Chapitre 5 : Réduction des endomorphismes

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Réduction des endomorphismes
Chapitre 5
Réduction des endomorphismes
F. Delacroix, École des Mines de Douai, 22 octobre 2010
Introduction
Présentation et objectifs
Dans ce chapitre on présente la réduction des endomorphismes d’un espace vectoriel de
dimension finie. Il s’agit essentiellement de la recherche d’une représentation matricielle
privilégiée des applications linéaires.
Plus précisément, dans un tel espace E, la donnée d’un endomorphisme f ∈ L(E)
correspond à la donnée d’une matrice carrée A = MatB (f ), mais cette matrice A dépend
du choix de la base B. Un changement de base correspond à une similitude de matrices,
c’est-à-dire à la relation
B = P −1 AP
où P désigne la matrice de passage de B à la nouvelle base, celle dans laquelle la matrice
de f est B.
Question : existe-t-il des bases de E dans lesquelles la matrice de f a une forme
privilégiée : diagonale ou, au pire, triangulaire ? Si oui, comment construire une telle
base ?
Les applications de cette notion sont nombreuses et on peut notamment citer la résolution de systèmes différentiels linéaires, certaines applications géométriques et la recherche
de solutions de problèmes linéaires (ou linéarisés) au sens général du terme.
Prérequis:
Chapitre 3
Algèbre linéaire et calcul matriciel (SUP)
Polynômes et fractions rationnelles (SUP)
Suites:
Approfondissement du chapitre 3, chapitre 6
Analyse 1ère année (transformations intégrales, fonctions spéciales, EDP,. . .)
Analyse numérique
Electromagnétisme
Mécaniques classique, quantique et relativiste
Optimisation
Informatique et sciences de l’information
Dans tout ce chapitre, on considère un K-espace vectoriel E de dimension finie n
rapporté à une base B = (e1 , . . . , en ), K désignant un corps commutatif (généralement R
ou C).
Un exemple d’application
1
Chapitre 5
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Figure 1 – Dispositif des ressorts de Trubowitz
Exemple 1 (Ressorts de Trubowitz)
Le dispositif des Ressorts de Trubowitz consiste en n masses identiques (considérées
comme ponctuelles) coulissant sans frottement sur un rail circulaire et reliées entre elles
par des n ressorts identiques (cf. figure 1). Comment décrire le mouvement des n masses
en fonction du temps ?
Ce problème conduit à un système différentiel linéaire du second ordre à coefficients
constants (où la variable est le temps) qui s’écrit
X 00 + AX = 0
(1)
où X désigne le vecteur des positions des n masses (dans un système de coordonnées bien
choisi) et A = In − 21 (C + C −1 ) (matrice de taille n) où C est la matrice compagnon du
polynôme X n − 1 (cf. exercice 6, page 18).
À ce titre, la matrice A est diagonalisable : A = P D P −1 (où D est une matrice
diagonale et P une matrice inversible, toutes deux à coefficients constants). En posant
Y = P −1 X, le système (1) devient équivalent à
Y 00 + DY = 0.
(2)
Le fait que la matrice D soit diagonale entraîne que le système différentiel (2) est
constitué de n équations différentielles scalaires du second ordre à coefficients constants
bien séparées les unes des autres :


y 00

 1
= −λ1 y1
..
..
.
.


y 00 = −λ y
n n
n
(3)
où les λi sont les coefficients diagonaux de D, tous positifs
√ ici. On peut donc résoudre ces
n équations différentielles séparément : en posant ωi = λi ,

