sujet 4

Analogies électromécaniques de Maxwell et de Darrieus
m
k

F( t )
O
x

figure 1
1)
On considère le dispositif mécanique de la figure 1. Une masse m est reliée à un bâti fixe par un
ressort de constante de raideur k et par un amortisseur fluide de coefficient d'amortissement α.
Le point M, en translation, est repéré par son abscisse x(t) sur un axe horizontal Ox de vecteur

unitaire u x . L'abscisse x(t) est comptée à partir de la position de repos du point M.



Ce point matériel, de vitesse v , est soumis à l'action d'une force de frottement f   v u x


(coefficient de frottement α > 0) de la part de l'amortisseur. De plus, une force excitatrice F( t )  F( t ) u x , est
appliquée sur le point M (Fig. 1).
a) Écrire l'équation différentielle liant les grandeurs x(t) et F(t) .
F
b) En régime sinusoïdal forcé, le rapport des grandeurs complexes
définit l'impédance mécanique
v
Zm de l'oscillateur. Exprimer Zm en fonction de la pulsation ω et des constantes du dispositif m, k, α.
2)
On considère deux circuits électriques constitués des éléments : résistances R, R', bobines
d'autoinductances L, L', condensateurs de capacités C, C'. Circuit (a) : R, L, C série. Circuit (b) : R', L', C'
parallèle. Sur les schémas (en Fig. 2) sont figurés les signaux électriques : tensions u(t), u'(t) ; intensités i(t),
i'(t).
a) Écrire les équations différentielles relatives à chaque circuit liant les signaux tension et intensité.
b) La comparaison des deux équations précédentes permet d'établir une dualité topologique (principe
de Sire de Villard) entre les circuits (a) et (b). Établir les correspondances entres les grandeurs électriques u,
i, R, L, C de (a) et u', i', R', L', C' de (b). En régime sinusoïdal, si Z désigne l'impédance électrique du dipôle
(a), quelle est la grandeur duale du dipôle (b) ?
3)
Déduire des questions précédentes les grandeurs électriques du circuit (a) (analogie de Maxwell) et
du circuit (b) (analogie de Darrieus) correspondant aux grandeurs mécaniques du système mécanique étudié
au 1. Donner la réponse en remplissant le tableau suivant :
système
mécanique
système électrique
a)
système électrique
b)
v(t)
F(t)
m
k
R'
i(t)
kx 2
2
mv 2
2
α
L'
Zm
C'
u'(t)
R
L
C
u(t)
i'(t)
circuit (a)
circuit (b)
figure 2