Introduction à la physique statistique et à la physique - IMJ-PRG

Introduction à la physique statistique et à la
physique quantique
Frédéric Hélein, Thierry Lévy
23 avril 2004

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Table des matières
1 Thermodynamique classique 11
1.1 La thermodynamique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Un exemple de système : le piston . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Evolutions isothermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Evolution adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Le cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 L’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Le second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . 23
1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Physique statistique d’un gaz raréfié 29
2.1 Une description microscopique d’un gaz . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Un modèle de billard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 L’espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Rappels sur la mécanique hamiltonienne . . . . . . . . 34
2.2 Le chaos ou comment les lois du hasard interviennent dans un
système déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Premier usage des probabilités : les gaz dilués . . . . . . . . . 41
2.4 Théorie cinétique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 La distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Interprétation statistique de l’irréversibilité . . . . . . . . . . . 49
2.6.1 Le paradoxe de Loschmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.2 Fluctuations de la densité d’un gaz . . . . . . . . . . . 52
2.6.3 Une première approche statistique de l’entropie . . . . 56
2.6.4 Le paradoxe de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3

3 Mécanique statistique avec interactions entre les particules 65
3.1 L’ensemble micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Le choix de l’espace des phases . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Représentation d’un état par une mesure . . . . . . . . 67
3.1.3 La construction d’une mesure décrivant l’état d’équilibre 68
3.1.4 Existe-il d’autres mesures décrivant l’équilibre ? . . . . 70
3.2 L’ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Flots ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2 Autres applications de l’hypothèse ergodique . . . . . . 74
3.3 Applications du formalisme micro-canonique . . . . . . . . . . 77
3.3.1 Dynamique d’une évolution quasi-statique . . . . . . . 77
3.3.2 Le gaz dilué à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Entropie microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.1 Entropie statistique sur des ensembles finis . . . . . . . 82
3.4.2 Entropie statistique d’un état macroscopique . . . . . . 84
3.4.3 Entropie microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 Le formalisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.1 L’ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.2 Identification de β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5.3 Répartition de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4 Interactions thermodynamiques entre la lumière et la ma-
tière 97
4.1 Préliminaire : l’équipartition de l’énergie . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Le problème du rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 La pensée thermodynamique de Planck . . . . . . . . . 100
4.2.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.3 Interpolation entre les lois de Rayleigh–Jeans et de Wien104
4.2.4 Comprendre la loi de Planck . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 L’effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Loi de déplacement de Wien et loi de Stefan-Boltzmann . . . . 109
4.5 Une approche combinatoire de la loi de Planck . . . . . . . . . 111
4.6 Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6.2 La jauge de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6.3 Formulation variationnelle des équations de Maxwell
dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4

4.6.4 La lumière comme oscillation du champ électromagné-
tique............................119
4.6.5 Les ondes électromagnétiques à l’intérieur d’une cavité
cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5 Vers la quantification des états d’énergie de la matière 127
5.1 Quelques éléments de relativité . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2 Retour aux quanta de lumières . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Le spectre des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4 L’équation d’Hamilton–Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5 Les débuts de la « mécanique ondulatoire » . . . . . . . . . . 149
5.6 L’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6 L’équation de Schrödinger et son interprétation 157
6.1 Du paquet d’onde à l’interprétation probabiliste de l’équation
de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.1.1 Le paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.1.2 Une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.1.3 Le dogme de l’« école de Copenhague » . . . . . . . . . 164
6.1.4 Le principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2.1 Une parenthèse mathématique : opérateurs auto-adjoints
hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.3 Le théorème d’Ehrenfest et ses conséquences . . . . . . . . . . 174
6.3.1 Le théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.2 Interprétation et exemples d’applications . . . . . . . . 176
6.3.3 Un principe de correspondance . . . . . . . . . . . . . 177
7 Applications de la mécanique quantique 179
7.1 L’effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2 L’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2.1 Première méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2.2 Deuxième méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3 Ensembles complets d’observables qui commutent . . . . . . . 186
7.4 Le moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5 L’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
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