A
6 0
i cos(ωi t) + Bi sin(ωi t) si λi =
yi = 
Ai t + Bi
si λi = 0
où les Ai et Bi sont des constantes réelles qui peuvent être déterminées par la donnée de
conditions initiales de position et vitesse de chacune des masses.
Référence : http://www.math.jussieu.fr/~mneimne/diag/ page internet de R. Mneimné,
qui propose également de belles animations (calculées par Maple) de différents états possibles du système, états «purs» (c’est-à-dire dans lesquels toutes les masses oscillent à la
même fréquence), ou non.
2
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Réduction des endomorphismes
Posons-nous quelques questions vis-à-vis du modèle de cette situation physique :
1) Quelle propriété de la matrice A permet d’écrire une relation telle que A = P D P −1
(ou D = P −1 A P ), avec une matrice diagonale D ?
2) Que représentent les coefficients diagonaux de D par rapport à la matrice A ? Comment
les trouver ? Quelle est leur interprétation physique ?
3) Comment prouver, à l’aide des propriétés élémentaires du calcul matriciel, que les
systèmes différentiels (1) et (2) sont équivalents ?
4) Comment repasser de Y à X ? En quoi le fait que les coefficients du système différentiel
soient constants est-il fondamental pour pouvoir appliquer cette méthode ?
1
Eléments propres d’un endomorphisme
1.1
Valeurs propres, vecteurs propres
Définition 2
Soit f un endomorphisme de E. On dit qu’un scalaire λ ∈ K est une valeur propre
de f s’il existe un vecteur non nul x ∈ E \ {0} tel que
f (x) = λ x.
Un tel vecteur x est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre λ.
♠ Montrer que pour une valeur propre donnée il existe une infinité de vecteurs
propres.
♠ Montrer qu’un vecteur propre ne peut être associé qu’à une seule valeur propre.
♠ Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de idE . Quelles sont les
valeurs propres et vecteurs propres de l’homothétie vectorielle de rapport k ?
♠ Dans le plan rapporté à R2 via le choix d’un repère, soient D1 et D2 deux droites
sécantes en (0, 0) (que peut-on alors dire de D1 et D2 l’une par rapport à l’autre
en tant que sous-espaces vectoriels ?) et un réel k 6= 0. Rappeler la définition
de l’affinité vectorielle d’axe D1 , de direction D2 et de rapport k. Montrer qu’il
s’agit d’un endomorphisme de R2 . Déterminer ses valeurs propres et vecteurs
propres.
♠ Montrer que les valeurs propres de f sont les valeurs de λ pour lesquelles
l’endomorphisme f − λ idE n’est pas injectif.
Définition 3
L’ensemble des valeurs propres d’un endomorphisme f s’appelle le spectre de f et
se note Sp(f ).
Remarque 1
Un endomorphisme peut ne pas admettre de valeur propre, c’est-à-dire que son spectre
peut être vide. On verra que cela n’est pas possible pour K = C.
3
Chapitre 5
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♠ Montrer que
f:
R2 −−−→ R2
(x, y) 7−−−→ (−y, x)
est un endomorphisme de R2 n’admettant pas de valeur propre. À quelle transformation géométrique correspond-il ?
1.2
Sous-espaces propres
Définition 4
Soient f un endomorphisme de E et λ une valeur propre de E. Le sous-espace
propre de f associé à la valeur propre λ est le sous-espace vectoriel
Eλ (f ) = x ∈ E, f (x) = λx = ker(f − λ idE ).
♠ Vérifier « à la main » que Eλ (f ) est bien un sous-espace vectoriel de E.
♠ Comment se traduit sur Eλ (f ) le fait que λ est une valeur propre de f , au vu
de la définition 2 ?
Proposition 1
Toute somme de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe.
♠ Le démontrer dans le cas d’une somme de deux sous-espaces propres, puis de
trois sous-espaces propres.
Définition 5
L’endomorphisme f est dit diagonalisable si
M
Eλ (f ) = E.
λ∈Sp(f )
1.3
Polynôme caractéristique
Définition 6
On appelle polynôme caractéristique de f le déterminant
χf (λ) = det(f − λ idE ).
♠ Indiquer la forme générale de χf (λ) à partir de la représentation matricielle
de f dans une base donnée.
♠ Montrer qu’il s’agit bien d’un polynôme en λ.
4
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Réduction des endomorphismes
Théorème 2 (Théorème fondamental)
Les valeurs propres de f sont les racines du polynôme caractéristique χf .
♠ Démontrer ce théorème à l’aide de la caractéristation de la non injectivité d’un
endomorphisme en dimension finie.
♠ Retrouver les valeurs propres d’une homothétie vectorielle de rapport α 6= 0.
♠ Déterminer les valeurs propres d’une rotation vectorielle du plan d’angle θ.
