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PA101
Electronique quantique
1er Cours
"Les prémisses, ondes et corpuscules"
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Introduction
PA101
‰ Pourquoi un cours d’électronique quantique à l’ENSTA ?
¾ La physique contemporaine est intimement liée aux progrès technologique
et en constitue un élément moteur essentiel
¾ Les électrons (et les photons) régissent notre quotidien plus sûrement que
toutes les autres particules. L'explicitation des principes de la mécanique
quantique et de la physique statistique aux phénomènes subis par ces
particules est à la fois d'intérêt fondamental et applicatif.
¾ Un magnifique terrain d’expérimentation des sciences de l’ingénieur
¾ Prérequis des cours aval (CB101, AOT10, Enseignements thématiques,
masters recherche…)
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Introduction
PA101
‰ Objectifs de PA101 :
¾ Comprendre la structure logique des principes de la MQ, reposant sur la
notion d’état quantique, la description de la mesure, et l’équation d’évolution
(Schrödinger)
¾ Connaître et savoir utiliser les distributions statistiques (MB, FD, BE)
‰ PA 101 : un peu de maths et beaucoup de physique !
Science
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Introduction
PA101
‰ Les outils mathématiques et prérequis de PA 101
Physique classique
Physique
r quantique
ψ (r )
r r
r, p
ψ
Classes préparatoires
Cinématique
Espaces vectoriels, algèbre linéaire
Classes préparatoires
MA102
Loi fondamentale de la dynamique
Équation de Schrödinger
Théorie des probabilités MA101
Formulation Lagrangienne
Transformation de Fourier
AOT11 (optionnel)
MA102
et hamiltonienne
Distributions
Thermodynamique
Classes préparatoires
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Physique statistique
Introduction
PA101
‰ Le cours porte sur :
Support de cours = poly + transparents
¾ Les chapitres I, II, III et IV
¾ Le chapitre VI : seulement la connaissance du principe de Pauli
¾ Les chapitres VII et VIII
‰ Organisation, équipe pédagogique :
¾ Structure : cours + PC
Groupes selon origine scientifique
¾ Professeur : Alain Sibille (UEI)
¾ MC : F. Augé (UOA), J. Bloch (LPN), S. Deleglise (ENS), S. Barbay (LPN), K.
Plamann (UOA), S. Sauvage (IEF), A. Sibille (UEI), C. Valentin (UOA)
‰ Contrôles de connaissances :
¾ 1H, 6 novembre (sans documents)
¾ 3H, 11 décembre (avec documents)
‰ L’essentiel des connaissances exigées sera traité en amphi et en PC
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Progression
‰ Les grands concepts
‰ L'énoncé des principes de la théorie quantique
‰ l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique
‰ Les principes de la physique statistique
‰ Illustrations quantique-statistique
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PA101
Plan de la séance
‰ Introduction et sensibilisation
‰ Un peu d'histoire
‰ Insuffisance de la mécanique classique – dualité ondes-corpuscules
‰ Le concept de fonction d'onde
‰ L'équation de Schrödinger
‰ Le théorème d'Ehrenfest
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PA101
Un peu d'histoire
PA101
‰ Genèse de la nouvelle physique : les difficultés majeures rencontrées par la
physique classique à la fin du XIXème siècle pour expliquer le monde, par exemple :
¾ La «catastrophe ultraviolette» du corps noir, qui a conduit Max Planck à
introduire la notion de granularité dans l'énergie lumineuse (photon)
¾La stabilité des atomes et les spectres discrets des rayonnements atomiques,
incompréhensibles dans le cadre des lois de la mécanique classique
intrinsèquement continues, qui a conduit Niels Bohr en 1913 à proposer un
"modèle d'orbites quantifiées" pour l'atome
¾L’effet Compton, diffusion des rayons X par des électrons, qui trouve une
explication très simple dans l'application des lois du choc entre l'électron et une
particule de lumière.
