Chapitre 2 Résultats pratiques

Chapitre 2
R´esultats pratiques
2.1 Rep´erage
Soit A= (E, E) un espace affine de dimension finie nsur K(K=Rou C).
Rep´erer un point dans l’espace Asignifie d´ecrire sa position `a l’aide d’un syst`eme de
nombres. Cela permet en g´en´eral de traduire les propri´et´es g´eom´etriques des figures par
des propri´et´es num´eriques. On utilise principalement deux types de rep`eres.
2.1.1 Rep`ere cart´esien
D´efinition 1 :
Un rep`ere cart´esien de l’espace A= (E, E)est un couple (O, e)de E×Eno`u e= (e1, . . . , en)
est une base vectorielle de E.` A chaque point Mde Eon associe le syst`eme de ses co-
ordonn´ees cart´esiennes (λ1, . . . , λn)∈Knqui sont (par d´efinition) les composantes du
vecteur −−→ OM dans la base (e1, . . . , en):
−−→
OM =λ1e1+· · · +λnen
On v´erifie facilement que l’application Λ : M7→ (λ1, . . . , λn) est une bijection et mˆeme un
isomorphisme affine entre A= (E, E) et (Kn,Kn) (question : quelle est sa partie lin´eaire ?)
Exemple
Lorsque l’espace affine est une droite (R,∆) munie d’un rep`ere (O, i), la coordonn´ee
cart´esienne d’un point Ms’appelle son abscisse, c’est aussi la mesure alg´ebrique OM.
2.1.2 Rep`ere affine (ou base affine)
Une base affine A0, A1, . . . , Ande A´etant donn´ee, on peut aussi associer `a chaque point
Mde Ale syst`eme (α0, . . . , αn) de ses coordonn´ees affines caract´eris´e par
M=Bar(A0, α0;. . . ;An, αn)
et l’on v´erifie simplement que l’application M→(α0, . . . , αn) est un isomorphisme affine
de Asur H= (H0, H1) (avec les notations de l’exemple 3, chapitre 1).
2.1.3 Passage d’un rep`ere cart´esien `a un rep`ere affine
Remarquons d’abord que si (O, e1, . . . , en) est un rep`ere cart´esien alors posant A0=O
pour tout indice i≥1, Ai=O+ei, (A0, . . . , An) est une base affine. Inversement, bien sˆur
si (A0, . . . , An) est une base affine alors (O, e1, . . . , en) est un rep`ere cart´esien o`u O=A0
et, pour tout indice i≥1, ei=−−−→ A0Ai. On se donne maintenant un rep`ere cart´esien
(O, e1, . . . , en) et une base affine (A0, . . . , An) reli´es comme il vient d’ˆetre dit. Soit Xun
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10 CHAPITRE 2. R ´ ESULTATS PRATIQUES
point de A, de coordonn´ees cart´esiennes (x1, . . . , xn) dans le rep`ere (O, e1, . . . , en) et de
coordonn´ees affines (α0, . . . , αn) dans la base affine (A0, . . . , An) (donc α0+· · · +αn= 1).
Alors :
(1) α0= 1 −(x1+· · · +xn) et, pour i≥1, αi=xi.
2.1.4 Description des applications affines dans un rep`ere
Soient A= (E, E) et B= (F, F) deux espaces affines et f:A→Bune application affine
de partie lin´eaire Lf.
Cas d’un rep`ere cart´esien
On munit Ad’un rep`ere cart´esien R= (a0,a) (o`u a0=Aest un point dans Eet
a= (a1, . . . , an) est une base de E) et de mˆeme un rep`ere cart´esien R0= (B, b) de B
(avec B=b0et b= (b1, . . . , bm)). Comme on l’a vu au chapitre 1, l’application fest
d´etermin´ee par sa partie lin´eaire Lfet l’image A0du point A:
(2) f(P) = f(A) + Lf(−→ AP ) .