1.4
Sous-espaces stables
Définition 7
Soient F un sous-espace vectoriel de E, u ∈ L(E). On dit que F est stable par u si
u(F ) ⊂ F . Dans ce cas, u induit un endomorphisme de F :
uF : F −−−→ F
x 7−−−→ u(x).
♠ Quelle est la différence entre la restriction u
uF induit par u sur F ?
F
de u à F et l’endomorphisme
♠ Montrer que {0} et E sont stables par tout endomorphisme de E.
♠ Montrer que tout sous-espace propre de u est stable par u. Quel est l’endomorphisme induit par u sur un de ses sous-espaces propres ?
Proposition 3
Soient u un endomorphisme de E et F un sous-espace de E stable par u et non réduit
à {0}. Alors
χuF | χu .
♠ Expliciter la conclusion de cette proposition.
♠ Démontrer cette proposition en construisant, grâce au théorème de la base incomplète, une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire par
blocs.
2
2.1
Réduction des matrices
Eléments propres, polynôme caractéristique
Soit A une matrice carrée de taille n. On reformule les définitions de la section 1 à
l’aide du point de vue matriciel. Le terme général de A est noté aij .
5
Chapitre 5
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Définition 8
On dit qu’un scalaire λ ∈ K est une valeur propre de A s’il existe un vecteur
colonne X non nul tel que
A X = λ X.
Un tel vecteur X est appelé vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.
La proposition suivante exprime qu’endomorphismes et matrices sont deux points de
vue sur le même phénomène.
Proposition 4
Les valeurs propres de A sont celles d’un endomorphisme f de E admettant A pour
matrice dans une base B de E et les vecteurs propres de A sont les vecteurs-colonnes
des coordonnées des vecteurs propres de f dans la base B.
♠ Démontrer cette proposition.
Définition 9
Le polynôme caractéristique de A est
χA : λ 7−−−→ det(A − λ In ) =
a11 − λ
a21
..
.
an1
a12
···
a1n a22 − λ · · ·
a2n ..
.. .
..
.
.
. an2
· · · ann − λ
♠ Montrer que si A est la matrice d’un endomorphisme f de E dans une base B
de E, alors χA = χf .
♠ Quelles sont les valeurs propres d’une matrice triangulaire ?
On a le résultat général suivant sur la forme du polynôme caractéristique.
Théorème 5
(1) χA est un polynôme de degré n.
(2) Son terme de degré n est (−1)n λn .
(3) Son terme de degré n − 1 est (−1)n−1 tr Aλn−1 .
(4) Son terme constant est det A.
♠ Qu’est-ce que tr A ?
♠ Démontrer ce théorème.
♠ A quelle condition 0 est-il valeur propre de A ?
Définition 10
Soit λ une valeur propre de A. L’ordre de multiplicité mult(λ) de la valeur
propre λ est la multiplicité de λ en tant que racine du polynôme caractéristique χA .
6
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Réduction des endomorphismes
♠ Qu’est-ce que la multiplicité d’une racine d’un polynôme ? Donner deux caractérisations : l’une par factorisation du polynôme, l’autre à l’aide des polynômes
dérivés.
Théorème 6
Si K = C, la matrice A admet n valeurs propres, comptées avec leur ordre de multiplicité.
♠ Démontrer ce théorème grâce aux propriétés des polynômes à coefficients complexes.
♠ Soit la matrice
!
0 −1
A=
.
1 0
Déterminer les valeurs propres de A si l’on considère A comme matrice à
coefficients réels, puis comme matrice à coefficients complexes.
Proposition 7
Si K = R et si n est impair, A admet au moins une valeur propre.
♠ Prouver cette proposition à l’aide d’un résultat d’analyse sur les fonctions polynômiales de degré impair.
Proposition 8
La matrice A et sa transposée t A ont le même polynôme caractéristique, donc les
mêmes valeurs propres.
♠ Démontrer cette proposition à l’aide des propriétés du déterminant.
Théorème 9 (Produit et somme des valeurs propres)
Supposons que A admette n valeurs propres (comptées avec leur ordre de multiplicité)
λ1 , . . . , λn . Alors
n
X
λi = tr A
et
n
Y
λi = det A.
i=1
i=1
♠ Vérifier ce théorème dans le cas où la matrice est triangulaire.
♠ Soit P = an X n + · · · + a1 X + a0 un polynôme de degré n (an 6= 0) admettant
n racines x1 , . . . , xn . On pose, pour tout k ∈ {1, . . . , n},
σk =
X
x i 1 x i 2 . . . xi k .
16i1 <i2 <···<ik 6n
Expliciter σ1 , σ2 et σn . Quelle relation existe-t-il entre σk (somme symétrique
d’ordre k) et les coefficients ai du polynôme ?
♠ Déduire de ce qui précède et du théorème 5 la démonstration du théorème 9.
7
Chapitre 5
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♠ Calculer le polynôme caractéristique de la matrice
1 j j2

