Vecteurs 1 Translation et vecteur × 2 Égalité de deux vecteurs × 3

Annexe A - Vecteurs
1Translation et vecteur
Définition 1. Soient Aet Bdeux points du plan.
•Un point Dest l’image d’un point Cpar la translation qui transforme
Aen Blorsque les segments [AD]et [CB]ont le même milieu.
•La translation qui transforme Aen Best appelée la translation de vec-
teur A B.
×
×× ×
A
×
B
×× ×
C
×D
Remarque.
•Pour construire le point D, il suffit de construire le parallélogramme
AB DC(ABDC est éventuellement aplati).
•Si AB, on représente le vecteur AB par une flèche d’origine Aet
d’extrémité B.
××
×× ×
A
×
B
×
C
×D
2 Égalité de deux vecteurs
Définition 2. Dire que AB =CD signifie que Dest l’image de Cpar la translation qui transforme Aen B.
Remarque.
•On peut appeler ul’unique vecteur associé à la translation qui
transforme Aen B, on a alors :
u=AB =CD =RS
•Ce vecteur « résume » ainsi le déplacement associé :
→direction : de la droite (AB)
→sens : de Avers B
→longueur :AB
•AB est le représentant d’origine Adu vecteur u.
A
B
C
D
~u
~u
~u
~u
R
S
Propriété 1. AB =CD si, et seulement si, AB DCest un parallélogramme (éventuellement aplati).
Remarque. On peut donc utiliser toutes les caractérisations du parallélogramme, par exemple :
•AB =CD équivaut à [AD]et [CB]ont le même milieu.
×
A
B
C
D
~u
~u
•AB =CD équivaut à AB =CD et A C =BD.
A
B
C
D
~u
~u
Vecteurs particuliers.
→Le vecteur AA est le vecteur nul. On note AA = 0.
→Le vecteur opposé au vecteur AB est le vecteur BA. On note BA =−AB .
A
B
~
AB
−~ AB
3 Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Définition 3. On se place dans un repère (O;I , J).
Soit uun vecteur donné et Ml’image de Opar la translation de vecteur u.
On appelle coordonnées d’un vecteur u, les coordonnées du point Mdans le repère (O;I , J). On note
Mx
yet ux y

Remarque.
•On peut aussi noter les coordonnées des vecteurs horizontalement :
M(x;y)et u(x;y)
•Les coordonnées (x;y)correspondent au déplacement effectué sur le quadrillage.
Ici, « on avance vers la droite de 3 unités et on descend de 2 unités ».
On note :
u3
−2ou u(3; −2)
OI
J
M(3; −2)
~u
~u
+3
−2
Propriété 2. Coordonnées du vecteur A B
Dans un repère du plan,
si A(xA;yA)et B(xB;yB)alors AB xB−xA
yB−yA
Exemple 1. Soit C(4; −2) et D(3; 4) deux points du plan muni d’un repère (O;I,J). Calculer les coordonnées du vecteur CD.
C4
−2et D3 4d’où
CDxD−xC
yD−yCCD3−4 4−(−2)CD−1 6
donc le vecteur C D a pour coordonnées (−1; 6) .
OI
JC
D
−1−3 = −4
3−2 = 1
Propriété 3. Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs uet vsont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan.
Pour ux
yet vx′ y′,u=v⇔x=x′
y=y′
Exemple 2. Soient R(−3; 1) ;S(1; 2) et T(1; −3) trois points du plan muni d’un repère (O;I,J).
Calculer les coordonnées du point Uimage de Tpar la translation de vecteur RS.
Uest l’image de Tpar la translation de vecteur RS donc TU =RS
→ces deux vecteurs ont pour coordonnées :
TUxU−xT
yU−yTet R SxS−xR yS−yR
TUxU−1
yU+ 3 et R S4 1
→ces deux vecteurs sont égaux donc ils ont les mêmes coordonnées :
xU−1 = 4
yU+ 3 = 1 xU= 5
yU=−2
donc le point Ua pour coordonnées (5; −2) .
0 1 2 3 4 5−1−2−3−4
0
1
2
−1
−2
−3
−4
R
S
T
U
Vecteurs particuliers.
→Le vecteur nul 0a pour coordonnées (0; 0).
→Le vecteur opposé au vecteur ux
yest le vecteur −u−x −y
4 Somme de deux vecteurs
Définition 4. et Propriété.
En enchaînant la translation de vecteur uet la translation de vecteur v, on
obtient une nouvelle translation.
Le vecteur qui lui est associé est appelé la somme des vecteurs uet vet noté
u+v
A
B
C
~u
~u
~v
~v
~u +~v
Remarque. L’ordre des translations n’a pas d’importance donc u+v=v+u
1re S1 Annexe A - Vecteurs
2

