3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss

3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Procédure à suivre pour trouver l’expression un champ
électrique?
ΦE =
qnette
ε0
 
= ∫ E • dA
Surface de Gauss
Utile pour calculer des champs électriques dans des
situations symétriques.
Trois conditions importantes pour utiliser efficacement le
théorème de Gauss. Section 3.3
a) Avoir une situation symétrique.
b) Connaître la forme des lignes de champ.
c) Choisir une surface de Gauss adaptée aux lignes de
champ.
1
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
ΦE =
qnette
ε0
 
= ∫ E • dA
Avec ces trois conditions nous montrerons que le champ est
donné par :
++
+ +
+
kQ
E= 2
r
+
+
+
+
+
ρr
E=
3ε o
+
+
+
+
+
+
+
+
2
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
ΦE =
qnette
ε0
 
= ∫ E • dA
Avec ces trois conditions nous montrerons que le champ est
donné par :
2kλ
E=
r
σ
E=
2ε o
3
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Exemple : Calcul du champ électrique à l’extérieur et à l’intérieur
d’une sphère de plastique chargée uniformément.
Situation:
La charge totale de la sphère est Q et le rayon
est R.
+
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Problème : Trouver E à une distance r à l’extérieur
de la sphère
Solution possible :
Utiliser le
théorème de
Gauss.
ΦE =
+
E
qnette
ε0
+
+
+
+
+
+
+
 
= ∫ E • dA
+
+
+
+
+
+
r
5
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Remarque :
dq
E
Avec le calcul
intégral
+
r


kdq 
E = dE =
u
r2
∫
dE
∫
+
+ + +
+ + + dq
+
dq
Assez compliqué.
Ce champ représente le champ résultant de l’ensemble des charges
dans sphère.
6
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Problème : Trouver E à une distance r à l’extérieur de la sphère
Solution possible :
Utiliser le
théorème de
Gauss.
ΦE =
qnette
ε0
+
E
+
+
+
+
+
+
+
 
= ∫ E • dA
+
+
+
+
+
+
r
Avoir les trois conditions.
7
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
La situation est symétrie
a) Dessiner
les lignes de
champ.
+
E
b) Faire
passer une
surface de
Gauss à
l’endroit où
l’on veut la
grandeur de
E
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
r
8
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
c) Enfermer les charges dans la surface de Gauss
 
dΦ E = E • dA
  q nette
∫ E • dA =
ε0
∫ EdA cos 0 =
E ∫ dA =
Q
ε0
+
E
+
Q
+
+
+
dA
ε0
+
+
+
+
2
dA
=
4
π
r
∫
r
E 4πr =
2
Q
ε0
E=
Q
4πr 2ε 0
9
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
E=
Q
4πε 0 r 2
E
+
Résultat probable :
La valeur du champ
électrique à une
distance r du centre de
la sphère de plastique
est donnée par :
+
dA
+
+
+
+
+
+
+
r
E=
Q
4πε 0 r
2
=
kQ
r
2
N/C
10
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
E=
Q
4πε 0 r
2
=
kQ
r
2
N/C
Remarque :
E
+
r
+
+ + +
++ +
+
En fait, on utilise la même
équation que pour calculer le
champ d’une charge ponctuelle
ayant la même valeur et située au
centre de la sphère.
Ce champ représente le champ résultant de l’ensemble des charges
dans sphère.
11
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Remarque :
Le champ d’une charge
ponctuelle ayant la même valeur
et située au centre de la sphère.
E=
Q
4πε 0 r
2
=
kQ
r
2
E
r
N/C
À cause de la symétrie, le champ
extérieur d’une sphère métallique
se calcule également avec la
même équation.
+
+
E
+
+
+
+
+
Ce champ représente le champ résultant de l’ensemble
des charges
+
dans sphère.
12
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Préparation aux examens
Université de Montréal
Université Laval
13
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
B) Calcul du champ à l’intérieur
Situation symétrique
E
Dessiner les lignes de champ.
dA
Faire passer une surface de
Gauss à l’endroit où l’on veut la
grandeur de E
++ +
+ +
+ +
++ +
r +
Voir l’exemple 3.4 du livre.
Il faut prendre seulement les charges
enfermées dans la surface de Gauss
kQint
E= 2
r
ou
Qint
Qtot Vint Qtot r 3
=
=
Vtot
R3
14
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
B) Calcul du champ à l’intérieur
Voir l’exemple 3.4 du livre.
Il faut prendre seulement les charges
enfermées dans la surface de Gauss
E
dA
E=
kQtot r
R3
4 3
Qtot = ρ πR
3
Qtot = ρVolume
On obtient également
++ +
+ +
+ +
++ +
r +
où ρ est la densité volumique de
charge C/m3
ρr
E=
N/C
3ε 0
15
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
E=
ρr
E=
N/C
3ε 0
kQtot r
R3
E
Graphique de E ( r )
dA
++ +
+ +
+ +
++ +
r +
Intérieur
E
Extérieur
E=
Q
4πε 0 r 2
R
=
kQ
r2
N/C
Hyper-physics
r
16
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Deux remarques :
A) Considérons la situation suivante:
ΦE = 0
E
Surface de
+
Que vaut le flux à
travers la surface?
  q nette
∫ E • dA =
ε0
Gauss
q(nette) = 0
 
