ASINSA 1ère année TD de physique ASINSA 1ère année Edition 2000-2001 z B y I r j A r k F J F J α x ’ y J ’ F' J ’ C x ’ I ’ r i r i F' x y ’ D y ’ z’ Textes sélectionnés par P. MASSON, N. GODIN, A. DELMAS INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON ASINSA – 1ère année x ASINSA – 1ère année TD de Physique 2 ASINSA – 1ère année TD de Physique Références bibliographiques Electricité partie I : Electrostatique – polycopié de cours du département du premier cycle, 1ère année. M Lambinet Electromagnétisme, collection H prépa, édition Hachette, ISBN 2.01.14.5078.0, J.M. Brébec, P. Denevé Electromagnétisme I, Collection j’intègre, édition Dunod, ISBN 2.10.003101.5, J.P. Faroux, J. Renault Electromagnétisme, fondement et applications, édition Masson, ISBN 2.225.83037.1, J.P. Pérez, R. carles, R. Fleckinger 3 ASINSA – 1ère année TD de Physique 4 ASINSA – 1ère année TD de Physique Sommaire Calculs vectoriels N°1.................................................................................................................. 14 Calculs vectoriels N°2.................................................................................................................. 16 Unités – Equations aux dimensions N°1 .................................................................................... 17 Unités – Equations aux dimensions N°2 .................................................................................... 19 Unités – Petites variations, Incertitudes N°1............................................................................. 20 Unités – Petites variations, Incertitudes N°2............................................................................. 21 Unités – Petites variations, Incertitudes N°3............................................................................. 23 Géométrie des masses (intégrales simples) N°1 ......................................................................... 24 Géométrie des masses (Moments et centre d’inertie) N°2.......................................................... 25 Statique des fluides N°1 .............................................................................................................. 27 Statique des fluides N°2 .............................................................................................................. 29 Statique du solide N°1................................................................................................................. 31 Statique du solide N°2................................................................................................................. 33 Energie et travail N°1 ................................................................................................................. 34 Energie et travail N°2 ................................................................................................................. 36 Optique géométrique N°1............................................................................................................ 37 Optique géométrique N°2............................................................................................................ 39 Optique géométrique N°3............................................................................................................ 41 Optique géométrique N°4............................................................................................................ 42 Optique géométrique N°5............................................................................................................ 43 Système centré N°1 ..................................................................................................................... 44 Système centré N°2 ..................................................................................................................... 46 Lentilles minces N°1 ................................................................................................................... 48 Lentilles minces N°2 ................................................................................................................... 50 Doublets N°1................................................................................................................................ 51 Doublets N°2................................................................................................................................ 53 Doublets N°3................................................................................................................................ 54 Electrostatique N°1 ..................................................................................................................... 55 Electrostatique N°2 ..................................................................................................................... 56 Electrostatique N°3 ..................................................................................................................... 57 Electrostatique N°4 ..................................................................................................................... 59 Electrostatique N°5 ..................................................................................................................... 61 Electrostatique N°6 ..................................................................................................................... 62 Electrostatique N°7 ..................................................................................................................... 64 Electrostatique N°8 ..................................................................................................................... 65 Electrostatique N°9 ..................................................................................................................... 67 5 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°10 ................................................................................................................... 69 Electrostatique N°11 ................................................................................................................... 70 Electrocinétique N°2.................................................................................................................... 72 Electrocinétique N°3.................................................................................................................... 73 Electrocinétique N°4.................................................................................................................... 75 MODULE ″GRANDEUR PHYSIQUES″..................................................................................... 77 Interrogation n°1 ......................................................................................................................... 77 MODULE ″GRANDEUR PHYSIQUES″..................................................................................... 79 Interrogation n°2 ......................................................................................................................... 79 MODULE ″GRANDEUR PHYSIQUES″..................................................................................... 81 Interrogation n°3 ......................................................................................................................... 81 MODULE ″ELECTROMAGNETISME″ ..................................................................................... 83 Interrogation n°1 ......................................................................................................................... 83 MODULE ″GRANDEUR PHYSIQUES″..................................................................................... 85 Devoir de synthèse n°1 ................................................................................................................ 85 6 ASINSA – 1ère année TD de Physique Unités de mesures Grandeur Nom UNITES SI Sym- Valeur en unité de base bole MULTIPLES SI ou autres unités usuelles Nom Symbole Valeur en SI Unités énergétiques Température Energie (travail ou chaleur) joule Quantité de rayonnement ionisant absorbé par unité de masse Puissance watt J W m2.kg.s −2 (newton mètre) m2.kg.s−3 (joule par seconde) m2.kg.s−2.K−1 (joule par kelvin) m2.kg.s−2.K−1 (joule par kelvin) Entropie Capacité calorifique degré Celsius °C erg cal 1° = 1 K (yK = 273,15 + x°C) (zK = 273,15 + 5/9 [x°F – 32]) 10 −7 J 4,1840 J degré Fahrenheit erg calorie (thermochimique) calorie IT kilocalorie wattheure kilowattheure thermie chevalheure British Thermal Unit électronvolt frigorie °F cal kcal Wh kWh th cvh BTU 4,1868 J 4184 J 3600 J 3,6 106 J 4,18 106 J 2,648 106 J 1,055 103 J ev rad 1,602 10−19 J 4180 J (enlevés) 10−2 J.kg−1 cheval-vapeur cv frigorie par heure clausius Cl 735,5 W 1,161 W (enlevés) 4,18 J.K−1 Unités optiques −2 Luminance Flux lumen lumineux Eclairement lux Vergence des dioptrie systèmes optiques lm lx δ par stilb sb 104 cd.m−2 phot m−2.cd.sr m−1 (vergence d’un système de distance focale de 1 m dans un milieu d’indice de réfraction égale à 1) ph 104 lx m .cd (candela mètre carré) cd.sr 7 ASINSA – 1ère année Grandeur TD de Physique Nom UNITES SI SymValeur en unité bole de base MULTIPLES SI ou autres unités usuelles Nom Symbole Valeur en SI Unités géométriques Longueur Surface mètre carré m2 Volume mètre cube m3 Angle plan radian Rad angström micron inch = pouce foot = pied yard mille marin année lumière unité astronomique Surface d’un carré barn de 1 m de côté are hectare Volume d’un cube litre de 1 m d’arête tonneau de mer tonneau de jauge gallon US barril US Angle au centre degré interceptant un minute arc de cercle égal sexagésimale à la longueur du seconde rayon sexagésimal grade Angle solide stéradian sr Å (ou A) µ (ou µm) in ft yd al UA b a ha l gal bbl d ou ° ‘ ‘’ gr 10 −10 m 10 −6 m 0,0254 m 0,3048 m 0,9144 1852 m 9,461 10 −15 m 1,496 10 −11 m 10 −28 m2 100 m2 10000 m2 10 −3 m3 1,44 m3 2,832m3 3,785 10 −3 m3 0,159 m3 0,01745 rad 2,91 10 −4 rad (360° → 2π rad) 4,85 10 −6 rad (60’ → 1°) 0,0157 rad (60’’ → 1’) Angle solide interceptant un arc de cercle égale à la longueur du rayon Unités mécaniques Fréquence hertz Hz curie Masse Ci carat Gal kgf 1,66053 10 −27 kg (1/12 de la masse du carbone 12) 10 −2 ms−2 9,80665 N dyn 10 −5 N bar kgf.cm−2 105 Pa 0,980665 105 Pa atm. 1,01325 105 Pa Torr 133,3 Pa (mm Hg) (760 Torr = 1 atm) unité de masse u atomique Accélération Force newton Contrainte et pascal pression gal kilogrammeforce dyne N Pa bar kilogrammeforce par centimètre carré atmosphère normale torr 8 3,7 1010 s−1 (désintégration d’un nucléide par seconde) 2 10 −4 ASINSA – 1ère année Grandeur TD de Physique Nom UNITES SI SymValeur en unité bole de base MULTIPLES SI ou autres unités usuelles Nom Symbole Valeur en SI Unités mécaniques (suite) Tension superficielle Viscosité dynamique Viscosité cinématique poiseuille Pl kg.s −2 (newton par dyne par cm mètre, ou joule par m2) m −1.kg.s −1 (pascal par poise seconde) stokes m2.s −1 10 −3 kg.s −2 Po 10 −1 Pl St 10 −4 m2.s −1 Unités électriques Quantité d’électricité Tension ou différence de potentiel Capacité électrique Résistance électrique Conductance coulomb C s.A volt V farad F ohm Ω siemens S m−2.kg−.s−3.A−1 (watt par ampère ou joule par coulomb) m−2.kg−1.s4.A2 (coulomb par volt) m2.kg.s−3.A−2 (volt par ampère) mho m−2.kg−1.s3.A2 (ampère par volt ou Ω−1) m.kg.s−3.A−1 (volt par mètre) m−2.s.A (coulomb par m2) m−3.kg−1.s4.A2 Champ électrique Déplacement électrique Permittivité Champ magnétique Induction magnétique Flux d’induction magnétique Inductance Perméabilité magnétique Tesla T wéber Wb henry H m−1.A (ampère par mètre) kg.s−2.A−1 (wéber par m2) m2.kg.s−2.A−1 (voltseconde) m2.kg.s−2.A−2 (wéber par ampère) m.kg.s−2.A−2 (henry par mètre) 9 maxwell 1S Mx 10−8 Wb ASINSA – 1ère année TD de Physique Coordonnées Coordonnées cartésiennes de M : x, y, z Oxyz est un trièdre orthonormé direct : la plus petite rotation qui amène Ox sur Oy se fait dans le sens trigonométrique direct autour de Oz : r r r OM = x i + y j + zk z K θz θx r i M si OM fait avec les axes, les angles θx, θy, θz, les cosinus θy r k ( ) r u r O j y directeurs de OM sont α = cos(θ x ) , β = cos θ y , γ = cos(θ z ) . r Ce sont les composantes du vecteur unitaire u . α 2 + β2 + γ 2 = 1 x Coordonnées cylindriques de M : ρ, θ, z z ρ ≥ 0 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , − ∞ < z < +∞ K Relations avec les coordonnées cartésiennes : M r y O ρ ϕ x r k x = ρ cos(ϕ) y = ρ sin (ϕ) z=z r m H nr Coordonnées sphériques de M : r, θ, ϕ r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π z r u K θ M Relations avec les coordonnées cartésiennes : r r w v r O r w ϕ y x = r sin (θ) cos(ϕ) y = r sin (θ) sin (ϕ) z = r cos(θ) H x 10 ASINSA – 1ère année TD de Physique Primitives particulière de quelques fonctions courantes Fonctions Primitives Fonctions Primitives x m , m ≠ −1 x m +1 m +1 1 x ln x cos x sin x sin x − cos x ex ex ax ,a > 0 ax ln a chx shx shx chx 1 tan x 1 − cot anx sin 2 x cos 2 x thx 1 2 sh x ch x 1 sin x ln tan 1 1− x 2 1− x x 2 1 1+ x ln 2 1− x x π ln tan( + ) 2 4 1 arctan x 2 arg shx 1 2 1 1 cos x 1+ x arcsin x 1 − coth x 1 2 1+ x signe ( x ) arg ch x 2 x −1 M est un paramètre réel 11 2 ASINSA – 1ère année TD de Physique Fonctions trigonométriques Valeurs particulières 0 sin x 0 cos x 1 tan x 0 π 6 1 2 3 2 3 3 π 4 2 2 2 2 π 3 3 2 1 2 π 2 1 3 ∞ 1 sin(x) x 0 0 Relations tan x = 1 2 cos 2 x + sin 2 x = 1 sin x cos x 1 = 1 + tan 2 x 2 cos x sin cos sin x -x π−x -sin(x) cos(x) sin(x) -cos(x) π −x 2 cos(x) sin(x) π 2 cos(x) -sin(x) x+ Formules d’additions sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b tan(a + b) = tan a + tan b 1 − tan a tan b sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b tan(a − b) = tan a − tan b 1 + tan a tan b 12 =1+ 1 tan 2 x x + nπ (-1)n sin(x) (-1)n cos(x) x cos(x) tan(x) 1 1 ASINSA – 1ère année TD de Physique Relations avec l’arc double sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a sin 2 a = 1 (1 − cos 2a ) 2 cos 2 a = 1 (1 + cos 2a ) 2 sin 2a = 2 tan a cos2a = 2 1 + tan a 1 − tan 2 a 2 tan2a = 1 + tan a Transformation de produits en sommes sin p + sin q = 2 sin p+q p−q cos 2 2 cos p + cos q = 2 cos sin p − sin q = 2 sin p+q p−q cos 2 2 p−q p+q cos 2 2 cos p − cos q = −2 sin p−q p+q sin 2 2 13 2 tan a 1 − tan 2 a ASINSA – 1ère année TD de Physique Calculs vectoriels N°1 Exercice I : Opérations élémentaires r r r On considère dans le repère (O, i , j , k ) les vecteurs : r r r V1 = 2 i + 3 j − k r r r V2 = 3 i − 2 j + 2k r r r V3 = 4 i − 3 j + 3k (I.1) I.1. Calculer la norme des vecteurs V1 , V2 et V3 . I.2. Calculer les composantes et les normes des vecteurs A et B définis par : A = V1 + V2 + V3 B = V1 + V2 − V3 (I.2) r I.3. Déterminer l’unitaire u du vecteur C défini par : (I.3) C = V1 + 3V2 I.4. Calculer le produit V1 .V2 I.5. Déterminer les composantes du produit V1 ∧ V2 Exercice II : Angle de deux vecteurs Soient les points A1 (1, 1, 1), A2 (2, 2, 1) et A3 (2, 1, 0). Calculer l’angle ( A 1 A 2 , A 1 A 3 ) compris entre 0 et π. Exercice III : Produit scalaire III.1. Démontrer que dans un triangle quelconque ABC on a la relation suivante : AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2.AB.BC cos( B̂) (III.1) III.2. Démontrer la relation suivante : cos( α − β) = cos( α ). cos(β) + sin( α ). sin(β) (III.2) III.3. Démonter que deux vecteurs de norme V faisant un angle θ vérifient ces deux relations : V + V = 2V cos( θ / 2) 2 1 V1 − V2 = 2V sin( θ / 2) (III.3) 14 ASINSA – 1ère année TD de Physique Exercice IV : r r r L’espace est rapporté au repère orthonormé (O, i , j , k ) et on donne les vecteurs : r r r r u = − i + j − 2k r r r v = j − k (III.4) On recherche les vecteurs e1 , e 2 , e3 (″unitaires″ de norme égale à 1) de la base ( e1 , e 2 , e3 ) orthonormée directe. r r IV.1. On pose e1 = λu (λ est un réel positif). Comparer les directions et sens de e1 et u . r r r Calculer λ et en déduire e1 dans la base ( i , j , k ) . r r r r IV.2. On pose e 2 = au + bv (a et b sont des réels). e 2 est orthogonal à u et e 2 .v >0. Que peutr r r r r on dire des vecteurs e 2 , u , v ? Calculer a et b. En déduire e 2 dans la base ( i , j , k ) . r r r IV.3. Exprimer e3 dans la base ( i , j , k ) . 