Lois de Kepler et Mesure de Masse

Lois de Kepler
et
Mesure de Masse
TD 1
R´esum´e du TD :
Ce TD aborde le probl`eme de la mesure de masses en astrophysique.
•La premi`ere partie est d´edi´ee `a l’´etude th´eorique du mouvement d’objets dans un puits de potentiel et `a la
(re-)d´erivation des lois fondamentales de Kepler.
•Le seconde partie consiste en une application de ces r´esultats au mouvement des ´etoiles au centre de notre
Galaxie, afin de d´eterminer la masse du trou noir central.
Objectifs du TD :
•Comprendre et retenir les lois fondamentales qui caract´erisent les orbites de corps massifs (particules, plan`etes,
´etoiles, com`etes...) dans un puits de potentiel Newtonien.
•Comprendre l’importance de ces lois pour la mesure en astrophysique.
1 Lois de Kepler
Consid´erons une masse ponctuelle mrep´er´ee par sa position P, et soumise au potentiel gravitationnel d’une autre
masse ponctuelle Msitu´ee au point O. Supposons de plus que m << M, se sorte que l’on peut faire l’approximation
P
O
eer
r
Figure 1 –
que le centre O de la masse Mest confondu avec le barycentre du syst`eme et immobile dans un r´ef´erentiel Galil´een.
La position Pde la masse mest rep´er´ee dans un syst`eme de coordonn´ees polaires (r, θ) centr´e en O.
1

1.1 Conservation du moment cin´etique et loi des aires
a) Rappeler la d´efinition du moment cin´etique ~ Lde la masse mpar rapport au point O, et montrer que, dans
le cas d’une force centrale, il est constant. En d´eduire que la trajectoire de la masse mest plane.
b) Calculer l’expression du moment cin´etique dans le rep`ere tournant (~er, ~eθ) en fonction de r,θet de leurs
d´eriv´ees temporelles ˙ret ˙ θ.
c) Exprimer l’aire dS/dt balay´ee par unit´e de temps en fonction de L, et en d´eduire la deuxi`eme loi de Kepler
(la ”loi des Aires”).
1.2 ´ Equation du mouvement et trajectoire
a) Calculer les composantes (ar, aθ) de l’acc´el´eration de la masse mdans le rep`ere tournant. En d´eduire
l’´equation du mouvement de la masse m, dans le potentiel gravitationnel de la masse M. En utilisant les
propri´et´es du moment cin´etique L, ´eliminer les d´ependances en θ, ˙ θ.
b) Afin de r´esoudre cette ´equation, il est pratique d’effectuer le changement de variables u= 1/r. R´e´ecrire
l’´equation du mouvement en fonction de u.
c) On s’int´eresse maintenant non plus `a l’´evolution temporelle u(t), mais `a `a la trajectoire u(θ). Le long de la
trajectoire, comment s’exprime la d´eriv´ee temporelle d/dt en fonction de la d´eriv´ee azimutale d/dθ, de uet
des constantes du mouvements ?
d) En d´eduire l’´equation diff´erentielle qui r´egit la trajectoire de la masse m(on posera p=L2/(GM m2) et on
pourra noter u0=du/dθ,u00 =d2u/dθ2).
e) Int´egrer cette ´equation et en d´eduire la forme g´en´erale de la trajectoire r(θ).
f) Quels sont les diff´erents types de trajectoires ? Par combien de param`etres cette trajectoire est-elle d´etermin´ee ?
Quelle influence ont-ils sur la forme de la trajectoire ?
g) Donner des exemples astrophysiques de ces trajectoires.
1.3 Cas des ellipses : 3e Loi de Kepler
Dans le cas des ellipses, on introduit souvent les notions de demi grand axe aet de demi petit axe b. Ces deux
grandeurs sont reli´ees au param`etre pde l’ellipse par : p=b2/a.
b
a
O
P
r
a(1-e) ae
Figure 2 – Param`etres des ellipses
a) En utilisant la loi des aires, calculer la p´eriode Tde la trajectoire en fonction de L et des param`etres de
l’ellipse.
b) En d´eduire le rapport a3/T 2et ´enoncer la 3e loi de Kepler.
c) En appliquant ce r´esultat au syst`eme Soleil-Terre, calculer la masse du Soleil.
1.4 G´en´eralisation
Prenons maintenant un peu de recul par rapport `a ces lois de Kepler.
a) Quelle unique hypoth`ese assure la conservation du moment cin´etique ?
b) Quelle(s) hypoth`ese(s) suppl´ementaires(s) assurent la nature conique des orbites ?
c) Citez des cas astrophysiques ou ces conditions ne sont pas r´eunies...

