Repérage du plan - Académie en ligne

Séquence 2
Repérage dans le plan
Équations de droites
Sommaire
1. Prérequis
2. Repérage dans le plan
3. Équations de droites
4. Synthèse de la séquence
5. Exercices d’approfondissement
Séquence 2 – MA20
1
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1 Prérequis
A
Repérage sur une droit graduée,
dans le plan repéré
À savoir
Sur une droite graduée, on peut repérer un point par son abscisse ; réciproquement chaque nombre réel
correspond à un point de la droite, point dont il est l’abscisse.
Exemple
Sur l’axe gradué ci-dessous :
A
B
C
O
I
0
1
D
E
le point A a pour abscisse ( −3 ),
le point B a pour abscisse ( −2, 5 ),
le point C a pour abscisse ( −1),
le point D a pour abscisse ( 2 ),
le point E a pour abscisse ( 4 , 25 ) environ.
Sur l’axe gradué ci-dessous :
E
D
C
O
-3,5
-2
A
B
I
0 0,5 1
2,6
5
le nombre 5 correspond au point A,
le nombre 2,6 correspond au point B,
le nombre 0,5 correspond au point C,
le nombre −2 correspond au point D,
le nombre −3,5 correspond au point E.
Séquence 2 – MA20
3
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À savoir
Sur une droite graduée, on peut calculer la distance entre deux points dont on
connaît les abscisses.
Pour calculer la distance entre A et B sur un axe, on effectue la différence entre
« l’abscisse la plus grande » et « l’abscisse la plus petite ».
Exemple
Sur l’axe gradué ci-dessous :
A
B
C
O
I
0
1
D
E
La distance DE est égale à :
DE = "abscisse la plus grande" − "abscisse la plus petite"
= "abscisse de E" − "abscisse de D" = 4 , 25 − 2 = 2, 25.
La distance CD est égale à :
CD = "abscisse la plus grande" − "abscisse la plus petite"
( )
= "abscisse de D" − "abscisse de C" = 2 − −1 = 3.
La distance CA est égale à :
( ) ( )
CA = "abscisse la plus grande" − "abscisse la plus petite" = −1 − −4 = 3.
La distance BO est égale à :
(
)
BO = "abscisse la plus grande" − "abscisse la plus petite" = 0 − −2, 5 = 2, 5.
Plan
repéré
À savoir
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on peut repérer un point par son abscisse et son ordonnée ; réciproquement chaque couple de nombres réels correspond à
un point du plan, point dont ce couple est le couple (abscisse ; ordonnée).
Exemples
Dans le plan ci-dessous, muni d’un repère :
le point A a pour abscisse 3 et pour ordonnée 1,5 ;
le point B a pour abscisse (−2) et pour ordonnée 2,5 ;
le point C a pour abscisse (−1,5) et pour ordonnée 0 ;
le point D a pour abscisse (−1) et pour ordonnée (−2,5) ;
le point E a pour abscisse 0,5 et pour ordonnée (−0,75) environ.
4
Séquence 2 – MA20
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Dans le même plan ci-dessous :
le couple (2 ; −3) correspond au point F ;
le couple (1 ; 3) correspond au point G ;
le couple (0 ; −1,5) correspond au point H ;
le couple (−3 ; −3) correspond au point J ;
le couple (−1 ; 4) correspond au point K.
K
G
B
A
1
C
0
E
1
D
J
B
F
H
Fonction affine, représentation
par une droite
Fonction affine, représentation par une droite
À savoir
Dans le plan muni d’un repère orthogonal, une fonction affine est représentée par une droite.
Voir séquence 1.
Séquence 2 – MA20
5
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C
Figures de géométrie plane
Figures particulières
À savoir
Se souvenir des propriétés géométriques des figures particulières étudiées au collège : quadrilatères, triangles, cercles, polygones réguliers.
Principaux théorèmes
À savoir
Se souvenir des principaux théorèmes de géométrie étudiés au collège : théorème de
Thalès, réciproque de ce théorème, théorème de Pythagore, réciproque de ce théorème.
Trigonométrie
À savoir
Se souvenir des définitions du cosinus d’un angle, de son sinus et de sa tangente, ainsi
que des relations qui les lient.
D
Solides de géométrie dans l’espace
Solides particuliers
À savoir
Se souvenir des propriétés géométriques des solides particuliers étudiés au collège :
parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramides, cônes, sphères.
6
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2
A
Activité 1
Repérage
dans le plan
Activités
Vendée Globe
La carte ci-dessous représente l’océan Atlantique dans une projection équirectangulaire, c’est-à-dire une projection de la sphère terrestre sur un plan, où l’on s’est
arrangé pour que les parallèles et les méridiens se coupent à angle droit (ce qui
n’est pas le cas dans la réalité), avec une distance constante entre deux méridiens
(ce qui n’est pas le cas dans la réalité) et la même distance entre deux parallèles
successifs où qu’ils soient situés (ce qui n’est pas non plus le cas dans la réalité).
Ici on a même choisi un quadrillage carré (c’est-à-dire que l’on a pris la même distance entre deux parallèles successifs qu’entre deux méridiens successifs), ce qui
est le reflet de la réalité à proximité de l’équateur, mais pas du tout aux pôles.
On a donc une déformation de la réalité : plus on va vers les pôles, plus les territoires sont étirés, aussi bien en longueur qu’en largeur.
Sur cette carte de l’Atlantique on veut
représenter la position de cinq concurrents du Vendée-Globe au 7 février
2009.
Placer tout d’abord Les Sables
d’Olonne, ville de départ et d’arrivée de l’épreuve, dont les coordonnées sont (1° W ; 47° N).
Puis localiser les Açores, iles de
l’Atlantique que les concurrents
contournent, et dont les coordonnées sont (28° W ; 39° N).
On connaît la position de trois des
concurrents.
Marc : (37° W ; 38° N)
Arnaud : (37° W ; 14° N)
Steve : (32° W ; 02° S)
Placez-les sur la carte, en les nommant par leur initiale.
Séquence 2 – MA20
7
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On sait que Dee est exactement au milieu du segment [MA].
La placer sur la carte en la nommant D.
Calculer les coordonnées de sa position.
On s’intéresse à un cinquième concurrent, Brian, dont on notera la position B.
On sait qu’Arnaud est exactement au milieu du segment [BS].
Placer sur la carte la position de Brian.
Calculer les coordonnées de sa position.
Activité 2
Cadastre
Le plan cadastral d’une commune est quadrillé en carreaux de 10 m sur 10 m.
Chaque ligne du quadrillage est numérotée à partir d’un point (0 ; 0) correspondant à un repère géodésique de l’IGN.
Un géomètre doit borner un terrain qui vient d’être acheté.
Sur l’extrait du cadastre ci-dessous figure le quadrillage, le repère IGN, une route,
un chemin et l’emplacement de deux poteaux téléphoniques.
8
7
6
5
CHEMIN
4
3
2
P1
1
ROU
Ign
-1
8
0
1
P2
TE
2
Séquence 2 – MA20
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0
3
4
5
6
7
Lire les coordonnées des points I,
P1, P2.
On connaît la position de quatre
points délimitant le terrain.
Ce sont les points P1, A (−1 ; 7),
B(6 ; 7) et P3, emplacement d’un
futur poteau téléphonique, situé de
façon que P2 soit le milieu du segment [P1P3].
Placer ces points sur le graphique.
Calculer les coordonnées du point
P3, ainsi que celles du point C,
milieu du segment [P1A].
Calculer la longueur des côtés [AB]
et [B P3], longueurs exprimées en
décamètres.
-1
Le propriétaire souhaite amener
-2
l’électricité à partir du chemin, jusqu’au point B, en implantant un poteau en A ou en C.
Quel emplacement faut-il choisir (A ou C)
pour que la portion de ligne traversant le
terrain soit la plus courte possible ?
B
Cours
1. Repérage d’un point. Coordonnées
a) Repère
Pour pouvoir repérer chaque point du plan de manière non-ambiguë, on peut
fixer dans le plan deux axes gradués, sécants.
Définition
On dit que le plan est muni d’un repère lorsque l’on a fixé dans ce plan deux axes gradués sécants.
On dit que le repère est orthogonal si les deux axes sont perpendiculaires.
On dit que le repère est orthonormé s’il est orthogonal et si l’unité de longueur est la
même sur les deux axes.
y
y
1
y
1
J
J
1
J
1
0
1
I
x
Repère quelconque
0
1
I
x
Repère orthogonal
0
I
x
Repère orthonormé
Remarque
Même si ce n’est pas toujours indispensable, on travaillera presque toujours dans
un repère orthogonal (voire orthonormé).
b) Coordonnées d’un point
Pour repérer un point du plan dans un repère orthogonal (O, I, J), on projette ce
point orthogonalement sur chacun des deux axes gradués du repère.
