Etude des réseaux de diffraction (PC*)

Etude des réseaux de diffraction (PC*)
Un réseau est constitué par la répétition périodique d’un motif diffractant,
comme par exemple une fente.
Les interférences entre les rayons issus des nombreux motifs successifs
privilégient alors précisément certaines directions dans lesquelles l’énergie
lumineuse est envoyée.
Ce chapitre traite de la diffraction de la lumière par un réseau ainsi que de ses
applications.
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Vidéo : « Réseaux de diffraction »
A diffraction grating is an optical component with a periodic structure.
It splits and diffracts light into several beams travelling in different directions.
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When there is a need to separate light of different wavelengths with high resolution, then a
diffraction grating is most often the tool of choice.
A large number of parallel, closely spaced slits constitutes a diffraction grating.
The condition for maximum intensity is the same as that for the double slit or multiple slits.
The intensity maximum is very narrow (providing high resolution for spectroscopic applications).
The peak intensities are also much higher for the grating than for the double slit.
A beam of helium-neon laser is diffracted to each side in multiple orders.
Many orders are shown to each side of the direct beam, according to the grating relationship :
s in θ − sin θ0 = m
λ0
a
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Comparison of the spectra obtained from a diffraction grating by diffraction (1), and a prism
by refraction (2).
Longer wavelengths (red) are diffracted more, but refracted less than shorter wavelengths
(violet).
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The tracks of a compact disc act as a diffraction grating, producing a separation of the colors of
white light.
The nominal track separation on a CD is 1.6 µm (about 625 tracks per millimeter).
For laser beam, this would give a first order diffraction maximum at about 22°.
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Comment fabriquer un réseau de diffraction ? Exemple d’un réseau par
réflexion (appelé réseaux à échelettes) :
Lorsque les dimensions des miroirs deviennent de l'ordre de quelques
longueurs d'onde, ceux-ci diffractent de la même façon qu'une fente, à ceci
près que le maximum de diffraction se situe dans la direction du rayon réfléchi.
Sur un support en silice de 4 cm d'épaisseur, poli avec des défauts n'excédant
pas λ / 20, on évapore une couche d'aluminium.
Un diamant taillé avec des angles bien définis va créer des sillons parallèles et
rigoureusement espacés.
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Le réseau est attaqué perpendiculairement aux grandes facettes.
Par suite de l'aller-retour dû à la réflexion, la différence des chemins optiques
entre 2 pupilles consécutives vaut 2h.
Le maximum de la courbe de diffraction (dans la direction du réfléchi) se
produit dans une direction où la différence de marche vaut ∆ = 2h = 2asin α et
non plus zéro comme dans le cas des réseaux à fentes.
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I) Intérêt d’un réseau :
Spectre d’émission :
∆E = h ν
− 34
J . s (constante de Planck))
( h = 6,63 . 10
L’étude des spectres d’émission permet de connaître la composition du gaz.
En astronomie, on peut ainsi connaître la composition des gaz de la couche
externe des étoiles.
En raison de l’effet Doppler, les fréquences sont un peu décalées ; on peut en
déduire la vitesse avec laquelle l’étoile observée s’éloigne de la Terre.
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Spectre d’absorption :
Lorsqu’un faisceau de lumière blanche traverse un milieu « transparent », ce
dernier absorbe sélectivement des radiations caractéristiques du milieu traversé.
L’étude du spectre d’absorption permet de connaître la composition du milieu
absorbant.
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II) Réseau par transmission :
Un réseau par transmission est constitué par un très grand nombre de fentes
parallèles et équidistantes.
Il est souvent constitué par une lame de verre sur laquelle on a tracé un très
grand nombre de traits parallèles et équidistants (de l’ordre de 500 traits par
millimètre ! ).
La distance a entre deux fentes successives s’appelle le pas du réseau.
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Soit une source ponctuelle, à l’infini, qui éclaire le réseau.
Chaque fente diffracte la lumière.
Les rayons issus des différentes fentes interfèrent entre eux.
On s’intéresse seulement aux interférences à l’infini.
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Ordres m = - 2, - 1, 0, + 1 et + 2 du spectre du mercure avec un réseau
peu dispersif à 80 traits / mm
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III) Théorie élémentaire du réseau :
Soit une source S ponctuelle et monochromatique, à l’infini, qui envoie un
faisceau de lumière parallèle arrivant sur le réseau sous l’angle d’incidence θ0.
On cherche les directions θ pour lesquelles l’intensité des rayons qui
interfèrent à l’infini est maximale.
Il y a interférences à l’infini entre tous les rayons diffractés selon la direction
θ.