Donc en notant L=M(Lf,b,a) la matrice de l’application lin´eaire Lf, exprim´ee de la
base de d´epart adans la base d’arriv´ee b(1), si Xet X0sont les matrices colonnes don-
nant les coordonn´ees cart´esiennes de Pet P0=f(P) dans les rep`eres Ret R0, on a
(3) X0=A0+L.X
Application : On peut utiliser cette relation pour d´eterminer des changements de coor-
donn´ees lors d’un changement de rep`ere cart´esien : il suffit d’appliquer le r´esultat en
prenant pour fl’application identique.
Cas d’un rep`ere affine
Les espaces Aet Bsont munis des bases affines a= (A0, . . . , An) et b= (B0, . . . , Bm).
Toujours d’apr`es le chapitre 1, la fonction frespectant le barycentre, elle est d´etermin´ee
par les images A0
0, . . . , A0 ndes points A0, . . . , An. Chacune de ces images peut se d´ecrire
comme barycentre des points B0, . . . , Bm,donc de la forme :
A0
i=λ0iB0+. . . +λmiBmo`u P0≤j≤mλji = 1
et par le th´eor`eme d’associativit´e du barycentre il vient
Proposition 1 :
Soit M= (λji)la matrice de type (m+ 1) ×(n+ 1) dont le (j, i)-`eme coefficient est
caract´eris´e par A0
i=P0≤j≤mλjiBj. Tout point de Adont les coordonn´ees barycentriques
dans la base affine a= (A0, . . . , An)sont donn´ees par la matrice X=t(α0, . . . , αn)
poss`ede, par f, une image dans Bdont la matrice X0=t(β0, . . . , βm), dans la base affine
b= (B0, . . . , Bm), est donn´ee par X0=M.X.
On notera Mb,a(f)ou M(f;b,a)cette matrice M.
Relation de Chasles et changement de rep`eres
Proposition 2 (Chasles) :
Deux applications affines f:A→A0et g:A0→ A00 ´etant donn´ees, ainsi que des bases
affines a,a0et a00 de A,A0et A00,ona:
M(g;a00,a0).M(f;a0,a)=M(g◦f;a00,a)
1Attention `a la convention retenue ici : la base de d´epart est plac´ee `a droite pour faciliter l’´ecriture de
la relation de Chasles M(v◦u, c,a) = M(v, c,b)M(u, b,a)

2.1. REP ´ ERAGE 11
La relation de Chasles nous donne les formules de changement de rep`ere affine suivantes
pour un point Pou une application affine f(pr´eciser les notations) :
Proposition 3 :
On a : M(P;a0) = M(IdA;a0,a).M(P;a)
et M(f;a0,a0) = M(IdA;a0,a).M(f;a,a).M(IdA;a,a0)
Terminologie : comme dans le cas lin´eaire la matrice M(IdA;a0,a) s’appelle matrice
de passage de la base a`a la base a0. On remarque que ses colonnes repr´esentent les
coordonn´ees affines des ´el´ements de aexprim´ees dans la base a0. On utilisera aussi la
notation Ia0,apour d´esigner cette matrice.
2.1.5 ´ Equations, param´etrages de sous-espaces affines
Une remarque pr´eliminaire :
Lorsqu’un espace affine Aest d´ecrit dans un rep`ere R(cart´esien ou affine), on identifie
souvent chaque point Pau syst`eme de ses coordonn´ees Xet l’on ´ecrit, par exemple
f(P) = f(X) = f(x1, . . . , xn),
pour une fonction fd´efinie sur A. Cet abus de notation n’est bien sˆur acceptable que si
le contexte indique clairement dans quel rep`ere (ou base affine) sont d´ecrits les points.
On garde les notations du paragraphe (2.1.4) pr´ec´edent ; f:A→Best une application
affine, R= (A, a) est un rep`ere de Aet R0= (B, b) un rep`ere de B. Au chapitre 1 on a vu
que l’image directe de Apar fest un sous-espace affine de B1de Bdont la dimension est
´egale au rang de f: nous dirons alors que fr´ealise un param´etrage affine de B1=f(A).
