01-Notions de base - Les SII en PTSI PT

PTSI - Mécanique Lycée Rouvière
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3 - N OTIONS DE BASE EN MÉCANIQUE
I. CALCUL VECTORIEL ...................................................................................................................................... 2
1°- L ES VECTEURS ................................................................................................................................ 2
2°- P RODUIT SCALAIRE ......................................................................................................................... 2
3°- P RODUIT VECTORIEL ........................................................................................................................ 3
4°- A PPLICATIONS ............................................................................................................................... 4
II. FORCES ET ACTIONS MÉCANIQUES .............................................................................................................. 5
1°- E FFETS D ’ UNE FORCE ....................................................................................................................... 5
2°- C ARACTÉRISTIQUES D ’ UNE FORCE - ON DEVRAIT DIRE VECTEUR FORCE ! ......................................................... 5
3°- C OORDONNÉES D ’ UNE FORCE ............................................................................................................ 6
4°- A CTIONS À DISTANCE ET ACTIONS RÉPARTIES SUR UNE SURFACE .................................................................. 6
5°- R ÉSULTANTE DE PLUSIEURS FORCES ..................................................................................................... 6
6°- A PPLICATIONS ............................................................................................................................... 8
III. MOMENTS ET COUPLES ............................................................................................................................. 8
1°- U TILITÉ DE LA NOTION DE MOMENT ..................................................................................................... 9
2°- M OMENT SCALAIRE D ’ UNE FORCE ....................................................................................................... 9
3°- L E VECTEUR MOMENT D ’ UNE FORCE ................................................................................................... 10
4°- N OTION DE COUPLE ET DE VECTEUR COUPLE .......................................................................................... 10
5°- A PPLICATIONS .............................................................................................................................. 11
IV. STATIQUE PLANE ...................................................................................................................................... 12
1°- PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE ................................................................................ 12
2°- A PPLICATIONS .............................................................................................................................. 14
V. NOTIONS DE CINÉMATIQUE DES MOUVEMENTS PLANS.............................................................................. 15
1°- M ÉTHODOLOGIE À RETENIR ............................................................................................................. 15
2°- C ENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION .................................................................................................... 15
3°- É QUIPROJECTIVITÉ ......................................................................................................................... 17
4°- C OMPOSITION DES VECTEURS VITESSES ................................................................................................ 18
VI. NOTIONS DE DYNAMIQUE ........................................................................................................................ 19
1°- I NTRODUCTION ............................................................................................................................. 19
2°- C AS D ’ UN SOLIDE EN TRANSLATION RECTILIGNE ...................................................................................... 20
3°- C AS D ’ UN SOLIDE EN ROTATION ......................................................................................................... 20
4°- A PPLICATIONS - S OLIDE EN TRANSLATION ............................................................................................ 21
5°- A PPLICATIONS - S OLIDE EN ROTATION ................................................................................................. 23
Ana 3 - C10 Définitions normalisées
Rés -C 2 Actions mécaniques dans les liaisons, équations de mouvement

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I. Calcul vectoriel
1°- Les vecteurs
A- Addition de deux vecteurs
• Soient deux vecteurs :
U
→
dont un représentant est le bipoint (A,B) et
V
→
dont un représentant est le bipoint
(B,C).
On définit le vecteur somme
W
→
=
U
→
+
V
→
tel qu'un de ses représentant est le bipoint (A,C).
• Si les deux vecteurs sont exprimés en projection sur la même base :
U
U
U
x
U y
z
→=
B
et
V
V
V
x
V y
z
→=
B
les composantes du vecteur somme sont :
U V
U V
U V
X X
W Y Y
Z Z
→
+
= +
+
B
B- Multiplication d'un scalaire par un vecteur
• Un scalaire k est un élément de l'ensemble des réels.
• Soit un vecteur
V
→
dont un de ses représentants est le bipoint (A,B).
• On définit le vecteur
W
→
= k
V
→
tel qu'un de ses représentants est le bipoint (A,C) tel que :
o les bipoints (A,B) et (A,C) aient même direction
o distance AC = k × distance AB
o sens de (A,B) = sens de (A,C) si k est positif et sens de (A,B) ≠ sens de (A,C) si k est négatif
Ici k=2,5
Si
V
V
V
x
V y
z
→=
B
, alors
V
V
V
K.X
k V K.Y
K.Z
→
=
B
2°- Produit scalaire
A. Définition
• A tout couple de vecteurs
(
)
U, V
→ →
, on fait correspondre le scalaire défini par :
s =
U V
⋅
= norme de U . norme de V . cos (
U,V
)
U
→
V
→
A
B
C
A B C
W