La graduation correspondant au projeté sur le premier axe est appelée l’abscisse du point.
Séquence 2 – MA20
9
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La graduation correspondant au projeté sur le deuxième axe est appelée l’ordonnée du point.
Remarques
y
M
Si le repère n’est pas orthogonal, on projette parallèle-
ment aux deux axes.
L’ordre dans lequel on considère les deux axes, pour éta-
5 = yM
blir un repère du plan, est fondamental, puisqu’il permet de
décider quelle graduation est l’abscisse du point, et quelle
graduation en est l’ordonnée.
1 J
I
0
1
On note habituellement les abscisses des points avec la
lettre x, suivie en indice du nom du point, et les ordonnées
avec la lettre y, suivie en indice du nom du point.
Pour le point A, on notera xA et yA ; pour B, xB et yB ; pour M,
xM et yM … etc.
x
-1,5 = xM
Propriété
Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), on peut repérer un point M par son abscisse xM
et son ordonnée yM.
Ces deux nombres sont appelés les coordonnées du point.
Remarque
On note les coordonnées d’un point sous la forme d’un couple de nombres, le premier étant nécessairement l’abscisse du point, et on écrit souvent ce couple immédiatement après le point.
(
)
(
)
(
)
On a donc une écriture de la forme : A x A ; y A , ou B x B ; 3, 5 , ou C −1, 3 ; 0 , 2 .
On trouve aussi le couple écrit verticalement : A
xA
.
yA
2. Milieu d’un segment
Comme on a pu le voir dans l’activité initiale, il est aisé de calculer les coordonnées du milieu d’un segment lorsque l’on connaît les coordonnées des extrémités
de ce segment.
Propriété
(
)
(
)
Si l’on connaît les coordonnées de deux points du plan, A x A ; y A et B x B ; y B , les
x + xB
coordonnées du milieu du segment [AB] sont égales à : x milieu = A
2
y A + yB
y
=
.
et : milieu
2
10
Séquence 2 – MA20
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Démonstration
Considérons deux points A et B dont on
connaît les coordonnées dans un repère
du plan (repère orthogonal sur le dessin
ci-contre, mais qui pourrait être quelconque).
y
A
M
C
Appelons M le milieu du segment [AB].
Projetons orthogonalement les points
A, B et M sur l’axe Ox.
M'
A'
O
XA
On obtient les points A’, B’ et M’ qui nous
définissent les abscisses xA, xB et xM.
Supposons, pour la suite, que xB > xA.
B
K
XM
B'
XB
x
Traçons le segment [CB] parallèlement à l’axe Ox, C étant le point d’intersection
de ce segment avec [AA’].
On appelle K le point d’intersection de ce segment avec [MM’].
Dans le triangle ABC, les droites (AC) et (MK) sont parallèles et M est le milieu
du segment [AB].
On en déduit (théorème de Thalès) que K est le milieu de [CB] et donc que :
BC = 2BK.
Or BC = B'A' et BK = B'M' (rectangles). On a donc : B'A' = 2B'M'.
Comme l’abscisse de B est supérieure à celle de A, l’abscisse de M est aussi supérieure à celle de A, et on a : B'A' = x B − x A et B'M' = x B − x M (voir les pré-requis).
On en déduit que :
(
)
xB − x A = 2 xB − xM .
x +x
Ce qui nous donne : x M = A B .
2
Le résultat serait inchangé si l’abscisse de B, et donc celle de M, étaient inférieures à celle de A (faites le calcul).
On fait de même avec les ordonnées.
Remarque
L’abscisse du milieu d’un segment est la moyenne des abscisses des extrémités
de ce segment.
L’ordonnée du milieu d’un segment est la moyenne des ordonnées des extrémités de ce segment.
Exemple
On considère, dans le plan repéré, les points A, B, C et D dont les coordonnées
sont :
(
) (
) (
)
(
)
A 1, 3 ; 0 , B −2, 85 ; − 2, 2 , C −0 , 9 ; 0 , 2 et D 3, 25 ; 2, 4 .
Il semble, si l’on place les points sur un graphique, que l’on ait un parallélogramme. Est-ce réellement le cas ?
Séquence 2 – MA20
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Représentons ci-dessous les points dans un repère (que l’on a pris pour une fois
non-orthogonal).
y
D
1
J
C
I
A
1
0
x
B
Il semble effectivement que l’on ait un parallélogramme, mais la précision du
dessin n’est pas suffisante pour en être sûr.
Pour vérifier si c’est le cas, calculons les coordonnées du milieu M du segment
[AC]. On a :
xM =
(
1, 3 + −0 , 9
2
) = 0, 2 et y
M=
0 + 0, 2
= 0 ,1.
2
Puis calculons les coordonnées du milieu K du segment [BD]. On a :
xK =
( −2, 85) + 3, 25 = 0, 2 et y = ( −2, 2) + 2, 4 = 0,1.
2
K
2
On constate que l’on obtient les mêmes coordonnées. Les points M et K sont
donc confondus.
Ceci signifie que les deux diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu.
On a donc bien un parallélogramme.
3. Distance entre deux points
La propriété que nous
allons voir nécessite
que l’on soit dans un
repère orthonormé.
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Séquence 2 – MA20
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Nous allons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance entre deux points du plan, points dont on
connaît les coordonnées dans un repère orthonormé.
Propriété
Si l’on connaît les coordonnées de deux points du plan,
(
)
(
)
A x A ; y A et B x B ; y B ,
dans un repère orthonormé (O, I, J), la
distance AB est égale à : AB =
Démonstration
( x A – xB )2 + ( y A – yB )2 .
Considérons deux points A et B dont on connaît les coordonnées dans un repère
orthonormé (O, I, J) du plan.
Projetons orthogonalement les points
A et B sur l’axe (OI).
On obtient les points A’ et B’ qui nous
définissent les abscisses xA et xB.
Traçons le segment [CB] parallèlement
à l’axe (OI), C étant le point d’intersection de ce segment avec [AA’].
Le triangle ABC est rectangle en C
puisque les axes sont perpendiculaires.
y
A
B
C
A'
B'
XA
0
XB
x
On en déduit (théorème de Pythagore) que : AB2 = AC2 + CB2.
Or on peut calculer les distances AC et CB à l’aide des coordonnées des points.
On a CB = A'B' (rectangle), et donc :
CB = A'B' = x B − x A ou x A − x B (voir les pré-requis).
De la même façon en projetant les points A et B sur l’axe (OJ) on obtient :
AC = y A − y B ou y B − y A .
L’égalité résultant du théorème de Pythagore s’écrit alors :
(
AB2 = y B − y A
)2 + ( xB − x A )2 .
On peut noter que cette égalité ne dépend pas de l’expression de chacune des
distances AC et CB, puisque :
( y B − y A )2 = ( y A − y B )2
(
et x B − x A
)2 = ( x A − xB )2 .
Enfin, puisqu’une distance est un nombre positif, on a :
AB =
( y B − y A )2 + ( xB − x A )2 .
Séquence 2 – MA20
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Remarque
Pour établir cette propriété, il est indispensable que les axes soient perpendiculaires, puisque l’on a besoin d’avoir un triangle ABC rectangle en C.
Il est aussi indispensable que l’on mesure les distances avec les mêmes unités
dans toutes les directions, pour pouvoir utiliser le théorème de Pythagore.
Il nous faut donc un repère orthonormé.
Exemple
Reprenons, mais dans un repère orthonormé, les points A, B, C et D de l’exemple
précédent, dont les coordonnées sont :
(
) (
) (
)
(
)
A 1, 3 ; 0 , B −2, 85 ; − 2, 2 , C −0 , 9 ; 0 , 2 et D 3, 25 ; 2, 4 .
Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, comparons les distances AB et
CD, et les distances BC et DA.
On a :
AB =
( y B − y A )2 + ( xB − x A )2 = ( −2, 2 − 0)2 + ( −2, 85 − 1, 3)2 =
22, 0625 .
Et :
CD =
( y D − y C )2 + ( xD − xC )2 = (2, 4 − 0, 2)2 + ( 3, 25 − ( −0, 9))
2
= 22, 0625 .
Ce qui nous donne : AB = CD.
De même on a :
BC =
( y B − y C )2 + ( xB − xC )2 = ( −2, 2 − 0, 2)2 + ( −2, 85 − ( −0, 9))
Et : DA =
2
( y D − y A )2 + ( xD − x A )2 = (2, 4 − 0)2 + ( 3, 25 − 1, 3)2 =
= 9 , 5625 .