De mˆeme l’image r´eciproque d’un point Bde Best, soit vide, soit un sous-espace affine
A1de Ade direction ker Lf. Nous dirons alors que l’´egalit´e f(X) = Best une ´equation
affine du sous-espace affine A1.
Traduisons cela matriciellement en repartant de l’expression matricielle (3) de fdonn´ee
pr´ec´edemment :
f(P) = P0⇐⇒ X0=A0+L.X,
dans les rep`eres cart´esiens Ret R0. Alors l’ensemble des points de Bdont les coordonn´ees
X0dans le rep`ere R0= (B, b) sont de cette forme est le sous-espace affine de Bimage de
Apar f. De mˆeme l’ensemble des points de Adont les coordonn´ees Xsatisfont `a l’´egalit´e
A0+LX =Best soit vide soit un sous-espace affine dont la direction admet l’´equation
LX = 0.
Remarque : on obtiendrait bien sˆur un r´esultat analogue en utilisant des coordonn´ees
barycentriques plutˆot que cart´esiennes.
2.1.6 Deux exemples courants
´
Equation cart´esienne d’un hyperplan
Soit A= (E, E) o`u Eest l’espace vectoriel Rnet f:A → Rune forme affine. Si fn’est
pas constante sa partie lin´eaire est une forme lin´eaire non nulle, dont le noyau est un
hyperplan vectoriel Hde E. Par suite un hyperplan Hadmet une ´equation cart´esienne
de la forme
(4) t(x1, . . . , xn)∈ H ⇐⇒ a1x1+· · · +anxn+d= 0
et sa direction Hest alors le noyau de la forme lin´eaire associ´ee :
t(x1, . . . , xn)∈H⇐⇒ a1x1+· · · +anxn= 0

12 CHAPITRE 2. R ´ ESULTATS PRATIQUES
Pratiquement, pour d´eterminer l’´equation d’un hyperplan Hde direction H=< h1, . . . , hn−1>
et passant par un point Ω on remarque qu’un point Mest sur Hsi et seulement si le
vecteur −−→ ΩMest li´e aux vecteurs h1, . . . , hn−1, ce qui revient `a dire que Hadmet l’´equation
f= 0 o`u fest la forme affine
f:M→det(h1, . . . , hn−1,−−→ ΩM).
Param´etrage barycentrique d’un sous-espace affine
Supposons qu’un sous-espace affine (V, V) de Asoit engendr´e par ppoints P1, . . . , Pp. On
peut d´ecrire les points Mde Vcomme ´etant des barycentres de P1, . . . , Pp, ce qui nous
donne un param`etrage γ:Rp→ V sous la forme
γ(t1, . . . , tp) = t1P1+· · · +tpPp,
o`u le p-uplet (t1, . . . , tp) d´ecrit le l’hyperplan affine de Rpd’´equation
t1+· · · +tp= 1.
2.2 Points align´es. Droites concourantes
2.2.1 Cas du plan
Dans un plan affine on se donne trois points A, B, C par leurs coordonn´ees cart´esiennes
a=t(a1, a2), b=t(b1, b2), c=t(c1, c2) dans un rep`ere cart´esien (O, e1, e2), et leurs coor-
donn´ees affines α=t(α0, α1, α2), β=t(β0, β1, β2) et γ=t(γ0, γ1, γ2) dans un rep`ere
affine (A0, A1, A2).
Proposition 4 :
Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
1.Les points A, B, C sont align´es .
2.Le d´eterminant 
1 1 1
a1b1c1
a2b2c2
est nul.
3.Le d´eterminant 
α0β0γ0
α1β1γ1
α2β2γ2
est nul.
´
Equations de droites
On garde le syst`eme de coordonn´ees pr´ec´edent pour les points A, B, C.
