Projet de mécanique

UNIVERSITÉ JEAN MONNET
FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNIQUES
PROJET MÉCANIQUE 2006
3ÈME ANNÉE LICENCE MATHÉMATIQUES
AUTEURS DU PROJET
GOLLIARD Gaël
PASCAL Christophe
PELLENARD Bertrand

Table des matières
Introduction 2
1 Rappels de mécanique 3
1.1 Les coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Les coordonnées cylindro-polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 LesloisdeNewton........................... 7
1.3.1 Cadre d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Première loi de Newton ou principe d’inertie . . . . . . . . . 7
1.3.3 Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dyna-
mique.............................. 7
1.3.4 Troisième loi de Newton ou principe des actions réciproques . 7
2 Etude du pendule simple 8
2.1 Présentation............................... 8
2.2 Analysedesforces ........................... 9
2.3 Miseenéquation ............................ 9
2.4 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Cas des petites oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Cas des oscillations en général . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Résolution informatique pour le pendule simple 12
3.1 Présentation............................... 12
3.2 Méthode d’Euler d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Méthode d’Euler d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Méthode de Runge-Kutta d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Comparaison des résultats obtenus par les différentes méthodes . . . . 31
3.7 Comparaison avec les résultats obtenus dans le cadre des petites oscil-
lations.................................. 33
3.8 Estimation de la tension du fil à chaque pas d’itération . . . . . . . . 34
4 Etude du pendule de Foucault 36
4.1 Présentation............................... 36
4.2 Résolution................................ 39
4.3 Bilan................................... 44
Conclusion 46
Annexes 48
1

Introduction
Parmi de nombreux phénomènes, Galilée étudia le pendule oscillant et nota que
la période (la durée d’un aller et retour complet) du pendule semblait être remarqua-
blement constante pour un pendule donné. Il dessina un projet d’horloge réglée par
un pendule oscillant. Cependant, cette horloge ne fut jamais construite et c’est Chris-
tian Huygens qui construisit finalement avec Salomon Coster la première horloge à
pendule en 1657. Dans le présent exposé, nous étudierons tout d’abord ce type de pen-
dule dans le cas des petites oscillations, puis nous traiterons le cas général à l’aide
de plusieurs méthodes d’intégration numérique d’équations différentielles ordinaires
(Méthodes d’Euler ordre 1 et 2 ; Méthodes de Runge-Kutta d’ordre 2 et 4).
En janvier 1851, Léon Foucault installa dans sa cave de la rue d’Assas un pendule
constitué d’un fil métallique de 2m de long qui supporte un lourd poids de 5kg. Puis
il reproduisit la même expérience pour l’Exposition Universelle de Paris de 1855 et
accrocha le fil sous la coupole du Pantheon à Paris. Il observa un petit mouvement
d’oscillation du pendule. Cette expérience fut conçue pour mettre en évidence, par
des moyens uniquement terrestres, la rotation de la Terre par rapport à un référentiel
galiléen ainsi que l’existence de la force de Coriolis dans un référentiel non galiléen.
Ce type de pendule sera traité par la suite dans un second lieu dans le cadre des petites
oscillations.
2

1 Rappels de mécanique
1.1 Les coordonnées cartésiennes
On considère le repère ℜmuni de trois axes fixes perpendiculaires et sécants en O
origine du repère. Ces axes définissent trois directions (Ox), (Oy), et (Oz), munissons
les de trois vecteurs unitaires (~ex;~ey;~ez) de sorte à construire une base orthonormée
directe et fixe, c’est-à-dire indépendante de la position de M.
Nous repèrons un point M par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z) définies comme
les distances algébriques de O aux projections du vecteur ~r=−−→ OM sur les trois axes
(Ox), (Oy) et (Oz) :
x=~r.~ex
y=~r.~ey
z=~r.~ez
Nous obtenons donc M(x;y;z)tel que r=k~rk=px2+y2+z2
Comme la base est fixe on a : (x,y,z)→(x+dx,y,z) qui implique d~rx= dx~ex, de même
d~ry= dy~eyet d~rz= dz~ez. On a donc tout simplement d~r= dx~ex+ dy~ey+ dz~ez.
Par définition,~vM∧Re =d~r
dtℜavec ici (~ex;~ey;~ez) fixes dans ℜon a donc :
~vM∧Re =˙x~ex+˙y~ey+˙z~ez
On a également ~aM∧Re =d~v
dtℜsoit :
~aM∧Re =¨x~ex+¨y~ey+¨z~ez
3

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