En pratique. Pour additionner deux vecteurs, on peut :
A) Disposer les vecteurs « bout à bout ».
Propriété 4. Relation de Chasles
Soient A,Bet Ctrois points du plan,
AB +BC =AC
A
B
C
~
AB
~
BC
~
AB +~ BC =~ AC
Exemple 3. Soit ABCD un rectangle. Les points Eet Fsont les milieux respectifs de [AB]et [DC].
Déterminer et placer l’image de Hpar la translation de vecteur u=AD +GE +CF .
•On simplifie l’expression de u=AD +GE +CF :
→Gest le milieu de [DE]donc GE =DG
→AECF est un parallélogramme donc CF =EA
par la relation de Chasles,
u=AD +DG +E A
u=EA +AD +DG
u=EG
•u=EG =HF donc l’image de Hpar la translation de vecteur uest F
A E B
CFD
GH
A E B
C
FD
GH
B) Disposer les vecteurs à partir de la même origine.
Propriété 5. Règle du parallélogramme
Soient uet vdeux vecteurs du plan.
On choisit deux représentants de uet vde même origine A:
u=AM et v=AN
La somme u+vest le vecteur AP tel que AM PN soit un parallélo-
gramme.
A
M
P
N
~u
~v
~u +~v
C) Utiliser les coordonnées des vecteurs.
Propriété 6. Somme des coordonnées
Dans un repère du plan,
si ux
yet vx yalors u+vx+x′
y+y′
5 Multiplication d’un vecteur par un réel
Définition 5. Dans un repère du plan, soit ux
yet kun nombre réel.
Le vecteur k u est le vecteur de coordonnées k x
k y .
Exemple 4. Soient M(1; 2),N(−3; 1) et P(−1; −1) deux points du plan muni d’un repère (O;I,J).
Placer les points Ret Stels que : NR =−
1
2NM et PS = 1,5NM
NM1−(−3)
2−1d’où N M 4 1
•NR =−
1
2NM donc NR
−
1
2×4
−
1
2×1
soit NR −2
−
1
2!
•PS = 1,5NM donc PS1,5×4
1,5×1soit PS6
1,5
M
N
P
RS
OI
J4
1
-2
-0,5
6
1,5
1re S1 Annexe A - Vecteurs
3

Remarque. Soient A,Bet Ctrois points tels que AC =k AB , avec kun nombre réel non nul.
Cest le point de la droite (AB)tel que :
•Si k > 0,AC =k×AB et les points Bet Csont du même côté de A.
Par exemple, AC =3
4AB
ou AB =4
3AC
A
CB
~
AC
~
AB
•Si k < 0,AC =k×AB et les points Bet Csont de part et d’autre de A.
Par exemple, AC =−1
3AB
ou AB =−3AC
A
C
B
~
AC
~
AB
6 Milieu
Propriété 7.
•Le point Iest le milieu de [AB]si, et seulement si, AI =IB
•Le point Iest le milieu de [AB]si, et seulement si, AI =1
2AB
ou AB = 2 AI
AI
B
~
AI
~
IB
AI
B
~
AI
~
AB
1re S1 Annexe A - Vecteurs
4

Exemple 5. Soit K(−5; 2) ;R(6; 4) ;A(−2; −2) et B(3; 8).
Montrer que le quadrilatère ARBK est un rectangle.
•
AR (xR−xA;yR−yA)et KB (xB−xK;yB−yK)
AR(6 −(−2); 4 −(−2)) KB (3 −(−5); 8 −2)
AR (8; 6) KB (8; 6)
les vecteurs AR et KB sont égaux donc le quadrilatère ARBK est un parallélogramme .
•
AK2= (xK−xA;yK−yA)
AK2= (−5 + 2)2+ (2 + 2)2
AK2= 32+ 42
AK2=25
donc AK = 5
de la même manière, on montre que : AR =10 et RK =125
√.
RK2= ( 125
√)2=125
AK2+AR2= 52+102=125
donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore,le triangle AKR est rectangle en A.
•ARK B est un parallélogramme qui a un angle droit, c’est donc un rectangle.
1re S1 Annexe A - Vecteurs
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