Grandeurs composées

M1 EADM 2012-2013
Grandeurs quotients (quatrième)
Quotient de deux grandeurs de même espèce
Soit a et b deux grandeurs de même espèce, a étant non nulle, il existe un réel positif k tel
que : b = k a.
Ce nombre est appelé rapport de b à a, et il est noté b
a .
C'est la mesure de b quand on prend a pour unité.
Soit u une unité de grandeur de même espèce que a et b,  et  les mesures de a et b avec
cette unité.
Montrer que  = k .
Conclusion: le rapport de deux grandeurs de même espèce est égal au quotient de leurs
mesures avec une unité, quelle que soit l'unité.
Justifier les égalités suivantes:
15 m
3 m = 5 ; 3 cm 5 cm = 3 5 = 0,6 = 30 m 50 m
Quelques applications pour définir des grandeurs sans dimension utilisées dans la vie
courante:
- Les indices;
- L'échelle d'une carte : "1 cm pour 20 m" pour 1 cm
20 m = 1 cm 2000 cm = 1 2000 .
- La pente d'une route : rapport de la dénivellation à la longueur horizontale.
Parfois, on parle de la déclivité .
- Les fréquences: quotient de deux cardinaux.
- L'ensoleillement d'une région, rapport de deux durées.
- La densité d'une substance, rapport de deux masses : la masse d'un certain volume de cette
substance à la masse d'un même volume d'eau.
Quotient de deux grandeurs d'espèces différentes
On veut donner à la formule v = d
t une signification en termes de grandeurs, afin d'avoir une
formule indépendante des unités choisies.
On peut alors conduire le calcul suivant:
60 km/h = 60 km
1 h = 60 000 m 3 600 s = 60 000 3 600 m/s = 100 6 m/s
16,67 m/s.
Dans la formule d = v t , v n'est pas un nombre : en effet, sinon en multipliant une durée par
un nombre, on obtiendrait une durée et non une longueur.

M1 EADM 2012-2013
D'autres grandeurs quotients
Grandeur 1
Grandeur 2
Grandeur quotient
Exemples d'unités
Masse de substance
dissoute dans une
solution
Volume de la
solution
Concentration
g/l
g/cm3
Masse d'un corps
homogène
Volume de ce corps
Masse volumique
g/l
t/m3
Volume d'un liquide
qui s'écoule
Durée
Débit - volume
m3/s
Masse d'une
substance qui
s'écoule
Durée
Débit - masse
g/s
kg/h
Volume de carburant
consommé
Longueur parcourue
Consommation
moyenne
l/100 km
l/km
Différence de vitesse
entre deux instants
Durée
Accélération
moyenne
m/s/s ou m/s2
Angle
Durée
Vitesse angulaire
tr/min
Masse d'une culture
récoltée
Aire du terrain
Rendement
q/ha
t/ha
Masse d'un fil
Longueur
Masse linéique
kg/m
mg/m
Force
Aire
Pression
N/m2 ou Pa
bar
Prix d'un produit
Masse d'un produit
Prix massique
€/kg
Prix d'un service
Durée du service
Prix horaire
€/h
PIB d'un pays
Population
PIB par habitant
€/hab
Population d'un pays
Aire d'un pays
Densité de
population
hab/km2
Les grandeurs quotients permettent de traiter les situations sollicitant un changement d'objets:
durée transformée en longueur en multipliant par une vitesse …

M1 EADM 2012-2013
Généralisation: quotient de deux grandeurs d'espèces différentes
Si u et v désignent des unités de ces deux grandeurs et a et b des nombres (avec b 0), alors:
a u
b v = a b u/v .
Grandeurs produits (troisième)
Produit de deux grandeurs
Soit g et g' deux grandeurs (de même espèce ou non). On peut associer à ces grandeurs une
troisième grandeur telle que, chaque fois que l'une des grandeurs est multipliée par un
nombre, l'autre étant maintenue constante, le produit est multiplié par ce nombre.
On la note g g'.
Ainsi: (kg) g' = k g g' ; g (k'g') = k' g g' ; (kg) (k'g') = kk' g g'.
Soit u et v deux unités respectives de ces grandeurs, a et b étant des nombres, alors a u b v
est égal à ab u v. On note usuellement uv au lieu de u v, donc:
a u b v = ab uv.
Exemples de grandeurs produits
Grandeur 1
Grandeur 2
Grandeur produit
Exemples d'unités
Longueur
Longueur
Aire
m2, cm2, km2, ha
Aire
Longueur
Volume
m3, dm3, cm3
Population
Longueur (du
transport)
Trafic de voyageurs
voyageur - km
siège - km
Durée (de travail)
Population (de
stagiaires)
Volume d'un stage
journée - stagiaire
Population
Durée (de travail)
Volume d'un chantier
homme - jour
Masse (transportée)
Longueur (du
transport)
Trafic de
marchandises
t - km
Volume (transporté)
Longueur (du
transport)
Déplacement
m3 - km
Force
Longueur
Travail d'une force
N - m ou J
Puissance
Durée
Energie (électrique)
kWh

M1 EADM 2012-2013
Grandeurs composées (troisième)
On peut dire aussi: grandeurs dérivées.
A partir de grandeurs produits et quotients, on peut en définir d'autres: quotient d'un produit
par une grandeur, quotient d'une grandeur par un produit …
Exemples de grandeurs composées
Grandeurs composées
Exemples d'unités
Energie électrique par habitant
kWh/hab
Quantité de mouvement
m2/s
Moment d'inertie d'un corps par rapport à une droite
kg - m2
Prix unitaire de l'énergie électrique
€/kWh
Rendement moyen d'un établissement commercial
€/m2 /an ou €/(m2  an)
Densité énergétique (d'une installation de production d'énergie) :
quotient de la puissance fournie par le produit de son coût par son
encombrement
MW/(M€  km2)
Débit d'absorption spécifique : quotient du débit d'énergie
absorbée par sa masse
W/Kg
Un texte à analyser
Extrait de "Pour la Science", Août 2008
Outre Atlantique, l'efficacité énergétique d'une voiture est exprimée en miles (1,6 kilomètre)
par gallon (3,78 litres). Intuitivement, Européens et Américains pensent que la consommation
en essence d'une voiture est proportionnelle à son efficacité. Or, ce n'est vrai que si
l'efficacité est exprimée en gallons par mile (ou en litres par kilomètre). En revanche, quand
l'unité est inverse, la relation n'est pus proportionnelle. Ainsi, passer d'une voiture effectuant
12 miles par gallon à une qui en fait 14 réduit la consommation d'essence de 1,2 gallon sur
100 miles. Au contraire, le gain n'est que de 0,3 gallon pour une voiture passant de 42 miles
par gallon à 48. Exprimer l'efficacité en miles par gallon est trompeur: les Américains jugent
peu utile, à tort, de remplacer leur vieille voiture. Il suffirait, pour les convaincre, d'exprimer
l'efficacité en gallons par mile!