Chapitre 5 : Réduction des endomorphismes

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques Réduction des endomorphismes
Chapitre 5
Réduction des endomorphismes
F. Delacroix, École des Mines de Douai, 22 octobre 2010
Introduction
Présentation et objectifs
Dans ce chapitre on présente la réduction des endomorphismes d’un espace vectoriel de
dimension finie. Il s’agit essentiellement de la recherche d’une représentation matricielle
privilégiée des applications linéaires.
Plus précisément, dans un tel espace E, la donnée d’un endomorphisme f∈L(E)
correspond à la donnée d’une matrice carrée A= MatB(f), mais cette matrice Adépend
du choix de la base B. Un changement de base correspond à une similitude de matrices,
c’est-à-dire à la relation
B=P−1AP
où Pdésigne la matrice de passage de Bà la nouvelle base, celle dans laquelle la matrice
de fest B.
Question : existe-t-il des bases de Edans lesquelles la matrice de fa une forme
privilégiée : diagonale ou, au pire, triangulaire ? Si oui, comment construire une telle
base ?
Les applications de cette notion sont nombreuses et on peut notamment citer la résolu-
tion de systèmes différentiels linéaires, certaines applications géométriques et la recherche
de solutions de problèmes linéaires (ou linéarisés) au sens général du terme.
Prérequis:
Chapitre 3
Algèbre linéaire et calcul matriciel (SUP)
Polynômes et fractions rationnelles (SUP)
Suites:
Approfondissement du chapitre 3, chapitre 6
Analyse 1ère année (transformations intégrales, fonctions spéciales, EDP,. ..)
Analyse numérique
Electromagnétisme
Mécaniques classique, quantique et relativiste
Optimisation
Informatique et sciences de l’information
Dans tout ce chapitre, on considère un K-espace vectoriel Ede dimension finie n
rapporté à une base B= (e1, . . . , en),Kdésignant un corps commutatif (généralement R
ou C).
Un exemple d’application
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Figure 1 – Dispositif des ressorts de Trubowitz
Exemple 1 (Ressorts de Trubowitz)
Le dispositif des Ressorts de Trubowitz consiste en nmasses identiques (considérées
comme ponctuelles) coulissant sans frottement sur un rail circulaire et reliées entre elles
par des nressorts identiques (cf. figure 1). Comment décrire le mouvement des nmasses
en fonction du temps ?
Ce problème conduit à un système différentiel linéaire du second ordre à coefficients
constants (où la variable est le temps) qui s’écrit
X00 +AX = 0 (1)
où Xdésigne le vecteur des positions des nmasses (dans un système de coordonnées bien
choisi) et A=In−1
2(C+C−1)(matrice de taille n) où Cest la matrice compagnon du
polynôme Xn−1(cf. exercice 6,page 18).
À ce titre, la matrice Aest diagonalisable : A=P D P −1(où Dest une matrice
diagonale et Pune matrice inversible, toutes deux à coefficients constants). En posant
Y=P−1X, le système (1) devient équivalent à
Y00 +DY = 0.(2)
Le fait que la matrice Dsoit diagonale entraîne que le système différentiel (2) est
constitué de néquations différentielles scalaires du second ordre à coefficients constants
bien séparées les unes des autres :
y00
1=−λ1y1
.
.
..
.
.
y00
n=−λnyn
(3)
où les λisont les coefficients diagonaux de D, tous positifs ici. On peut donc résoudre ces
néquations différentielles séparément : en posant ωi=√λi,
yi=
Aicos(ωit) + Bisin(ωit)si λi6= 0
Ait+Bisi λi= 0
où les Aiet Bisont des constantes réelles qui peuvent être déterminées par la donnée de
conditions initiales de position et vitesse de chacune des masses.
Référence : http://www.math.jussieu.fr/~mneimne/diag/ page internet de R. Mneimné,
qui propose également de belles animations (calculées par Maple) de différents états pos-
sibles du système, états «purs» (c’est-à-dire dans lesquels toutes les masses oscillent à la
même fréquence), ou non.
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Posons-nous quelques questions vis-à-vis du modèle de cette situation physique :
1) Quelle propriété de la matrice Apermet d’écrire une relation telle que A=P D P −1
(ou D=P−1A P ), avec une matrice diagonale D?
2) Que représentent les coefficients diagonaux de Dpar rapport à la matrice A? Comment
les trouver ? Quelle est leur interprétation physique ?
3) Comment prouver, à l’aide des propriétés élémentaires du calcul matriciel, que les
systèmes différentiels (1) et (2) sont équivalents ?
4) Comment repasser de YàX? En quoi le fait que les coefficients du système différentiel
soient constants est-il fondamental pour pouvoir appliquer cette méthode ?
