Annexe A - Vecteurs 1 Translation et vecteur Définition 1. Soient A et B deux points du plan. • Un point D est l’image d’un point C par la translation qui transforme A en B lorsque les segments [AD] et [CB] ont le même milieu. B × A × × La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur A B. • × D × C Remarque. B × Pour construire le point D, il suffit de construire le parallélogramme AB D C (ABDC est éventuellement aplati). • A × × D Si A B, on représente le vecteur AB par une flèche d’origine A et d’extrémité B. • × C 2 Égalité de deux vecteurs Définition 2. Dire que AB = CD signifie que D est l’image de C par la translation qui transforme A en B. Remarque. • On peut appeler Qu l’unique vecteur associé à la translation qui transforme A en B, on a alors : ~u u Q = AB = CD = RS • ~u ~u D C Ce vecteur « résume » ainsi le déplacement associé : → • B A ~u direction : de la droite (AB) → sens : de A vers B → longueur : AB S R AB est le représentant d’origine A du vecteur u Q. Propriété 1. AB = CD si, et seulement si, AB D C est un parallélogramme (éventuellement aplati). Remarque. On peut donc utiliser toutes les caractérisations du parallélogramme, par exemple : • AB = CD équivaut à AB = CD et AC = BD. • AB = CD équivaut à [AD] et [CB] ont le même milieu. B B ~u ~u A × A ~u ~u D C C Vecteurs particuliers. → Le vecteur AA est le vecteur nul. On note AA =Q0. → Le vecteur opposé au vecteur AB est le vecteur BA. On note BA = −AB . D ~ AB A B ~ −AB 3 Coordonnées d’un vecteur dans un repère Définition 3. On se place dans un repère (O ; I , J). Soit Qu un vecteur donné et M l’image de O par la translation de vecteur Qu. Q , les coordonnées du point M dans le repère (O ; I , J). On note On appelle coordonnées d’un vecteur u x x et u M Q y y 1re S1 Annexe A - Vecteurs Remarque. +3 On peut aussi noter les coordonnées des vecteurs horizontalement : • M (x; y) et Qu (x; y) J Les coordonnées (x; y) correspondent au déplacement effectué sur le quadrillage. Ici, « on avance vers la droite de 3 unités et on descend de 2 unités ». On note : 3 Qu ou Qu (3; −2) −2 • −2 ~u b b O I ~u b M (3; −2) Propriété 2. Coordonnées du vecteur A B Dans un repère du plan, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB ) alors AB xB − xA yB − yA Exemple 1. Soit C(4; −2) et D(3 ; 4) deux points du plan muni d’un repère (O ; I, J). Calculer les coordonnées du vecteur CD. D 4 3 C et D d’où −2 4 3−2=1 −1 − 3 = −4 C x − xC 3−4 −1 J CD CD CD D yD − yC 4 − (−2) 6 b b b b O donc le vecteur C D a pour coordonnées (−1; 6) . I Propriété 3. Égalité de deux vecteurs Deux vecteurs Qu et Qv sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées dans un repère du plan. x = x′ x x′ et Qv , u Pour u Q Q = Q v ⇔ ′ y y y = y′ Exemple 2. Soient R(−3 ; 1) ; S(1; 2) et T (1 ; −3) trois points du plan muni d’un repère (O ; I, J). Calculer les coordonnées du point U image de T par la translation de vecteur RS. U est l’image de T par la translation de vecteur RS donc TU = R S → → S 2 ces deux vecteurs ont pour coordonnées : xU − xT xS − xR et R S TU yU − yT yS − yR xU − 1 4 TU et RS yU + 3 1 R b 1 0 −4 −3 −2 −1 0 1 −1 b 2 3 4 −3 U b −2 ces deux vecteurs sont égaux donc ils ont les mêmes coordonnées : xU − 1 = 4 xU = 5 yU + 3 = 1 yU = −2 5 b T −4 donc le point U a pour coordonnées (5; −2) . Vecteurs particuliers. → → Le vecteur nul Q0 a pour coordonnées (0; 0). x −x Q Le vecteur opposé au vecteur Qu est le vecteur −u y −y 4 Somme de