L’amplitude diffractée par le réseau à l’infini résulte des interférences entre les
rayons issus de tous les motifs éclairés : on parle d’interférences à N ondes
(Dans le cas des trous d’Young, il s’agit d’interférences à deux ondes).
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La différence de marche entre les deux rayons (1) et (2) est :
δ = (SM)1 − (SM)2 = a sin θ − a sin θ0 = a(sin θ − sin θ0 )
θ0
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Pour un angle d’incidence θ0 donné, les angles θ correspondant à un maximum
de lumière (les interférences entre les ondes issues de deux motifs successifs
sont constructives) sont donnés par la relation : (« formule des réseaux »)
a(sin θ − sin θ0 ) = mλ 0
soit
λ0
sin θ − sin θ0 = m
a
m est appelé l’ordre du spectre (c’est l’ordre d’interférences).
Pour un angle θ0 donné, le nombre des valeurs de m est limité car :
− 1 ≤ sin θ ≤ 1
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Cas d’un réseau en réflexion :
a) Etablir la formule des réseaux pour un réseau en réflexion.
b) Commenter la direction de l’ordre 0.
H2
θ0
a
a
θ
H1
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Un exemple d’application :
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IV) Interprétation de la formule des réseaux :
1 – Cas d’une lumière monochromatique :
On suppose que la source ne délivre qu’une seule longueur d’onde et on
considère un réseau éclairé sous l’incidence θ0.
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2 – Cas de la lumière blanche :
La solution dans la direction de l’optique géométrique :
θ = θ0
pour
m=0
est valable indépendamment de la longueur d’onde.
Dans cette direction, on observera de la lumière blanche.
θ0
Animation JJ.Rousseau
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Exercice d’application ; recouvrement des ordres :
Un réseau comportant n0 = 800 motifs par millimètre est éclairé par une lampe
à vapeur atomique en incidence normale.
Les longueurs d’onde sont comprises entre λmin = 404, 7 nm (violet) et
λmin = 579,1 nm (jaune).
Les spectres se recouvrent-ils et si oui, à partir de quel ordre ?
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On évalue les déviations des longueurs d’onde extrêmes dans les différents
ordres grâce à la formule des réseaux. La pas est donné par
l = 1 / n0 = 1, 25.10 −3 mm .
On en déduit :
Violet
Jaune
m=1
18,9°
27,6°
m=2
40,4°
67,9
m=3
76,2°
/
(Le jaune n’existe pas dans les ordres supérieurs ou égaux à 3).
Les ordres ne se recouvrent donc pas.
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V) Etude expérimentale : (Voir TP)
1) Minimum de déviation dans un ordre donné :
Pour un ordre m donné, la déviation du rayon incident est :
Dm = θm − θ0
λ0
sin θm − sin θ0 = m
(Avec :
a )
On cherche un extremum (que l’on supposera être un minimum) de Dm lorsque
l’angle d’incidence θ0 varie, pour un ordre m donné :
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Dm = 2θm
θm = θ0
θ0
Le rayon diffracté est symétrique du rayon incident par rapport au réseau :
Dmin = 2θ m
d ' où
(Rappel : pour le prisme)
 Dmin  mλ0
sin 
=
 2  2a
 A + Dm 
sin 

 2 
n=
 A
sin  
2
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La courbe suivante a été tracée avec Regressi, avec un pas du réseau
p = 1 / a = 300 traits / mm et une longueur d’onde dans le vide de 500 nm.
Cette courbe donne la déviation pour l’ordre 1 en fonction de l’angle
d’incidence.
D D (°)
14
13
12
11
10
9
8
7
6
θ0
5
-30
-15
0
15
30
45
i (°)
θ0
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2) Intensité lumineuse dans un ordre donné :
On ne prend pas en compte dans un 1er temps la diffraction par les motifs du
réseau.
θ0
a
ϕ = 2π (sin θ − sin θ0 )
On note
le déphasage entre deux rayons successifs.
λ0
30
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1
sin 2 ( Nϕ / 2)
2
I (ϕ ) = k s tot = I 0 2 2
2
N sin (ϕ / 2)
Répartition de l’intensité pour des interférences à N = 5, 10 et 100 ondes
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Dans cette partie, on prend en compte la diffraction :
Cette fois, il faut tenir compte de la diffraction non isotrope de chacune des
fentes ; on aura ainsi :
 π b sin θ
s1 (θ ) = A(θ )eiωt = Amax sin c 
 λ
La suite du calcul est inchangée.
 iωt
e

On obtient ainsi, en supposant ici θ0 = 0 :
2  π b sin θ
I (ϕ ) = I 0 sin c 
 λ
2
 sin ( N π a sin θ / λ )
 2 2
 N sin (π a sin θ / λ )
b étant plus petit que a, on voit que la « fonction diffraction » (le sinc2) varie
sin 2 ( N π a sin θ / λ )
« moins vite » que la fonction « réseau » ( N 2 sin 2 (π a sin θ / λ ) ) : c’est donc la
1ère qui enveloppe la seconde.
