble naturel de mettre en rapport
le comportement de fet les valeurs de sa d´eriv´ee :
Propri´et´e : Soit fune fonction d´efinie sur un intervalle Iet d´erivable en un point a∈I.
(1) Si fest d´efinie sur un intervalle [a, b] avec b > a et si f(a)≤f(x) sur [a, b], alors
f0(a)≥0 ; De mˆeme si fest d´efinie sur [b, a] avec b<aet si f(x)≤f(a) sur [b, a], on a
f0(a)≥0. On peut ´enoncer les mˆemes r`egles en inversant le sens des in´egalit´es (par exemple si
f(a)≥f(x) sur [a, b], alors f0(a)≤0).
(2) Si fest croissante sur I, alors f0(a)≥0. De mˆeme si fest d´ecroissante sur I,
f0(a)≤0.
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(3) Si fa un maximum local en a, c’est-`a-dire s’il y a [b, c] avec b<a<ctel que
x∈[b, c]⇒x∈Iet f(x)≤f(a), alors f0(a) = 0. De mˆeme si fa un minimum local en a,
f0(a) = 0.
Preuve :
(1) Les conditions propos´ees entraˆınent que les taux d’accroissements de fsont positifs dans un petit
voisinage de a, `a gauche (2e cas) ou `a droite (1e cas). Conclusion : la limite f0(a) est aussi positive.
(2) Si fest croissante les conditions du (1) sont remplies donc f0(a)≥0.
(3) Si fa un maximum local en a, on aura `a la fois f(x)≤f(a) sur [b, a] et f(x)≤f(a) sur [a, c].
D’apr`es le (1) cela implique `a la fois f0(a)≥0 et f0(a)≤0, donc f0(a) = 0.
Cette propri´et´e ne suffit pas `a assurer qu’on puisse ´etudier les fonctions en se contentant de
trouver le signe de la d´eriv´ee : il faudrait disposer d’une r´eciproque (si f0est positive, alors f
est croissante).
Il est commode de s´eparer en plusieurs ´etape ce lien entre valeurs de la d´eriv´ee et comporte-
ment de f, en commen¸cant par un cas simple, assurant que certaines valeurs de f0existent
obligatoirement sous des conditions simples pour f:
Th´eor`eme de Rolle : Soient a, b deux r´eels, tels que a<b, et fune fonction continue sur
[a, b], d´erivable sur ]a, b[, telle que f(a) = f(b). Alors on peut trouver c∈]a, b[ tel que f0(c) = 0.
Preuve : f´etant continue sur [a, b], l’image de [a, b] est un intervalle ferm´e born´e [m, M ], les r´eels m(minimum)
et M(maximum) ´etant des valeurs atteintes par f. On a alors deux cas :
(i) m=M, ce qui signifie que l’image de fest [m, M] = [m, m] = {m}, donc que fest constante. Alors les
taux d’accroissements sont nuls, et toutes les valeurs de f0(c) sont nulles.
(ii) m < M. Danc ce cas, comme f(a) = f(b), il y a au moins une des deux valeurs m,M, qui est atteinte
`a l’int´erieur de l’intervalle [a, b], en un point co`u fa donc un minimum ou un maximum local. D’apr`es la
propri´et´e pr´ec´edente, on a bien f0(c) = 0.
Ce r´esultat, d´eclin´e avec un peu d’astuce, permet de mettre en relation les valeurs des taux
d’accroissements et les valeurs de la d´eriv´ee dans de nombreux cas. Il exprime que les valeurs
de f0ne s’´eloignent ”pas trop” de celles du taux d’accroissement, donc une hypoth`ese sur les
valeurs de f0(elles sont positives, n´egatives, etc.) aura des cons´equences sur les valeurs du taux
d’accroissement et donc sur le comportement de f.
Th´eor`eme des accroissements finis : Si a < b, et si fest une fonction continue sur [a, b],
et d´erivable sur ]a, b[, il existe c∈]a, b[ tel que :
f0(c) = f(b)−f(a)
b−a.
Preuve : On choisit un r´eel µde tel sorte que la fonction auxiliaire g(x) = f(x)−µ.x v´erifie g(a) = g(b). Cela
correspond `a :
f(a)−µ.a =f(b)−µ.b ⇐⇒ µ=f(b)−f(a)
b−a.
Cette fonction auxiliaire est comme fcontinue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[, donc le th´ero`eme de Rolle s’applique
: il y a c∈]a, b[ tel que g0(c) = 0, et comme pour tout x:g0(x) = f0(x)−µ, ce r´eel cv´erifie bien :
f0(c) = µ=f(b)−f(a)
b−a.
Application 1 :
(a) Soit une fonction fqui soit d´erivable sur l’intervalle ]a, b[, continue sur [a, b], et telle que
f0(x)≥0 sur ]a, b[. On a alors f(b)≥f(a). Si on a f0(x)>0 sur ]a, b[, on a f(b)> f (a).
(b) Soit fune fonction continue et d´erivable sur un intervalle I; si f0(x)≥0 sur I,fest
croissante.