Nous verrons dans la suite du cours comment tout cela
est résolu de façon globale par la théorie quantique
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Un exemple : l’effet photoélectrique
PA101
‰ L'incapacité de la théorie classique à rendre compte des observations
expérimentales est apparue dans la nature discrète de l'énergie lumineuse.
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Un exemple : l’effet photoélectrique
PA101
‰ Cet effet a trouvé une interprétation lumineuse en 1905 avec Einstein reprenant
E = hν
l'idée de photon d'énergie
de Planck, combinée avec une énergie de
barrière pour la sortie des électrons du métal (travail de sortie).
ENERGIE
1/2 m v 2 = h ν -W S
hν
WS
METAL
VIDE
DISTANCE
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Einstein, 1905 le Nobel !
Insuffisance de la mécanique classique
PA101
‰ L'incapacité de la théorie classique à rendre compte des observations
expérimentales est apparue dans la nature aléatoire des trajectoires et la "dualité
ondes-corpuscules". Exemple : le passage de particules par un trou de petite
expérience à faible flux de particules
.
. ...... .. .
. . .. . .
. ...
. .
. .......... ....
. . . .... . .
.. . . . .
.
dimension :
Fait n°1 : La trajectoire des particules est fondamentalement aléatoire
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Insuffisance de la mécanique classique
PA101
‰ L'incapacité de la théorie classique à rendre compte des observations
expérimentales est apparue dans la nature aléatoire des trajectoires et la "dualité
ondes-corpuscules". Exemple : le passage de particules par un trou de petite
dimension :
expérience à fort flux de particules
.
Fait n°2 : Les particules se comportent comme des ondes !
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Analogie optique
PA101
‰ En optique la diffraction d'une onde lumineuse se traduit par des interférences
destructives ou constructives selon la direction, amenant à des anneaux
alternativement brillants et sombres ("tache d'Airy")
θ
θ=0
θ0
sin (θ 0 ) ≅ 1.22
λ
d
d
Champ
λ
J1 : fonction de bessel de 1ère espèce
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J1 (kd . sin (θ ) / 2 )
kd . sin (θ ) / 2
k=
2π
λ
Analogie optique
PA101
‰ En optique la diffraction d'une onde lumineuse se traduit par des interférences
destructives ou constructives selon la direction, amenant à des anneaux
alternativement brillants et sombres ("tache d'Airy")
θ
θ>0
θ0
sin (θ 0 ) ≅ 1.22
λ
d
Champ
J1 (kd . sin (θ ) / 2 )
kd . sin (θ ) / 2
Rappel : l'intensité lumineuse est
proportionnelle
aude
carré
du champ
J1
: fonction de bessel
1ère espèce
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k=
2π
λ
Dualité ondes corpuscules
PA101
‰ L'existence d'anneaux de diffraction met en évidence le comportement ondulatoire
des particules. DE PLUS, on peut mesurer la longueur d'onde. Il apparaît que celle-ci
est reliée à l'impulsion ( p = mv : quantité de mouvement) des particules par la relation
de De Broglie (1924) :
P=h/λ
Constante de Planck :
6.62x10-34 J.s (S.I.)
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Dualité ondes corpuscules
PA101
‰ La première expérience de diffraction des
électrons a été effectuée par Davisson &
germer en 1927, et a permis de valider la
relation de De Broglie
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Dualité ondes corpuscules
PA101
‰ La première expérience de diffraction des
électrons a été effectuée par Davisson &
germer en 1927, et a permis de valider la
relation de De Broglie
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Dualité ondes corpuscules
PA101
‰ La première expérience de diffraction des électrons a été effectuée par Davisson &
germer en 1927, et a permis de valider la relation de De Broglie
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Le concept de fonction d'onde
PA101
‰ MAIS : comment réconcilier le comportement corpusculaire (fortement aléatoire) et
le comportement ondulatoire ?