15 ASINSA – 1ère année TD de Physique Calculs vectoriels N°2 Exercice I : Z r k r i r j O M r r r L’espace est rapporté au repère orthonormé (O, i , j , k ) . Y I.1. Un point M situé sur la sphère (S) de centre O et de rayon R est repéré par les angles ϕ et λ. Soit M0 la projection orthogonale de M sur le plan (xOy). On note : (Ox, OM 0 ) = ϕ (OM 0 , OM) = λ λ ϕ X M0 Figure I.1. Exprimer, en vous aidant de la figure (I.1.), OM dans la r r r base ( i , j , k ) . I.2. On considère deux points M1(λ1, ϕ1) et M2(λ2, ϕ2) situés sur la sphère (S). Montre que : cos(OM1 , OM 2 ) = cos(λ1 ). cos(λ 2 ). cos(ϕ1 − ϕ2 ) + sin( λ1 ). sin( λ 2 ) Exercice II : Produit mixte Dans une base orthonormée ( e1 , e 2 , e3 ) , on considère les trois vecteurs : u = e1 + e 2 − e3 v = 2e1 − e 2 + e 3 w = e1 − 2e 2 − e3 Calculer le produit mixte ( u, v, w) . Quelle est sa signification géométrique ? Exercice III : Moment d’un vecteur r v r r r r Dans un repère orthonormé (O, i , j , k ) , on considère les trois vecteurs liés ( A , u) , ( B, v ) , (C, w) r r r avec A(2, 1, 0), B(-1, 1, 2), C(3, 0, 2) et u (1, 1, 1), v (1, -1, 0), w (-2, -3, 1). III.1. Calculer les moments des trois vecteurs liés par rapport à O. III.2. Calculer la résultante générale des trois vecteurs et le moment résultant en O III.3. Soit un axe ∆ passant par les deux points P(2, 1, 2) et Q(5, -3, 2) et dirigé par le vecteur PQ . Calculer les moments par rapport à ∆ des trois vecteurs liés. Rappel 1 : Moment par rapport à un point Soit un vecteur lié ( A , U ) et P un point quelconque. On appelle moment du vecteur lié par rapport au point P, le vecteur suivant : M / P = PA ∧ U Rappel 2 : Moment par rapport à un axe r Soit un axe ∆ passant par un point P et dirigé par le vecteur unitaire e , on appelle moment du vecteur ( A , U ) par rapport à l’axe ∆, le scalaire suivant : r r M / ∆ = M / P .e = ( PA , U,e) 16 ASINSA – 1ère année TD de Physique Unités – Equations aux dimensions N°1 Exercice I : Unités I.1. Dans le système SI, les grandeurs fondamentales sont : L, M, T, I et θ (longueur, masse, temps, intensité de courant, température thermodynamique). Système SI Système CGS Unité de longueur : m Unité de masse : kg Unité de temps : s Unité de longueur : cm Unité de masse : g Unité de temps : s I.1.1. Quel est le rapport des unités de forces du système CGS et SI ? I.1.2. Même question pour la pression. I.2. Dans le système MKpS, les grandeurs fondamentales sont : L, F, T) soit (longueur, force, temps). I.2.1. L’unité de force est le kgf dans le système MKpS. Le kgf correspond à une force agissant sur une masse de 1 kg placée dans le champ de l pesanteur. Combien vaut-il de newton (N) et de dyne (dyn) ? Un dyne correspond à 10-5 N. I.2.2. L’unité de masse du système MKpS est une unité dérivée. Quelles sont dans ce système les dimensions de la masse ? I.2.3. L’unité de travail est le kgm. Quelles sont, dans ce système, les dimensions de travail ? I.2.4. Etablir la correspondance entre le kgm, le joule (N.m) et l’erg (dyn.cm). Exercice II : Analyse dimensionnelle On considère des systèmes cohérents d’unités électriques admettant la base L, M, T, I (longueur, masse, temps, intensité de courant) pour l’écriture des équations aux dimensions. II.1. En utilisant des définitions ou des relations vues dans les années antérieures, former les équations aux dimensions des grandeurs électriques suivantes : • • • • • Quantité d’électricité (ou charge électrique), Q Différence de potentiel (ou tension ou force électromotrice), U Résistance, R Capacité d’un condensateur, C Inductance propre, L II.2. Former les équations aux dimensions : • Du produit [RC] • L Du rapport R II.3. Déterminer l’équation aux dimensions de la grandeur ε0 (permittivité du vide). ε0 est introduit en électrostatique dans la loi de coulomb : f= 1 qq' 4 πε 0 r 2 (II.1) 17 ASINSA – 1ère année TD de Physique C Chercher la dimension du rapport . Est ce que ce résultat était prévisible d’une autre ε0 manière ? II.4. Un condensateur de capacité C, préalablement chargé, est réuni à une bobine d’inductance propre L et résistance négligeable. Il apparaît alors, au niveau du circuit, des oscillations électriques de période T0. On admet une relation de la forme : (II.2) T0 = kLα Cβ où k, α et β sont des constantes (sans dimensions). Déterminer la valeur des exposants rationnels α et β. Exercice III : Analyse dimensionnelle Soit l’expression : V= g λ A 2π + . 2π ρ λ (III.1) o ù V est la vitesse, λ une longueur d’onde, g l’accélération de la pesanteur, ρ la masse volumique et A une tension superficielle. Donner l’équation aux dimensions fondamentales (L, M, T) de la tension superficielle. 18 ASINSA – 1ère année TD de Physique Unités – Equations aux dimensions N°2 Exercice I : Définition d’unités nouvelles On considère un système cohérent d’unités mécaniques (S) dans lequel les unités de base sont : l’unité de temps égale à la seconde, l’unité de masse égale au gramme, l’unité d’accélération mesurée en unités SI par le nombre 9,81 (g) I.1. Définir l’unité de force de ce système (S) et donner sa valeur en newtons. I.2. Définir l’unité de longueur de (S) et donner sa valeur en mètres. I.3. Déterminer la valeur de l’atmosphère (pression atmosphérique normale) en unité (S) avec trois chiffres significatifs. Exercice II : Quelques autres unités II.1. La trajectoire de la terre autour du soleil a un rayon a = 1,49.1011 m = 1 Unité Astronomique (UA). Pour repérer la distance r = SE (figure (II.1)) d’une étoile au soleil, on ∩ mesure l’angle T1 ET2 = 2θ. En fait on mesure les angles α et β puis on calcul θ = ( π − α − β) 2 . L’angle θ est la parallaxe stellaire et l’on a θ = a/r (θ en radians). On définit le parsec (contraction de parallaxe-seconde) comme la distance r0 correspondant à θ0 = 1’’. E Figure II.1. 2θ β α T1 S T2 II.1.1. Calculer la valeur de 1 parsec en mètres, années lumière et en unités astronomique. II.1.2. L’étoile la plus proche de nous (Proxima Centauris) a pour parallaxe θ = 0,82’’. Calculer sa distance au soleil. II.1.3. Quelle forme prend la relation liant θ et r lorsque θ est exprimé en secondes d’angle et r en parsec ? II.2. L’unité de masse atomique (uma) est définie de la façon suivante : l’isotope du carbone 12 6C est un atome dont la masse est égale à 12 uma. Calculer en kg la valeur de 1 uma. On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro : N = 6,022.1023. 19 ASINSA – 1ère année TD de Physique Unités – Petites variations, Incertitudes N°1 Exercice I : Effet de couche mince sphérique, cylindrique ou conique On rappelle les expressions des volumes suivants : 4 • La sphère : V = πR 3 (R est le rayon) 3 • Le cylindre : V = πR 2 L (R est le rayon et L la longueur) π (2R )2 h = 1 πR 2 h (R est le rayon et h la hauteur) • Le cône : V = 12 3 I.1. En appliquant d’abord la notion d’accroissement fini, déterminer le volume d’une couche sphérique de rayon R et d’épaisseur δR. Retrouver ce résultat en appliquant la notion de différentielle. I.2. Un solide a la forme d’un cylindre d’une longueur L et de rayon R. I.2.1. Déterminer le volume d’une couche cylindrique de rayon R et d’épaisseur δR, constituant un manchon cylindrique de rayons R et R + δR (avec R >> δR). I.2.2. Sachant que le coefficient de dilatation linéaire du matériau est α, exprimer la variation relative du volume de ce solide lorsque la température augmente de δθ. I.3. Un cône a pour rayon du cercle de base R, pour hauteur h. Déterminer la variation relative de son volume lorsque R varie de δR et h de δh. Exercice II : Variation de la capacité d’un condensateur cylindrique avec la température La capacité d’un condensateur cylindrique est donnée par la formule suivante : C= 2πε 0 h >0 R2 log R1 (II.1) où h est la longueur de ce condensateur. R1 et R2 sont respectivement les rayons des cylindres coaxiaux constituant les armatures internes R1 et externe R2. Ces armatures sont réalisées en matériaux conducteurs de même nature (même coefficient de dilatation linéaire). II.1. Montrer que si R2 = R1 + e avec e << R1, l’expression de la capacité peut se mettre sous la forme : S (II.2) C = ε0 e où S est la surface de l’armature interne. II.2. Une variation de la température, δθ, provoque une variation des dimensions. Déterminer la variation correspondante de la capacité. Exercice III : Résistances en parallèles On monte en parallèle deux résistances R1 et R2. Donner l’expression de la résistance équivalente. Calculer l’incertitude relative et absolue sachant que R1 et R2 sont connues à 10 % près. A.N. (Application Numérique) : R1 = 2200 Ω et R2 = 120 Ω 20 ASINSA – 1ère année TD de Physique Unités – Petites variations, Incertitudes N°2 Exercice I : Indice de réfraction L’indice de réfraction n d’une substance, déterminée à l’aide du réfractomètre de Pulfrich (figure (I.1.)), est donné par la relation : n = N 2 − sin( α ) 2 (I.1) N est l’indice de réfraction du prisme rectangulaire du réfractomètre. α est l’angle d’émergence Calculer l’incertitude relative et absolue sachant que : N = 1,626 ± 0,001 et α = 60°00’ ± 1’ n Figure I.1. Réfractomètre de Pulfrich N α Exercice II : Indice de réfraction de l’air Une détermination de l’indice de réfraction n de l’air utilise la relation suivante : p = (n − 1) l λ (II.1) p est le nombre d’interfranges, l est une certaine longueur et λ désigne la longueur d’onde de la lumière utilisée. Soit une expérience donnant les résultats suivants : • • • = 0,6104 µm (connue sans erreur appréciable) p = 96 ± 1 l = 200 ± 1 mm Calculer l’indice n, la précision avec laquelle il est déterminé ainsi que les limites entres lesquelles il est compris. Exercice III : La tour Eiffel l La tour Eiffel (figure (III.1.)), de hauteur h, supporte un mât vertical de hauteur l qui se projette en H sur le plan horizontal du pied de la tour. D’un point A de ce plan, situé à la distance a de H, on voit le mât sous l’angle θ. θ h α A H Figure III.1. Schéma de la Tour Eiffel. 21 ASINSA – 1ère année TD de Physique III.1. Exprimer l en fonction de a, h et θ. Il sera utile d’introduire puis d’éliminer l’angle α indiqué sur la figure (III.1.). III.2. On connaît a et h sans erreur appréciable et plus généralement on néglige toute erreur autre que celle commise sur θ que l’on évalue avec l’incertitude relative ∆θ / θ . Calculer l’incertitude relative et absolue commise dans le mesurage indirect de l. III.3. Vérifier que l’on peut écrire : (h + l )2 ∆θ ∆l = a + a (III.1) On fixe ∆θ. Exprimer en fonction de h et de l la valeur qu’il faut prendre pour a, afin que le mesurage indirect de l décrit précédemment soit le moins imprécis possible. III.4. On donne h = 20 m et ∆θ = 0,5 degré. On réalise trois mesurages pour a = 10 m, a = 32 m et a = 75 m. L’expérience donne respectivement θ =9°, θ = 13 ° et θ = 8°. III.4.1. Dans chacun de ces trois cas, déterminer le domaine d’incertitude. Quelle est la compatibilité des 3 domaines obtenus ? III.4.2. Les résultats sont-ils conformes à la réponse finale de la question III.2. ? 22 ASINSA – 1ère année TD de Physique Unités – Petites variations, Incertitudes N°3 Exercice I : Indice de réfraction Sur une sphère de diamètre D, on a tracé un cercle de diamètre C (C<D) qui partage la sphère en deux. On appelle h la hauteur de la plus petite calotte sphérique (figure (I.1)). I.1. Monter que h peut s’exprimer selon l’expression suivant : h= 1 2 2 D − D − C 2 (I.1) I.2. D et C sont mesurés directement avec le même pied à coulisse. L’incertitude absolue sur D et C est notée ε = ∆D = ∆C. En supposant qu’il n’y a pas d’autres erreurs que celles qui proviennent des mesurages de D et C, exprimer l’incertitude absolue ∆h. I.3. Donner l’expression de l’incertitude relative sur h I.4. Application numérique : On prend D = 120,0 mm, C = 80,0 mm et ε = 0,1 mm. Calculer ∆h et h. I.5. Si on avait coupé la sphère suivant le cercle C de façon extrêmement soignée et mesuré directement h avec le même pied à coulisse que précédemment, aurait-on eu une meilleure précision que par le calcul précédent ? P h Figure I.1. D O C Exercice II : L’ellipse Une ellipse a pour centre O, pour grand axe (A’A) tel que (A’A) = 2a et pour petit axe (B’B) = 2b. Etant donné un point M quelconque de l’ellipse, on note : ∩ OM = OM = r et AOM = θ II.1. Rappeler l’équation cartésienne de l’ellipse et démonter que : r = ab 1 + tg 2 ( θ) (II.1) b 2 + a 2 tg 2 ( θ) II.2. On mesure la longueur des deux axes avec la même incertitude relative ε, et on connaît θ avec une incertitude absolue ∆θ. Exprimer l’incertitude qui en résulte sur r en fonction de a, b, θ, ∆θ et ε. A.N. : 2a = 400 ± 2 mm, 2b = 200 ± 1 mm, ∆θ = 30’ pour θ = 45° 23 ASINSA – 1ère année TD de Physique Géométrie des masses (intégrales simples) N°1 Remarque : Si, lorsqu’on coupe un solide par un plan z = constante, on sait calculer la surface S(z) de cette intersection, le volume du solide est donné par : V= ∫ Zmax (R.1) S(z )dz Zmin Cette formule permet, pour tous les solides de révolution (où S(z) = πr2(z)), de ramener les calculs de volume à des intégrales simples. Exercice I : Volume d’un cône Retrouver l’expression du volume V d’un cône de révolution plein et homogène de hauteur h, le rayon de la base étant R. L’expression de ce volume est : V= πR 2 h 3 (I.1) On cherchera à calculer ce volume à partir de deux méthodes différentes, c’est-à-dire deux volumes élémentaires différents. Exercice II : Volume d’une sphère Calculer le volume d’une sphère de rayon R. On donnera les différents volumes élémentaires d’intégration. Exercice III : Application de l’exercice II au calcul de la masse de la terre La terre est considérée comme une sphère (S) de circonférence 40 000 km. Sa masse volumique ρ dépend de la distance r au centre par la relation : r 2 ρ = ρ 0 1 − α R 2 (III.1) avec α = 0,723 et ρ0 = 9,75 gcm-3. Exercice IV : Calculs sur une sphère Calculer la surface d’une sphère de rayon R. Calculer l’aire d’une zone sphérique comprise entre θ = θ1 et θ = θ2. 