1 Eléments propres d’un endomorphisme
1.1 Valeurs propres, vecteurs propres
Définition 2
Soit fun endomorphisme de E. On dit qu’un scalaire λ∈Kest une valeur propre
de fs’il existe un vecteur non nul x∈E\ {0}tel que
f(x) = λ x.
Un tel vecteur xest appelé vecteur propre de fassocié à la valeur propre λ.
♠Montrer que pour une valeur propre donnée il existe une infinité de vecteurs
propres.
♠Montrer qu’un vecteur propre ne peut être associé qu’à une seule valeur propre.
♠Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de idE. Quelles sont les
valeurs propres et vecteurs propres de l’homothétie vectorielle de rapport k?
♠Dans le plan rapporté à R2via le choix d’un repère, soient D1et D2deux droites
sécantes en (0,0) (que peut-on alors dire de D1et D2l’une par rapport à l’autre
en tant que sous-espaces vectoriels ?) et un réel k6= 0. Rappeler la définition
de l’affinité vectorielle d’axe D1, de direction D2et de rapport k. Montrer qu’il
s’agit d’un endomorphisme de R2. Déterminer ses valeurs propres et vecteurs
propres.
♠Montrer que les valeurs propres de fsont les valeurs de λpour lesquelles
l’endomorphisme f−λidEn’est pas injectif.
Définition 3
L’ensemble des valeurs propres d’un endomorphisme fs’appelle le spectre de fet
se note Sp(f).
Remarque 1
Un endomorphisme peut ne pas admettre de valeur propre, c’est-à-dire que son spectre
peut être vide. On verra que cela n’est pas possible pour K=C.
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♠Montrer que
f:R2−−−→ R2
(x, y)7−−−→ (−y, x)
est un endomorphisme de R2n’admettant pas de valeur propre. À quelle trans-
formation géométrique correspond-il ?
1.2 Sous-espaces propres
Définition 4
Soient fun endomorphisme de Eet λune valeur propre de E. Le sous-espace
propre de fassocié à la valeur propre λest le sous-espace vectoriel
Eλ(f) = x∈E, f(x) = λx=ker(f−λidE).
♠Vérifier « à la main » que Eλ(f)est bien un sous-espace vectoriel de E.
♠Comment se traduit sur Eλ(f)le fait que λest une valeur propre de f, au vu
de la définition 2 ?
Proposition 1
Toute somme de sous-espaces propres d’un endomorphisme est directe.
♠Le démontrer dans le cas d’une somme de deux sous-espaces propres, puis de
trois sous-espaces propres.
Définition 5
L’endomorphisme fest dit diagonalisable si
M
λ∈Sp(f)
Eλ(f) = E.
1.3 Polynôme caractéristique
Définition 6
On appelle polynôme caractéristique de fle déterminant
χf(λ) = det(f−λidE).
♠Indiquer la forme générale de χf(λ)à partir de la représentation matricielle
de fdans une base donnée.
♠Montrer qu’il s’agit bien d’un polynôme en λ.
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Théorème 2 (Théorème fondamental)
Les valeurs propres de fsont les racines du polynôme caractéristique χf.
♠Démontrer ce théorème à l’aide de la caractéristation de la non injectivité d’un
endomorphisme en dimension finie.
♠Retrouver les valeurs propres d’une homothétie vectorielle de rapport α6= 0.
♠Déterminer les valeurs propres d’une rotation vectorielle du plan d’angle θ.
1.4 Sous-espaces stables
Définition 7
Soient Fun sous-espace vectoriel de E,u∈L(E). On dit que Fest stable par usi
u(F)⊂F. Dans ce cas, uinduit un endomorphisme de F:
uF:F−−−→ F
x7−−−→ u(x).
♠Quelle est la différence entre la restriction uFde uàFet l’endomorphisme
uFinduit par usur F?
♠Montrer que {0}et Esont stables par tout endomorphisme de E.
♠Montrer que tout sous-espace propre de uest stable par u. Quel est l’endomor-
phisme induit par usur un de ses sous-espaces propres ?
Proposition 3
Soient uun endomorphisme de Eet Fun sous-espace de Estable par uet non réduit
à{0}. Alors
χuF|χu.
♠Expliciter la conclusion de cette proposition.
♠Démontrer cette proposition en construisant, grâce au théorème de la base in-
complète, une base de Edans laquelle la matrice de uest triangulaire par
blocs.
2 Réduction des matrices
2.1 Eléments propres, polynôme caractéristique
Soit Aune matrice carrée de taille n. On reformule les définitions de la section 1 à
l’aide du point de vue matriciel. Le terme général de Aest noté aij .
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