A =  j j2 1 

2
j 1 j


j=e
où
2iπ
3
(on rappelle que j 3 = 1 et 1 + j + j 2 = 0). Déterminer les valeurs propres de
A en précisant leur ordre de multiplicité.
Définition 11
Le sous-espace propre associé à une valeur propre λ de A est
Eλ (A) = {X ∈ Mn,1 (R),
A X = λ X} ;
c’est donc l’ensemble des vecteurs propres de A associés à la valeur propre λ, ensemble
auquel on rajoute le vecteur nul.
2.2
Sous-espaces propres d’une matrice
Théorème 10
Pour toute valeur propre λ de A, on a
1 6 dim Eλ (A) 6 mult(λ).
♠ Démontrer la première inégalité à l’aide de la définition d’une valeur propre.
Corollaire 11
Si λ est une valeur propre simple de A, alors dim Eλ (A) = 1.
2.3
Diagonalisation
Définition 12
Un polynôme P =
n
X
ai X i ∈ K[X] est dit scindé sur K s’il peut s’écrire comme
i=0
produit de facteurs du premier degré :
P = an
n
Y
(X − λi )
k=1
♠ Pour un polynôme scindé, que peut-on dire de la somme des multiplicités de
ses racines ?
Le célèbre théorème de d’Alembert (tout polynôme de C[X] non constant admet une
racine) a donc la conséquence suivante.
8
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Réduction des endomorphismes
Proposition 12
Tout polynôme de C[X] (en particulier de R[X]) est scindé sur C.
On dit aussi que les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1,
ou que C est un corps algébriquement clos.
♠ Quels sont les polynômes irréductibles de R[X] ?
On considère maintenant un endomorphisme u de E. On rappelle (cf. définition 5) que
u est dit diagonalisable si et seulement si
M
E=
Eλ (u).
λ∈Sp(u)
Théorème 13 (Théorème fondamental)
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) u est diagonalisable ;
(2) il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale ;
(3) il existe une base de E formée de vecteurs propres pour u ;
(4) le polynôme χu est scindé et, pour toute valeur propre λ de u, la dimension du
sous-espace propre Eλ (u) est égale à la multiplicité de λ :
dim Eλ (u) = mult(λ).
♠ Quelle est la forme de la matrice de u dans une base de E formée de vecteurs
propres pour u ? En déduire que (3)=⇒(2). Montrer de même que (2)=⇒(3).
Si A est la matrice d’un endomorphisme diagonalisable dans une base quelconque de
E, on dit alors que la matrice A est diagonalisable.
♠ Reformuler le théorème 13 en termes matriciels.
♠ Qu’est-ce que la relation de diagonalisation d’une matrice A ? Qu’est-ce que la
matrice diagonale qui intervient dans cette relation ?
♠ Diagonaliser, si possible, la matrice
3 −3 1 −3
 1
0 0 −1


A=
.
−1 1 1 1 
0 −1 1 0


Corollaire 14
Si χA est scindé et n’admet que des racines simples, alors A est diagonalisable.
9
Chapitre 5
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♠ Démontrer que dans cette situation l’assertion (4) du théorème 13 est vérifiée.
♠ La matrice


0 −1 −1

0
A = 0 2

0 2
0
est-elle diagonalisable ?
2.4
Trigonalisation
La relation de diagonalisation d’une matrice A est une formule de changement de base
du type
D = P −1 AP
où D est une matrice diagonale (contenant les valeurs propres de A sur la diagonale) et
P la matrice de passage de la base initiale à la base de vecteurs propres.
On a vu qu’une matrice quelconque n’est pas nécessairement diagonalisable. Dans ces
cas, il est donc naturel de rechercher un autre type de matrice réduite. C’est l’objet de la
trigonalisation (ou : triangularisation).
Définition 13
Une matrice carrée A ∈ Mn (K) est dite trigonalisable s’il existe une matrice triangulaire T semblable à A :
T = P −1 AP
où P est une matrice inversible.
Un endomorphisme u de E est dit trigonalisable s’il existe une base B de E dans
laquelle la matrice MatB u est triangulaire.
♠ À quelle condition une matrice A = (aij )16i,j6n est-elle triangulaire supérieure ?
triangulaire inférieure ?
♠ Montrer que, quitte à inverser l’ordre des vecteurs de la base, la matrice en
question peut être supposée indifféremment triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure.
♠ Montrer que le polynôme caractéristique d’une matrice triangulaire est toujours
scindé, et que les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice.
Théorème 15 (Théorème fondamental)
Une matrice A ∈ Mn (K) (resp. un endomorphisme u ∈ L(E)) est trigonalisable si et
seulement si son polynôme caractéristique χA (resp. χu ) est scindé sur K.
Corollaire 16
Toute matrice à coefficients complexes est trigonalisable.
10
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Réduction des endomorphismes
♠ Trigonaliser la matrice


−3 −3 2

1 −2
A= 1
.
2
4 −4


−2 1
0


(chercher une base dans laquelle la matrice est semblable à  0 −2 1 ).
0
0 −2
La forme précédente est particulière en ce sens qu’on peut toujours exiger qu’une
matrice trigonalisée soit de ce type. Plus précisément, on a les définitions suivantes.
Définition 14
(1) On appelle bloc de Jordan de valeur propre λ et de taille r la matrice
carrée d’ordre r suivante :

Jr (λ) =
λ


0
.
.
.

 ..
.

.
 ..

.
.
.
1
0
λ
...
1
...
..
.
(0)
0 ··· ···
··· ··· ···
...
(0)
... ...
.. .. ..
.
.
.
.. ..
.
. 1
...
λ
··· ··· 0

0
.. 
.

.. 

.

.. 
.