24 ASINSA – 1ère année TD de Physique Géométrie des masses (Moments et centre d’inertie) N°2 Exercice I : I.1. Calculer le moment d’inertie d’un cylindre plein et homogène par rapport à son axe I.2. On considère un cylindre de hauteur h et de rayon R dont la masse volumique ρ est une fonction de la distance au plan de base z = 0 par la relation : z 2 ρ = ρ 0 1 − k h 2 (I.1) où k est une constante. I.2.1. Calculer la masse M du cylindre I.2.2. Calculer son moment d’inertie J par rapport à son axe(z’oz) I.2.3. Calculer la position du centre d’inertie G par rapport à z = 0 Exercice II : On considère un cône plein homogène de masse volumique ρ, de hauteur h et de rayon de base R. Montrer que le moment d’inertie de ce cône par rapport à son axe de révolution ∆ est : J∆ = 1 ρπhR 4 10 (II.1) Exercice III : Soit une sphère pleine homogène de rayon R et de masse M. III.1. Montrer que le moment d’inertie J∆ de la sphère par rapport à un des axes de révolution est : J∆ = 2 MR 2 5 (III.1) III.2. Montrer que le moment d’inertie J∆ de la sphère par rapport à un des plans médians est : JP = MR 2 1 = J∆ 5 2 (III.2) Exercice IV : Une plaque homogène, d’épaisseur constante a, a la forme d’un demi disque de centre O de rayon R. Déterminer la position de son centre d’inertie G et en déduire la position de celui des centres d’inertie G1 et G2 des deux ¼ de disque. Exercice V : ∩ ∩ Un arc AB , pris sur un cercle de centre O et de rayon R, a pour angle au centre AOB = 2α (figure (V.1)). On appelle Oy la bissectrice (intérieur) de ( OA , OB ). On considère les quatres solides suivants : 25 ASINSA – 1ère année • TD de Physique (S1) est un fil homogène très fin dont la section est constante et qui épouse la forme ∩ de l’arc AB . La masse du fil est M1. • (S2) est une plaque homogène plane d’épaisseur constante est très faible délimitée ∩ par l’arc AB et les rayon OA et OB. Sa masse est M2. • (S3) est une plaque homogène plane d’épaisseur constante est très faible et qui a la ∩ forme de la calotte sphérique engendrée par la rotation de l’arc AB autour de Oy. Sa masse est M3. • (S4) est un segment sphérique homogène ayant une base limité par la calotte sphérique précédente. Sa masse est M4. Les données étant α, R et les masses (M1, M2, M3 et M4), déterminer pour chacun des solides : IV.1. La position du centre d’inertie (G1, G2, G3 et G4). IV.2. Le moment d’inertie par rapport à Oy (J1, J2, J3 et J4). 26 ASINSA – 1ère année TD de Physique Statique des fluides N°1 Exercice I : Forces de pression s’exerçant sur la porte d’une écluse Une porte d’une écluse de largeur l retient de l’eau, supposée incompressible, de masse volumique ρ. On appelle g l’accélération de la pesanteur en ce lieu. La hauteur de l’eau en amont est égale à H et celle en aval h (Figure (I.1.a et b)). I.1. Calculer à l’équilibre la résultante des forces de pression s’exerçant sur cette porte. I.2. Déterminer la position du centre de poussée. A.N. : H = 6 m, h = 2 m, g = 9.81 ms-2, ρ = 103 kg m-3 I.3. Calculer F et OP. z écluse B (ρ) y amont l/2 H h ex 0 D a l/2 (ρ) C B g A H z A D x ez 0 ey C b aval Figure I.1.a Figure I.1.b Exercice II : Résultante des forces de pression sur une sphère complètement immergée Une sphère solide, de rayon R, est totalement immergée dans un liquide de masse volumique ρ (Figure (II.1)). Exprimer la résultante des forces de pression qui s’exercent sur la surface de ce solide. z (ρ) Ho ez g ex Figure II.1 ey 0 y R x Exercice III : Résultante des forces de pression sur une demi-sphère Un récipient demi-sphérique d’axe vertical et de rayon R (Figure (III.1)) est rempli d’un liquide incompressible de masse volumique ρ. Calculer la résultante des forces s’exerçant sur le récipient. 27 ASINSA – 1ère année TD de Physique R (ρ) Figure III.1 g z Exercice IV : Résultante des forces de pression sur un récipient tronconique de révolution Un récipient mince, tronconique de révolution, a pour fond un disque horizontal de rayon R, l’ouverture est circulaire et de rayon R0, la hauteur du récipient est h. Il est rempli complètement d’un liquide de masse volumique ρ. Le récipient est suspendu de telle sorte que l’air baigne toute la surface extérieure et la surface du liquide. On appelle g l’accélération de la pesanteur due à la pesanteur et on néglige les variations de la pression atmosphérique avec l’altitude. IV.1. Déterminer le support, le sens et le module F de la force pressante F subie par le fond horizontal du récipient. IV.2. Déterminer le support, le sens et le module M de la résultante M des forces pressantes sur l’ensemble des parois du récipient. IV.3. Déterminer le support, le sens et le module F’ de la résultantes F' des forces pressantes subies par la paroi latérale tronconique du récipient IV.3.1. En utilisant les résultats des questions précédentes. IV.3.2. Par intégration directe des forces élémentaires. A.N. : calculer F, R, F’ pour B = 10 cm, b = 5 cm, h = 20 cm, ρ = 1 gcm-3 et g = 9.8 ms-2 28 ASINSA – 1ère année TD de Physique Statique des fluides N°2 Exercice I : Transmission des pressions Une presse hydraulique est un amplificateur hydraulique de force basée sur l’application du théorème de Pascal. Son principe de fonctionnement est illustré par la figure (I.1). f Piston de commande s I.1. Déterminer la rapport des forces f et F en présence. I.2. Calculer le travail effectué par la force f lors d’un déplacement l. S I.3. En déduire le déplacement L du piston. Piston piloté Piston F Figure I.1. Exercice II : Equilibre d’un sous-marin Un sous marin (figure II.2) est essentiellement une coque en acier creuse. Aux profondeurs où il opère (de 0 à environ 300 mètres), un sous-marin ne peut pas être considéré comme totalement incompressible (déformation de la coque). La compressibilité de la coque est définie par : α= ∆( volume de la coque) ∆( pression ) (II.1) Figure II.2. Profondeur : h II.1. Déterminer la relation entre la poussée d’Archimède s’exerçant sur le sous-marin et la profondeur à laquelle il se trouve. II.2. Tracer sur un même graphique le poids du sous-marin et la poussée d’Archimède en fonction de la profondeur atteinte. II.3. Déterminer la profondeur d’équilibre. Cet équilibre est-il stable ? 29 ASINSA – 1ère année Exercice III : TD de Physique Oscillations d’un corps flottant Un cylindre en bois (figure III.1) de masse volumique ϕ, de rayon R et de hauteur h est partiellement immergé dans une bassine d’eau de masse volumique ρ. III.1. Déterminer sa position d’équilibre III.2. On enfonce le cylindre dans l’eau jusqu’à une profondeur x (x < h) puis en le relâche. Calculer la fréquence des premières oscillations du cylindre en supposant qu’il reste vertical pendant son mouvement. A.N. : ϕ = 0,5 g cm-3, h = 10 cm, R = 5 cm, ρ = 1 g cm-3. R Figure III.1. h x 30 ASINSA – 1ère année TD de Physique Statique du solide N°1 Exercice I : Réduction d’un système de forces coplanaires r r r L’espace est rapporté au repère cartésien orthonormé direct (O, i , j , k ) . Des forces F1 , F2 , F3 , … Fn , formant un système ( Σ ), sont appliquées à un solide, les supports de ces forces étant r r contenus dans un même plan (P) défini par (O, i , j ) . Le système ( Σ ) a pour somme géométrique S , et pour moment résultant par rapport au point O, Γ0 tels que : r r r S = X i + Y j + Zk r r r Γ0 = L i + M j + Nk (I.1) I.1. Parmi les six coordonnées cartésiennes X, Y, Z ; L, M, N, lesquelles sont certainement nulles ? I.2. S et N sont connus. Réduire le système ( Σ ) dans chacun des cas suivants : I.2.1. S = 0 et N = 0 I.2.2. S = 0 et N ≠ 0 I.2.3. S ≠ 0 Dans le cas précédant (question I.2.3), montrer qu’il existe une infinité de points O’(x,y) du plan (P), par rapport auxquels le moment résultant Γ0 du système ( Σ ) est nul et donner l’équation cartésienne de l’ensemble (E) de ces points O’ ; on montrera alors que ( Σ ) se réduit à une force unique que l’on précisera. Exercice II : Les axes horizontaux Ox et Oy et l’axe vertical ascendant z Oz forment un trièdre trirectangle. Une fine tige rectiligne OA peut tourner sans frottement autour de l’axe Oy auquel elle est perpendiculaire, son centre de masse G est au milieu de OA et l’intensité de son poids est P. B Un fil AB souple inextensible et de masse négligeable, dont la longueur AB est égale à OA, relie l’extrémité A de la tige α au point B de l’axe Oz , au dessus de O, comme l’indique la figure (II.1). A l’équilibre, l’angle zOA a pour valeur α. A O x Figure II.1. Les données étant P et α, exprimer : II.1. La tension T du fil AB. II.2. Les mesures algébriques Rx, Ry, Rz des composantes cartésiennes de la réaction d’axe R subie en O par la tige OA. 31 ASINSA – 1ère année TD de Physique Exercice III : Une tige homogène AB a pour longueur 2r et pour poids P. Elle repose par son extrémité A sur la surface inférieure d’une coupe hémisphérique d’axe vertical et de diamètre 2r. La tige située dans un plan vertical repose d’autre part en C sur le bord de la coupe. Les deux contacts sont sans frottements, c’est-à-dire que les réactions des surfaces de contact sont perpendiculaires à ces surfaces. Calculer l’angle α de la tige avec l’horizontale à l’équilibre et les intensités N et R des réactions de la coupe sur la tige en A et C respectivement. r B r O α C Figure III A 32 ASINSA – 1ère année TD de Physique Statique du solide N°2 Exercice I : Equilibre sur un câble On considère un câble inextensible mais très souple accroché en deux points situés au même niveau à une distance d l’un de l’autre. La longueur de ce câble est L > d. On place une poulie sur ce câble et on y suspend un objet pesant (comme une cabine de téléphérique par exemple). I.1. Déterminer le seul point d’équilibre possible pour la poulie abandonnée à elle même avec son fardeau. I.2. Si P est le point où se situe la poulie, déterminer le lieu du point P lorsque la poulie est déplacée tout au long du câble. Exercice II : Equilibre d’une poutre B Une poutre AB de poids P repose contre un mur BC, et un fil inextensible AC empêche la poutre de glisser (figure II.1.). En supposant tous les contacts sans frottement, déterminer le module de toutes les forces de liaison. α A C Figure II.1. Exercice III : Equilibre d’une échelle double O Une échelle double comporte deux parties rectilignes OA et OA’ articulées sans frottement en O et reliées par une corde en B et B’ (figure III.1.). Chaque élément a un poids P appliqué au milieu des demiéchelles, la corde a une masse négligeable. L’échelle repose sur un plan horizontal et l’on a : OB = OB’ = 2/3 OA ; AA’ = a h B B ’ A A ’ Figure III.1. III.1. Calculer l’intensité des forces suivantes : N0 = réaction du sol sur chacun des pieds, T0 = tension de la corde, R0 = interaction en O des deux parties de l’échelle. III.2. Un homme de poids Q est supposé juché en C tel que OC = OA/3. Calculer les intensités des mêmes forces qu’à la question III.1. 