Lois de Kepler et Mesure de Masse

Lois de Kepler
et
Mesure de Masse
TD 1
Résumé du TD :
Ce TD aborde le problème de la mesure de masses en astrophysique.
• La première partie est dédiée à l’étude théorique du mouvement d’objets dans un puits de potentiel et à la
(re-)dérivation des lois fondamentales de Kepler.
• Le seconde partie consiste en une application de ces résultats au mouvement des étoiles au centre de notre
Galaxie, afin de déterminer la masse du trou noir central.
Objectifs du TD :
• Comprendre et retenir les lois fondamentales qui caractérisent les orbites de corps massifs (particules, planètes,
étoiles, comètes...) dans un puits de potentiel Newtonien.
• Comprendre l’importance de ces lois pour la mesure en astrophysique.
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Lois de Kepler
Considérons une masse ponctuelle m repérée par sa position P , et soumise au potentiel gravitationnel d’une autre
masse ponctuelle M située au point O. Supposons de plus que m << M , se sorte que l’on peut faire l’approximation
e
er
P
r
O
Figure 1 –
que le centre O de la masse M est confondu avec le barycentre du système et immobile dans un référentiel Galiléen.
La position P de la masse m est repérée dans un système de coordonnées polaires (r, θ) centré en O.
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1.1
Conservation du moment cinétique et loi des aires
~ de la masse m par rapport au point O, et montrer que, dans
a) Rappeler la définition du moment cinétique L
le cas d’une force centrale, il est constant. En déduire que la trajectoire de la masse m est plane.
b) Calculer l’expression du moment cinétique dans le repère tournant (~er , ~eθ ) en fonction de r, θ et de leurs
dérivées temporelles ṙ et θ̇.
c) Exprimer l’aire dS/dt balayée par unité de temps en fonction de L, et en déduire la deuxième loi de Kepler
(la ”loi des Aires”).
1.2
Équation du mouvement et trajectoire
a) Calculer les composantes (ar , aθ ) de l’accélération de la masse m dans le repère tournant. En déduire
l’équation du mouvement de la masse m, dans le potentiel gravitationnel de la masse M. En utilisant les
propriétés du moment cinétique L, éliminer les dépendances en θ, θ̇.
b) Afin de résoudre cette équation, il est pratique d’effectuer le changement de variables u = 1/r. Réécrire
l’équation du mouvement en fonction de u.
c) On s’intéresse maintenant non plus à l’évolution temporelle u(t), mais à à la trajectoire u(θ). Le long de la
trajectoire, comment s’exprime la dérivée temporelle d/dt en fonction de la dérivée azimutale d/dθ, de u et
des constantes du mouvements ?
d) En déduire l’équation différentielle qui régit la trajectoire de la masse m (on posera p = L2 /(GM m2 ) et on
pourra noter u0 = du/dθ, u00 = d2 u/dθ2 ).
e) Intégrer cette équation et en déduire la forme générale de la trajectoire r(θ).
f) Quels sont les différents types de trajectoires ? Par combien de paramètres cette trajectoire est-elle déterminée ?
Quelle influence ont-ils sur la forme de la trajectoire ?
g) Donner des exemples astrophysiques de ces trajectoires.
1.3
Cas des ellipses : 3e Loi de Kepler
Dans le cas des ellipses, on introduit souvent les notions de demi grand axe a et de demi petit axe b. Ces deux
grandeurs sont reliées au paramètre p de l’ellipse par : p = b2 /a.
P
r
O
a(1-e)
b
ae
a
Figure 2 – Paramètres des ellipses
a) En utilisant la loi des aires, calculer la période T de la trajectoire en fonction de L et des paramètres de
l’ellipse.
b) En déduire le rapport a3 /T 2 et énoncer la 3e loi de Kepler.
c) En appliquant ce résultat au système Soleil-Terre, calculer la masse du Soleil.
1.4
Généralisation
Prenons maintenant un peu de recul par rapport à ces lois de Kepler.
a) Quelle unique hypothèse assure la conservation du moment cinétique ?
b) Quelle(s) hypothèse(s) supplémentaires(s) assurent la nature conique des orbites ?
c) Citez des cas astrophysiques ou ces conditions ne sont pas réunies...
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Mesure de la masse de Sgr A*
Récemment des équipes de recherche ont pu mesurer le mouvement d’étoiles dans la région la plus centrale de
notre Galaxie, située à environ 8.4 kpc de nous (voir Ghez et al., ApJ, 2008 pour des observations au Keck et
Schoedel et al., Nature, 2002 pour des observations au VLT). Elles ont analysé les trajectoires de ces étoiles, déduit
l’existence d’une forte masse au coeur de la Galaxie, et estimé cette masse. Nous allons ici refaire cette étude.
L’étude se base sur le mouvement de l’étoile S2 (la plus centrale) dont la trajectoire est représentée sur la fig. 3.
L’analyse de cette trajectoire a permis d’obtenir les paramètres orbitaux présentés dans table de la fig. 4.
Figure 3 – Trajectoire de l’étoile S2 (en ascension droite et déclinaison) obtenue en infrarouge avec les télescopes
Keck.
Figure 4 – Paramètres orbitaux de l’étoile S2
2.1
Unités mises en jeu
a) Rappeler la notion de ”paralaxe” et la définition de l’unité de distance ”parsec” (notée pc).
b) Calculer la longueur en mètres correspondant à 1 pc.
c) En déduire la longueur à laquelle correspond un angle de 1 seconde d’arc (1”) au centre Galactique.
2.2
Détermination de la masse de Sgr A*
a) A partir de la 3e loi de Kepler et des informations de la table 3, déterminer la masse de l’objet central.
b) A votre avis, pourquoi cette détermination (très simple) ne date que des années 2000 ?
c) Par un calcul d’erreur, estimer, pour le calcul de la masse, l’erreur relative due aux incertitudes sur la distance
centre Galactique - Terre.
d) Comparer la valeur du demi grand axe mesurée sur la fig. 3 et celle indiquée dans la table de la fig. 4. D’où
peut venir une telle différence ? Quel mesure astrophysique permet de résoudre ce problème ?
e) Comparer la masse obtenue à celle du soleil. Si cette masse était constituée d’autant d’étoiles, quelle serait
sa luminosité ? Que peut-on en conclure sur l’objet central ?
2.3
Notion de trou noir
a) Calculer la vitesse de libération d’une masse m à une distance r d’un objet massif de masse M .
b) Le rayon de Schwarzschild Rs d’un objet massif se définit comme le rayon en deçà duquel la vitesse de
libération est supérieure à la vitesse de la lumière. Exprimer Rs en fonction de la masse M.
c) En supposant toute la masse de Sgr A* contenue en 1 point singulier, calculer son rayon de Schwarzschild et
le comparer au rayon solaire (R ≈ 7 × 108 m).
d) Si maintenant, cette masse est distribuée dans une sphère de rayon R, quelle condition doit vérifier ce rayon
pour que Sgr A* soit un trou noir, c’est à dire un objet dont la lumière ne peut pas s’échapper ?
e) En comparaison, calculer le rayon de Schwarzschild du soleil et d’une voiture. Les comparer aux tailles
caractéristiques de ces objets.
f) En supposant que la matière d’un trou noir remplit tout le volume jusqu’au rayon de Schwarzschild, comparer
les densités moyennes d’un trou noir super massif de M = 108 M et d’un trou noir de masse stellaire. Que
peut-on en conclure ? À partir de quelle masse la densité moyenne d’un trou noir est-elle inférieure à celle de
l’eau (ρeau ≈ 103 kg/m3 ).