0


1

λ
(2) On appelle réduite de Jordan toute matrice carrée diagonale par blocs dont les
11
Chapitre 5
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blocs diagonaux sont des blocs de Jordan :
T = Diag(Jn1 (λ1 ), Jn2 (λ2 ), . . . , Jnp (λp ))

λ
 1
=






































0
..
.
..
.
0
1
0 ···
... ... ...
... ... ...
.. ..
.
.
··· ···
0

0
..
.
(0)
0
1
λ1
λ2 1
0 λ2
λ3
(0)
...
λp
0
..
.
..
.
0
1
0 ···
... ... ...
... ... ...
.. ..
.
.
··· ···
0
0
..
.
0
1
λp



















.



















Certains blocs peuvent être de taille 1, et plusieurs blocs peuvent être associés à
la même valeur propre λi .
♠ Représenter la matrice de Jordan dont les blocs diagonaux sont J3 (−1), J1 (8)
et J2 (0).
♠ Quelle est la particularité d’une matrice diagonale vis-à-vis de cette définition ?
Théorème 17 (Jordan)
Soit u (resp. A) un endomorphisme de E (resp. une matrice carrée de taille n) dont
le polynôme caractéristique est scindé. Il existe une base B de E (resp. une matrice P
inversible) telle que MatB u (resp. P −1 AP ) soit une réduite de Jordan
Diag(Jn1 (λ1 ), Jn2 (λ2 ), . . . , Jnp (λp ))
où les λ1 , . . . , λp sont les valeurs propres (non nécessairement distinctes deux à deux)
de u (resp. A).
De plus, cette écriture est unique à l’ordre des blocs de Jordan près, et le nombre
de blocs de Jordan correspondant à une même valeur propre λi est égal à la dimension
du sous-espace propre dim Eλi (u).
12
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Réduction des endomorphismes
♠ Dans une base (e1 , e2 , e3 , e4 ) la matrice d’un endomorphisme u de E est
2
0

A=
0
0
1
2
0
0

0
0
0
0
0
0

.
1
0

Indiquer, sans calcul, quelles sont les valeurs propres de u ainsi que leur ordre
de multiplicité et la dimension des sous-espaces propres. Connaissant l’endomorphisme u, comment trouver une telle base (e1 , e2 , e3 , e4 ) (regarder leurs
images par u) ?
On trouvera en annexe A un exemple de réduction de Jordan d’une matrice de taille
5 grâce à Maple.
3
Polynômes d’endomorphismes
3.1
Définitions
Définition 15
Étant donnés un endomorphisme u ∈ L(E) et p ∈ N, on définit l’endomorphisme up
de E par