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With :
s k +1 = s k e − iϕ
− iϕ
The total amplitude is : (geometrical progression with e as common ratio)
N −1
s tot = ∑ s1e
k =0
− ikϕ
1 − e− iNϕ
= s1
1 − e− iϕ
So :
s tot
e− iNϕ /2 eiNϕ /2 − e− iNϕ /2
e− iNϕ /2 sin( Nϕ / 2)
= s1 − iϕ /2 iϕ /2 − iϕ /2 = s1 − iϕ /2
e
e −e
e
sin(ϕ / 2)
The intensity is therefore : (normal incidence, θ0 = 0)
2
 π b sin θ  sin ( Nπ a sin θ / λ )
I (θ ) = I 0 sin c 
 2 2
 λ  N sin (π a sin θ / λ )
2
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File Regressi
Animations JJR : Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau plan (principe)
Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources
Animations JJR/Optique ondulatoire/Interférences/Interférences à N sources (Fresnel)
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Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau plan (principe)
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3) Pouvoir dispersif d’un réseau :
On rappelle le déphasage entre deux rayons passant par deux traits consécutifs
du réseau :
a
ϕ = 2π (sin θ − sin θ0 )
λ0
Soient L la longueur du réseau éclairé, a le pas du réseau et N le nombre de
traits éclairés :
L = Na
On a montré au paragraphe précédent qu’un maximum principal a une demilargeur angulaire (prise à mi-hauteur du pic d’intensité) égale à :
2π
∆ϕ =
N
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L’analyse spectrale de la lumière sera convenable si le réseau sépare
correctement la lumière dans un ordre donné et si deux ordres différents ne se
recouvrent pas.
On considère deux radiations lumineuses de longueurs d’onde voisines λ0 et
λ0 + ∆λ (lampe à vapeur de sodium, par exemple).
On souhaite, dans un ordre donné m, résoudre ces deux raies séparées de ∆λ.
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Plateau
Collimateur
Angle de
déviation D
Lampe
Hg
LCV
Lunette
autocollimatrice
à l’infini
Prisme
Réseau
Réseau
LCV
F
Oculaire
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On voit sur l’écran ou à travers la lunette auto-collimatrice :
∆(sin θ m ) =
I
m
∆λ
a
λ0
∆ (sin θ m ) =
λ0 + ∆λ0
λ0
sin θ
Na
La résolution théorique du réseau est :
λ0
L
ℜ=
= m = mN
∆λ
a
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Par exemple, dans le cas du sodium :
λ0 = 589 nm
;
∆λ = 0,6 nm
;
ℜ = 982 ≈ 1 000
A l’ordre 1, on peut choisir N = 1 000. A l’ordre 2, N = 500.
Dispersion angulaire du réseau :
On montre que la dispersion angulaire du réseau vaut :
ℑ ang
dθ m
m
=
=
dλ 0
a cos θ m
La dispersion est d’autant plus élevée que l’ordre est grand et le pas du réseau
petit.
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Exercice d’application :
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VI) Etude d’un réseau à échelettes :
Diffraction grating with a triangular profile (technique is called blazing)
Animation JJR : Animations JJR/Optique ondulatoire/Diffraction/Réseau blazé
It is possible to concentrate most of
the diffracted energy in a particular
order for a given wavelength.
This is a dispersif order.
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L’animation proposée permet de tracer les deux graphes des fonctions de
diffraction (en rouge) et d’interférences (en bleu).
On peut faire varier le pas a du réseau ainsi que l’angle d’une facette α.
Quel est l’intérêt de ce réseau comparé à un réseau par transmission constitué de
N fentes équidistantes ?
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Le déphasage entre l’onde passée par O1 et l’onde passée par Op, arrivant sous
incidence normale et diffractée dans la direction β, est p ϕ (β) où :
ϕ(β ) =
2π a
sin( β − α )
λ cos α
Dans quelle direction observe-t-on des maxima d’intensité ?
Quel est l’effet de la diffraction ?
On peut ajuster les paramètres du réseau de telle sorte que, pour une longueur
d’onde donnée (on utilise ici une lumière infrarouge de longueur d'onde égale à
2 µm), seul le maximum d’ordre p soit lumineux et tous les autres éteints.
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