‰ Réponse des physiciens : par le concept de fonction d'onde
r
ψ (r , t )
¾ La densité des impacts se comprend comme proportionnelle à une densité de
probabilité de détection (on dit "de présence") de la particule
¾ L'analogie
r
champ ↔ ψ ( r , t )
et
intensité ↔
r 2
ψ (r , t )
r 2
ψ (r , t )
vise à exprimer
le comportement ondulatoire
r
¾ ψ (r , t )
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est une quantité complexe (cf représentation complexe des champs
électromagnétiques)
Le concept de fonction d'onde
PA101
‰ ATTENTION : la densité de probabilité de présence doit vérifier les propriétés d'une
densité de probabilité, en particulier :
¾ positive : c'est bien le cas pour
¾ normalisée :
∫
espace
r
r 2
ψ (r , t )
ψ (r , t ) d 3r = 1
2
Cela permet de parler de la probabilité de présence d'une particule
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Le concept de fonction d'onde
‰ Comment connaître
r
ψ (r , t )
PA101
? A quelle équation traduisant les propriétés
physiques de la particule doit-elle obéir ?
‰ METHODE :
¾ Principe de correspondance : la mécanique quantique doit se réduire à la
mécanique classique à la limite des grands nombres quantiques (Bohr, 1923). Il
faut donc prendre en compte (voire s’inspirer) de la physique classique
¾ En mécanique classique, à partir des conditions initiales et de la loi
fondamentale de la dynamique, on sait calculer l'évolution de la particule
(trajectoire)
¾ On cherche donc une équation d'évolution pour
r
ψ (r , t )
permettant de
retrouver la mécanique classique dans les conditions où celle-ci est suffisante
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L'équation de Schrödinger
PA101
‰ EXEMPLE : une particule soumise à une force dérivant d'un potentiel
Quelle équation d'évolution pour
r
ψ(r ,t)
r
V (r )
?
r
ψ (r , t )
La position exacte de la particule est incertaine, MAIS le barycentre du "paquet
d'ondes" doit suivre la trajectoire classique.
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L'équation de Schrödinger
PA101
‰ Nous allons montrer très simplement que l'équation de Schrödinger permet de
retrouver la loi fondamentale de la dynamique classique pour le barycentre :
v
r ⎫ v
∂ψ (r , t ) ⎧ h 2
= ⎨−
Δ + V (r )⎬ψ (r , t )
ih
∂t
⎩ 2m
⎭
h = h / 2π
‰ Le barycentre est une espérance mathématique (valeur moyenne) au sens des
r
probabilités : r = ∫
espace
r
d r
r
r 2 3
r * r
r
r ⋅ ψ ( r , t ) d r = ∫ r ⋅ψ ( r , t ) ⋅ψ ( r , t ) d 3 r
r
r
r ⎛ ∂ψ * ( r , t )
r
r
∂
r
ψ
(
, t) ⎞ 3
*
⎟⎟d r