9 , 5625.
Ce qui nous donne : BC = DA.
Un quadrilatère non croisé ayant ses côtés opposés deux à deux de même longueur est un parallélogramme.
On a donc prouvé que ABCD est un parallélogramme.
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Séquence 2 – MA20
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C
Synthèse du cours
Milieu d’un segment
Propriété
Si l’on connaît les coordonnées de deux points du plan,
(
)
(
)
A x A ; y A et B x B ; y B , dans un repère quelconque (O, I, J), les
coordonnées du milieu du segment [AB] sont égales à :
y A + yB
x + xB
et : y
.
x milieu = A
milieu =
2
2
Distance entre deux points
Propriété
Si l’on connaît les coordonnées de deux points du plan,
(
)
(
)
A x A ; y A et B x B ; y B , dans un repère orthonormé (O, I, J), la
distance AB est égale à : AB =
D
( x A – xB )2 + ( y A – yB )2 .
Exercices d’apprentissage
Exercice 1
coordonnées sont :
(
) (
) (
) (
) (
)
(
)
A 1, 3 ; − 4 , B −1, 5 ; 1 , C 1, 7 ; 3, 2 , D −0 , 7 ; 5, 6 , E 2,1; 0 , 6 et F −1,1; − 1, 6 .
triangles ABC et DEF ?
Calculer les coordonnées du milieu du segment [AD], celles du milieu du segment [BE], et celles du milieu du segment [CF].
Que peut-on conclure pour les triangles ABC et DEF ?
Exercice 2
Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C et K dont les
coordonnées sont :
(
) (
) (
)
(
)
A 4 , 3 ; − 4 , B −1, 6 ; − 1 , C 1, 6 ; 0 et K −0 , 5 ; − 0 , 2 .
Faire une figure représentant ces points.
Séquence 2 – MA20
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Représenter le triangle DEF, symétrique de ABC par rapport au point K.
Calculer les coordonnées des points D, E et F.
Exercice 3
Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont :
(
) (
)
(
)
A 2, 3 ; 3, 8 , B 1,1; − 1 et C −2, 5 ; − 2, 2 .
Faire une figure représentant ces points et placer le point D tel que ABCD soit
un parallélogramme.
Calculer les coordonnées du milieu du segment [AC].
En déduire les coordonnées du point D.
Exercice 4
Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D et E, dont les
coordonnées sont :
(
) (
) (
) (
)
(
)
A −1, 3 ; − 2 , B 3, 5 ; 1 , C −1, 7 ; 3, 2 , D −1, 5 ; 0 , 6 et E 0 , 9 ; 2,1 .
Faire une figure représentant ces points. Que peut-on conjecturer pour les
droites (AB) et (DE) ?
Calculer les coordonnées du milieu du segment [AC].
Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
Exercice 5
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D, E
et K, dont les coordonnées sont :
A 2, 5 ; 6 , B 8 , 5 ; 0 , C 6 , 5 ; − 6 , D −3, 5 ; − 6 , E −4 , 5 ; 14 − 1 et K 1, 5 ; − 1 .
(
) (
) (
) (
(
)
)
(
Faire une figure représentant ces points. Que peut-on conjecturer pour les
points A, B, C, D et E ?
Calculer les distances KA, KB, KC, KD et KE.
Que peut-on conclure pour les points A, B, C, D et E ?
Exercice 6
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D et
E, dont les coordonnées sont :
(
)
(
)
(
)
(
A 0 , 6 ; − 1, 6 , B 0 , 6 + 1, 2 3 ; − 0 , 4 , C 0 , 6 ; 0 , 8 , D −0 , 6 ; 1, 2 3 − 1, 6
(
)
)
et E −1, 8 ; − 1, 6 .
Faire une figure représentant ces points. Que peut-on conjecturer sur la nature
des triangles ABC, ABD et ABE ?
Calculer les distances AB, AC, AD et AE.
Déterminer la nature précise des triangles ABC, ABD et ABE.
16
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)
Exercice 7
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A et B, dont
les coordonnées sont :
(
)
(
)
A −5 ; − 1 et B −6 ; − 4 . On trace le cercle de centre A et de rayon AB. La tangente à ce cercle passant par B coupe l’axe (OJ) au point C.
Faire une figure représentant les points, le cercle et la tangente.
Calculer le rayon du cercle.
Déterminer les coordonnées du point C.
Exercice 8
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C, dont
les coordonnées sont :
(
) (
)
(
)
A −5 ; − 1 , B −4 ; − 4 et C −6 ; − 4 . On trace le cercle de centre A et de
rayon AB.
On veut déterminer une valeur approchée de l’angle BAC.
Faire une figure représentant les points et le cercle.
Montrer que C est sur le cercle de centre A et de rayon AB.
Déterminer les coordonnées du point D, point diamétralement opposé au
point C sur le cercle.
Vérifier que le triangle BCD est rectangle en B.
En déduire une valeur ap Déterminer une valeur approchée de l’angle BDC.
prochée de l’angle BAC.
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3 Équations de droites
A
Activités
1. Location à la journée
Une société de location de voiture à la journée fait payer un forfait de 4,50 €
(quelle que soit la distance parcourue), plus 0,50 € par km parcouru dans la
journée.
On note f la fonction qui donne le montant d’une facture (en euros) en fonction
de la distance parcourue (en km).
Calculer le montant d’une facture pour une distance parcourue de 50 km, puis
pour une distance parcourue de 150 km, puis pour une distance parcourue de
x km.
Représenter graphiquement la fonction f qui donne le montant d’une facture
(en euros) en fonction de la distance parcourue (en km) ; on prendra un repère orthonormé du plan, 1 cm représentant 10 km sur l’axe des abscisses et
10 euros sur l’axe des ordonnées.
2. Des factures de bricoleurs
Deux amis bricoleurs, Alain et Bernard, ont acheté dans le même magasin des
dalles en teck pour construire une terrasse et des poutres pour soutenir cette
terrasse.
Alain a acheté 10 poutres et 50 dalles et a payé 295 €.
Bernard, quant à lui, a acheté 40 dalles et s’est fait rembourser 20 poutres. Il a
payé 180 €.
On note x le prix (en euros) d’une poutre et y le prix (en euros) d’une dalle.
Traduire par deux égalités les factures des deux amis.
À partir de l’égalité traduisant la facture de Bernard, exprimer y en fonc-
tion de x.
En déduire alors, à l’aide de l’égalité traduisant la facture d’Alain, la
valeur de x .
Puis celle de y.
18
Séquence 2 – MA20
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3. Médiatrice d’un segment
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A et B, dont
les coordonnées sont : A 4 ; 11, 5 et B 8 ; 3, 5 .
(
)
(
)
On considère un point M quelconque de ce plan, dont les coordonnées sont :
M x; y .
(
)
On veut chercher à quelle condition ce point M est sur la médiatrice du segment
[AB].
Faire une figure représentant les points et la médiatrice de [AB].
Calculer, en fonction de x et y, la distance AM. Calculer de même, en fonction
de x et y, la distance BM.
A quelle condition géométrique le point M est-il sur la médiatrice de [AB] ?
En élevant les distances au carré, et en utilisant la question , traduire cette
condition géométrique par une égalité portant sur x et y.
B
Cours
1. Droites et fonctions affines
a) Droites et fonctions affines
Nous avons vu à la séquence 1 et à l’activité 1 de ce chapitre
p
que les fonctions
affines, c’est-à-dire les fonctions qui s’expriment par f x = ax + b , étaient représentées graphiquement, dans un repère quelconque, par des droites.
()
(
)
Un point de coordonnées x ; y appartient à la droite représentant la fonction
f si ses coordonnées vérifient la relation : y = ax + b .
Exemple
()
Reprenons la fonction f de l’activité 1, définie par f x = 0 , 5x + 4 , 5.
On a vu qu’elle est représentée par la droite (AB), points A et B dont les coordonnées sont :
(
)
(
)
A 50 ; 29 , 5 et B 150 ; 79 , 5 .
Regardons les points C et D dont les coordonnées sont :
C 7, 3 ; 8 , 05 et D 75,1; 42, 05 . Il semble que ces points soient sur la droite.
Est-ce le cas ?
(
)
(
)
Séquence 2 – MA20
19
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90
y
B
80
70
y = 0,5x + 4,5
60
50
D
40
A
30
20
10
C
x
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
-10
Réponse
Pour répondre à cette question, regardons si les coordonnées de ces points vérifient l’équation :
y = 0 , 5x + 4 , 5.
Pour le point C, a-t-on y C = 0 , 5x C + 4 , 5 ? C’est-à-dire : 8 , 05 = 0 , 5 × 7, 3 + 4 , 5 ?