2 Mesure de la masse de Sgr A*
R´ecemment des ´equipes de recherche ont pu mesurer le mouvement d’´etoiles dans la r´egion la plus centrale de
notre Galaxie, situ´ee `a environ 8.4 kpc de nous (voir Ghez et al., ApJ, 2008 pour des observations au Keck et
Schoedel et al., Nature, 2002 pour des observations au VLT). Elles ont analys´e les trajectoires de ces ´etoiles, d´eduit
l’existence d’une forte masse au coeur de la Galaxie, et estim´e cette masse. Nous allons ici refaire cette ´etude.
L’´etude se base sur le mouvement de l’´etoile S2 (la plus centrale) dont la trajectoire est repr´esent´ee sur la fig. 3.
L’analyse de cette trajectoire a permis d’obtenir les param`etres orbitaux pr´esent´es dans table de la fig. 4.
Figure 3 – Trajectoire de l’´etoile S2 (en ascension droite et d´eclinaison) obtenue en infrarouge avec les t´elescopes
Keck.
Figure 4 – Param`etres orbitaux de l’´etoile S2

2.1 Unit´es mises en jeu
a) Rappeler la notion de ”paralaxe” et la d´efinition de l’unit´e de distance ”parsec” (not´ee pc).
b) Calculer la longueur en m`etres correspondant `a 1 pc.
c) En d´eduire la longueur `a laquelle correspond un angle de 1 seconde d’arc (1”) au centre Galactique.
2.2 D´etermination de la masse de Sgr A*
a) A partir de la 3e loi de Kepler et des informations de la table 3, d´eterminer la masse de l’objet central.
b) A votre avis, pourquoi cette d´etermination (tr`es simple) ne date que des ann´ees 2000 ?
c) Par un calcul d’erreur, estimer, pour le calcul de la masse, l’erreur relative due aux incertitudes sur la distance
centre Galactique - Terre.
d) Comparer la valeur du demi grand axe mesur´ee sur la fig. 3 et celle indiqu´ee dans la table de la fig. 4. D’o`u
peut venir une telle diff´erence ? Quel mesure astrophysique permet de r´esoudre ce probl`eme ?
e) Comparer la masse obtenue `a celle du soleil. Si cette masse ´etait constitu´ee d’autant d’´etoiles, quelle serait
sa luminosit´e ? Que peut-on en conclure sur l’objet central ?
2.3 Notion de trou noir
a) Calculer la vitesse de lib´eration d’une masse m`a une distance rd’un objet massif de masse M.
b) Le rayon de Schwarzschild Rsd’un objet massif se d´efinit comme le rayon en de¸c`a duquel la vitesse de
lib´eration est sup´erieure `a la vitesse de la lumi`ere. Exprimer Rsen fonction de la masse M.
c) En supposant toute la masse de Sgr A* contenue en 1 point singulier, calculer son rayon de Schwarzschild et
le comparer au rayon solaire (R≈7×108m).
d) Si maintenant, cette masse est distribu´ee dans une sph`ere de rayon R, quelle condition doit v´erifier ce rayon
pour que Sgr A* soit un trou noir, c’est `a dire un objet dont la lumi`ere ne peut pas s’´echapper ?
e) En comparaison, calculer le rayon de Schwarzschild du soleil et d’une voiture. Les comparer aux tailles
caract´eristiques de ces objets.
f) En supposant que la mati`ere d’un trou noir remplit tout le volume jusqu’au rayon de Schwarzschild, comparer
les densit´es moyennes d’un trou noir super massif de M= 108Met d’un trou noir de masse stellaire. Que
peut-on en conclure ? ` A partir de quelle masse la densit´e moyenne d’un trou noir est-elle inf´erieure `a celle de
l’eau (ρeau ≈103kg/m3).