33 ASINSA – 1ère année TD de Physique Energie et travail N°1 Exercice I : Un ressort (R), à spires non jointives, a pour raideur k et pour longueur à vide l0. On fixe en A une de ses extrémités et on accroche l’autre en B sur un solide (S) de masse m (devant laquelle la masse du ressort est négligeable). (S) peut glisser sans frottements appréciables le long d’une tige horizontale d’axe xOx (c.f. figure (I)). A l’équilibre l’abscisse du solide est zéro, B et au-dessous de A sur une même verticale et la longueur AB est l. A Figure I. (R), k l S(m) B x ’ O x x I.1. A quelle condition l’équilibre précédent est-il stable ? Cette condition est supposée réalisée dans ce qui suit. I.2. On place le solide à l’abscisse x. Les forces qui lui sont appliquées admettent la résultante X dont la mesure algébrique suivant x' x est X. I.2.1. Exprimer X en fonction de k, l, l0 et x I.2.2. Exprimer également la mesure algébrique Y, suivant la verticale ascendante, de la réaction de la tige sur (S), en fonction de k, l, l0, x, m et de l’intensité g du champ de pesanteur I.2.3. Monter que, pour le système (solide, tige, ressort support A, Terre), la force X permet de définir une énergie potentielle Ep. Exprimer Ep en fonction de k, l0, l et x en postulant Ep = 0 pour x = 0. I.2.4. Que deviennent les expressions de X et de Ep lorsque |x| << l ? Exercice II : Un barreau rectiligne et homogène AB, de longueur l et de masse M est mobile dans un plan vertical autour de son extrémité A formant une charnière sans frottements. Ce barreau porte à son extrémité B un couteau d’acier dont la masse m est considérée comme centrée en B. L’accélération de la pesanteur au lieu considéré est g et on néglige la résistance de l’air. Pour les applications numériques on prendra M = 16 kg, l = 60 cm et g = 9,8 ms-2. A l’extrémité B est attaché un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l. Ce fil est d’autre part lié au point O situé sur la verticale de A à la distance AO = l. II.1. Exprimer la tension T du fil en fonction de M, m, l et g. II.2. Déterminer la direction, le sens et le module R de la réaction de contact R exercée par l’arbre fixe sur le barreau en A. 34 ASINSA – 1ère année TD de Physique II.3. A.N. : calculer T, R et l’inclinaison θ de R sur l’horizontale. II.4. On coupe le fil. Calculer l’énergie cinétique Ek et la vitesse angulaire θ’ du système constitué par la tige AB et le couteau lorsqu’ils passent par la verticale en fonction de M, m, g et l. Application numérique. II.5. L’appareil est utilisé comme mouton-pendule pour étudier la résistance à la rupture par choc d’une éprouvette d’acier. Le couteau brise l’éprouvette lors du passage de AB à la verticale et on mesure l’angle α dont AB dépasse cette verticale. S étant la section de l’éprouvette et W le travail nécessaire pour casser l’éprouvette, exprimer la résilience Q (= W/S) de l’acier en fonction de M, m, l, S et α. A.N. : l’éprouvette a une section rectangulaire de cotés 16 mm et 5 mm, α = 28°, calculer Q. O B Figure II A α Eprouvette 35 ASINSA – 1ère année TD de Physique Energie et travail N°2 Exercice I : Un cadre rigide (ABCD) est constitué de quatre tiges métalliques homogènes, de même longueur et de même masse m. Elles sont soudées et forment un cadre rigide ayant la forme d’un carré de coté a. Ce cadre est maintenu par deux fils de torsion identiques (OI), (O’I’) dont les constantes de torsion sont CT. Le premier fil est fixé en un point O et en I milieu du coté (AB), le second en un point O’ et en I’ milieu de (CD). Les fils sont tendus. Un champ de forces exerce sur le cadre deux forces F et F' constituant un couple intérieur au système (terre, cadre, fils, source de champ). F s’applique en J milieu de (BC) et F' en J’ milieu de (AD). Ces forces gardent constamment la même direction (y’y). Le seul mouvement possible du cadre est une rotation sans frottement autour de (z’z). z y r j B F I J A r k I ’ x F' C x ’ r i J ’ y J ’ F' x ’ F J α r i y ’ x Vue de dessus D Figure I.1. y ’ z’ I.1. On constate que le cadre est en équilibre lorsque ( x' x ) et ( DC ) forment un angle α. Exprimer la norme F de la force F en fonction de CT, α et a. I.2. Le cadre (ABCD) tourne autour de l’axe (z’z) de sorte que l’angle ( x' x, DC ) varie alors de θ à θ + dθ. I.2.1. Exprimer le travail élémentaire des forces intérieures au système en fonction de F, a, CT, θ et dθ. I.2.2. Montrer qu’il est possible de définir une énergie potentielle Ep. Exprimer Ep en fonction de F, a, CT et θ. On prendra Ep = 0 pour θ = 0. I.3. Energie mécanique. I.3.1. Les quatre cotés du cadre ont la même masse m et la même longueur a. Calculer J, moment d’inertie du cadre par rapport à l’axe de rotation (z’z) en fonction de m et a. I.3.2. Le cadre est en rotation autour de l’axe (z’z). Exprimer l’énergie mécanique Em du système à la date t en fonction de J, F, a, CT, θ, dθ/dt. I.3.3. Ecrire la variation de l’énergie mécanique du système entre les dates t et t + dt. En déduire l’accélération angulaire du mouvement du cadre d2θ/dt2 en fonction de θ. 36 ASINSA – 1ère année TD de Physique Optique géométrique N°1 Exercice I : Thermomètre à mercure Un tube de verre cylindrique d’indice n = 3/2 par rapport à l’air, de diamètre extérieur 2R, contient du mercure remplissant un cylindre coaxial au tube. Un observateur placé très loin du tube vise suivant une perpendiculaire à l’axe de celui-ci I.1. Quel doit être le rayon minimal du cylindre contenant le mercure pour que l’observateur ait l’impression que le mercure remplit tout le tube. I.2. Quel est le rayon apparent de cette colonne de mercure si son rayon réel est h = R/2. Exercice II : L’arc en ciel Une goutte d’eau, supposée parfaitement sphérique, d’indice n = 4/3 par rapport à l’air est éclairée par un faisceau parallèle de lumière monochromatique. On s’intéresse aux rayons qui subissent une réflexion à l’intérieur de la goutte avant de ressortir. II.1. Calculer la déviation D du rayon émergent en fonction de l’angle d’incidence i. Montrer que cette déviation D passe par un extremum quand i varie. II.2. On suppose maintenant que le faisceau incident est formé de plusieurs radiations. Sachant que les variations de l’indice de l’eau pour ces différentes radiations sont petites devant la valeur moyenne n de l’indice, calculer la variation dD de la déviation D correspondant à une variation dn de l’indice n. A.N. : Calculer l’écart angulaire à l’émergence entre les radiations rouge et violette pour D minimum, sachant que nv – nr = 0.014. Exercice III : Fibre optique à saut d’indice Une fibre optique cylindrique (figure III.1) placée dans l’air (indice n0) est constituée d’un cœur cylindrique transparent d’axe Ox, de rayon R1 et d’indice constant n1, entouré d’une gaine transparente d’indice constant n2 (n2 < n1). Un rayon lumineux (R) monochromatique dans l’air atteint la face d’entrée de la fibre optique en O, sous l’angle d’incidence θ. r R1 O R2 I1 air n0 O x θ (R) i gaine n2 I3 Figure III.1. cœur n1 i A1 A2 x I2 On donne : n0 = 1, n1 = 1,515, n2 = 1,49, R1 = 40 µm et la célérité de la lumière dans le vide C0 = 3.108 ms-1. III.1. Montrer que le rayon (R) ne peut pas se propager à l’intérieur de la fibre (guidage du rayon dans le cœur) que si l’angle d’incidence θ est inférieur à une valeur limite θ0 qu’on exprimera en fonction des indices n0, n1, n2. Calculer cet angle θ0 appelé angle d’acceptance de la fibre. 37 ASINSA – 1ère année TD de Physique III.2. Exprimer les chemins optiques [L1] et [L] suivis par R, en fonction de θ, n0, n1, R1, l, respectivement : • Entre le point O et le premier point A1 où (R) coupe l’axe Ox. • Entre le point O et la sortie de la fibre de longueur l >> OA. III.3. Un détecteur placé dans le cœur de la fibre, dans le plan d’équation x = constante, perçoit à l’instant τ le signal lumineux émis en O (x = 0) à l’instant t = 0. Exprimer τ en fonction de n0, n1, θ, x et C0. III.4. L’angle d’incidence θ pouvant prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et θ0, la durée t est comprise entre τ0 et τ0 + ∆τ. Calculer τ0 et ∆τ si le détecteur est situé à x = 2 km de l’entrée O. 38 ASINSA – 1ère année TD de Physique Optique géométrique N°2 Exercice I : Lames à faces parallèles Sur le trajet d’un pinceau de rayons parallèles, dans un milieu homogène d’indice n1, on interpose une lame à faces parallèles d’indices n2 (n2 > n1) et d’épaisseur e. On désignera par i1 et i2 respectivement les angles d’incidence et de réfraction sur la face plane d’entrée de la lame (c.f. figure I.1). n1 n2 n1 e i1 Figure I.1. I T Incident i2 J Transmis I.1. Justifier le parallélisme entre rayons incidents et transmis. Calculer la translation T subie par un rayon au cours de la traversée de la lame, en fonction de e, i1, i2 puis en fonction de e, i1, n = n1/n2. I.2. Montrer que la traversée de la lame augmente le chemin optique du trajet lumineux d’une quantité L qu’on exprimera en fonction de e, n1 cos(i1) et n2 cos(i2). I.3. Monter qu’une petite variation di1 de l’angle d’incidence du rayon provoque une variation du trajet optique supplémentaire dL = n1 T di1. Exercice II : Le mirage On considère un empilement de dioptres plans parallèles séparant des milieux homogènes n0, n1, n2… On note ij l’angle d’incidence du rayon correspondant au jième dioptre. II.1. Quelle relation entre les angles d’incidence et les indices peut-on en déduire ? II.2. On suppose qu’un milieux non homogène a un indice optique qui varie continûment suivant l’altitude z. Que peut-on dire de n(z) sin(i(z)) où i(z) est l’angle entre l’axe des z et la tangente au rayon à l’altitude z ? II.3. Représenter un rayon lumineux dans le milieux précédent si l’indice croit ou décroit avec l’altitude. On peut observer sur les routes goudronnées chauffées par le soleil un reflet du ciel qui peut faire penser à une flaque d’eau. Dans la suite on suppose la route horizontale. II.4. Comment peut-on expliquer ce phénomène ? II.5. L’indice de l’air est relié à sa masse volumique ρ par la loi de Gladstone : n = 1 + kρ avec k ≥ 0 (II.1) Si on assimile l’air à un gaz parfait, la relation liant la pression P, la température T et la masse volumique est l’équation des gaz parfait : 39 ASINSA – 1ère année P=ρ TD de Physique R T M (II.2) où R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire de l’air. On suppose que la pression ne dépend pas de l’altitude au voisinage du sol P = P0 = constante. La température doit-elle croître ou décroître avec l’altitude pour permettre l’observation d’un tel mirage ? II.6. L’indice de l’air au niveau du sol (z = 0) est n0 = 1,00030 et la température est T(0) = 300 K. La température varie continûment jusqu’à une altitude z1 où elle est égale à 290 K. On suppose que pour z > z1 et jusqu’à une altitude de plusieurs mètres la température est constante : T(z) = 290 K pour z > z1. L’œil de l’observateur est situé à une hauteur h du sol (h > z1). II.6.1. Représenter le rayon lumineux arrivant à l’œil de l’observateur et dont le point de passage le plus bas est à l’altitude zmin (zmin < z1). II.6.2. On note ε l’inclinaison de ce rayon par rapport à l’horizon passant .par l’œil de l’observateur. Déterminer ε. Comment varie ε avec zmin. II.6.3. Représenter le rayon lumineux correspondant au bord du reflet le plus proche de l’observateur. Quelle est la valeur de ε correspondante ? II.6.4 Déterminer la distance D entre l’observateur et le bord du reflet. On donne les développements limités suivant à l’ordre 2 en ε, pour ε << 1. cos( ε) ≈ 1 − tan(ε) ≈ ε A.N. h = 2m, Z1 = 0,5 m 40 ε2 et 2 ASINSA – 1ère année TD de Physique Optique géométrique N°3 En général lorsque les conditions de Gauss ne sont pas remplies, à un point objet ne correspond pas un point image, sauf dans les cas très particuliers où le stigmatisme rigoureux est réalisé. Exercice I : Miroirs stigmatiques Un miroir de surface (S) donne du point A (n’appartenant pas à (S)) l’image rigoureuse A’. Etudier la forme de (S), ensemble des points d’incidence I, dans chacun des cas suivants : • A et A’ sont tous les deux réels ou tous deux virtuels. • L’un des deux points A, A’ est réel et l’autre est virtuel. • Un seul des deux points A, A’ est rejeté à l’infini. Exercice II : Le miroir parabolique Propriétés géométriques de la parabole : la normale en l’un de ses points I est la bissectrice de l’angle formé par la droite passant pas I parallèle à l’axe et la droite passant par I et le foyer F da la parabole. Montrer qu’à un point A situé à l’infini dans la direction de l’axe, un miroir parabolique fait correspondre un point image. Indiquer la position de ce point image. Application : Le télescope de Grégory. Ce télescope constitue un système optique centré formé par un vaste miroir parabolique (M1) qui collecte la lumière incidente et la renvoie sur un petit miroir (M2) secondaire ellipsoïdal. Les rayons réfléchis par (M2) convergent rigoureusement en un point si les sommets des faisceaux incidents et réfléchis par (M2) sont les foyers de l’ellipsoïde. Tracer le trajet d’un rayon incident parallèle à l’axe du télescope. 41 ASINSA – 1ère année TD de Physique Optique géométrique N°4 Exercice I : Le dioptre sphérique Un dioptre sphérique comprend deux milieux transparents isotropes et homogènes séparés par une calotte sphérique (S) de sommet S et dont le centre de courbure est C. Pour la lumière monochromatique utilisée, l’indice du milieu où chemine la lumière incidente est n, l’indice de l’autre milieu étant n’. I.1. Vérifier le stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique pour les points de (S) et pour C. I.2. Soit un objet AB tel que AB = 15 mm , SA = −80 mm . L’image A’ de A à travers le dioptre est telle que SA' = +60 mm et CS = +30 mm . Par construction géométrique, déterminer : • L’image B’ de B. • Le foyer principal image F’. • Le foyer principal objet F. De n et n’, qu’elle est l’indice le plus élevé et qu’elle est la nature de ce dioptre ? I.3. On considère maintenant un objet AB de même dimension que le précédent mais tel que SA = +80 mm . L’image de A’ de A à travers le dioptre est telle que SA' = −60 mm et CS = −30 mm . Reprendre les questions du (I.2) avec ces nouvelles données. Exercice II : La boule en verre Soit une boule en verre de rayon r = 10 cm, d’indice n = 1,5. Un objet AB est placé à gauche de la sphère à une distance de 120 cm de la face d’entrée. Déterminer la position de l’image de l’objet à l’aide de l’équation des dioptres sphériques. 42 ASINSA – 1ère année TD de Physique Optique géométrique N°5 Exercice I : Un dioptre sphérique de rayon de courbure r sépare deux milieux d’indices n = 3/2 et n’ = 4/3. I.1. Exprimer les distances focales f’ et f ainsi que la vergence Φ en fonction de r. I.2. On donne r = - 10 cm. Calculer numériquement f’, f et Φ. Le dioptre est-il divergent ? I.3. On place un objet AB à 50 cm en avant du dioptre. Calculer la position p’ de l’image ainsi que son grandissement transversal γ. I.4. Sur une figure, placer les foyers F’ et F et l’objet A. Construire son image A’. Quelle est la nature de A’ ? Exercice II : La face avant d’un bloc de matière plastique d’indice n’ = 3/2 est une calotte sphérique de sommet S et de centre C (figure II.1). B n ’ A S C Figure II.1. II.1. Sachant que l’air a un indice n = 1, placer les deux foyers du dioptre sur la figure. II.2. Un objet AB est placé en avant du dioptre à une distance p = −4r. Déterminer par le calcul la position de son image A’B’ ainsi que son grandissement transversal γ. Construire l’image A’B’ en utilisant deux rayons incidents particuliers et commenter. Exercice III : Un dioptre sphérique de 10 cm de rayon de courbure sépare deux milieux d’indices n = 1 et n’ = 3/2 (figure III.1). n=1 n ’ = 3/2 S Figure III.1. C Déterminer la position des foyers. Calculer et dessiner la position de l’image d’un objet AB placés à : • 60 cm du sommet. • 10 cm du sommet. • 5 cm derrière le dioptre (objet virtuel). Mêmes questions si l’on inverse les indices. 43 ASINSA – 1ère année TD de Physique Système centré N°1 Exercice I : Un système centré (Σ) est formé par l’association de deux dioptres sphériques D1(S1, C1, F1, F’1) et D2(S2, C2, F2, F’2). Les indices des différents milieux traversés sont : 1, n, 1. Les éléments cardinaux de (Σ) sont :Φ, Φ’, H, H’. On donne S1, S2, F1’, AB et A' B' tels que : AB (Σ) A ' B' . Déterminer par construction : Φ, Φ’, H, H’, C1, C2, F1, F2, F’2. Justifier succinctement la construction de chaque point. Préciser la courbure des dioptres. Simplifier les explications en utilisant une notation du type I1, I2, J1, J2, K1, K2, L1, L2… pour les rayons intermédiaires. Code couleur pour les constructions : rouge Φ’ et H’, vert pour H, bleu pour Φ. Peut-on vérifier les positions de C1, C2, F1, F2, F2’ ? 