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I. Introduction aux Phénomènes Quantiques.
1. Nécessité de la Mécanique Quantique.
Fin du 19ème siècle, 3 phénomènes expérimentaux ne peuvent être interprétés par la physique
classique (mécanique classique de Newton et lois de l' électromagnétisme de Maxwell):
* Le rayonnement du corps noir.
* L'effet photoélectrique.
* La spectroscopie atomique.
Chacune sera interprétée au début du 20ème siècle pour aboutir à 3 types de quantification
fondamentaux:
Le rayonnement du corps noir: -----> quantification de l'énergie
corps noir: corps qui émet des radiations par quantités discontinues de fréquence, en infraction avec
les théories classiques. En 1900, Planck émet l'hypothèse que les échanges d'énergie matière -
rayonnement se font par quantités discrètes appelées quanta d'énergie. Le quantum d'énergie est
proportionnel à la fréquence  de la radiation:
E = h= ħ
h est la constante de Planck:
h = 6.625 10 -34 J.s et ħ = h/2
L'effet photoélectrique: -----> quantification de la lumière
C'est l'émission d'électrons observée lorsqu'on irradie sous vide un métal alcalin avec de la lumière
UV. La vitesse d'éjection (énergie cinétique) des e- ne dépend pas de l'intensité de la source, mais
uniquement de sa fréquence.
Hypothèse d'Einstein (1905): la lumière est constituée de corpuscules d'énergie h appelés
photons. L'un de ceux-ci est absorbé quand il rencontre un électron. Celui-ci est éjecté avec
l'énergie:
Ec = 1/2 mv2 = h- W

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où W est l'énergie de liaison de l'e- dans le métal.
Spectroscopie atomique: -----> quantification de l'atome
Chaque atome a un spectre d'émission ou d'absorption qui contient des raies spectrales étroites
donc bien définies. Dans le cas simple de l'atome d'hydrogène, les fréquences observées suivent la
loi de Balmer:
= R (1/n2 - 1/m2)
où R est la constante de Rydberg et m et n deux entiers strictement positifs tels que m>n.
Hypothèse de Bohr (1913): les niveaux d'énergie de l'atome sont quantifiés.
________________ Ej
h= Ej - Ei
__________________
pour l'atome d'hydrogène:
__________________ Ei
En = - h R/n2
________________
où n entier > 0 et WI = -hR représente le premier potentiel d'ionisation de H (énergie de transition
n=1 ---> n=).
2. Dualité onde-corpuscule. Relations de de Broglie.
a) Idées fondamentales de la mécanique quantique :
* Lorsque l'on fait une mesure sur un système microscopique, on le perturbe de façon
fondamentale.
* abandon de la notion de trajectoire.
* on perd le déterminisme classique.
dualité onde-corpuscule: les aspects ondulatoires et corpusculaires de la lumière sont
inséparables. Les prévisions sur le comportement d'un photon ne peuvent donc être que de type
probabiliste.

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b) Les relations de L. de Broglie.
Hypothèse de de Broglie (1924): les corpuscules matériels tout comme les photons peuvent avoir un
aspect ondulatoire ==> généralisation de la notion de dualité onde-corpuscule.
A un corpuscule d'énergie E et d'impulsion p on associe une onde de pulsation  = 2et de vecteur
d'onde k tel que:
E = h = ħ
 = 2/|k| = h/|p|
p = ħk
3. Notion de fonction d'onde
Au concept de trajectoire classique se substitue un état quantique caractérisé par une fonction
d'onde (r,t) qui contient toutes les informations sur le corpuscule.
(r,t) est interprétée comme une amplitude de probabilité de présence: la probabilité dP(r,t) pour
que la particule soit trouvée dans un volume dv autour de r est donc:
dP(r,t) = |(r,t)|2 dv
où |(r,t)|2 est donc la densité de probabilité de présence de la particule. Comme la probabilité de
trouver la particule dans tout l'espace est 1, on a:
R3 dP(r,t) = R3 |(r,t)|2 dv = 1
(r,t) est donc de carré sommable.
4. L'équation de Schrödinger
Elle a été postulée en 1926 et elle donne l'équation d'évolution de (r,t).
Si une particule de masse m subit l'action d'un potentiel V(r,t), sa fonction obéit à l' équation de
Schrödinger dépendante du temps:

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iħ (r,t)/t = - ħ2/2m (r,t) + V(r,t)(r,t)
Si on définit H l'opérateur Hamiltonien:
H = - ħ2/2m  + V(r,t)
alors elle s'écrit encore:
iħ (r,t)/t = H (r,t)
C'est une équation linéaire et homogène en  : il existe un principe de superposition. Elle est du
premier degré par rapport au temps : si  est connue à t0 alors elle est connue à t.
Cas ou le potentiel V(r) ne dépend pas du temps: cherchons alors s'il existe des solutions de la forme
(r,t) =  (r) f(t). En reportant dans l'équation on trouve deux équations pour f(t) d'une part et (r)
d'autre part:
iħ df(t)/dt = E f(t) : f(t) = A e-it
et d'autre part une équation de Schrödinger indépendante du temps:
-ħ2/2m (r) + V(r) (r) = E (r)
soit
H (r) = E (r)
C'est l'équation aux valeurs propres de l'opérateur H. Les énergies possibles sont donc les valeurs
propres de H. On verra que les conditions aux limites ne permettent à E que de prendre certaines
valeurs (quantification).