(c) Soit fune fonction continue et d´erivable sur un intervalle I; si f0(x)>0 sur I,fest
strictement croissante ; si f0(x)>0 sur Isauf pour un nombre fini de valeurs a1< a2< ... < an
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o`u f0(ai) = 0, fest strictement croissante sur I.
(d) On a les mˆemes r´esultats pour f0n´egative et fd´ecroissante.
Preuve : (a) f(b)−f(a)
b−aest une valeur de la d´eriv´ee donc est positif, voire strictement positif, suivant les
hypoth`eses faites sur f0. On en d´eduit, puisque b−a > 0, que c’est f(b)−f(a) qui est positif ou strictement
positif.
(b) Il suffit d’appliquer (a) pour tout couple a, b ∈I. On obtient que si a < b, on a f(a)≥f(b).
(c) Si f0(x)>0, le (a) entraˆıne f(a)< f (b) pour tout couple a, b tel que a < b. Mais, avec les hypoth`eses
suppl´ementaires, comme seules les valeurs de f0`a l’int´erieur de ]a, b[ jouent, on voit que fsera strictement
croissante sur ]−∞, a1]∩I, puis sur [a1, a2], puis sur [a2, a3], etc. Ceci implique que fest strictement croissante
sur tout I: si a < b, soit a, b sont dans le mˆeme petit intervalle [ai, ai+1] o`u fest strictement croissante et dans
ce cas f(a)< f(b), soit il y a un des aientre aet b, et dans ce cas f(a)< f(ai) grˆace `a la croissance stricte sur
[ai−1, ai], et f(ai)< f(b) grˆace `a la croissance stricte sur [ai, ai+1].
Remarque : On pourra s’entraˆıner `a ces raisonnements en prouvant qu’en fait on a :
fstrictement croissante sur I
⇐⇒
(i) ∀x∈I, f0(x)≥0, et : (ii) l’ensemble des r´eels xtels que f0(x)>0 est dense dans I.
Application 2 :
(a) Soit fcontinue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ ; si m≤f0(c)≤Msur ]a, b[, alors :
m≤f(b)−f(a)
b−a≤M(”In´egalit´e des accroissements finis”).
(b) Si fest d´erivable sur I, et si on a un r´eel ktel que : |f0(x)| ≤ ksur I, alors on aura,
pour tous x, y ∈I:
|f(y)−f(x)| ≤ k.|x−y|.
(c) Si les hypoth`eses du (b) sont satisfaites avec en plus : (i) l’intervalle Iest ferm´e ; (ii)
k∈[0,1[ ; (iii) f(I)⊆I, c’est-`a-dire : ∀x∈I, f (x)∈I, on aura la propri´et´e suivante :
Pour tout x0∈I, la suite d´efinie par les conditions :
u0=x0et ∀n∈N, un+1 =f(un),
est bien d´efinie, et converge vers un r´eel α∈I. De plus αest l’unique solution de l’´equation
f(x) = xdans I.
Preuve :
(a) Vient du T.A.F.
(b) Application du (a) `a n’importe quelle paire de points x, y ∈I, l’hypoth`ese signifiant que −k≤f0≤k.
(c) La condition (iii) assure que la suite est bien d´efinie (on reste dans le domaine de d´efinition de f) et la
condition (i) assure que si unconverge vers α, alors α∈Ipuisque ce sont des in´egalit´es larges qui d´efinissent
I, et que des in´egalit´es larges ”passent `a la limite”.
Si la suite (un)nconverge vers α, la relation un+1 =f(un) donnera, en passant `a la limite :
α=f(α)
(calcul valable car fest continue puisque d´erivable).
Reste `a prouver que la suite converge, et que l’´equation f(x) = xn’a qu’une solution.
Tout repose sur l’in´egalit´e |f(x)−f(y)| ≤ k.|x−y|avec 0 ≤k < 1. Si xet yv´erifient f(x) = x, f(y) = y, cette
in´egalit´e devient :
|x−y| ≤ k.|x−y| ⇒ (1 −k).|x−y| ≤ 0⇒ |x−y|= 0 ⇒x=y.
Ainsi l’´equation f(x) = xn’a pas plus d’une solution, donc αest unique s’il existe.
Maintenant l’in´egalit´e : |f(y)−f(x)| ≤ k.|y−x|s’applique `a x=un, y =un+1 pour un entier nquelconque.
Elle devient :
|f(un+1)−f(un)| ≤ k.|un+1 −un| ⇐⇒ |un+2 −un+1| ≤ k.|un+1 −un|.
Si on introduit la suite des diff´erences : dn=un+1 −un, on vient donc de prouver que ∀n, |dn+1| ≤ k.|dn|. On
en tire ais´ement par r´ecurrence : ∀n, |dn| ≤ kn.|d0|.
Donc si n, m sont deux entiers avec par exemple n < m, on pourra ´ecrire :
|um−un|=|(um−um−1)+(um−1−um−2) + ... + (un+2 −un+1)+(un+1 −un)|
=|dm−1+dm−2+... +dn+1 +dn|
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