44 TD de Physique A B 1 D1 S1 n D2 S2 1 F1 ’ B ’ A ’ ASINSA – 1ère année 45 ASINSA – 1ère année TD de Physique Système centré N°2 Exercice I : Un système dioptrique centré (Σ) comprend un dioptre plan (P), un dioptre sphérique (S) et un dioptre plan (P’), traversés, dans cet ordre, par la lumière, dans les conditions de Gauss. L’axe de (Σ), orienté dans le sens de propagation, rencontre (P), (S) et (P’) respectivement en P, S et P’. Les milieux extrêmes sont de l’air, les milieux antérieur et postérieur de (S) ont pour indices respectifs n et n’ par rapport à l’air. On pose PS = e , SP' = e' ; enfin le centre de courbure C de (S) est tel que CS = R . I.1 Dans cette question et dans les suivantes, la lumière utilisée est monochromatique, n’ est différent de n, R est fini et positif. I.1.1. Le système (Σ) peut-il être afocal ? I.1.2. Montrer que les correspondances ci-après définissent les points principaux H et H’ de (Σ). H (P) S et S (P ’) H ’ Les données étant prises parmi e, n, e’, n’, exprimer les abscisses PH et P' H' . I.1.3. En prenant les données parmi R, e, e’, n et n’, exprimer les abscisses PF et P' F' des foyers principaux de (Σ). I.1.4. Discuter le caractère convergent ou divergent de (Σ). I.2 Dans cette question : R = 5 cm, e = 4 cm, e’ = 7 cm, n = 4/3 et n’ = 7/4. I.2.1. Sur une épure (à échelle axiale 1 et à une échelle transversale beaucoup plus grande), faire figurer les traces des surfaces dioptriques et des plans principaux de (Σ), ainsi que les foyers principaux de F et F’. I.2.2. Un objet AB est perpendiculaire à l’axe en A tel que PA = - 3 cm. Sur l’épure précédente, où l’on représentera AB par un segment de 3 cm, construire géométriquement l’image A' B' que (Σ) donne de AB . I.2.3. Pour le même objet qu’au I.2.2, trouver par le calcul la position de l’image et le grandissement transversal. I.2.4. Rechercher, s’ils existent, les points de Bravais de (Σ), c’est-à-dire les points (invariants) β de l’axe, tels que : β (Σ) β . 46 TD de Physique air P e n S e ’ n ’ P ’ air ASINSA – 1ère année 47 ASINSA – 1ère année TD de Physique Lentilles minces N°1 Exercice I : Chasseur d’images Un chasseur photographique désire photographier un lion de 2 m de hauteur situé à une distance de 300 m. Il veut en obtenir sur son film une image d’une hauteur de 1 cm. Cette image est renversée. I.1. En considérant l’objectif de son appareil photographique comme une lentille mince, déterminer : • γ, le grandissement souhaité. • p’, la distance lentille-film. • f’, la longueur focale de l’objectif. I.2. Quelle est la nature de l’image ? Exercice II : Une lentille mince dont l’une des faces est plane donne d’un objet réel situé à 1 m de son sommet une image droite deux fois plus petite que l’objet. L’indice de la lentille vaut n = 3/2. II.1. Calculer la vergence de la lentille. II.2. Quelle est la nature de la lentille ? II.3. Calculer le rayon de courbure de la seconde face. Exercice III : On projette une diapositive de 1 cm de côté pour obtenir une image nette de 2 m sur un écran placé à 10 m de la lentille du projecteur. En examinant les deux valeurs possibles du grandissement γ, quel modèle de lentille faut-il utiliser ? Calculer ses distances focales. Exercice IV : L’œil humain L’œil humain est un système optique particulier équivalent à une lentille mince de distance focale variable, dans lequel la distance séparant la lentille de l’image est constante et égale à 20 mm dans l’œil normal. IV.1. Quelle est la distance focale et la vergence de l’œil pour une mise au point sur un objet placé à l’infini ? IV.2. Répondre à la même question si l’objet est à 25 cm de l’œil. Exercice V : On place un objet à une distance p0 d’une lentille de distance focale f’. L’image se forme à la distance p’1. 48 ASINSA – 1ère année TD de Physique V.1. Si l’on place un objet à la distance p’1 de la lentille, où est l’image ? On appelle p’2 sa position. V.2. A nouveau, on forme l’image d’un objet placé en p’2. Où est la nouvelle image ? On continue ainsi à former les images successives. Donner l’expression de p’n, la position de la nième image. Où vont se former les images si n → ∞. 49 ASINSA – 1ère année TD de Physique Lentilles minces N°2 Exercice I : L’objectif d’un appareil photographique est assimilé à une lentille mince convergente de distance focale f’ = 12 cm et de 5 cm de diamètre. Pour effectuer la mise au point, on fait varier la distance de la lentille au plan du film de telle façon qu’une image nette se forme sur la pellicule. I.1. On photographie un objet A situé à très grande distance. Où doit être placée la pellicule ? I.2. Sur le même cliché apparaît l’image d’un motif B placé sur l’axe de la lentille à une distance de 3 m. Son image nette est-elle sur le cliché ? I.3. Les rayons qui proviennent de B et qui rentrent dans l’appareil forment sur la pellicule une tache de rayon x. Déterminer la taille de cette tache en examinant les rayons passant par le bord de l’objectif. La photo est acceptable si x < 0,2 mm. La photo sera-t-elle nette ? Que peut-on faire pour améliorer la qualité de la photo ? I.4. On déplace la pellicule de manière à ce que l’image de B soit nette sur cette pellicule. Déterminer les distances maximales et minimales correspondantes de p1 et p2. Déterminer la profondeur de champ p1 – p2. Exercice II : On appelle d = AA' la distance objet-image où l’image est donnée par une lentille mince de distance focale f’. II.1. Etudier le comportement de la distance d en fonction de p. II.2. On forme l’image A’B’ avec une lentille et on cherche à la placer sur un écran pour lequel d est constant. L’image est nette sur l’écran pour deux positions de l’objet décalées d’une distance ∆p. En déduire la distance focale de la lentille en fonction de L et de ∆p. Calculer cette distance focale pour L = 1,8 m et ∆p = 1,2 m. Déterminer les positions de l’image et de l’objet. II.3. On considère maintenant une lentille convergente de distance focale 10 cm. Montrer qu’il y a deux configurations possibles. Dans chaque cas, déterminer les positions de l’objet et de l’image avec d = 1 m. Les deux situations sont-elles réalisables ? 50 ASINSA – 1ère année TD de Physique Doublets N°1 Exercice I : Doublets de lentilles minces et aberrations chromatiques L1 et L2 désignent deux lentilles minces de même axe, baignant dans l’air, traversées, dans les conditions de l’approximation de Gauss, par une lumière monochromatique dans l’ordre L1, L2 et formant un système centré (Σ) non afocal. Les notations seront les suivantes : Système Lentille mince L1 Lentille mince L2 Doublet (Σ) Plans principaux Objet Image O1 O1 O2 O2 H H’ Foyers principaux Objet Image F1 F’1 F2 F’2 F F’ Distances focales Objet Image f1 f’1 f2 f’2 f f’ On pose enfin O1 O 2 = e . I.1. Déterminer O1 F en fonction de f1, f2 et e et O 2 F' en fonction de f1’, f2’ et e. I.2. Soit A∞ le point objet à l’infini dans la direction de l’axe et soit B∞ un autre objet à l’infini dans la direction inclinée sur l’axe de α. Déterminer les dimensions (algébriques) des images successives de l’objet étendu A∞B∞. En déduire la relation suivante : f = f1 f 2 f1 + f 2 + e (I.1) Ecrire une expression analogue pour f’. I.3. Exprimer O1 H en fonction de f1, f2 et e et O 2 H' en fonction de f1’, f2’ et e. On particularise le système décrit dans la partie I en prenant deux lentilles de même verre, L1 étant plan-convexe, L2 étant plan-concave, les rayons de courbure des faces sphériques ayant même valeur absolue R. Le sens positif sur l’axe du doublet (Σ) sera le sens O1 O 2 . I.4. On utilise d’abord une lumière monochromatique pour laquelle l’indice par rapport à l’air du verre des deux lentilles est n. I.4.1. Utiliser les résultats de la partie I. pour exprimer O1 F , O 2 F' , f et f’ en fonction de n, R, e. Le doublet est-il convergent, divergent ou afocal ? I.4.2. Déterminer les points principaux H et H’ de (Σ) par deux méthodes : • En utilisant les résultats de la partie I.3. • En étudiant la marche d’un rayon particulier. I.5. On utilise maintenant une lumière complexe, l’indice n variant un peu autour de la valeur moyenne n0. I.5.1. n0 et R étant donnés, montrer qu’en choisissant convenablement e on pourra rendre F’ sensiblement indépendant de la radiation (dans l’étendue du spectre utilisé). Pour cette valeur de e, exprimer O1 F' en fonction de R et de n0. 51 ASINSA – 1ère année TD de Physique I.5.2. La condition du II.2.1. étant satisfaite, calculer les déplacements H 0 H , H' 0 H' et F0 F subis par les points principaux et le foyer principal objet de (Σ) lorsque l’indice du verre par rapport à l’air passe de n0 à n = n0 + δn. I.5.3. Application numérique : R = 90 mm, le verre de L1 et L2 a pour indice moyen n0 = 1,75 et pour constringence ν = 30. La condition du II.2.1. est satisfaite Calculer e, puis sur une épure (à une échelle convenable) dessiner les lentilles et, pour l’indice n0 = 1,75, placer les foyers principaux L1, L2 et (Σ), ainsi que les plans principaux du doublet. Construire l’image définitive A’0B’0 que le doublet donne d’un objet A∞B∞ rejeté à l’infini (A∞ dans la direction de l’axe). Tracer la marche ultérieur complète d’un pinceau de rayons incidents définissant B∞. Lorsque l’on passe de la radiation (C) à la radiation (F) de l’hydrogène, les points cardinaux H, H’ et F subissent des déplacements H C H F , H' C H' F , et FC FF . Calculer les mesures algébriques de ces déplacements. Comparer les dimensions A’CB’C et A’FB’F des images que (Σ) donne de l’objet A∞B∞ lorsqu’on utilise les radiations (C) et (F). 52 ASINSA – 1ère année TD de Physique Doublets N°2 Exercice I : Les systèmes considérés sont utilisés en lumière monochromatique et dans les conditions de Gauss. Le sens positif de leur axe est le sens de propagation de la lumière. I.1. Soit (L1) une lentille épaisse plan-convexe. La face d’entrée sphérique a pour sommet S1 et pour centre C1 tels que S1C1 = R , la face de sortie plane passe par C1. Les milieux extérieurs sont l’air et l’indice du matériaux constituant la lentille est n par rapport à l’air. Exprimer en fonction de n et R les abscisses : • S1 F1 du foyer principal objet. • S1 H1 du plan principal objet. • C1 H'1 du plan principal image. • C1 F'1 du foyer principal image. I.2. Soit (L2) une lentille mince plan-concave de centre O2 et d’indice n. La face de sortie sphérique a pour centre C2 tel que O 2 C 2 = R = S1C1 . Déterminer en fonction de n et de R le foyer principal objet F2 et le foyer principal image F’2 de (L2). ( ) I.3. On associe (L1) et (L2) pour former un système (S). Ce système est traversé par la lumière dans l’ordre (L1, L2), et il est de telle sorte que O2 soit confondu avec le foyer image F’ du système. I.3.1. Exprimer C1 O 2 en fonction de R et n pour que le foyer principal image F’ du système (S) soit confondu avec O2. Cette condition F’ ≡ O2 sera réalisée par la suite. I.3.2. A.N. : pour n = 1,6 et R = 24 mm tracer l’épure du système en plaçant tous les éléments de (L1), (L2) et F’. I.3.3. A l’aide du tracé complet d’un rayon incident passant par F1, déterminer pour le système (S) les points principaux (objet H et image H’). En déduire la position du foyer principal objet F. I.4. Construire l’image A’B’ que donne (S) d’un objet AB collé contre la face d’entrée (L1), A étant en S1. On représentera AB par un segment de 20 mm. Déterminer le grandissement transversal γ correspondant. I.5. Tracer ensuite la marche ultérieure complète d’un rayon incident de support BO2, justifier le tracé. 53 ASINSA – 1ère année TD de Physique Doublets N°3 Exercice I : Le téléobjectif Un objectif photographique travaillant dans les conditions de Gauss, est constitué de deux lentilles minces (L1) et (L2) en verre de même indice n = 1,5 par rapport à l’air. La lentille (L1), de centre optique O1, est plan-convexe, sa face sphérique a pour rayon R1 = 4 cm. La lentille (L2), a pour centre optique O2. (L1) et (L2) constituent un doublet de symbole [2, 1, -2]. I.1. Lentille (L1). I.1.1. Exprimer sa distance focale image f ‘1 en fonction de n et R1. I.1.2. Calculer numériquement f ‘1. I.2. Lentille (L2). I.2.1. Quelle est la nature de la deuxième lentille ? I.2.2. Donner la valeur de sa distance focale image f ‘2. I.2.3. Quelle est la distance e = O1 O 2 séparant les deux lentilles ? I.3. Doublet constitué par les lentilles (L1) et (L2). I.3.1. Calculer F' 2 F' et F1 F (où F’ et F désignent respectivement les foyers image et objet du doublet). I.3.2. Déterminer graphiquement la position du point principal image H’ du doublet. I.3.3. En déduire la position du point principal objet H. I.3.4. Le système est-il convergent ou divergent ? Donner la valeur numérique de sa distance focale image f ‘. I.3.5. Construire à l’échelle 1/2, l’image A' B' d’un objet AB très éloigné. Un rayon issu de B sera représenté sur la figure par une droite faisant un angle de l’ordre de 20° avec l’axe optique. I.3.6. Calculer la dimension de A' B' si le diamètre apparent de AB est α = 1° I.3.7. On utilise le doublet précédent comme téléobjectif pour photographier des objets éloignés. On appelle ‘’ encombrement ‘’ la distance entre la face d’entrée de l’objectif et la plaque photographique. Quel est alors l’encombrement de l’appareil ? Quel aurait été celui d’un appareil donnant la même grandeur de l’image, mais dont l’objectif aurait été une simple lentille mince ? 