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• Si les deux vecteurs sont exprimés en projection sur la même base orthonormée :
U
U
U
x
U y
z
→=
B
et
V
V
V
x
V y
z
→=
B
alors
U.V
→ →
=
U V U V U V
X X Y Y Z Z
+ +
B. Propriétés
o le produit scalaire est nul si :
 l'un des deux vecteurs est nul ou
 les vecteurs sont perpendiculaires
o
U .U
→ →
=
2
2
U U
→ →
=
o Le produit scalaire est symétrique :
U.V
→ →
=
V.U
→ →
o C'est une forme bilinéaire :
(
)
U. V W
→ → →
+ =
U.V U.W
→ → → →
+ et
(
)
U . k V
→ →
=
k U.V
→ →
avec k scalaire
C. Utilisations particulières
• Calcul de la composante scalaire d'un vecteur sur un axe
On cherche x qui est la composante scalaire de
OM
→
sur l'axe horizontal de vecteur unitaire
x
→
:
OH x x
→ →
=
Calculons
OM. x
→ →
OM. x
→ →
=
OM x cos
→ →
α
=
OM cos
→
α
= x
Conclusion : x =
OM.x
• Calcul de l'angle de deux vecteurs
U V
cos
U . V
⋅
α =
défini pour 0 ≤ α ≤ π
3°- Produit vectoriel
A. Définition
Le produit vectoriel de deux vecteurs
U
→
et
V
→
, pris dans cet ordre , est un vecteur noté
W U V
→ → →
= ∧
défini ainsi :
o sa direction est perpendiculaire au plan formé par les
deux vecteurs
o la base
(
)
U,V,W
→ → →
est directe
o sa norme vaut
W
→
=
( )
U V sin U,V
→ →
.
o La valeur de la norme est égale à l'aire colorée.
U
V
O
W
O
M
H
α
x
x
U
V
α

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B. Expression analytique
• Les deux vecteurs sont exprimés en
projection sur la même base orthonormée :
x
U y
z
→=
B
et
a
V b
c
→=
B
x a yc zb
W U V y b za xc
z c xb ya
→ → →
−
= ∧ = ∧ = −
−
B B
B
C. Propriétés
o Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est égal au vecteur nul .
o
(
)
U V W
→ → →
∧ + =
U V U W
→ → → →
∧ + ∧
et
U k V
→ →
∧ =
k U V
→ →
∧
o Il est anticommutatif :
U V
→ →
∧ =
V U
→ →
− ∧
4°- Applications
• Soit un repère R =
(
)
O, x , y , z
→→→
. On donne les coordonnées dans R des points suivants correspondant
respectivement à l'origine et à l'extrémité des vecteurs :
•
1
V
→
: point A
1
: (2, 1, 0) point B
1
: (3, 1, 0)
•
2
V
→
point A
2
: (1, -3, 0) point B
2
: (-2, -1, 0)
•
3
V
→
point A
3
: (1, 1, 0) point B
3
: (3, 2, 0)
•
4
V
→
point A
4
: (-1, 2, 0) point B
4
: (1, 1, 0)
1 Calculer les composantes de chaque vecteur dans la base B associée au repère R.
2 Calculer la norme de chaque vecteur.
3 Calculer la somme de ces quatre vecteurs dans la base B associée au repère R.
4 Écrire les composantes du vecteur unitaire colinéaire à
2
V
→
et de même sens, dans la base B associée au
repère R.
5 Calculez les produits scalaires
1 2
V . V
→ →
et
3 4
V . V
→ →
.
6 Calculez les produits vectoriels
1 2
V V
→ →
∧
et
3 4
V V
→ →
∧
dans la base B associée au repère R .

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II. Forces et actions mécaniques
1°- Effets d’une force
• Le mouvement d'un objet est provoquée par une action, appelée action mécanique.
o La pierre qui tombe parce qu'elle est soumise à l'attraction de la terre.
o La canne de billard frappe la boule qui se met en mouvement.
• Un solide ne se met en mouvement que si une action est exercée sur lui.
• Les actions mécaniques exercées sur un objet peuvent :
o le mettre en mouvement,
o modifier sa trajectoire,
o le déformer.
2°- Caractéristiques d’une force - on devrait dire vecteur force !
• Une force est parfaitement déterminée si l'on connaît :
o la direction selon laquelle elle s'exerce,
o le sens dans lequel elle agit,
o la valeur ( ou intensité ) qui mesure l'effort qu'il faut fournir pour produire une action .
• L’unité est le Newton.
• L’action de contact exercée par le câble 2 sur le support 1 est schématisée par le vecteur force
2 1
A
→
, de point
d’application A, de direction celle du câble, d’intensité 1000 daN, de sens A vers I ( le câble tire sur le support).