La réponse est non, puisque 0 , 5 × 7, 3 + 4 , 5 = 8 ,15.
Le point C n’est donc pas un point de la droite.
Pour le point D, a-t-on y D = 0 , 5x D + 4 , 5 ? C’est-à-dire : 42, 05 = 0 , 5 × 75,1+ 4 , 5 ?
La réponse est oui, puisque 0 , 5 × 75,1+ 4 , 5 = 42, 05.
Le point D est donc bien un point de la droite.
Dénition
La relation y = ax + b qui caractérise les points de la droite (AB) est appelée équation
de la droite (AB).
Remarque
Il est important de retenir que le mot « équation » est ici utilisé dans un sens différent du sens habituel.
Il ne s’agit pas ici d’une égalité qui nous permettra de déterminer la valeur d’une inconnue, mais plutôt
d’un critère d’appartenance à une droite.
b) Équations de droites
Nous allons maintenant regarder si toute droite du plan, dans un repère quelconque, a une équation du type de celle que l’on vient de voir ( y = ax + b ), c’est-àdire si toute droite du plan représente une fonction affine.
20
Séquence 2 – MA20
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Pour cela considérons une droite du plan, et prenons deux points distincts quelconques de cette droite, A et B, de coordonnées A x A ; y A et B x B ; y B .
(
)
(
)
Cherchons alors s’il existe une fonction affine f telle que :
( )
( )
y A = f x A et y B = f x B .
Autrement dit cherchons deux nombres réels a et b tels que :
y A = ax A + b et y B = ax B + b.
La première égalité impose que : b = y A − ax A .
La deuxième égalité nous donne alors : y B = ax B + y A − ax A .
Soit : y B − y A = a x B − x A .
(
)
(
)
On peut alors déterminer a, mais à condition que x B − x A ≠ 0 (puisqu’il va
falloir diviser).
Il nous faut donc envisager deux cas distincts.
y
y
A
yA
A
yB
B
yA
B
yB
xA
xB
Figure 1
1er cas :
xA = xB
x
x
Figure 2
( xB − x A ) ≠ 0 c’est-à-dire xB ↑ x A (voir figure 1).
y −y
Dans ce cas on peut diviser par ( x B − x A ) et on obtient : a = B A .
x −x
B
A
y −y
On peut alors trouver la valeur de b : b = y A − ax A = y A − B A x A .
xB − x A
réduite, puisque l’essentiel ici n’est pas d’avoir explicitement les valeurs de a et
b, mais d’avoir prouvé qu’ils existent.
On a donc montré que la droite (AB) est bien la représentation graphique d’une
fonction affine, et donc qu’elle a bien une équation du type y = ax + b .
Séquence 2 – MA20
21
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2e cas :
( xB − x A ) = 0
x B = x A (voir figure 2).
(
)
Dans ce cas on ne peut pas diviser par x B − x A . On ne peut donc pas trouver
de fonction affine satisfaisant les deux égalités proposées.
Mais on peut remarquer que, dans ce cas, la droite (AB) est parallèle à l’axe des
ordonnées, et que tous les points de cette droite ont nécessairement la même
abscisse ( x A ). Ceci suffit à caractériser cette droite.
On dira que l’égalité x = x A est une équation de cette droite.
Propriété
Toute droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, a une équation de la forme
y = ax + b .
Toute droite, parallèle à l’axe des ordonnées, a une équation de la forme x = c où c est
une constante.
Remarque
On peut modifier les écritures de ces équations, ce qui fait qu’une droite a plusieurs
équations, de forme différente, mais toutes équivalentes.
Par exemple, la droite obtenue à l’activité 1, dont une équation est y = 0 , 5x + 4 , 5
a aussi pour équations :
y − 0 , 5x = 4 , 5 ;
5x − 10 y = −45 ;
2y = x + 9 ;
x = 2y − 9 ;
x − 2y + 9 = 0 ;
… etc.
L’équation y = 0 , 5x + 4 , 5 est appelée l’équation réduite de la droite.
c) Coefficient directeur ; ordonnée à l’origine
Intéressons-nous particulièrement aux droites non parallèles à l’axe des ordonnées, et regardons quelle interprétation graphique on peut faire des deux coefficients a et b qui interviennent dans l’équation de ces droites : y = ax + b .
Pour le nombre b, cela est assez simple, puisqu’on voit facilement que le point de
coordonnées 0 ; b appartient à la droite. Le coefficient b est donc l’ordonnée
du point de la droite qui a comme abscisse 0.
(
)
On l’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite.
Pour le nombre a, on a vu dans le calcul précédent (recherche d’une fonction
y −y
affine) que l’on a nécessairement : a = B A . On voit sur les figures ci-desxB − x A
sous qu’il représente le coefficient de proportionnalité entre l’augmentation en
abscisse entre deux points, et l’augmentation en ordonnée.
22
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y
y
A
B
yB
yA
(xB - xA)
H
b
yB
(yB - yA)
xA
yA
B
xB
x
A
(yB - yA)
(xB - xA)
xA
xB
x
H
b
Figure 1
Figure 2
Sur la figure 1, qui représente une droite correspondant à une fonction affine
.
croissante, le coefficient a est la tangente de l’angle BAH
Sur la figure 2, qui représente une droite correspondant à une fonction affine
(car
décroissante, le coefficient a est l’opposé de la tangente de l’angle BAH
y B − y A est négatif).
Le coefficient a indique donc, par son signe, si la droite « monte » ou « descend », et par sa valeur absolue, la « pente » de la droite.
On l’appelle le coefficient directeur (puisqu’il donne la direction) de la droite.
Définitions
Si une droite a pour équation y = ax + b dans un repère du plan :
b
est l’ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0.
On l’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite.
a indique la « pente » de la droite.
On l’appelle le coefficient directeur de la droite.
Remarque
Les droites parallèles à l’axe des ordonnées, donc ayant une équation de la forme x = c , n’ont ni coefficient directeur, ni ordonnée à l’origine.
2. Savoir-faire
Maintenant que l’on a bien établi la signification de l’équation d’une droite,
voyons quels savoir-faire de base doivent être maîtrisés.
Séquence 2 – MA20
23
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a) Savoir tracer une droite dont on nous donne l’équation
Le plus simple est de déterminer, à l’aide de l’équation, les coordonnées de deux
points de la droite et de les placer dans le repère choisi. Il n’y a plus qu’à tracer
la droite passant par ces deux points.
Exemple
Dans un repère du plan, représenter les droites D1, D2 et D3 dont les équations
respectives sont :
3
11
y = 0 , 8 x − 3 ; y = − x + ; x = 3, 5.
10
2
Droite D1.
L’ordonnée à l’origine est ( −3 ), donc un premier point peut être le point A de
coordonnées 0 ; − 3 .
(
)
Pour un deuxième point, B, choisissons son abscisse, par exemple x B = 5. Son
ordonnée yB vérifie alors :
( )
y B = 0 , 8 x B − 3 = 0 , 8 × 5 − 3 = 1. Le point B a donc comme coordonnées 5 ; 1 .
La droite D1 est donc la droite (AB). Voir graphique ci-dessous.
Droite D2.
L’ordonnée à l’origine est
11
= 5, 5, donc un premier point peut être le point C de
2
coordonnées 0 ; 5, 5 .
(
y
5,5 C
)
Pour un deuxième point, E, choisissons son abscisse, par exemple
x E = 5. Son ordonnée yE vérifie alors :
D3
yE = −
E
4
D2
F
3
11
3
11
x + = − × 5 + = 4.
10 E 2
10
2
Le point E a donc comme coordonnées
( 5 ; 4 ).
B
1
La droite D2 est donc la droite (CE).
Voir graphique ci-contre.
D1
Droite D3.
0
1
3,5
5
x
L’équation de cette droite nous
montre qu’elle est parallèle à l’axe
des ordonnées, et que ses points ont
pour abscisse 3,5.
On peut donc prendre comme points
G
-3
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(
)
nées 3, 5 ; 3 , et le point G de coorA
24
de cette droite le point F de coordon-
(
)
données 3, 5 ; − 2 .
La droite D3 est donc la droite (FG).
Voir graphique ci-contre.
b) Vérifier par le calcul si un point est sur une droite
dont on nous donne l’équation
Voir l’exemple du 1. a)
c) Connaissant l’une de ses coordonnées, trouver
l’autre coordonnée d’un point d’une droite dont on
nous donne l’équation,
Exemple
Reprenons l‘exemple du 1. a), donc la droite d’équation y = 0 , 5x + 4 , 5.
Quelle est l’ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse (–17) ?