Proposition 5 :
1a. Un point Mde coordonn´ees cart´esiennes t(x, y)est sur la droite AB si et seulement si
1 1 1
a1b1x
a2b2y
=x(a2−b2)−y(a1−b1) + a1b2−a2b1= 0
Le vecteur de composantes t(a1−b1, a2−b2)dirige cette droite.
1b. Inversement l’ensemble des points dont les coordonn´ees cart´esiennes t(x, y)v´erifient
une ´equation de la forme ax +by +c= 0 (o`u |a|+|b| 6= 0) est une droite dirig´ee par le
vecteur (−b, a).
2a. La droite AB est l’ensemble des points Mdont les coordonn´ees affines t(x, y, z)
v´erifient

2.3. TRANSFORMATIONS AFFINES USUELLES 13
x+y+z= 1 et
α0β0x
α1β1y
α2β2z
=x(α1β2−α2β1) + y(α2β0−α0β2) + z(α0β1−α1β0)=0
2b. Inversement, lorsque α, β et γne sont pas tous ´egaux, l’ensemble des points dont les
coordonn´ees affines t(x, y, z)v´erifient une ´equation de la forme αx +βy +γz = 0 est une
droite dirig´ee par le vecteur (ind´ependant de O)
(γ−β)−→
OA + (α−γ)−−→ OB + (β−α)−→ OC = (γ−β)A+ (α−γ)B+ (β−α)C
2.3 Transformations affines usuelles
2.3.1 Dilatations
Translations
On rappelle qu’`a chaque vecteur vde Eest associ´ee la translation tvdonn´ee par tv(M) = M0
si et seulement si v=−−−→ MM0. On a aussi tv(M) = v+M(notation justifi´ee par le plonge-
ment de l’espace affine dans son espace de points massiques (exercice 16 du chapitre 1).
La propri´et´e suivante caract´erise les translations.
Proposition 6 :
Une application affine de Edans lui-mˆeme est une translation si et seulement si sa partie
lin´eaire est l’identit´e. Les translations forment un sous-groupe commutatif T=TEdu
groupe GA(E)des transformations affines de E.
D´emonstration. :
La partie directe est ´evidente. Inversement si σest une transformation affine dont la partie
lin´eaire est l’identit´e, Aun point de E,A0son image par σet tla translation de vecteur
−−→
A0A, la relation
t◦σ(M) = t◦σ(A) + Lt◦σ(−−→ AM) = A+−−→ AM =M
nous montre que t◦σ=IdE, donc que σ=t−1est une translation.
Enfin Test l’image dans GA(E) du groupe additif Epar le morphisme t:v→tv; c’est
donc un sous groupe de GA(E). 2
Homoth´eties
Un point Oet un scalaire λ6= 0 ´etant donn´es, on leur associe l’homoth´etie hO,λ de
centre Oet de rapport λdonn´ee par hO,λ(M) = M0si et seulement si −−→ OM0=λ−−→ OM.
On caract´erise aussi les homoth´eties par leur partie lin´eaire :
Proposition 7 :
Une application affine de Edans lui-mˆeme, autre que l’identit´e, est une homoth´etie si et
seulement si sa partie lin´eaire est une homoth´etie vectorielle de rapport λ /∈ {0,1}. Les
homoth´eties de centre Ωdonn´e forment un sous-groupe commutatif HΩde GA(E).
D´emonstration. :
`
A nouveau la partie directe est ´evidente. Prenons une transformation affine σdont la
partie lin´eaire est λIdEo`u λ6= 1. D’apr`es la proposition 4 du chapitre 1, σposs`ede un
unique point fixe Ω et il vient
∀M∈ E, σ(M) = σ(Ω) + Lσ(−−→ ΩM) = Ω + λ−−→ ΩM,
ce qui signifie que σest l’homoth´etie hΩ,λ de centre Ω et de rapport λ. Enfin HΩest