deux vecteurs Définition 4. et Propriété. B En enchaînant la translation de vecteur Qu et la translation de vecteur Qv, on obtient une nouvelle translation. b ~u ~v A b ~u + ~v Le vecteur qui lui est associé est appelé la somme des vecteurs u Q et Qv et noté b ~v u Q + Qv ~u Remarque. L’ordre des translations n’a pas d’importance donc Qu + Qv = Qv + Qu 2 C 1re S1 Annexe A - Vecteurs En pratique. Pour additionner deux vecteurs, on peut : A) Disposer les vecteurs « bout à bout ». Propriété 4. Relation de Chasles Soient A, B et C trois points du plan, B b ~ AB AB + BC = AC ~ BC A b ~ + BC ~ = AC ~ AB b Exemple 3. Soit ABCD un rectangle. Les points E et F sont les milieux respectifs de [AB] et [DC]. A Déterminer et placer l’image de H par la translation de vecteur u Q = AD + GE + CF . • E B On simplifie l’expression de Qu = AD + GE + C F : → G est le milieu de [DE] donc GE = DG → AECF est un parallélogramme donc C F = EA G par la relation de Chasles, u Q = AD + DG + EA Q = EA + AD + DG u Q = EG u • C H D F C A E B G H D C F Qu = EG = HF donc l’image de H par la translation de vecteur u Q est F B) Disposer les vecteurs à partir de la même origine. Propriété 5. Règle du parallélogramme Soient Qu et Qv deux vecteurs du plan. M b ~u On choisit deux représentants de u Q et Qv de même origine A : A b ~u + ~v u Q = AM et Qv = AN b P ~v La somme Qu + Qv est le vecteur AP tel que A M P N soit un parallélogramme. b N C) Utiliser les coordonnées des vecteurs. Propriété 6. Somme des coordonnées Dans un repère du plan, x x x + x′ et Qv alors u si Qu Q + Qv y y y + y′ 5 Multiplication d’un vecteur par un réel x et k un nombre réel. Définition 5. Dans un repère du plan, soit Qu y kx . Le vecteur k Qu est le vecteur de coordonnées ky Exemple 4. Soient M (1 ; 2), N (−3; 1) et P (−1 ; −1) deux points du plan muni d’un repère (O ; I, J). 1 Placer les points R et S tels que : NR = − 2 NM et PS = 1, 5 NM 1 − (−3) 4 NM d’où NM 2−1 1 1 = −2 1 −2 × 4 NR • PS = 1, 5 NM donc PS 2 1, 5 × 4 1, 5 × 1 soit PS -2 J b -0,5 b soit NR −2 NM donc NR 1 1 −2 − ×1 • M b 6 1, 5 ! O b N 1 4 b 1,5 b P 3 S R I 6 1re S1 Annexe A - Vecteurs Remarque. Soient A, B et C trois points tels que AC = k AB , avec k un nombre réel non nul. C est le point de la droite (AB) tel que : Si k > 0, AC = k × AB et les points B et C sont du même côté de A. • 3 C ~ AC Par exemple, AC = 4 AB B b b b A 4 ou AB = 3 AC b ~ AB b Si k < 0, AC = k × AB et les points B et C sont de part et d’autre de A. • ~ AB Par exemple, AC 1 = −3 ~ AC AB C ou AB = −3 AC b b B b b b A 6 Milieu Propriété 7. • Le point I est le milieu de [AB] si, et seulement si, AI = IB ~ AI A I b ~ IB B • 1 Le point I est le milieu de [AB] si, et seulement si, AI = 2 AB ou AB = 2 AI 4 A b ~ AI I b ~ AB b B 1re S1 Annexe A - Vecteurs Exemple 5. Soit K(−5; 2) ; R(6; 4) ; A(−2; −2) et B(3 ; 8). Montrer que le quadrilatère ARBK est un rectangle. • AR (xR − xA ; yR − yA) et AR(6 − (−2); 4 − (−2)) KB (xB − xK ; yB − yK ) KB (3 − (−5); 8 − 2) AR (8 ; 6) KB (8; 6) les vecteurs AR et KB sont égaux donc le quadrilatère AR BK est un parallélogramme . • AK 2 = (xK − xA ; yK − yA) AK 2 = (−5 + 2)2 + (2 + 2)2 AK 2 = 32 + 42 AK 2 = 25 donc AK = 5 √ de la même √ manière, on montre que : AR = 10 et RK = 125 . 2 2 RK = ( 125 ) = 125 AK 2 + AR2 = 52 + 102 = 125 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AKR est rectangle en A . • ARKB est un parallélogramme qui a un angle droit, c’est donc un rectangle. 5