54 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°1 Exercice I : Distribution isotrope de charge La densité volumique de charge électrique ρ dans une sphère de rayon R a pour expression : r2 ρ = ρ 0 1 − 2 R ρ = 0 si r < R (I.1) si r > R r désignant la distance du point considéré au centre O de la sphère, et ρ0 la densité en O. Calculer la charge totale de la sphère. En déduire la charge volumique moyenne. Exercice II : Distribution linéique de charge Un segment porte une charge non uniforme dont la charge linéique varie spatialement selon : πx λ = λ 0 1 − cos a si − a a ≤x≤ 2 2 (II.1) Ailleurs, le fil n’est pas chargé. Calculer la charge portée par le fil et sa charge linéique moyenne λm. Exercice III : Calotte sphérique de distribution surfacique en cos(θ θ) Une calotte sphérique de rayon R est chargée électriquement avec une charge surfacique : σ = σ 0 cos(θ ) (III.1) θ étant l’angle que fait un rayon de la calotte avec son axe. III.1. Calculer la charge de la calotte III.2. En déduire la charge surfacique moyenne d’une calotte demi-sphérique 55 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°2 Exercice I : Charges ponctuelles I.1. Sur un axe X’OX, d’origine O, sont placées : • Une charge ponctuelle (+3q) en O. • Une charge ponctuelle (-q) en A, d’abscisse x = a (a > 0) Déterminer le potentiel V(x) et le champ électrique E(x) aux divers points de l’axe X’OX. I.2. Quelle est la force électrostatique qui s’exerce sur une charge positive unité placée au centre O d’un carré de côté b qui porte les charges q, 2q, -4q et 2q placées dans cet ordre sur ses quatre coins. I.3. Soient trois charges q positives et égales formant un triangle équilatéral de côté a. On place une charge q’ négative au centre C de ce triangle. I.3.1. Calculer la force F à laquelle est soumise q’ si r est la distance qui la sépare de chaque charge q. I.3.2. Quel est le potentiel V créé en C par les charges q ? I.3.3. Quelle est l’énergie potentielle ou l’énergie électrostatique de l’ensemble des quatre charges ? 56 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°3 Exercice I : Champ et potentiel d'un segment électrisé Un fil rectiligne FF' = 2c, de milieu O, placé dans le vide, porte la charge électrique Q uniformément répartie avec une charge linéique. On appelle O le milieu de FF'. I.1. Montrer qu'un élément NN' du fil produit en un point M donné (n'appartenant pas à la droite F'F) un champ dont le module est proportionnel à l'angle dθ sous lequel on voit NN' de M. I.2. Montrer que le champ électrique E en un point M est dirigé suivant la bissectrice de l'angle F'MF. I.3. Calculer la norme E du vecteur champ en M en fonction de εo, de θo =FMF'/2 et de la distance h de M à la droite F'F. Déterminer directement le champ E sur les demi droites Fx et F'x ne contenant pas le segment électrisé. Exercice II : Disque Déterminer le champ électrique en un point M sur l'axe d'un disque circulaire uniformément chargé (densité surfacique σ). Exercice III : III.1. Potentiels de sphères creuses et de sphères pleines Sphère creuse Soit une sphère creuse de rayon R, portant une charge répartie uniformément avec une densité superficielle σ. III.1.1. Calculer directement le potentiel crée par cette sphère en un point M à la distance r du centre de la sphère (r>R) et en déduire le champ électrique en M. Conclusion ? III.1.2. Retrouver ces résultats par application du théorème de Gauss. Que devient le champ électrique lorsque r<R. III.2. Demi – sphère Calculer le champ électrique au centre O d'une demi-sphère creuse de rayon R, caractérisée par sa densité superficielle de charge σ constante. III.3. Sphère pleine On considère maintenant la sphère non-conductrice de centre O, de rayon R, uniformément chargée avec une densité volumique ϕ positive. Déterminer le champ électrique E(r) crée par la sphère pleine, en un point M (OM = r) : III.3.1. à l'aide des résultats de la question 1) dans le cas où r>R ; III.3.2. à l'aide du théorème de Gauss dans les deux cas (r>R et r<R). En déduire le potentiel électrique au point M. Tracer les courbes E(r) et V(r) pour r>O. 57 ASINSA – 1ère année Exercice IV : TD de Physique Conducteur filiforme et ruban infini IV.1. Un conducteur filiforme rectiligne infini porte des charges électriques uniformément réparties avec une densité linéaire λ. En appliquent le théorème de Gauss donner l'expression du champ électrique en un point M à la distance r du conducteur. Retrouver cette expression par le calcul direct. IV.2. Calculer le champ électrique résultant en un point M à la distance z d'un ruban infini uniformément chargé avec une densité superficielle σ. 58 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°4 Exercice I : Champ d’un demi-cercle et d’un demi-disque chargés ∩ I.1. Un arc de cercle CC' , de centre O et de rayon R, d’angle au sommet 2α, situé dans le plan xOy, porte une charge λ par unité de longueur, répartie uniformément. Soit Ox la bissectrice ∩ de COC' , et Oz l’axe perpendiculaire au plan COC’. Calculer les composantes du champ électrique E : I.1.1. En un point M de l’axe Oz, de cote z = OM. I.1.2. Au centre O. En déduire les composantes de E en M en fonction de α, du module E0 du champ en O et du rapport u = z/R. I.2. Déduire des résultats précédents le module du champ E(z) et le potentiel électrique V(z) au point M de cote z, dans le cas d’un demi-cercle. I.3. En déduire : I.3.1. Les composantes du champ créé par un demi-disque de centre O, de rayon R chargé uniformément avec une densité superficielle σ, en un point M (OM = z) sur la normale au plan du disque. I.3.2. Le potentiel en M créé par cette répartition de charges. Remarque : on donne : Exercice II : ∫ dx 2 a +x 2 = ln x + a 2 + x 2 + cons tan te Fils rectilignes parallèles On considère deux fils rectilignes parallèles AA’ et BB’ infiniment longs, distants de 2a et portant une charge linéique -λ sur AA’ et +λ sur BB’ (figure II.1). II.1. A l’aide du théorème de Gauss, déterminer en tout point M de l’espace distinct de AA’ et BB’ le champ E a créé par AA’ et le champ E b créé par BB’. Préciser les directions, sens et intensités de ces champs en fonction de ε0, λ, ra et respectivement rb. II.2. Exprimer le potentiel V créé en M par ces deux distributions en fonction de ra et rb puis en fonction de λ, ε0, a, r et θ tels que r = OM et θ = O1O 2 , OM et sachant que le potentiel en O est V0. ( ) Remarque : on utilisera la relation existant entre les cotés d’un triangle quelconque. 59 ASINSA – 1ère année TD de Physique M(r,θ) A z B H uz ra r M rb O θ O1 O x O2 P A’ r uθ θ ur B’ Figure II.1 Figure II.2 r II.3. En déduire les composantes Er et Eθ du champ résultant E en M en fonction de λ, ε0, a, r et θ. II.4. Exprimer V, Er et Eθ lorsque r >> a. Pour θ = 0, π/2, π, 3π/2 et un même r, représenter les champs sur un schéma. II.5. Montrer que pour toute région de l’espace ne contenant pas d’éléments de AA’ et /ou BB’, r le champ électrostatique E est un champ à flux conservatif. Remarque : z’Oz et Ox étant deux axes fixes perpendiculaires, la définition des coordonnées cylindriques r, θ, z d’un point M de l’espace est rappelée sur la figure (II.2). On rappelle aussi les relations suivantes : ( ) • d OM = dr.u r + r.dθ.u θ + dz.u z • grad (m ) = • r 1 ∂a r 1 ∂a θ ∂a z div (a ) = + + r ∂r r ∂θ ∂z • r 1 ∂a z ∂a θ rot(a ) = − ∂z r ∂θ • ∆m = div grad (m ) • r r r ∆a = grad(div (a )) − rot rot(a ) ( ∂m 1 ∂m ∂m .u r + .u θ + .u z ∂r r ∂θ ∂z ∂a ∂a ∂a ∂a .u r + r − z .u θ + θ − r ∂r ∂θ ∂z ∂r ) ( ) 60 .u z ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°5 Exercice I : Champ créé par un segment chargé I.1. Calculer en un point M (c.f. figure (I.1))de coordonnées cylindriques (r, θ, z) le champ créé par un segment de l’axe (Oz), de charge linéique uniforme λ, compris entre les points P1 et P2 d’abscisses z1 et z2, repérés par les angles β 1 et β 2. I.2. Discuter le cas du fil rectiligne infini uniformément chargé. Exercice II : Potentiel d’un fil rectiligne infini Déterminer le potentiel associé à un fil rectiligne infini portant la charge linéique uniforme λ en utilisant les résultats de l’exercice I. Exercice III : Equation d’une ligne de champ pour un ensemble de charges N charges q1, …, qN sont réparties sur l’axe (Oz). Montrer que l’équation d’une ligne de champ est de la forme : N ∑ q i cos(θ i ) = cons tan te (1) i =1 où les angles θi sont définis à la figure (III.1). z P1 ez P dz d Ligne de champ er M r β1 P2 α r θi M d Er β2 d Ez α q1 qi qN dE Figure I.1. Figure III.1. 61 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°6 Exercice I : Loi de Gauss – Potentiel Electrostatique On considère une répartition d’électricité entre deux sphères de centre O et rayon a et b (b > a), la charge volumique ρ étant proportionnelle à la distance r au centre O et la charge totale étant Q. La permittivité est partout égale à celle du vide ε0. I.1. Exprimer ρ en fonction de Q, b, a, r pour a < r < b. r I.2. M étant un point de l’espace situé à la distance r de O (r ≠ 0), On pose OM = rn . Déterminer le vecteur champ électrostatique E en M, les données étant prises parmi Q, ε0, a, r b, r et n . On distinguera les trois régions r > b ( E + ), a < r < b ( E i ) et 0 < r < a ( E − ) et on traitera à part le cas r = 0. Y-a_t_il des discontinuités de E à la traversée des sphère r = a et r = b ? I.3. Le champ E dérive d’un potentiel scalaire V que l’on déterminera dans les trois régions précédentes (notation V+, Vi et V−) en postulant que V → 0 si r → ∞ et en admettant la continuité du potentiel à la traversée des sphères r = a et r = b. Contrôler l’expression de V− en calculant directement le potentiel absolu au centre O. I.4. Application numérique : Q = 6,15 nC, a = 4 cm, b = 5 cm, ε0 = 10-9/36π Fm-1. On appelle E r la mesure algébrique de E suivant n . I.4.1. Représenter graphiquement les fonctions x → ρ, x → E, x → V. I.4.2. Que deviendraient les courbes représentant E et V en fonction de x si on faisait tendre a vers b = 5 cm, la charge Q = 6,15 nC étant alors uniformément repartie sur une couche sphérique infiniment mince de rayon 5 cm ?. Quelles seraient alors la charge surfacique σ et la discontinuité du champ à la traversée de la couche électrisée ? 62 ASINSA – 1ère année TD de Physique 10 -3 (µCm ) 8 6 ρ 4 2 0 2 4 6 8 10 x (cm) Emax = 22,14 kVm -1 E (kVm ) 20 -1 15 a b 10 5 0 2 4 6 8 10 8 10 x (cm) V0 =1220 V 1.25 Vb =1107 V V (kV) 1.00 0.75 0.50 0.25 a 0 2 b 4 6 x (cm) 63 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°7 Exercice I : Champ d’un dipôle électrique I.1. Soient deux charges ponctuelles (-q) et (+q) placées dans le vide aux points A1 (x = -a, y = 0) et A2 (x = a, y = 0) du plan Oy. Un point M éloigné des charges est repéré par ses r coordonnées polaires r = OM et θ (Ox, OM). On désignera par n le vecteur unitaire dans la direction r = OM. I.1.1. Exprimer le potentiel au point M. On posera T = qA1A2 (moment dipolaire). I.1.2. En déduire le module et l’orientation du champ électrique E en M(r, θ). On appellera E0, le champ dans la direction θ = 0. I.1.3. Indiquer l’orientation et le module de E et le potentiel pour les quatre positions de Gauss θ = 0, π/2, π, 3π/2. I.2. Equation et allure des surfaces équipotentielles (V1) et des lignes de champ du dipôle. I.3. Le dipôle est placé dans un champ électrique E0 uniforme faisant l’angle θ avec T. I.3.1. Montrer que l’action subie par ce dipôle se réduit à un couple Γ qu’on exprimera en fonction des données. Préciser les positions d’équilibre stable. I.3.2. Quel travail faut-il fournir au dipôle pour le retourner de 180° à partir de la position d’équilibre stable ? 64 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°8 Exercice I : Pression électrostatique Une sphère métallique (S) de rayon R est placée dans le vide loin de tout autre conducteur. Les potentiels sont des potentiels absolus. I.1. On porte (S) au potentiel V0 : I.1.1. Calculer la charge totale Q de (S) en fonction de ε0, V0 et R. A.N. : R = 10 cm et V0 = 100 kV. I.1.2. Exprimer le potentiel V en un point situé à la distance x du centre O de la sphère, on distingue 2 cas : x < R et x > R. I.1.3. Calculer la charge surfacique σ. I.2. La sphère (S) ayant été déchargée, on pose sur celle-ci un petit disque métallique circulaire (D) très mince de rayon r (r << R) et de masse m centré en A, point le plus haut de la sphère. I.2.1. Quelle doit être la valeur minimale Vm du potentiel V0 auquel on porte la sphère pour que le disque soit chassé. Exprimer Vm en fonction de ε0, R, r, m et g (accélération de la pesanteur). A.N. : R = 10 cm, r = 1 mm, m = 1 mg et g = 9,8 ms-1. z r A I.2.2. On porte la sphère (S) avec le disque (D) centré en A à un potentiel V0 > Vm. Exprimer en fonction de ε0, V0, R, r, m et g la distance Z dont le disque sera éloigné du centre O lorsque sa vitesse s’annulera après avoir été chassé suivant la verticale Oz. A.N. : V0 = 100 kV. O (S) V0 Figure I. I.2.3. Exprimer en fonction de ε0, V0, R, r, m et g l’accélération γ du disque après sa séparation de la sphère mais alors que sa distance à O est à peine supérieur à R. A.N. : avec les données précédentes. I.3. Le disque au bout d’un certain temps atteint une position d’équilibre, trouver la distance X’ à O du disque dans cette position. N.B. : On admettra au I.2. et I.3. que la charge totale et la répartition des charges sur (S) restent les mêmes qu’au I. Exercice II : Electrostatique Deux conducteurs sphériques identiques (A1) et (A2), de centres respectifs O1 et O2, de rayon R, sont placés dans le vide à une distance tellement grande que l’on peut négliger l’influence de l’un sur l’autre (c.f. figure (II)). Ils sont reliés par un fil fin très long et conducteur dont on néglige la charge. 65 ASINSA – 1ère année TD de Physique L’ensemble ((A1) ∪ (A2) ∪ fil) est isolé, sa charge totale est Q. M r R R Figure II. O1 (A1) O1 Fil long (A2) II.1. Déterminer en fonction de Q et R : • • • Le potentiel absolu de chaque conducteur. La charge totale de chaque conducteur. La charge surfacique (densité superficielle de charge) portée par chaque conducteur II.2. Calculer l’énergie électrostatique W0 du système des deux conducteurs. II.3. On s’intéresse à la région entourant le conducteur (A1) et très éloignée de (A2). Déterminer le champ E et le potentiel V en un point M situé à la distance r du centre O1 du conducteur(A1), telle que R < r << O1O2. 