id
si p = 0
E
up =  p−1
u
◦ u si p > 1.
Plus généralement, pour un polynôme P =
d
X
ai X i ∈ K[X], on pose
i=0
P (u) =
d
X
ai ui .
i=0
De même, si A ∈ Mn (K), on pose
P (A) =
d
X
ai Ai .
i=0
♠ Expliciter le « terme constant » dans chacune des sommes ci-dessus.
♠ Vérifier que si A = MatB (u), alors P (A) = MatB (P (u)).
Proposition 18
L’endomorphisme u (resp. la matrice A) commute avec les polynômes en u (resp. A) :
(
∀P ∈ K[X],
u ◦ P (u) = P (u) ◦ u
A P (A) = P (A) A.
13
Chapitre 5
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♠ Démontrer cette proposition.
Proposition 19
L’ensemble K[u] des polynômes en u est une sous-algèbre de L(E) et l’application
ϕu : K[X] −−−→ K[u]
P 7−−−→ P (u)
appelée morphisme d’évaluation, est un morphisme de K-algèbres.
♠ Qu’est-ce qu’une sous-algèbre de L(E) ? Qu’est-ce qu’un morphisme d’algèbres ?
♠ Démontrer cette proposition.
♠ Formuler une proposition équivalente pour des matrices carrées.
Proposition 20
Si λ est une valeur propre d’un endomorphisme u, alors, pour tout polynôme P ∈ K[X],
P (λ) est valeur propre de P (u).
♠ Montrer que tout vecteur propre pour u associé à la valeur propre λ est propre
pour P (u) associé à la valeur propre P (λ) (considérer d’abord le cas où P est
un monôme).
Le noyau de l’évaluation ϕu est un idéal de l’algèbre des polynômes. Il se nomme idéal
annulateur de u. C’est l’ensemble des polynômes P ∈ K[X] tels que P (u) = 0.
Le fait que K[X] soit un anneau principal (conséquence de l’existence d’une division
euclidienne des polynômes) et le théorème de Cayley-Hamilton (théorème 22) entraînent
le théorème suivant.
Théorème 21
Si E 6= {0}, il existe un unique polynôme unitaire annulateur de u, appelé polynôme
minimal de u et noté Mu qui divise tous les polynômes anulateurs de u :
∀P ∈ K[X],
P (u) = 0 =⇒ Mu | P .
♠ Qu’appelle-t-on un polynôme unitaire ?
♠ Quel est le polynôme minimal de l’endomorphisme nul ? De l’identité ? De
l’homothétie vectorielle de rapport α ?
♠ Reformuler la proposition 20 et le théorème 21 dans le cadre de matrices carrées.
♠ Déterminer le polynôme minimal d’une matrice A nilpotente d’ordre p (i.e.
Ap = 0 et Ap−1 6= 0).
3.2
14
Théorème de Cayley-Hamilton
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Réduction des endomorphismes
Théorème 22 (Cayley-Hamilton)
Pour tout endomorphisme u ∈ L(E), on a
χu (u) = 0.
Corollaire 23
Mu | χu .
♠ A l’aide de ce théorème, montrer que si λ est une racine de Mu , alors λ est
valeur propre de u.
♠ Réciproquement, montrer que si λ est valeur propre de u, alors λ est racine de
Mu (utiliser la proposition 20).
♠ Montrer, à l’aide d’un exemple simple, que la multiplicité des racines de Mu
n’est pas nécessairement la même que la multiplicité des valeurs propres de u
(en tant que racines de χu ).
♠ Montrer que si χu est scindé et n’admet que des racines simples, alors Mu = χu .
♠ Déterminer les valeurs propres d’un endomorphisme nilpotent.
Corollaire 24
Si u (resp. A) est un automorphisme de E (resp. une matrice carrée inversible), u−1
(resp. A−1 ) est un polynôme en u (resp. A).
♠ Démontrer ce corollaire en séparant le terme « constant » du polynôme caractéristique dans l’égalité du théorème de Cayley-Hamilton.
3.3
Application à la réduction
On énonce les résultats suivants dans le cadre d’un endomorphisme u de E ; on laisse
au lecteur le soin de les transposer dans le cadre de la réduction d’une matrice carrée.
Théorème 25
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) u est diagonalisable,
(2) Mu est scindé à racines simples,
(3) il existe un polynôme scindé à racines simples annulateur de u.
♠ Un endomorphisme nilpotent (non nul) est-il diagonalisable ?
♠ Montrer que si A est une matrice à coefficients complexes idempotente (i.e.
vérifiant Am = A pour un certain entier naturel m > 2), alors A est diagonalisable.
15
Chapitre 5
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
Théorème 26
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(1) u est trigonalisable,
(2) Mu est scindé,
(3) il existe un polynôme scindé annulateur de u.
♠ Montrer que tout endomorphisme nilpotent est trigonalisable.
4
Exemples d’application
4.1
Système différentiel linéaire
Exemple 16
On cherche à résoudre le système différentiel linéaire suivant (la variable est notée t) :
(
x0 = 3tx +2y +et
y 0 = 2x +3ty +e−t
qui s’écrit encore sous forme matricielle
!
3t 2
(S) X = A(t)X + B(t) avec A(t) =
2 3t
0
et
B(t) = −t
e
!
!
x(t)
et X(t) =
y(t)
♠ Pour t ∈ R fixé, montrer que la matrice A(t) admet deux valeurs propres
toujours distinctes ; en déduire qu’elle est diagonalisable.
♠ Déterminer une base de vecteurs propres de A(t) (remarquer que cette base
peut être choisie indépendante de t).
♠ Montrer que le système différentiel précédent est équivalent au système
(S1 )
X10 = DX1 + B1 (t)
où D est une matrice diagonale. On précisera les expressions de X1 en fonction
de X et de B1 en fonction de B.
♠ Résoudre le système (S1 ) et en déduire toutes les solutions de (S).
On remarquera sur cet exemple qu’il est extrêmement important que la matrice de
passage choisie soit à coefficients constants. Dans le cas contraire, on n’aurait pas nécessairement (P −1 X)0 = P −1 X 0 .
Cette méthode est donc particulièrement bien adaptée au cas d’un système différentiel
linéaire à coefficients constants.
4.2
16
Calcul de An
École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Réduction des endomorphismes
♠ Montrer que si deux matrices A et B sont semblables, alors Am et B m le sont
également pour tout m ∈ N, avec la même matrice de passage.
♠ Calculer les puissances d’une matrice diagonale.
♠ En déduire une méthode pour calculer les puissances d’une matrice diagonalisable.
♠ Rappeler la définition de l’exponentielle d’une matrice A. Donner une méthode
pour calculer l’exponentielle d’une matrice diagonalisable A, de valeurs propres
λ1 , . . . , λn . On rappelle à ce sujet que
∀α ∈ C,
5
lim
N →+∞
α2
αN
1+α+
+ ···
2!
N!
!
= eα .
Exercices
5.1
Première série
Les exercices 1 et 2 sont à préparer.
Exercice 1 : Diagonalisations
Diagonaliser (dans R ou C), quand c’est possible, les matrices suivantes :
0