∫ E • dA = 0
Le même nombre de lignes entrent et
sortent de la surface de Gauss

E≠0
17
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
B) Soit la situation suivante :
Peut-on utiliser le théorème pour
déterminer le champ électrique?
  q nette
∫ E • dA =
ε0
Non, le
théorème n’est
pas vraiment
utile dans cette
situation, même
avec de la
symétrie
axe
Le champ résultant n’est
constant sur la surface
18
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Exemple 2 : Considérons une ligne électrique en construction.
Déterminer, à l’aide du théorème de Gauss, le champ électrique
autour du fil en supposant qu’il soit chargé uniformément.
19
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Détermination du champ électrique autour d’un
très long fil uniformément chargé.
Situation :
E
r
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Vue d’une
extrémité
20
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Détermination du champ électrique autour d’un très long fil
uniformément chargé.
Remarque : Par intégration c’est un peu compliqué, voir chapitre 2

 kdq 
E = dE =
u
2
r
 2kλ 
E=
j
r
∫
N/C
E
Situation :
dE
dE
r
dq
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
21
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Avec le théorème de Gauss, avons-nous les conditions
d ’application du théorème:
• Des éléments de symétrie
• Connaissance la forme des lignes
de champ
• Choix d’une surface adaptée
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
22
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Avec le théorème de Gauss, conditions d ’application du
théorème
• Des éléments de symétrie
• Connaître la forme des lignes de
champ
• Choisir une surface adaptée
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
23
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Conditions d ’application du théorème de Gauss
• Des éléments de symétrie
• Connaître la forme des lignes de
champ
• Choisir une surface adaptée
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
24
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Conditions d ’application du théorème de Gauss
• Des éléments de symétrie
• Connaître la forme des lignes de champ
• Choisir une surface adaptée
Appliquer le théorème
+
+
+
ΦE =
+
qnette
ε0
+
 
= ∫ E • dA
+
+
+
+
+
Qnette = λL
25
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Conditions d ’application du théorème de Gauss
ΦE =
Appliquer le théorème
+
+
+
+
+
qnette
ε0
+
 
= ∫ E • dA
+
+
+
+
Qnette = λL
ΦE =
Qnette
εo
Qnette = λL
26
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Problème : Trouver E à une distance r de la surface
Solution
possible :
Décomposer la surface cylindrique fermée en trois
surfaces ouvertes ( A1 , A2 , A3 )
A2
dA2
A3
A1
r
dA1
dA
A3
dA3
dA2
27
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Problème : Trouver E à une distance r de la surface
Solution
Décomposer la surface cylindrique fermée en trois
surfaces ouvertes ( A1 , A2 , A3 )
possible :
E
E
A2
A1
E d
A
E
E
A3
r
d
A
dA3
dA1
E dA2
A3
E
28
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
E
E d
A
E
d
A
E
E
A3
A2
A1
E d
A
r
A3
d
A
d
A
E
 
 
 
 
∫ E • dA = ∫ E • dA + ∫ E • dA + ∫ E • dA
 
∫ E • dA = 0 + ∫ EdA + 0
1
1
2
2
2
3
3
2
29
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
E
E d
A
E
d
A
E
E
A3
A2
A1
E d
A
r
A3
d
A
d
A
E
 
Q
∫ E • dA = 0 + ∫ EdA + 0 =
nette
2
ε
2
o
 
Q
∫ E • dA = ∫ EdA = E ∫ dA =
nette
2
2
2
2
ε
o
30
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
E
E d
A
E
d
A
E
E
A3
A2
A1
E d
A
r
A3
d
A
d
A
E
L
 
Q
∫ E • dA = ∫ EdA = E ∫ dA =
nette
2
∫
2
2
= E dA2 = E 2πrL =
2
2
Qnette
εo
ε
o
λL
=
εo
31
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
E
E d
A
E
d
A
E
A3
A2
A1
E d
A
L
λL
E 2πrL =
εo
E
r
A3
d
A
d
A
E
λ
E=
2ε πr
o
2kλ
E=
r
La charge nette enfermée à l ’intérieur de la surface
de Gauss est Qnette = λL
32
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Résultat
Champ
électrique
radial
probable:
La grandeur du champ électrique autour d ’un fil infini et
uniformément chargé sera donnée par
2kλ
λ
E=
=
2πε r
r
N/C
o
33
3.3 et 3.4 Utilisation du théorème de Gauss
Résultat
probable:
Champ
électrique
radial
Remarque importante : Nous avons utilisé que les
charges à l ’intérieur de la surface de Gauss pour calculer
le champ résultant de l ’ensemble des charges dans le fil.
C ’est un des avantages du théorème de Gauss.
Applications Hyperphysics
Voir les exemples du livre
34