66 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°9 Exercice I : Influence totale M O a A (C) est un conducteur limité par un plan P infini. Dans un état initial, (C) est relié au sol (V = 0). En un point A situé à la distance a du plan P, on place une charge électrique ponctuelle q. Le conducteur (C) se charge alors par influence. On admettra que la densité surfacique de charges σ (développées par influence) est : (C) σ=− Figure I. aq 2π 1 (y 2 + a2 ) 3/2 avec y = OM (c.f. figure (I)). I.1. Calculer la charge totale Q portée par P. I.2. Montrer que les forces électrostatiques qui agissent sur P se réduisent à une force unique dont on précisera la direction, le sens et le module. Exercice II : Conducteurs en équilibre électrostatique dans le vide Un conducteur creux (S), en forme de couche sphérique extrêmement mince, a pour rayon R et comprend deux hémisphères (H1) et (H2). Un second conducteur sphérique (S’), concentrique à (S) a pour rayon R’ ( R’ < R). Le vide règne hors des conducteurs, lesquels sont éloignés du sol et des autres corps éventuels. Les potentiels électrostatiques considérés sont absolus. II.1. (S’) est porté au potentiel V’ et (S) au potentiel V, les deux hémisphères étant en contact. II.1.1. Donner les expressions, au moyen des données ε0, R, R’, V et V’, des charges totales Qc, Qi et Q’ portées respectivement par la face extérieure de (S), par la face intérieure de (S) et par la surface de (S’). A.N. : Calculer les trois charges pour V = 90 kV, V’ = 150 kV, R’ = 25 cm, R = 30 cm II.1.2. Montrer que les forces électrostatiques subies par l’hémisphère (H1) se réduisent r à une force unique F dont on donnera le support. L’unitaire u de ce dernier étant dirigé de r (H2) vers (H1), exprimer F en fonction de ε0, R, R’, V, V’ et u . F A.N. : Calculer F = r avec les données du II.1.1. u II.1.3. Le potentiel de la sphère (S) étant maintenu égal à V, exprimer en fonction de V, R, R’, les valeurs V’ du potentiel de (S’) pour lesquelles la force F est nulle. A.N. : Calculer les valeurs de V’ pour lesquelles F = 0 sachant que V = 90 kV, R = 30 cm et R’ = 25 cm. 67 ASINSA – 1ère année TD de Physique II.2. Les sphères restant placées de la même façon, on relie (S’) au sol, on porte (S) au potentiel V puis on l'isole. On réalise ensuite les opérations α, β, γ, δ suivantes, dans l’ordre indiqué : • • • • On isole la sphère (S’). On relie (S) au sol. On isole (S). On relie la sphère (S’) au sol. Les données étant V, R, R’ et ε0 : II.2.1. Calculer le potentiel V’β de (S’) après l’opération β. II.2.2. Calculer le potentiel Vδ de (S) après l’opération δ, ainsi que la charge finales Q’δ de (S’). A.N. : Calculer Vδ et Q’δ pour V = 90 kV, R = 30 cm et R’ = 25 cm. II.3. (S) et (S’) ayant initialement les positions précédentes. On porte (S) au potentiel V et (S’) au potentiel V’. On coupe ensuite la communication entre (S) et la source au potentiel V, puis on sépare les hémisphères isolés et on les emporte très loin de la sphère (S’). Alors, on les réunit pour reconstituer le conducteur sphérique (S) immobile et extrêmement éloigné de (S’). Pendant toutes ces opérations, un générateur maintient le potentiel de (S’) égal à V’. Calculer le potentiel final de Vf du conducteur (S) et la charge Q’f de la sphère (S’) à la fin de l’opération. A.N. : Calculer Vf et Q’f avec les données du I.1.1. 68 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°10 Exercice I : Capacité d’un condensateur Les armatures d’un condensateur sont deux plaques rectangulaires de dimension a et b. Elles font un angle α entre elles (α << 1°) ; la distance minimale entre les bords des plaques est eo. Calculer la capacité de ce condensateur. L’exprimer en fonction de Co, la capacité du condensateur plan qui aurait les mêmes dimensions. ln(1 + x ) ≅ x − Exercice II : x2 2 Capacité d’un condensateur plan déformé Un condensateur plan est constitué de deux disques Do et D1 de centre O et O1, de même rayon a, parallèles, de même axe Oz et distants de OO1 = e et de capacité C0. Par suite de déformations, le disque D1 finit par prendre la forme d’une calotte sphérique de grand rayon de courbure R et de même rayon de base a. Les bords de D1 sont toujours à la même distance e de D0 mais le centre est maintenant à la distance e1 de D0 (e1 < e). Exprimer la capacité C de ce condensateur. Exercice III : Introduction d’une lame dans un condensateur plan Un condensateur plan isolé est constitué de deux disques métalliques de rayons R, distants de e = 10 mm. Et séparés par de l’air. Quelle est la variation relative de la capacité si on glisse une lame de cuivre neutre parallèle aux armatures, d’épaisseur e’ = 1 mm et de même surface que les armatures. 69 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrostatique N°11 Exercice I : Association de capacités Un condensateur (C1) de capacité C a pour armatures (A1) et (B1). (B1) est constamment reliée au sol, (A1) est primitivement portée au potentiel V, puis isolée de la source. (A2) (A1) C (A1) (B2) (A3) (B1) 2C (A2) C (B1) 2C 2C (B2) (A3) 2C (B3) (B3) a b V (A1) C (B1) (A2) (B2) 2C (A3) Figure I. Association de capacités. 2C (B3) 0 c I.1. On relie l’armature (A1) à un système de condensateurs (C2) et (C3) primitivement déchargé, comme l’indique la figure (I.a). La capacité de chacun des condensateurs (C2) et (C3) étant 2C, exprimer, une fois l’équilibre électrostatique établi : • • • Les charges Q’1, Q’2 et Q’3 des armatures (A1), (A2) et (A3). Les potentiels V’1 de (A1) et V’3 de (A3). L’énergie Wj dissipée par effet joule au cours des opérations de cette question. I.2. On isole l’armature (B2) de l’armature (A3) et l’on relie (B2) au sol et (A3) à (A1) comme l’indique la figure I.b. Une fois l’équilibre électrostatique atteint, exprimer : • • • Les charges Q’’1, Q’’2 et Q’’3 des armatures (A1), (A2) et (A3). Les potentiels V’’ commun aux armatures (Ai). L’énergie électrostatique totale W2 des condensateurs. I.3. Sans rien changer par ailleurs au montage de la question I.2., on relie les armatures (Ai) à la source de potentiel V. Un nouvel équilibre est atteint. Exprimer l’énergie W0 fournie par le générateur. Cette énergie se retrouve sous deux formes, lesquelles ? Evaluer les deux contribution N.B. : Les potentiels seront exprimés en fonction de V, les charges et les énergies en fonction de C et V. On fera les applications numériques pour V = 1 kV et C = 1 µF. 70 ASINSA – 1ère année Exercice II : TD de Physique Condensateur à épaisseur variable Deux conducteurs plans ayant des armatures de même surface S, sont branchés en parallèle. La distance de leurs armatures est e et e/2 respectivement. On les relie à un générateur fournissant la tension V0 puis on les isole (figure II). (C1) e (C ’1) (C2) V0 e/2 a (C ’2) V’ b Figure II. II.1. Calculer les charges des condensateurs et l’énergie électrostatique. II.2. On déplace les armatures du deuxième condensateur jusqu’à ce que leur deviennent égale à e. Calculer les charges des condensateurs l’énergie électrostatique, la force sur l’ armature déplacée, le travail mécanique fourni. 71 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrocinétique N°2 Exercice I : Effet Joule On considère un fil métallique traversé par un courant I dont la densité est J. La résistivité ρ du métal varie linéairement avec la température θ (en °C) selon la loi : ρ = ρ 0 (1 + aθ ) (I.1) Sa masse volumique est µ et sa chaleur massique C (en Jkg−1°C−1). µ et C sont supposés constant et la dilatation est négligeable. I.1. Le fil est supposé thermiquement isolé et initialement à la température θ0 = 0 °C. Déterminer la loi d’échauffement donnant la température θ du fil en fonction du temps. I.2. Le fil n’est en fait pas thermiquement isolé. Si à l’instant t, la température est θ, l’énergie calorifique cédée au milieu extérieur (pris à 0 °C) entre les instants t et t + dt est : (I.2) dW = kAθdt où A est l’aire latérale du fil dont la section droite a pour aire s et pour périmètre p. Déterminer la température d’équilibre θM du fil en fonction de a, ρ0, I, k, p et s. Exercice II : Résistance électrique La résistance électrique d’un fil métallique vérifie dans le domaine de température où on utilise, la formule suivante : R= R0 1 − aθ (II.1) où R0 et a sont des constantes positives. θ désigne le température donnée en °C. Le fil a une capacité thermique η (η mesure l’énergie calorifique que doit absorber le fil pour que sa température s’élève de 1 °C). La température extérieure est θ0, la puissance calorifique perdue par le fil porté à la température θ est : P = k (θ − θ 0 ) (II.2) où k est une constante positive. On applique au fil dès l’instant t = 0, une tension constante u, la température initiale du fil étant θ0. II.1. Calculer la température limite θM du fil en fonction de u, R0, a, k et θ0. II.2. Exprimer la température θ du fil à l’instant t. II.3. A.N. u = 20 V, R0 = 40 Ω, a = 4×10−3°C−1, k = 40 mW/°C, θ0 = 20 °C Calculer θM, puis le temps t1 au bout duquel la température du fil est θ1 = 112 °C. 72 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrocinétique N°3 Exercice I : I.1. Déterminer la résistance entre les points A et B de la figure (I.1.a) I.2. Déterminer la résistance entre les points A et B de la figure (I.1.b), l’interrupteur K étant dans un premier temps ouvert puis fermé. I.3. Déterminer la résistance équivalente entre les points A et B de la figure (I.1.c). I.4. Déterminer la résistance équivalente entre les points A et B puis entre les points C et D de la figure (I.1.c). A A B B R2 R1 R3 10 Ω 10 Ω 5Ω 5Ω 10 Ω C D K 2,5 Ω C a D b C B R R A D R R R R C R R B R R c d A D Figure I. Exercice II : Résistance électrique Par des modélisations successives sur les différents circuits linéaires de la figure (II), déterminer les modèles équivalents de Thévenin (M.E.T.) et de Norton (M.E.N.) en précisant à chaque fois les caractéristiques E, R et J de ces modèles. 73 ASINSA – 1ère année TD de Physique C A (4 V, 6 Ω) 5V 10 Ω (2 V, 4 Ω) A 10 Ω 4A 10 Ω − − 5A 2,4 Ω + A + B B a B D b 2 kΩ R A E1 C c 2 kΩ B E2 2 mA R 2 mA D A d B e Figure II. 74 ASINSA – 1ère année TD de Physique Electrocinétique N°4 Exercice I : Loi de Kirchhoff Le réseau schématisé à la figure (I) comprend : • dans les branches CA et AD des appareils polarisés réversibles dont la f.é.m. individuelle est E = 12 V et dont la résistance interne est négligeable, • dans les branches CD et DB des conducteurs purement ohmiques de résistance individuelle R = 4 Ω • dans la branche BC une résistance morte R/2 • dans la branche AB un électrolyseur de f.c.é.m. E’ et de résistance r = R/2 Déterminer les intensités de courant dans les différentes branches dans les deux cas suivants : • E’ = 2 V • E’ = 10 V C E − R/2 + R A B Figure I. − + R E D E ’ r N.B. : On négligera éventuellement l’intensité du courant correspondant au phénomène « d’électrolyse invisible ». Exercice II : Le schéma de la figure (II) représente une partie d’un réseau, comprenant deux dipôles linéaires actifs A1 et A2 et des résistances constantes. Des nœuds M et Q partent vers le reste du réseau des courant de 10 A et 5 A respectivement. Les valeurs des f.é.m. et des résistances qui nous intéressent sont indiquées auprès de chaque éléments. II.1. Déterminer le sens conventionnel et l’intensité I du courant dans celle des trois branches aboutissant en N sans contenir A1 ou A2. 75 ASINSA – 1ère année TD de Physique II.2. Déterminer les sens et les intensités des courants dans les branches P1M, P1Q, P2M, P2Q, NA1P1 et NA2P2. 10 A M Ω 0, 3 Ω 2 0, p2 A1 − Ω + 0, 6 4 0, Ω p1 112 V 0,1 Ω + A2 Q 5A Figure II. − I? N 76 110 V 0Ω ASINSA – 1ère année TD de Physique MODULE ″GRANDEUR PHYSIQUES″″ Interrogation n°1 Le 26 octobre 1999 A Durée : 1h45 Question de cours Enoncez le théorème d’Archimede et donnez-en une démonstration B Analyse dimensionnelle/calcul d’incertitude Une grandeur g est liée à 2 grandeurs a et b par la relation suivante : g=a 3ab avec a > b >0 2 a − b2 Les mesures de a et b ont été obtenues indépendamment mais avec la même incertitude. ∆a ∆b = =ε a b B.1. Donner la dimension de g en fonction des dimensions de a et b. B.2. Déterminer l’incertitude relative portant sur g. B.3. Donner l’expression de l’incertitude absolue portant sur l’évaluation de g. C Produit scalaire/produit vectoriel Les questions C.1 et C.2 sont indépendantes. r r r C.1. Soit les vecteurs u (0, 4, 6), v (1, -1, -2), w (2, 3, -2) dans une base orthonormée directe ( e1 , e2 , e3 ). On considère les vecteurs suivants : A = mu + v − w B = u − v + 2m w Calculer les composantes des vecteurs A et B . Puis déterminer m pour que A et B soient orthogonaux. C.2. Dans un repère orthonormé (O, e1 , e2 , e3 ), on considère les trois points : A(a, 0, 0), B(0, b, 0) et C(0, 0, c) Déterminer les coordonnées d’un vecteur unitaire n perpendiculaire au plan ABC. D Géométrie des masses Les parties D.1, D.2 et D.3 sont indépendantes. D.1. Le cornet de glace. 77 ASINSA – 1ère année TD de Physique Vous venez d’acheter une glace dans un cornet. La glace fait une demi-boule de rayon R et remplit le cornet de hauteur h et d’angle 2α (figure D.1). R D.1.1. Etablir en fonction de R, h et a la relation exprimant le volume total de glace que vous allez manger. α h Pour cela on retrouvera par integration l’expression du volume d’un cône et d’une sphère. D.1.2. obtenue. Vérifier l’homogénéité de la formule Figure D.1. D.2. Conteneur cylindrique Un conteneur cylindrique de longueur L et de rayon R est rempli de sable fin supposé homogène de masse volumique ϕ jusqu’à une hauteur R/2 (cf. figure D.2). L’espace est rapporté au trièdre [0, x, y, z], 0 étant le centre de symétrie du conteneur et (0z) l’axe vertical ascendant. z Figure D.2. O R R/2 L D.2.1. Déterminer en fonction de L, R et ϕla masse totale du sable. D.2.2. Déterminer la coordonnée Z du centre d’inertie du sable en fonction de R. D.3. Disque non homogène Déterminer la masse et les coordonnées du centre d’inertie d’un quart de disque (cf. figure D.3) non homogène de masse surfacique σ. y σ = σ 0 cos 2 ( θ) Figure D.3. π θ ∈ 0, 2 R θ x 78 ASINSA – 1ère année TD de Physique MODULE ″GRANDEUR PHYSIQUES″″ Interrogation n°2 Le 30 novembre 1999 Durée : 1h45 A. Question de cours Démontrer que l’énergie potentiel élastique pour un ressort de raideur k est E p = 1 2 kx + cte 2 où x représente l’élongation du ressort. B. Statique des fluides r r r On utilisera le système d’axes (Ox ; Oy ; Oz) et le repère orthonormé direct (O ; i ; j ; k ) correspondant. B.1. Une plaque plane ABCD (Figure B.1) située dans le plan vertical (xOz), d’épaisseur constante très faible, de masse surfacique constante σ, est délimitée par : • Deux segments de droites parallèles à (Ox) : [AB] et [CD] • Deux portions d’hyperboles équilatères symétriques par rapport à (Oz), telles que : pour [BC] z .x =a2 et pour [AD] z .x = -a2 (où a est une constante). [AB] est à la distance OH=a/2 de (Ox) et [CD] à la distance OK=2a de (Ox). B.1.1. Déterminer en fonction de a l’aire A et la masse m de la plaque ABCD. B.1.2. Déterminer en fonction de a les coordonnées xG, yG, zG du point G centre d’inertie de cette plaque . B.2. La plaque précédente constitue une vanne qui coïncide exactement