1

B=
a
1
a2

1
0
D=

0
0
a a2


A=

1 1 2
1 1

0 1 3

2


4 a 1

C =  1 4 a
 (a ∈ R)
a 1 4


a



0
1
a
a
1
0
0

(a ∈ R∗ )
0
b
d
2
0
c
e


f
2

Exercice 2
Calculer les déterminants d’ordre n suivants, où α, β ∈ C :
Dn =
α + β
1
0
.
..
.
..
0
αβ 0 · · ·
.. .. ..
.
.
.
.. .. ..
.
.
.
.. .. ..
.
.
.
... ...
··· ···
0
···
..
..
.
.
...
1
0 αβ α + β
0
..
.
..
.
Pn (θ) =
2 cos θ
1
0
.
..
.
..
0
1
0 ···
... ... ...
.. .. ..
.
.
.
.. .. ..
.
.
.
... ..
.
··· ···
0
···
..
.
..
.
..
.
1
.
0 1 2 cos θ
0
..
.
..
.
17
Chapitre 5
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
La matrice suivante est-elle diagonalisable dans Mn (R) ?

2a
A=













1
0
..
.
..
.
0

1
0 ··· ···
... ... ...
.. .. .. ..
.
.
.
.
.. .. .. ..
.
.
.
.
.. .. ..
.
.
.
··· ···
0
0
.. 

.
.. 

.


0


1

2a
1
Exercice 3
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Montrer
que si u est diagonalisable, alors ker u et Im u sont supplémentaires. La réciproque est-elle
vraie ?
Exercice 4
Pour n > 3, la matrice suivante de Mn (R) est-elle diagonalisable ?
1 ···
.
 ..
0

.

A =  .. ...
.
.
.
0
1 ···

··· ··· 1
.
· · · 0 .. 

.. .. 
0
. .
.
.. 

· · · 0 .

··· ··· 1
Exercice 5
Soient a ∈ R, B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et f l’endomorphisme de R3
dont la matrice dans B est


1 a a

A=
−1 1 −1 .
1 0 2
1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que A soit diagonalisable, et,
dans ce cas, donner la relation de diagonalisation (en précisant la matrice de passage).
2. Dans le cas où A n’est pas diagonalisable, déterminer une base de R3 dans laquelle la
matrice de f est une réduite de Jordan (à préciser).
Exercice 6 : Matrice compagnon
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2, a0 , . . . , an−1 ∈ R et le polynôme
unitaire
P = Xn +
n−1
X
k=0
18
ak X k = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 .
École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Réduction des endomorphismes
On appelle matrice compagnon de P la matrice de Mn (R)


0 ···

...

1


..
0
.
CP = 
. .
..
 ..

.
 ..

· · · · · · 0 −a0

..


. −a1 
0···0
−a0

..
..  
..
−a1

.
.
. 
=
..
 I
.. 
. . . . ..
 n−1
.
.
. .
. 


−a
... ..
n−1
. 0 −an−2 

0 · · · · · · 0 1 −an−1



.


1. Déterminer le polynôme caractéristique de CP .
2. Montrer que CP est diagonalisable si et seulement si P est scindé à racines simples.
Exercice 7 : Endomorphisme en dimension infinie
Soit E = C 0 ([0, 1], R) le R-espace vectoriel des applications continues de [0, 1] → R.
A toute fonction f ∈ E, on associe la fonction
T (f ) : [0, 1] −−−→ R

x 7−−−→

1
Z x
x 0

f (0)
f (t) dt si x 6= 0
si x = 0.
1. Prouver que E est de dimension infinie.
2. Montrer que l’application T ainsi définie est un endomorphisme de E.
3. Déterminer les valeurs et vecteurs propres de T .
Exercice 8
Soit l’application
T : R[X] −−−→ R[X]
P 7−−−→ P (X + 1) + P
1. Vérifier que T est un endomorphisme de R[X]
2. Vérifier que T possède une seule valeur propre et déterminer le sous-espace propre
associé.
3. Déterminer ker T . Peut-on en déduire que T est un automorphisme de R[X] ?
5.2
Deuxième série
Les exercices 9 et 12 sont à préparer.
Exercice 9
Réduire les matrices suivantes :