Quelle est l’abscisse du point de la droite qui a pour ordonnée 13,77 ?
Déterminer les coordonnées d’un point de la droite.
Réponses
Pour obtenir l’ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse (–17), rem-
plaçons x par (–17) dans l’équation y = 0 , 5x + 4 , 5.
( )
Cela nous donne : y = 0 , 5 × −17 + 4 , 5 = −4.
Le point de la droite qui a pour abscisse (–17) est donc le point de coordonnées
−17 ; − 4 .
(
)
Pour obtenir l’abscisse du point de la droite qui a pour ordonnée 13,77, rem-
plaçons y par 13,77 dans l’équation y = 0 , 5x + 4 , 5.
Cela nous donne : 13, 77 = 0 , 5x + 4 , 5. Soit : 0 , 5x = 13, 77 − 4 , 5 = 9 , 27.
C’est-à-dire : x = 9 , 27 × 2 = 18 , 54.
Le point de la droite qui a pour ordonnée 13,77 est donc le point de coordonnées 18 , 54 ; 13, 77 .
(
)
Pour déterminer les coordonnées d’un point de la droite, je peux choisir arbi-
trairement son abscisse, ou son ordonnée. L’autre coordonnée s’obtient par un
calcul analogue aux précédents.
Ici, choisissons par exemple son abscisse : 10. Son ordonnée vérifie alors :
y = 0 , 5 × 10 + 4 , 5 = 9 , 5.
(
)
Un point de la droite est donc le point de coordonnées 10 ; 9 , 5 .
d) Déterminer l’équation d’une droite dont on nous
donne deux points
Exemple
Déterminer l’équation de la droite passant par les points A et B de coordonnées :
(
)
(
)
A 11; − 7 et B −5 ; 5 .
Séquence 2 – MA20
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Déterminer l’équation de la droite passant par le point C de coordonnées :
(
)
C 4 , 2 ; − 1 , et de coefficient directeur ( −3 ).
Déterminer l’équation de la droite passant par les points E et F de coordonnées :
(
)
(
)
E 1,1 ; − 7 et F 1,1 ; 5 .
Réponses
Puisque les abscisses des deux points sont différentes, l’équation de la droite
est de la forme y = ax + b .
On a vu que le coefficient directeur, a, s’obtient par :
( )
5 − −7
y −y
12
a= B A =
=
= −0 , 75.
x B − x A −5 − 11 −16
Pour trouver l’ordonnée à l’origine, b, il suffit de traduire que le point A (ou le
point B) est sur la droite. Ce qui nous donne : y A = −0 , 75 × x A + b.
Soit : −7 = −0 , 75 × 11+ b = −8 , 25 + b.
On obtient : b = −7 + 8 , 25 = 1, 25.
Une équation de la droite (AB) est donc : y = −0 , 75x + 1, 25.
Puisque l’on nous donne le coefficient directeur de la droite, celle-ci a une
équation de la forme y = ax + b . Ici on a : y = −3x + b .
Pour trouver l’ordonnée à l’origine, b, il suffit de traduire que le
point C est sur la droite. Ce qui nous donne : y C = −3 × x C + b. Soit :
−1 = −3 × 4 , 2 + b = −12, 6 + b.
On obtient : b = −1+ 12, 6 = 11, 6.
Une équation de la droite est donc : y = −3x + 11, 6.
Puisque les abscisses des deux points sont égales, l’équation de la droite est
de la forme x = c .
Ici on a donc : x = x E = 1,1 .
Une équation de la droite (EF) est donc : x = 1,1 .
À savoir
Si une droite passe par les points A et B dont les coordonnées sont
(
)
(
)
A x A ; y A et B x B ; y B , alors le coefficient directeur de la droite est
y − yA
égal à : a = B
.
xB − x A
26
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e) Lire graphiquement le coefficient directeur d’une
droite et son ordonnée à l’origine
Exemple
Lire le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine des droites D1 et D2 représentées sur le graphique ci-dessous.
Réponse
Droite D1.
L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection de D1 avec l’axe des
ordonnées, c’est-à-dire du point A. L’ordonnée à l’origine est donc b = 0 , 5.
Le coefficient directeur peut se lire en comparant l’augmentation en ordonnée et
en abscisse entre deux points de la droite.
( )
Prenons par exemple les points B et C. On a : x C − x B = 2 − −1 = 3 et
y C − y B = 3, 5 − −1 = 4 , 5.
y −y
4,5
Le coefficient directeur est donc : a = C B =
= 1, 5.
x C − xB
3
( )
Séquence 2 – MA20
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Remarquons qu’il est plus direct de choisir deux points dont la différence des
abscisses vaut 1.
En effet, prenons par exemple les points C et E. On a : x E − x C = 3 − 2 = 1 et
y E − y C = 5 − 3, 5 = 1, 5.
y −y
1, 5
Le coefficient directeur est donc : a = E C =
= 1, 5.
xE − x C
1
Droite D2.
L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection de D2 avec l’axe des
ordonnées, c’est-à-dire du point F. L’ordonnée à l’origine est donc b = 4 , 5.
Le coefficient directeur peut se lire directement en choisissant deux points dont
la différence des abscisses vaut 1.
Prenons par exemple les points F et G. On a bien : x G − x F = 1− 0 = 1.
Le coefficient directeur est donc : a = y G − y F = 2, 5 − 4 , 5 = −2.
3. Applications géométriques
Plaçons-nous maintenant d’un point de vue plus géométrique. Les équations de
droite vont nous permettre d’aborder des problèmes géométriques.
a) Points alignés
Exemple
Dans un repère du plan, on considère les points A, B, C et D dont les coordonnées sont :
(
) (
) (
)
(
)
A −1; − 6 , 3 , B 2, 3 ; 1, 29 , C 1, 5 ; − 0 , 55 , et D 4 ,1; 5, 4 .
Sont-ils alignés ?
Réponse
Pour le savoir, cherchons d’abord une équation de la droite (AB).
y −y
−6 , 3 − 1, 29 −7, 59
Son coefficient directeur est : a = A B =
=
= 2, 3.
x A − xB
−1− 2, 3
−3, 3
Pour trouver l’ordonnée à l’origine, b, il suffit de traduire que le point
A est sur la droite. Ce qui nous donne : y A = 2, 3 × x A + b. Soit :
−6 , 3 = 2, 3 × −1 + b = −2, 3 + b.
( )
On obtient : b = −6 , 3 + 2, 3 = −4.
Une équation de la droite (AB) est donc : y = 2, 3x − 4.
Regardons maintenant si le point C est sur la droite (AB). Regardons donc si les
coordonnées de C vérifient l’équation de la droite.
A-t-on : y C = 2, 3x C − 4 ? C’est-à-dire a-t-on : −0 , 55 = 2, 3 × 1, 5 − 4 ?
Oui puisque : 2, 3 × 1, 5 − 4 = −0 , 55.
Les points A, B et C sont alignés.
28
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Regardons maintenant si le point D est sur la droite (AB). Regardons donc si ses
coordonnées vérifient l’équation de la droite.
A-t-on : y D = 2, 3x D − 4 ? C’est-à-dire a-t-on : 5, 4 = 2, 3 × 4 ,1− 4 ?
Non puisque : 2, 3 × 4 ,1− 4 = 5, 43.
Les points A, B et D ne sont donc pas alignés.
b) Droites parallèles
Propriété
Deux droites, non parallèles à l’axe des ordonnées, sont parallèles
si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.
Exemple
Parmi les neuf droites suivantes, indiquer celles qui sont parallèles.
D1 : équation y = 2, 3x − 4.
D3 : équation y = 0 , 25x + 0 , 4.
D5 : équation x = −4.
D7 : équation x = 2, 3.
1
D9 : équation y = − x + 5, 777.
4
Réponse
D2 : équation y = −0 , 25x − 1.
3x − 16
D4 : équation y = −
.
12
D6 : équation y = 2, 3x .
D8 : équation y = 5, 3x − 5, 4.
Tout d’abord les droites D5 et D7 sont parallèles à l’axe des ordonnées (et ce sont
les seules), elles sont donc parallèles.
Ensuite les droites D1 et D6 ont pour coefficient directeur 2,3 (et ce sont les seules), elles sont donc parallèles.
Les droites D2, D4 et D9 ont également le même coefficient directeur puisque l’équa3x − 16
3
16
3
1
tion y = −
peut s’écrire y = − x + , et que −0 , 25 = − = − .
12
12
12
12
4
Enfin la droite D3 de coefficient directeur 0,25 et la droite D8 de coefficient directeur 5,3 ne sont parallèles à aucune autre droite de la liste.
c) Droites sécantes
Propriété
Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes.
