chapitre 6

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Nicolas Clatin 2007
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MÉCANIQUE
chapitre 6
Principe fondamental
de la dynamique
La dynamique est née en temps que science avec Galilée (mort en 1642), qui a étudié expérimentalement
la chute libre et le pendule, et correctement identifiés les différents paramètres mis en jeu, en particulier les
frottements. Le principe fondamental de la dynamique, énoncé par Newton en 1687, donne une base théorique
solide à la dynamique, en introduisant le concept de force, et en le reliant à l’accélération du mobile. Jusqu’au 19e
siècle, la mécanique newtonienne n’a jamais été remise en cause, tant ses succès ont été éclatants, en particulier
la prévision par Le Verrier de l’existence de la planète Neptune à partir de la trajectoire d’Uranus.
Plan du chapitre.
1. Énoncé
1.1 Quantité de mouvement
1.2 Énoncé du principe fondamental de la dynamique
1.3 Conséquences
1.4 Cas d’un objet non ponctuel
2. Exemple du tir d’un projectile
2.1 Trajectoire en l’absence de frottement
2.2 Influence de la résistance de l’air
3. Exemple d’un mouvement circulaire
3.1 Étude du mouvement dans le repère tournant
3.2 Forces d’inertie

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1 Énoncé
1.1 Quantité de mouvement
On considère un solide indéformable ponctuel, de masse m, et animé d’une vitesse ~v petite devant celle de
la lumière. La quantité de mouvement de l’objet est par définition la grandeur vectorielle :
~p =m ~v (1)
L’intérêt de cette grandeur est que, contrairement à la masse ou à la vitesse, elle se conserve : c’est un
invariant au cours d’une transformation d’un système physique. Soit par exemple deux boules de masse m1et
m2, animées de vitesses ~v1et ~v2, qui entrent en collision ; leurs vitesses après le chocs sont ~ v′1et ~ v′2.
m1
m2
avant le choc
m1
m2
v1
v2
v1'
v2'
après le choc
La quantité de mouvement du système total se conservant, on a :
~p1+~p2=~ p′
1+~
p′
2⇒m1~v1+m2~v2=m1~
v′1+m2~ v′2(2)
La quantité de mouvement est une grandeur fondamentale en physique des particules ou en relativité, deux
domaines dans lesquels la masse ne se conserve pas lorsque la vitesse est proche de celle de la lumière. Dans le
cadre du programme, la masse des systèmes est supposée constante.
1.2 Énoncé du principe fondamental de la dynamique
Soit un objet ponctuel de masse met de vitesse ~v. Dans le cas où sa masse est constante, la variation
temporelle de sa quantité de mouvement est :
d~p
dt=md~v dt=m~a (3)
Supposons que l’objet précédent soit soumis à un ensemble de forces extérieures dont la somme est ~ Fext. Le
principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton) postule que :
dans un référentiel galiléen, la variation temporelle de la
quantité de mouvement d’un solide ponctuel est égale à la
somme des forces extérieures qui lui sont appliquées.
d~p
dt=md~v dt=m~a =~
Fext (4)
On a vu que l’accélération est la même dans deux référentiels galiléens en translation, donc la somme des forces l’est
aussi ; le principe fondamental de la dynamique est invariant par changement de référentiel galiléen. Dans les référentiels
non galiléens, il faut ajouter des termes supplémentaires, appelés les forces d’inertie.
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1.3 Conséquences
On peut tirer trois conséquences immédiates du principe fondamental de la dynamique. Premièrement, si la
somme des forces appliquées est nulle, on a :
~
Fext =~ 0⇒d~v
dt= 0 ⇒~v =−→
cte (5)
autrement dit, le mouvement est rectiligne uniforme ; on retrouve le principe d’intertie. Inversement, si la
somme des forces extérieures n’est pas nulle, on a :
~
Fext 6=~ 0⇒~v 6=−→ cte (6)
c’est-à-dire que le vecteur vitesse évolue au cours du temps. Cette évolution peut concerner la norme (la valeur
de la vitesse change), la direction (la direction du mouvement change) ou les deux.
D’autre part, si le solide ponctuel est au repos, on a nécessairement :
~v =~ 0⇒~a =~ 0⇒~ Fext =~ 0(7)
c’est-à-dire qu’un solide ne peut être au repos (dans le référentiel d’étude) que si la somme des forces qu’il subit
est nulle. Attention ! cette condition est nécessaire, mais pas suffisante, comme le montre le principe d’inertie.
1.4 Cas d’un objet non ponctuel
On peut montrer que, pour un solide non ponctuel indéformable, de masse totale constante met de centre
de masse G, dans un référentiel galiléen, le théorème du centre d’inertie s’applique :
md~vG
dt=~
Fext (8)
Ce théorème est toujours valable. Dans le cas où aucun mouvement de rotation du sytème n’intervient, le
théorème du centre d’inertie revient à dire que tout se passe comme si la masse totale du solide était concentrée
en un point unique, le centre d’inertie.