A=

1 2 −2
1 −2

2 2 −3

2

B=



3
0
8
3 −1 6 

−2 0 −5
2 −1 −1 1
0 2
0 1

C=


6 −5 −3 10
2 −1 −1 5


19
Chapitre 5
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
Exercice 10 : Réduction simultanée
1. Montrer que si u est un endomorphisme diagonalisable d’un espace vectoriel E de dimension n et si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors l’endomorphisme uF
est diagonalisable. On considère maintenant u et v deux endomorphismes diagonalisables
d’un espace vectoriel E de dimension n qui commutent, c’est-à-dire que
u◦v =v◦u
2. Montrer que tout sous-espace propre pour u est stable par v.
3. En déduire que u et v sont simultanément diagonalisables, c’est-à-dire qu’il existe
une base de E dans laquelle les matrices de u et de v sont toutes deux diagonales.
Exercice 11 : Matrice circulante
Soient a0 , . . . , an−1 ∈ C ; on considère la matrice circulante

a0
a1

an−1
a0

a
n−2 an−1
C(a0 , . . . , an−1 ) = 
 .
..
 ..
.

a1
a2
a2
a1
a0
..
.
a3

· · · an−1

· · · an−2 

· · · an−3 

.. 
...
. 

· · · a0
1. Diagonaliser la matrice C(0, 1, 0, . . . , 0).
2. Exprimer C(a0 , . . . , an−1 ) en fonction des puissances de C(0, 1, 0, . . . , 0) et en déduire
la diagonalisation de C(a0 , . . . , an−1 ).
3. En déduire det [C(a0 , . . . , an−1 )].
Exercice 12 : Système différentiel
Soit le système différentiel (où x, y, z et t sont quatre fonctions de la variable s)
(S)
 0
x



y 0

z0


 0
t
= x
+z
=
y
+t
= x
+z
=
y
+t
+s
+1
−1
−s
que l’on peut encore écrire sous forme matricielle X 0 = AX + B.
1. De quel type de système s’agit-il ? Quelle est la structure de l’ensemble des solutions ?
Expliciter les matrices A, X et B.
2. Réduire la matrice A, en précisant la matrice réduite D, la matrice de passage P ainsi
que P −1 .
3. En déduire un système différentiel (S1 ) équivalent à (S) du type X10 = DX1 + B1 , où
l’on précisera les définitions de X1 et B1 .
4. Résoudre (S1 ), en déduire les solutions de (S).
20
École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Réduction des endomorphismes
Annexes
A
Un exemple de Jordanisation avec Maple
Un exemple de Jordanisation d’une matrice avec plusieurs blocs de Jordan de tailles
différentes associés à plusieurs valeurs propres nécessite souvent une matrice de grande
taille. On apprécie alors l’aide d’un logiciel de calcul formel comme Maple pour effectuer
les calculs.
De puissantes procédures d’algèbre linéaire sont regroupées dans la bibliothèque linalg.
21
Chapitre 5
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
> with(linalg):
Considérons la matrice a de taille 5 suivante. On peut remarquer, en regardant la deuxième
colonne, que le vecteur (0,1,0,0,0) est propre pour la valeur propre 1 (il est égal à son image).
> a:=matrix([[1,0,1,0,0],[1,1,2,1,1],[1,0,1,1,0],[-1,0,-1,0,0],[0,
0,-1,0,0]]);
1

1

a :=  1

-1

0
0
1
0
0
0
1
2
1
-1
-1
0
1
1
0
0
0

1

0

0
0
Voici ses valeurs propres:
> eigenvalues(a);
0, 0, 1, 1, 1
Sa forme réduite de Jordan, avec calcul d'une matrice de passage correspondante:
> jordan(a,p);
0

0

0

0

0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0

0

0

0
1
> evalm(p);
 0 1 1 1 1


-1 -1 1 3 2


 0 -1 0 1 0


 0 0 -1 -1 -1


 1 1 0 -1 0
Sur la forme réduite de Jordan de a, on peut constater qu'il y a un bloc de Jordan de taille 2
correspondant à la valeur propre 0, et deux blocs de tailles respectives 2 et 1 associés à la valeur
propre 1. Il faut donc s'attendre à ce que le sous-espace propre associé à 0 (vp double) soit de
dimension 1, et que celui associé à 1 (triple) soit de dimension 2. On le vérifie en déterminant les
vecteurs propres de a :
> eigenvectors(a);
Dans ce résultat, Maple note la valeur propre, sa multiplicité et une base du sous-espace propre
(entre accolades, dont les vecteurs se retrouvent dans la matrice de passage p). On constate bien
que E1(a) est de dimension 2 et E0(a) de dimension 1.
[ 0, 2, { [ 0, -1, 0, 0, 1 ] } ], [ 1, 3, { [ 0, 1, 0, 0, 0 ], [ -1, 0, 0, 1, 0 ] } ]
Vérification du calcul de Maple:
> evalm(p^(-1)&*a&*p);
0

0

0

0

0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
>
Page 1
22
0
0
1
1
0
0

0

0

0
1