Elles ont alors un seul point commun, appelé point d’intersection.
C’est le seul point dont les coordonnées vérifient à la fois l’équation de
la première droite et l’équation de la deuxième droite.
Séquence 2 – MA20
29
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Exemple
On considère la droite D1 d’équation y = 2, 3x − 4.
Parmi les trois droites suivantes, indiquer celles qui sont sécantes avec D1 et déterminer les coordonnées du point d’intersection.
D2 : équation y = −0 , 25x − 1.
D3 : équation y = 2, 3x + 0 , 4.
D4 : équation x = −4.
Réponses
D1 et D2 sont sécantes puisqu’elles ont des coefficients directeurs différents. Leur
point d’intersection, appelons-le A, a des coordonnées x A ; y A vérifiant :
y A = 2, 3x A − 4 et y A = −0 , 25x A − 1.
(
)
Puisque c’est le même yA dans les deux égalités, on doit nécessairement avoir :
2, 3x A − 4 = −0 , 25x A − 1.
3
Soit : 2, 3x A + 0 , 25x A = 4 − 1. Et donc : x A =
.
2, 55
3
3
3, 3
On calcule alors yA : y A = 2, 3 ×
− 4 = −0 , 25 ×
− 1= −
.
2, 55
2, 55
2, 55
Le point d’intersection des deux droites est le point A de coordonnées :
3
3, 3
.
;−
2, 55
2, 55
D1 et D3 sont parallèles puisqu’elles ont des coefficients directeurs égaux.
D1 et D4 sont sécantes puisque D4 est parallèle à l’axe des ordonnées, alors que D1
ne l’est pas. Leur point d’intersection, appelons-le B, a des coordonnées x B ; y B
vérifiant : y B = 2, 3x B − 4 et x B = −4.
(
)
On voit ainsi que l’on connaît x B (on a x B = −4 ). Il reste à calculer yB :
y B = 2, 3 × −4 − 4 = −13, 2.
( )
Le point d’intersection des deux droites est le point B de coordonnées :
−4 ; − 13, 2 .
(
)
4. Systèmes d’équations linéaires
a) Retour sur des situations précédentes
Revenons
tout d’abord sur les trois activités du début de chapitre.
Dans l’activité 1 nous nous sommes intéressés à un tarif de location de voiture.
La fonction qui donnait le montant d’une facture (en euros) en fonction de la
distance parcourue (en km) s’exprimait par : f ( x ) = 0 , 5x + 4 , 5.
Elle était donc représentée par une droite d’équation : y = 0 , 5x + 4 , 5.
Dans l’activité 2 c’est la facture de bricolage de Bernard qui nous intéressait.
On obtenait : 40 y − 20 x = 180, x étant le prix (en euros) d’une poutre et y le prix
(en euros) d’une dalle.
30
Séquence 2 – MA20
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Ce qui nous donnait : y = 0 , 5x + 4 , 5.
Dans l’activité 3 c’est une équation de la médiatrice du segment [AB] que l’on
cherchait.
On obtenait l’égalité : y = 0 , 5x + 4 , 5.
Nous voyons que ces trois problèmes conduisent à la même équation,
y = 0 , 5x + 4 , 5, qui est une équation de droite, mais que ces équations n’ont
pas, concrètement, la même signification.
Dans l’activité 1, on a une quantité variable, x, qui est la distance parcourue,
et l’équation permet de calculer le coût de la location, y, en fonction de x (on a
une fonction).
Dans l’activité 2 on a deux quantités inconnues, x et y, qui ne varient pas,
et qui ne dépendent pas l’une de l’autre, mais avec lesquelles on traduit deux
situations, dans le but de les déterminer.
Enfin dans l’activité 3, on établit l’équation de la médiatrice d’un segment, c’està-dire un critère permettant de savoir si un point M de coordonnées x ; y est
sur cette médiatrice ou non. Les nombres x et y ne représentent rien d’autre que les
coordonnées de points, on est dans une situation purement géométrique.
(
)
C’est cette possibilité de passer du domaine des fonctions, à celui des inconnues ou à
celui de la géométrie qui fait la richesse et l’intérêt de ces « équations de droites ».
Revenons
maintenant sur la deuxième partie de l’activité 2 et sur les droites
sécantes (3. c)).
Dans l’activité 2, pour déterminer les prix en euros d’une poutre et d’une
dalle, on a cherché les valeurs de x et y vérifiant à la fois y = 0 , 5x + 4 , 5 et
10 x + 50 y = 295.
Dans la recherche du point d’intersection des droites D1 et D2 on a cherché les
coordonnées x et y vérifiant à la fois y = 2, 3x − 4 et y = −0 , 25x − 1.
Le fait d’avoir simultanément deux équations à vérifier est appelé « système
d’équations ».
C’est une situation fréquente (intersection de deux droites, problème linéaire à
deux inconnues, valeur de la variable ayant la même image par deux fonctions
affines différentes), et il est indispensable de savoir résoudre un système de deux
équations à deux inconnues, et de savoir interprété graphiquement la situation.
Définition
Résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues
( y = ax + b
(x ; y )
et y = cx + d ), c’est déterminer le (ou les) couple(s)
vérifiant simultanément les deux équations.
On note un système sous la forme :
y = ax + b
y = cx + d
.
Séquence 2 – MA20
31
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Remarque
Nous avons vu qu’une équation de droite peut s’écrire sous d’autres formes que
sous sa forme réduite ( y = ax + b ).
On peut donc également trouver dans un système d’équations linéaires des équations écrites sous une autre forme que leur forme réduite :
ax + by = c
.
a' x + b' y = c'
C’est même le plus fréquent.
b) Techniques de résolution ; interprétation graphique
Méthode
par substitution
La méthode de résolution d’un système par substitution consiste à exprimer une
inconnue en fonction de l’autre, à l’aide de l’une des équations, puis à remplacer
dans l’autre équation cette inconnue (substitution) par l’expression obtenue. On
a alors une équation avec une seule inconnue, donc facile à résoudre.
Exemples
Prenons l’exemple de l’activité 2.
Nous avons obtenu les deux égalités : 40 y − 20 x = 180 et 50 y + 10 x = 295.
Pour déterminer le prix (en euros) d’une poutre, x, et le prix (en euros) d’une dalle,
y, nous devons résoudre le système d’équations :
40 y − 20 x = 180
.
50 y + 10 x = 295
On nous donnait une indication dans la question :
« À partir de l’égalité traduisant la facture de Bernard, exprimer y en fonction de x ».
À partir de la première équation on obtient : 40 y = 20 x + 180.
Soit : y = 0 , 5x + 4 , 5.
On va alors remplacer, dans la deuxième équation, y, par 0 , 5x + 4 , 5. Ce qui
nous donne :
(
)
50 0 , 5x + 4 , 5 + 10 x = 295. Donc : 35x = 70.
On obtient donc : x = 2.
On peut alors calculer y en
y = 0 , 5x + 4 , 5 = 0 , 5 × 2 + 4 , 5 = 5, 5.
reprenant
la
première
équation :
Une poutre coûte donc 2 € et une dalle 5,5 €.
Prenons maintenant l’exemple de la recherche des coordonnées du point d’in-
tersection de deux droites sécantes (3. c)).
32
Séquence 2 – MA20
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Dans la recherche du point d’intersection des droites D1 et D2 on cherche les coordonnées x et y vérifiant le système d’équations :
y = 2, 3x − 4
.
y = −0 , 25x − 1
Ici les équations nous donnent directement y en fonction de x. On peut donc
l’exprimer à l’aide de l’une des équations (par exemple y = 2, 3x − 4 ), et le substituer dans l’autre. Soit : 2, 3x − 4 = −0 , 25x − 1.
3
Donc : 2, 55x = 3. On obtient donc : x =
.
2, 55
calculer y en reprenant
3
3, 3
y = 2, 3x − 4 = 2, 3 ×
−4=−
.
2, 55
2, 55
On
peut
alors
la
première
équation :
Le point d’intersection des deux droites est le point de coordonnées :
3
3, 3
.
;−
2, 55
2, 55
Méthode
par combinaison linéaire
La méthode de résolution d’un système par combinaison consiste à multiplier
chaque équation par un coefficient bien choisi pour qu’en additionnant (ou soustrayant) les deux équations, l’une des inconnues « s’élimine ». On a alors une
équation avec une seule inconnue, donc facile à résoudre.
Exemples
Prenons encore l’exemple de l’activité 2.
Nous devons résoudre le système d’équations :
40 y − 20 x = 180
.