D’une façon générale, aucun mouvement de rotation n’est au programme en BCPST. En conséquence, le
théorème du centre d’inertie se confond avec le principe fondamental de la dynamique. L’étude des mouvements
de rotation nécessite l’introduction d’une grandeur supplémentaire, le moment cinétique, dont la variation
temporelle est reliée à la somme des moments des forces appliquées.
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2 Exemple du tir d’un projectile
2.1 Trajectoire en l’absence de frottement
On considère un projectile de masse m, assimilable à un objet ponctuel, lancé avec une vitesse initiale ~v0
faisant un angle αavec le sol, supposé horizontal. On cherche l’équation du mouvement et le lieu de la chute
du projectile.
O
uz
ux
uy
αmg
v
M
v0
2.1.1 Choix du repère
On se place dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Le problème ne présentant ni symétrie cylindrique ni
symétrie sphérique, on raisonne en coordonnées cartésiennes. Afin de simplifier les équations, et sans restreindre
la généralité du problème, on peut choisir comme origine du repère le lieu du tir, c’est-à-dire la position du
projectile à l’instant t= 0. Les coordonnées du système à l’instant initial sont alors :
−−−→
OM0=−→ OO 
x0= 0
y0= 0
z0= 0
(9)
D’autre part, le plan horizontal (celui du sol) va sans doute jouer un rôle particulier. En outre, le vecteur
vitesse initiale ~v0est inclus dans un plan vertical. Il est judicieux de choisir les vecteurs de base de sorte à faire
apparaitre ces plans. On choisit donc par exemple ~uxet ~uydans le plan horizontal et ~uzselon la verticale, de
sorte que ~v0soit dans le plan (~ux, ~uz). La vitesse initiale est alors de la forme :
~v0
vx0=v0cos α
vy0= 0
vz0=v0sin α
(10)
2.1.2 Équation de la trajectoire
Si on néglige les frottements fluides dus à l’air, la seule force appliquée est le poids. Le principe fondamental
de la dynamique s’écrit alors :
m~a =md~v
dt=m~g ⇒d~v dt=~g (11)
Séparons les variables, et intégrons la relation vectorielle entre l’instant initial, pour lequel la vitesse est ~v0,
et un instant quelconque, pour lequel elle vaut ~v. Sachant que ~g est un vecteur constant, on a :
Z~v
~v0
d~v =Zt
0
~g dt=~g Zt
0
dt⇒~v −~v0=~g t ⇒~v =~v0+~g t (12)
Intégrons une deuxième fois pour obtenir le vecteur position en fonction du temps, sachant qu’il est nul à
l’instant initial. Les vecteurs ~v0et ~g étant constant, on a :
d−−→ OM
dt=~v =~v0+~g t ⇒Z−−→
OM
~
0
d−−→ OM = Zt
0
(~v0+~g t) dt=~v0Zt
0
dt+~g Zt
0
tdt⇒−−→ OM = ~v0t+1
2~g t2(13)
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En projetant sur les axes du repère, on en déduit les coordonnées du projectile en fonction du temps :
x=v0cos α t
y= 0
z=v0sin α t −1
2gt2
(14)
Le même résultat peut être obtenu par projection du principe fondamental de la dynamique, suivie de deux
intégrations, suivant chacun des trois axes. Projetons (11) :
ax= dvx/dt= 0
ay= dvy/dt= 0
az= dvz/dt=−g
(15)
Intégrons après séparation des variables et en utilisant la condition initiale (10) :
Zvx
vx0
dvx=Zt
0
0×dt
Zvy
vy0
dvy=Zt
0
0×dt
Zvz
vz0
dvz=Zt
0
−gdt
⇒
vx−vx0= 0
vy−vy0= 0
vz−vz0=−gt
⇒
vx= dx/dt=vx0=v0cos α
vy= dy/dt=vy0= 0
vz= dz/dt=vz0−gt =v0sin α−gt
(16)
Une seconde intégration, en utilisant la condition initiale (9), conduit au système (14) :
Zx
x0
dx=Zt
0
v0cos αdt
Zy
y0
dy=Zt
0
0×dt
Zz
z0
dz=Zt
0
(v0sin α−gt) dt
(17)
Le système (14) constitue le système d’équations paramétriques de la trajectoire : (x(t), y(t), z(t)). L’équation
cartésienne s’obtient en éliminant le temps entre les trois équations, ce qui se fait en exprimant ten fonction de
xet en reportant dans l’expression de z:
t=x
v0cos α⇒z=xtan α−g 2v2
0cos2αx2(18)
Ceci est l’équation d’une parabole concave d’axe vertical ; le mouvement est donc parabolique. En outre, il
se déroule dans le plan (O, ~ux, ~uz).
O
uz
ux
uy
v0
α
vz > 0
xP
xS
ySS
vz < 0
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