avec la section droite d’un canal (Figure B.2). On considère qu’elle est en contact : • Du côté des y>0 avec l’air de pression uniforme Pa. • Du côté des y<0 avec de l’eau de masse volumique ρ , jusqu’à une hauteur correspondant au bord supérieur [AB]. r r Le champ de pesanteur uniforme est : g = gk r B.2.1. Déterminer en donnant toutes les justifications utiles, la somme F des forces pressantes qui s’exercent sur l’ensemble des deux faces de la plaque ABCD. (On donnera la r direction, le sens et le module F de F ). r B.2.2. On admet que la résultante des forces pressantes est F et on appelle P le centre de poussée. Que représente ce point particulier de la plaque ABCD ? Expliquer le principe d’une méthode permettant de déterminer les coordonnée xP, yP, zP du ce point P sans les déterminer. Calculer les coordonnées de P. 79 ASINSA – 1ère année TD de Physique z ’ z ’ r i O x ’ eau (ρ) x y ’ a/2 A B r k 2a x r j O A x ’ r i B H CANAL r k P P y air C D D C K K z z Figure B.1. Figure B.2. C. Mécanique Sur la plaque ABCD de masse m est fixée une tige verticale [OP] solidaire d’un axe horizontal [I1, I2] de support (Ox). [I1, I2] peut tourner sur lui-même (Figure 3). Une deuxième tige [OL] est également fixée en O sur l’axe [I1, I2]. Elle est située dans le plan (yOz) et est inclinée vers le haut par rapport à l’horizontal d’un angle θ. Elle comporte à son extrémité L un boule pesante de masse M. (Figure C.1) z ’ y ’ I2 O r i B H I1 L O θ A x ’ L x r j y θ y AB air CANAL r k P eau air C D C D P K z z Figure C.1. OI1 = OI2 = OL = b et on néglige les masses de [OP], [OL] et celle de [I1I2]. On considère le système mécanique (S) constitué de l’axe [I1I2] les 2 tiges, la plaque et la boule de masse M. Ce sytème est soumis uniquement aux poids, aux forces pressantes étudiées précédemment et aux réactions R 1 en I1 et R 2 en I 2 . r r r r R 1 = R1y . j + R 1z .k et R 2 = R 2 y . j + R 2 z .k r r r C. 1. On note ΓO = α i + β j + γk le moment résultant par rapport à O des forces appliquées à (S). Exprimer α,β,γ en fonction de M, m, F, θ, g, zP, b, R 1y , R 1z , R 2 y , R 1z . C. 2. Déterminer la masse M que doit avoir la boule pesante plaçée en L pour que le système (S) soit en équilibre. M sera exprimé en fonction de m, F, θ, g, zP et b. C. 3. Le système étant supposé à l’équilibre, déterminer les composantes algébriques des réactions R 1y , R 1z , R 2 y , R 1z en fonction de m, F, θ, g, zP et b. C. 4. Application numérique : les données sont ρ=1g/cm3 ; g=9.81 m/s2 ;a=b=1 m ; θ=30° Calculer la masse M de la boule. 80 ASINSA – 1ère année TD de Physique MODULE ″GRANDEUR PHYSIQUES″″ Interrogation n°3 Le 4 janvier 2000 A. Durée : 1h45 Question de cours Considérons A et A’ deux points conjugués au travers d’un dioptre sphérique de centre C séparant deux milieux d’indice n et n’. Après avoir rappelé la première forme de la relation de conjugaison donnant les positions de A et A’ par rapport au sommet S du dioptre, donner une démonstration de la relation de Newton rappelée ci-dessous dans laquelle les origines sont prises aux foyers F et F’ du dioptre. Relation de Newton : B. FA.F' A ' = SF.SF' L’insecte dans la résine résine Σ B On introduit un insecte AB dans de la résine d’indice n = 3/2. L’indice de l’air est n’=1. La surface Σ de la résine est une portion de sphère de rayon r et de centre de courbure C (figure B.1). A S n = 3/2 n’ = 1 Figure B.1. B.1. Donner les expressions de SF et SF' en fonction du rayon de courbure r = SC . B.2. Discuter de la position de l’image A’B’ ainsi que de sa nature, en fonction de la position de l’insecte AB par rapport au foyer objet F. L’insecte est placé à 1 cm du sommet S à l’intérieur de la résine et l’on veut, à travers la surface Σ, en obtenir une image A’B’ avec un grandissement transverse |γ| = 1,1. B.3. Suivant le signe choisi pour γ (γ = ± 1,1), il y a deux solutions. Dans chaque cas, déterminer la position de l’image A’ et sa nature ainsi que le rayon de courbure r = SC . Dans chaque cas, représenter à l’échelle les positions de S, C, A et A’. B.4. D’après vous, quelle est la solution physiquement réalisable ? C. Association de dioptres sphériques On considère un système centré formé par l’association de 2 dioptres (D1) de centre C1 et de sommet S1 et (D2) de centre C2 et de sommet S2 tels que : 81 ASINSA – 1ère année TD de Physique C1 S1 = R ; C2S2 = − R ; S1 S 2 = 2R Ce système est placé dans l’air (indice 1) et le milieu intermédiaire a pour indice 4/3 Les foyers principaux de (D1) sont F1 et F’1, ceux de (D2) sont F2 et F’2. C.1. Exprimer S1 F1 , S1 F'1 , S 2 F2 , S 2 F' 2 en fonction de R. Placer les foyers sur une épure en prenant R = 2 cm C.2. Déterminer par le calcul la position du foyer principal objet F du système. On exprimera F1 F en fonction de R C.3. Déterminer par le calcul la position du foyer principal image F’ du système. On exprimera F' 2 F' en fonction de R. C.4. Retrouver par construction géométrique la position de F’. Pour cela, on tracera pour le dioptre D2 un rayon passant par C2 et parallèle au rayon incident. En déduire la position de H’. C.5. A est un point objet de l’axe du système dont l’image est A’. Démontrer la relation suivante liant x = F1 A , x' = F' 2 A ' et R : − 1 1 5 + = x x' 6R (C.1) Pour cela, on utilisera pour les dioptres sphériques la relation de conjugaison avec origine double aux foyers soit la relation de Newton. C.6. Démontrer que le grandissement γ peut être exprimé en fonction de x et de x’ par la relation suivante : γ=− x' x (C.2) C.7. Déterminer à l’aide des relations (C.1) et (C.2), la position des points principaux H et H’ du système. C.8. C.8.1. Construire l’image A' B' d’un petit objet AB à travers le système D1 ∪ D2. R = 2 cm ; AB = 3 cm ; AS1 = 2R C.8.b. Retrouver par le calcul la position et la grandeur de l’image A' B' . C.9. C.9.a. Construire l’image A' B' d’un petit objet AB à travers le système D1 ∪ D2. R = 2 cm ; AB = 3 cm ; S 2 A = 2R C.9.b. Retrouver par le calcul la position et la grandeur de l’image A' B' . 82 ASINSA – 1ère année TD de Physique MODULE ″ELECTROMAGNETISME″″ Interrogation n°1 Le 4 janvier 2000 A. Durée : 1h45 Question de cours. Démontrer que le champ électrostatique E est à circulation conservative. B. Potentiel électrostatique dû à un disque chargé uniformément. Un disque de diamètre a et de centre O porte une charge répartie uniformément en surface. On désigne par σ la charge surfacique de ce disque. Calculer, en justifiant toutes les étapes, le potentiel créé par le disque chargé en son centre O. C. Calcul du potentiel créé par une plaque carrée de charge surfacique σ en son centre. C.1. Potentiel et champ créé par un segment chargé Considérons un segment SS’ portant la charge linéique λ, SS’ = 2l (cf. figure 1). C.1.1. Calculer le potentiel créé par SS’ en un point de sa médiatrice, situé à la distance x. (cf. figure C.1). Rappel: ∫ dx a2 + x2 = ln a2 + x2 + x + cte a (C.1) C.1.2. Quelle est l’orientation du champ E au point M de la médiatrice, situé à la distance x du segment chargé. Donner l’expression de E à partir du résultat obtenu en C.1.1. A S a/2 l O M x x S ’ B a/2 Figure C.1. Figure C.2. C.2. Potentiel créé par une plaque triangulaire. 83 ASINSA – 1ère année TD de Physique Considérons maintenant une plaque triangulaire dont les dimensions sont données sur la figure (C.2). Expliquer comment à partir des résultats précédents on peut calculer le potentiel en O créé par cette plaque triangulaire de charge surfacique σ. Donner l’expression du potentiel en O. C.3. Potentiel créé par une plaque carré. A l’aide des résultats précédents calculer le potentiel créé au centre O d’une plaque carrée de côté a portant la charge surfacique σ. Comparer le résultat obtenu à celui du potentiel du disque calculé en B. D. Distribution de charges à symétrie cylindrique A l’intérieur d’un cylindre ‘inifini’, d’axe z’z, de rayon R se trouve un faisceau de particules chargées réparties avec une densité volumique de charge ρ. r 2 ρ = ρ o 1 + R (D.1) Déterminer le module du champ électrostatique en un point intérieur et en un point extérieur au faisceau cylindrique. Toutes les étapes de calcul devront être soigneusement justifiées. E. Flux d’un champ électrostatique au travers d’un disque. Une charge q considérée comme ponctuelle est placée en O. Un disque circulaire (C) de rayon R a pour centre C tel que OC = h (h > 0) et pour axe la droite OC. On désigne par n = OC la normale orientée sur (C) (cf. figure E.1) h n o q Figure E.1. C On se propose de calculer le flux Φ à travers (C) du champ électrostatique créé par q, et ceci par les deux méthodes suivantes : E.1. Première méthode. Calculer Φ en appliquant le théorème de Gauss à une surface fermée Σ formée par (C) et par une calotte sphérique (S) plus petite qu’un hémisphère et dont le centre de courbure est O. E.2. Deuxième méthode. Calculer Φ en appliquant le théorème de Gauss à une surface fermée Σ’ formée par (C) et par une calotte sphérique (S’) de centre O et plus grande qu’un hémisphère. Pour les deux méthodes on représentera clairement sur un schéma les surfaces (Σ) et (Σ’) et on donnera toutes les étapes permettant d’obtenir Φ. N. B. : On rappelle que l’aire d’une calotte sphérique de hauteur H prise sur une sphère de rayon R’ est : S=2πR’H 84 ASINSA – 1ère année TD de Physique MODULE ″GRANDEUR PHYSIQUES″″ Devoir de synthèse n°1 Le 24 janvier 2000 Durée : 3h Tout document est interdit. Les élèves sont priés : • • A. D'indiquer leur nom et leur groupe, le nombre de feuilles intercalaires soigneusement numérotées (y compris épures, graphiques, …). De bien mettre en évidence les résultats littéraux ou numériques (les principaux résultats étant encadrés). GEOMETRIE DES MASSES ET STATIQUE DES FLUIDES On considère un récipient cylindrique, à fond plat de rayon R, dont la paroi a une épaisseur constante très faible. On mélange dans le récipient deux liquides de masses volumiques différentes afin d’obtenir un mélange non homogène. En effet, la masse volumique ρdans la colonne de liquide varie avec la hauteur x. suivant la loi : ρ = ρ0 (1 − αx ) (A.1) où ρ0 et α sont des constantes positives. La hauteur du liquide dans le récipient est H et la surface supérieure du liquide est en contact avec l’air à la pression atmosphérique Pa. L’axe Ox vertical ascendant est confondu avec l’axe de révolution du cylindre, l’origine O étant prise sur la base inférieure.(cf figure A.1). Déterminer la masse M de liquide contenu dans le récipient, et vérifier l’homogénéité de la formule obtenue. x x Air p=PA R (S) Liquide p=p(x) H 2a H O x0 figure A.1. L Liquide O Figure A.2. ∆M Donnez l’expression de l’incertitude relative sur la masse M en fonction des incertitudes M ∆H ∆R ∆ρ0 ∆α relatives , , , H R ρ0 α 85 ASINSA – 1ère année TD de Physique Calculez les coordonnées du centre d’inertie du liquide dans le repère orthonormé (0, x, y, z) Calculez le moment d’inertie du liquide par rapport à l’axe Ox. On introduit dans la colonne de liquide, un solide (S) ayant la forme d’un cylindre droit à section circulaire de rayon a et de longueur L (L<2R). Ce solide complètement immergé, prend dans la colonne de liquide une position d’équilibre, son axe de révolution est horizontal et se situe à la côte x0. (Figure A2). On note P0 la pression dans le liquide à la côte x=0. Etablir la loi de variation de la pression p, dans le liquide en équilibre, en fonction de x et de P0. En appliquant le théorème d’Archimède, montrer que les forces pressantes subies par le petit solide (S) de la part du liquide se réduisent à une force unique dont on donnera le support, le sens, la direction et le module que l’on notera FA . Commentez le résultat obtenu Déduire du résultat précédent l’expression de la résultante F des forces pressantes sur la surface latérale du solide (S). Calculer la masse volumique µ de (S) en fonction de ρ0, x0, et α. Calculez µ à partir des données suivantes : ρ0=1,42 g/cm3, α=0,1 m-1, x0=20 cm B. Mécanique, étude d’un petit chariot sur une piste Un chariot de masse m, de petites dimensions est mobile sans frottement sur une piste située dans un plan vertical. La piste est formée de plusieurs parties (cf. figure B.1) : • • • • AB : partie circulaire de centre O1, de rayon et R1 d’angle . BC : partie rectiligne inclinée, de longueur 2R1, se raccordant tangentiellement à AB. CD : partie rectiligne de longueur R1. DE : partie circulaire de rayon 2R1 et de centre O2. Le chariot est abandonné sans vitesse initiale en A. Les seules forces appliquées au chariot sont les forces de réaction de la piste et de pesanteur. A y R1 O2 B α α O1 2R1 E 2R 1 g R1 C D Figure B.1. Déterminer le travail des forces de pesanteur appliquées au chariot en fonction de R1 et α lors des déplacements suivants et préciser si ce travail est moteur ou résistant : • • • Entre A et B Entre B et C Entre C et D 86 ASINSA – 1ère année • TD de Physique Entre D et E Déterminer le travail des forces de réaction lors de ces divers déplacements. Déterminer le module de la vitesse du petit chariot aux différents points suivants de la trajectoire : B, C, D et E. Calculer la force de freinage F , constante, de support CD, qu’il faudrait appliquer entre C et D pour que le chariot qui passe en C avec la vitesse déterminée à la question précédente, s’arrête en D. Soit V = V e θ la vitesse du chariot entre A et B. ( e r , e θ ) désigne le repère polaire local lié au chariot (cf figure B.2.). Montrer que l’accélération du chariot entre A et B prend la forme : a= dV V2 eθ − er dt R1 (B.1) •A er m • eθ R 1 θ Figure B.2. •B ey x O1 ex Déterminer la réaction R de la piste au point B en appliquant la relation fondamentale de la dynamique au petit chariot qui s’écrit : P + R = ma (B.2.) a désigne l’accélération déterminée dans la question 5) précédente . C. OPTIQUE Cet exercice comporte deux constructions graphiques. Les tracés seront directement effectués sur la feuille ci-jointe qui sera rendue avec la copie. 87 ASINSA – 1ère année TD de Physique Nom : Prénom : Groupe : C - Optique Cette feuille est à rendre avec la copie F’ O1 H’ H F C O2 D 1 - Construire l ’image C’D’ donnée par le système (L1∪L2) de l’objet CD H A’ F H’ F’ B’ S1 S2 2 - Le système (S1∪S2) donne d ’un objet AB l’image A ’B ’. Représenter la position de l’objet AB. Donner la nature de l ’objet AB obtenu par construction. 88 ASINSA – 1ère année TD de Physique 89