50 y + 10 x = 295
En multipliant la première équation par 1 (donc on n’y touche pas) et la deuxième
par 2, on voit que les termes en x vont s’éliminer si l’on ajoute membre à membre
les deux égalités. En effet on a :
40 y − 20 x = 180 ( × 1)
50 y + 10 x = 295 ( × 2)
40 y − 20 x = 180
.
100 y + 20 x = 590
En additionnant les deux égalités membre à membre on obtient :
40 y − 20 x + 100 y + 20 x = 180 + 590.
(
) (
)
Soit : 140 y = 770. C’est-à-dire : y = 5, 5.
On peut alors calculer x avec une des deux équations de départ (ou faire une
autre combinaison qui « élimine » l’inconnue y).
Reprenons maintenant l’exemple de la recherche des coordonnées du point
d’intersection de deux droites sécantes (3. c)).
Séquence 2 – MA20
33
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Nous devons résoudre le système d’équations :
y = 2, 3x − 4
.
y = −0 , 25x − 1
Ici, la méthode par substitution s’impose, et il serait ridicule de vouloir utiliser
une combinaison des deux équations.
Interprétation
graphique
Dans les exemples précédents de résolution d’un système d’équations, l’interprétation graphique est évidente, chaque équation est représentée par une droite,
la solution du système est le couple des coordonnées du point d’intersection des
deux droites.
Mais, dans quelques cas particuliers, l’interprétation graphique sera importante
pour comprendre ce qui se passe. Voyons-le sur deux exemples.
Exemples
Résoudre le système d’équations :
12x − 5y = 3
.
3y = 7, 2x + 9 , 6
La forme de la deuxième équation nous incite à procéder par substitution.
Cette équation nous donne : y = 2, 4 x + 3, 2. En substituant cette expression
à y dans la première équation, on obtient : 12x − 5 2, 4 x + 3, 2 = 3. Soit :
12x − 12x − 16 = 3.
(
)
Les termes en x s’annulent, et il reste l’équation : −16 = 3.
Ce qui est évidemment faux !
On ne peut donc pas trouver de valeur de x vérifiant le système d’équations, et
par conséquent pas de valeur pour y.
Le système d’équations n’a pas de solution.
Essayons de comprendre pourquoi, en faisant une interprétation graphique de
la situation.
La première équation 12x − 5y = 3 est représentée par une droite dont on peut
chercher deux points A et B, de façon à en faire une représentation graphique.
On peut choisir, comme abscisse de A, x A = 0 .
On a alors : 12x A − 5y A = −5y A = 3 , soit : y A = −0 , 6.
On peut choisir, comme ordonnée de B, y B = 0 .
On a alors : 12x B − 5y B = 12x B = 3 , soit : x B = 0 , 25.
On peut alors représenter la droite (AB). Voir graphique ci-après.
La deuxième équation 3y = 7, 2x + 9 , 6 est représentée par une droite dont on peut
chercher deux points C et D, de façon à en faire une représentation graphique.
On peut choisir, comme abscisse de C, x C = 0 .
34
Séquence 2 – MA20
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On a alors : 3y C = 7, 2x C + 9 , 6 = 9 , 6 , soit : y C = 3, 2.
On peut choisir, comme ordonnée de D, y D = 0 .
4
On a alors : 3y D = 0 = 7, 2x D + 9 , 6 , soit : x D = − .
3
On peut alors représenter la droite (CD). Voir graphique ci-dessous.
On réalise alors pourquoi on n’a pas trouvé de solution pour le système d’équations.
Les deux droites dont on cherchait le point d’intersection sont parallèles (du moins
le semblent-elles sur le graphique), et n’ont donc pas de point d’intersection.
Pour confirmer notre observation graphique, on peut modifier chacune des équations pour les mettre sous forme d’équation réduite de droite.
On obtient pour la première : y = 2, 4 x − 0 , 6.
Et pour la deuxième : y = 2, 4 x + 3, 2.
Ceci confirme que les deux droites ont le même coefficient directeur (2,4) donc
sont parallèles. Elles n’ont pas la même ordonnée à l’origine (3,2 au lieu de −0,6)
donc sont bien distinctes.
Séquence 2 – MA20
35
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Résoudre le système d’équations :
12x − 5y = −16
.
3y = 7, 2x + 9 , 6
La forme de la deuxième équation nous incite à procéder par substitution.
Cette équation nous donne : y = 2, 4 x + 3, 2. En substituant cette expression
à y dans la première équation, on obtient : 12x − 5 2, 4 x + 3, 2 = −16. Soit :
12x − 12x − 16 = −16.
(
)
Les termes en x s’annulent, et il reste l’équation : −16 = −16.
Ce qui est évidemment toujours vrai, indépendamment de la valeur de x !
On peut donc choisir n’importe quelle valeur de x, la valeur de y correspondant
se calculant avec l’équation y = 2, 4 x + 3, 2.
Le système d’équations a donc une infinité de solutions.
Essayons de comprendre pourquoi, en faisant une interprétation graphique de
la situation.
La première équation 12x − 5y = −16 est représentée par une droite dont on peut
chercher deux points E et F, de façon à en faire une représentation graphique.
On peut choisir, comme abscisse de E, x E = 0 .
On a alors : 12x E − 5y E = −5y E = −16 , soit : y E = 3, 2.
On peut choisir, comme ordonnée de F, y F = 0 .
4
On a alors : 12x F − 5y F = 12x F = −16 , soit : x F = − .
3
On peut alors représenter la droite (EF). Voir graphique ci-après.
La deuxième équation 3y = 7, 2x + 9 , 6 est représentée par une droite.
On a déjà cherché deux points C et D de cette droite dans l’exemple précédent.
(
) (
)
On a trouvé C, de coordonnées : x C ; y C = 0 ; 3, 2 .
4
Et D, de coordonnées : x D ; y D = − ; 0 .
3
(
)
On constate que C = E et D = F. Voir graphique ci-après.
On réalise alors pourquoi on a trouvé une infinité de solutions pour le système d’équations. Les deux droites dont on cherchait le point d’intersection sont
confondues, et ont donc une infinité de points d’intersection.
On aurait pu s’en apercevoir par le calcul (sans représentation graphique) en
modifiant chacune des équations pour les mettre sous forme d’équation réduite
de droite.
On obtient pour la première : y = 2, 4 x + 3, 2.
Et pour la deuxième : y = 2, 4 x + 3, 2.
36
Séquence 2 – MA20
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Ceci confirme que les deux droites sont confondues.
Séquence 2 – MA20
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C
Synthèse du cours
1. Équations de droites
Propriété
Toute droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, a une équation de
la forme y = ax + b .
Toute droite, parallèle à l’axe des ordonnées, a une équation de
la forme x = c où c est une constante.
Définitions
Si une droite a pour équation y = ax + b dans un repère du plan :
• b est l’ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0.
On l’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite.
• a indique la « pente » de la droite.
On l’appelle le coefficient directeur de la droite.
À savoir
i
Si une droite passe par les points A et B dont les coordonnées sont
(
)
(
)
A x A ; y A et B x B ; y B , alors le coefficient directeur de la droite est
y − yA
égal à : a = B
.
xB − x A
2. A
2
Applications
li ti
géométriques
é
ét i
Propriété
Deux droites, non parallèles à l’axe des ordonnées, sont parallèles
si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.
3. Systèmes d’équations linéaires
3
À savoir
Résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de substitution.
Résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de combinaison.
Interpréter graphiquement un système d’équations linéaires.
38
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D
Exercice 9
Exercices d’apprentissage
Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère la droite D, d’équation :
2
y = x − 1, et les points A, B et C dont les coordonnées sont :
3
A 1; 3 , B 3 ; 1 et C −0 , 6 ; − 1, 5 .
( ) ( )
(
)
Déterminer si le point A appartient à D ; si B appartient à D ; si C appar-
tient à D.
Pour chacun des points qui n’appartient pas à D, déterminer une équation de
la droite passant par ce point et parallèle à D.
Exercice 10
Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les droites D1, D2 et D3 dont les
équations respectives sont : y = 0 , 4 x ; y = 0 , 2x + 5 et y = 0 ,1x + 8.
Faire une figure représentant ces droites.
Déterminer les coordonnées du point d’intersection de D1 et D2.
Déterminer les coordonnées du point d’intersection de D2 et D3.
Exercice 11
Une entreprise propose à ses employés de rembourser en partie leurs frais de
déplacement.
Elle dispose de trois modalités possibles de remboursement, et choisit celle qui
lui revient le moins cher.
Première modalité : remboursement de 0,4 € par km parcouru.
Deuxième modalité : remboursement d’un forfait de 5 € plus 0,2 € par km parcouru.