⋅ψ ( r , t ) + ψ ( r , t ) ⋅
= ∫ r ⋅ ⎜⎜
∂t ⎠
dt
∂t
⎝
Les termes de potentiel se simplifient
r
d r
r ⎛ − ih
r
r
r
r ⎞
ih
= ∫ r ⋅⎜
Δψ * ( r , t ) ⋅ψ ( r , t ) + ψ * ( r , t ) ⋅
Δψ ( r , t ) ⎟ d 3 r
dt
2m
⎝ 2m
⎠
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Le théorème d'Ehrenfest
r
d r
dt
=
PA101
(
)
r
r
r
r
r
ih
⋅ ∫ r ⋅ − Δψ * ( r , t ) ⋅ψ ( r , t ) + ψ * ( r , t ) ⋅ Δψ (r , t ) d 3 r
2m
Allons-y doucement. D'abord sur la composante x : on doit calculer
2
⎛
∂ 2ψ ∂ 2ψ
*⎛ ∂ ψ
∫ ⎜⎜ x ⋅ψ ⎜⎜⎝ ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2
⎝
⎞
⎛ ∂ 2ψ * ∂ 2ψ * ∂ 2ψ * ⎞ ⎞
⎟⎟ − x ⋅ψ ⎜⎜
⎟ ⎟ ⋅ dxdydz
+
+
2
2
2 ⎟⎟
∂z ⎠ ⎠
∂y
⎠
⎝ ∂x
Certains termes s'annulent en intégrant par parties :
∞
La fonction d'onde s'annule en ± ∞
⎡ ⎛ * ∂ψ
⎛ ∂ψ * ∂ψ ∂ψ ∂ψ * ⎞
⎛ *∂ψ
∂ψ ⎞⎤
∂ψ ⎞
∫ x ⋅ ⎜⎜⎝ψ ∂y 2 −ψ ∂y 2 ⎟⎟⎠ ⋅ dy = ⎢ x ⋅ ⎜⎜⎝ψ ∂y −ψ ∂y ⎟⎟⎠⎥ − ∫ x ⋅ ⎜⎜⎝ ∂y ∂y − ∂y ∂y ⎟⎟⎠ ⋅ dy = 0
⎣
⎦ −∞
2
2
*
*
D'autres non :
⎛ * ∂ 2ψ
∂ψ * ⎞
∂ψ * ⎛
∂ψ
∂ 2ψ * ⎞
∂ψ ⎛ *
⎜
⎟
⎜
⎟
ψ
ψ
ψ
ψ
x
dx
x
⋅
dx
+
⋅
+
x
⋅
⋅
−
⋅
=
−
⋅
+
⋅
∫ ⎜⎝ ∂x 2
∫ ∂x ⎜⎝
∫ ∂x ⎜⎝
∂x 2 ⎟⎠
∂x ⎟⎠
∂x
⎛ ∂ψ *
∂ψ ⎞
⎟⎟ ⋅ dx
= ∫ ⎜⎜ψ
−ψ *
∂x ⎠
⎝ ∂x
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⎞
⎟ ⋅ dx
⎠
Le théorème d'Ehrenfest
En rassemblant les divers termes
on arrive à l'expression compacte :
r
d2 r
dt 2
r
d r
2
dt 2
PA101
r
d r
(
)
r *
r
ih
*
=
⋅ ∫ ψ ⋅ ∇ψ −ψ ⋅ ∇ψ d 3 r
dt
2m
r ∂ψ * ∂ψ * r
r ∂ψ
ih ⎛ ∂ψ r *
*
⋅ ∇ψ − ψ ⋅ ∇
−
⋅ ∇ψ + ψ ⋅ ∇
=
⋅ ∫ ⎜⎜
2m ⎝ ∂t
∂t
∂t
∂t
r ∂ψ *
⎞ 3
ih ⎛ ∂ψ r *
⎜
=
⋅∫⎜
⋅ ∇ψ + ψ ⋅ ∇
− CC ⎟⎟d r
∂t
2m ⎝ ∂t
⎠
⎞ 3
⎟⎟d r
⎠
Complexe conjugué
On montre facilement par intégration par parties que cette fois seuls les termes de
potentiel ne s'annulent pas.
r
d2 r
dt
2
(
)
r *
r
1
=
⋅ ∫ Vψ ⋅ ∇ψ −ψ ⋅ ∇ Vψ * + CC d 3 r
2m
(
(
)
)
r *
r *
r
r 3
−1
1
*
3
*
=
⋅ ∫ Vψ ⋅ ∇ψ − Vψ ⋅ ∇ ψ −ψψ ⋅ ∇V + CC d r =
⋅ ∫ 2ψψ ⋅ ∇Vd r
2m
2m
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( )
Le théorème d'Ehrenfest
r
d r
2
Finalement :
dt 2
PA101
r
r
F (r )
r 2 − ∇V 3
d r=
= ∫ ψ (r , t ) ⋅
m
m
Ce résultat extraordinairement simple constitue le théorème d'Ehrenfest : on
retrouve la loi fondamentale de la dynamique classique au sens des valeurs
moyennes de la position et de la force, calculées à l’aide de la probabilité de
présence
Force moyenne
Trajectoire moyenne
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PA101
C’est tout pour aujourd’hui !
Pensez à :
‰ Réviser après chaque cours
‰ Préparer le cours suivant
Pour vous aider :
http://www.ensta.fr/~sibille/PA101/
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