Troisième modalité : remboursement d’un forfait de 8 € plus 0,1 € par km parcouru.
Pour chacune des trois modalités, exprimer le montant du remboursement en
euros (on le notera y) en fonction du kilométrage parcouru (on le notera x).
De quelle nature sont ces fonctions ?
Dans un repère (O, I, J) du plan, représenter les trois fonctions obtenues.
Que remarque-t-on en rapport avec l’exercice précédent ?
Déterminer pour quel kilométrage les deux premières modalités donnent le
même montant de remboursement.
Même question pour les deux dernières modalités.
Sur votre graphique, indiquer quelle « courbe de remboursement » doit suivre
l’entreprise pour choisir à chaque fois la modalité la moins chère.
Séquence 2 – MA20
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Exercice 12
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D, E,
F, G, H, K et L, dont les coordonnées sont :
( ) ( ) (
) (
) (
G( 4 , 2 ; − 4 , 44 ) , H( −2, 8 ; 5,15) , K (13, 5 ; − 1) , et L (12 ; − 4 , 5).
) (
)
A −1; 1 , B 2 ; 8 , C 131, 7 ; − 31, 019 , D 137 ; − 38 , 28 , E 3, 3 ; 3, 209 , F 6 ; 9 , 5 ,
Déterminer les équations des droites (AB), (CD), (EF), (GH) et (KL).
Déterminer lesquelles sont parallèles.
Exercice 13
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, et C,
dont les coordonnées sont : A −2 ; 1 , B 4 ; 2 , et C −1; 4 .
(
) (
)
(
)
Faire une figure représentant ces points.
Déterminer les équations des médianes du triangle ABC.
Déterminer les coordonnées du centre de gravité de ce triangle (point d’inter-
section des médianes du triangle).
Exercice 14
Résoudre les systèmes d’équations suivants :
Exercice 15
17x + 30 y = 13
.
10 y + 5x = 7
6 x − 3y = −15
.
7y + 4 = 14 x
Résoudre les systèmes d’équations suivants :
Exercice 16
2x + y = 5
.
3x + 2y = 7
3 5 x − 3 y = −3
5 y − 5 3 x = −5
.
x + 21y = 9
1
49 .
7y = − x −
3
3
4 x + 5y + 1 = 7x + 4 y + 6
.
7x + 7y − 9 = 10 x + 6 y − 4
Un groupe de 65 personnes, adultes et enfants, est allé au théâtre. Le tarif adulte
est de 13 € , le tarif enfant de 6 €. Le groupe a payé 803 €.
Combien y avait-il d’enfants dans le groupe ? D’adultes ?
Exercice 17
Deux robinets dont les débits sont constants, remplissent une cuve de 440 litres,
le premier ouvert pendant deux heures, le second pendant cinq heures.
Si le premier avait été ouvert pendant cinq heures, et le second pendant deux
heures, on n’aurait eu que 365 litres.
Déterminer les débits horaires de chacun des deux robinets.
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4
Synthèse
de la séquence
1. Milieu d’un segment
Propriété
(
)
(
)
Si l’on connaît les coordonnées de deux points du plan, A x A ; y A et B x B ; y B , dans
un repère quelconque (O, I, J), les coordonnées du milieu du segment [AB] sont égales
à:
y A + yB
x +x
.
x milieu = A B
et : y milieu =
2
2
2. Distance entre deux points
Propriété
(
)
(
)
Si l’on connaît les coordonnées de deux points du plan, A x A ; y A et B x B ; y B , dans un
repère orthonormé (O, I, J), la distance AB est égale à : AB =
( x A − xB ) + ( y A − y B )2 .
2
3. Équations de droites
Propriété
Toute droite, non parallèle à l’axe des ordonnées, a une équation de la forme
y = ax + b .
Toute droite, parallèle à l’axe des ordonnées, a une équation de la forme x = c où c
est une constante.
Définition
Si une droite a pour équation y = ax + b dans un repère du plan :
• b est l’ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0.
On l’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite.
• a indique la « pente » de la droite.
On l’appelle le coefficient directeur de la droite.
Séquence 2 – MA20
41
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À savoir
Si une droite passe par les points A et B dont les coordonnées sont
(
)
(
)
A x A ; y A et B x B ; y B , alors le coefficient directeur de la droite est égal
y − yA
à: a= B
.
xB − x A
4. Applications géométriques
Propriété
Deux droites, non parallèles à l’axe des ordonnées, sont parallèles
si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.
5. Systèmes d’équations linéaires
À savoir
Résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de substitution.
Résoudre un système d’équations linéaires par la méthode de combinaison.
Interpréter graphiquement un système d’équations linéaires.
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5
Exercice I
Exercices
d’approfondissement
Le quadrilatère ABCD a été construit dans un repère orthonormé (O, I, J) qui a disparu.
Le retrouver à l’aide de la donnée des coordonnées, dans ce repère, des points
A, B, C et D :
A(–4 ; 2) B(2 ; –6) C(3 ; 6) D(1 ; 2).
C
B
D
A
Exercice II
La droite d a été tracée dans un repère orthonormé (O, I, J) qui a disparu.
Le retrouver à l’aide de la donnée d’une équation de cette droite dans ce repère :
4 x + 3y − 3 = 0.
d
Séquence 2 – MA20
43
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Exercice III
On considère le quadrilatère ABCD dont les coordonnées des sommets dans un
repère (O, I, J) sont :
A(2 ; –4) B(5,5 ; 4) C(1 ; 5) D(–3,5 ; 2,5).
On appelle R, S, T et U les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
Montrer que RSTU est un parallélogramme.
Cette propriété dépend-elle du repère choisi ? Des coordonnées des points A,
B, C et D ?
Démontrez qu’il en est toujours ainsi.
Exercice IV
On considère le quadrilatère ABCD dont les coordonnées des sommets A, B et C
dans un repère (O, I, J) sont :
A(–5 ; 1) B(–1; –1) C(5 ; 3).
On appelle R, S, T et U les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et
[DA].
Peut-on placer T sur l’axe des ordonnées, de telle façon que le quadrilatère
RSTU soit un rectangle ? Si oui, donner les coordonnées du point D.
RSTU est-il un carré ?
Exercice V
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont
les coordonnées sont :
(
) (
)
(
)
A −2 ; − 1 , B 4 ; 2 et C −1; 4 .
Faire une figure représentant ces points et construire la hauteur du triangle
issue de C.
(
Montrer que le point H de coordonnées H 0 , 8 ; 0 , 4
hauteur issue de C.
)
est le pied de cette
En déduire l’aire du triangle ABC.
Exercice VI
Une unité étant fixée, on considère un carré ABCD de côté 4 unités. E est le point
du segment [AB] tel que AE = 2, 5 et F est le point du segment [BC] tel que
CF = 1, 5.
En choisissant un repère orthonormé, déterminer une équation de chacune des
droites (CE) et (DF).
Déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites ; on
le notera K.
Montrer que les segments [CE] et [DF] sont perpendiculaires et de même longueur.
44
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Exercice VII
Une unité étant fixée, on considère un carré ABCD de côté 2 unités. ABE est un
triangle équilatéral situé à l’intérieur du carré. BCF est un triangle équilatéral
situé à l’extérieur du carré.
En choisissant un repère orthonormé, déterminer les coordonnées des points
A, B, C, D, E et F.
Déterminer une équation de la droite (DE).
Montrer que les points D, E et F sont alignés.
Exercice VIII
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A et B dont
les coordonnées sont :
( )
(
)
A 7 ; 0 et B 3 ; 4 .
Déterminer les coordonnées des points E, F et G tels que E est le milieu de [OF],
F est le milieu de [AG], et G le milieu de [BE].
Exercice IX
On considère trois cercles de centres respectifs A, B et C, tangents extérieurement
deux à deux (voir dessin ci-dessous).
C
B
A
Déterminer le rayon de chacun de ces cercles, sachant que :
AB = 24 , AC = 15 et BC = 19.
Exercice X
()
Une fonction du second degré f est définie par : f x = ax 2 + bx + c .
Déterminer les coefficients a, b et c sachant que l’on a :
f (0 ) = −1, f (0 , 5) = 1 et f (–2) = 1.
Séquence 2 – MA20
45
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Exercice XI
Résoudre le système d’équations :
2x + y = 5
.
3x + 2y = 7
On veut résoudre le système d’équations :
En posant X =
système initial.
2 1
+ =5
x y
.
3 2
+ =7
x y
1
1
et Y = déterminer X et Y, puis en déduire la solution du
x
y
En appliquant la même méthode, résoudre le système d’équations :
2x 2 + y 2 = 5
3x 2 + 2y 2 = 7
46
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.