1s second degre et parametres

1S SECOND DEGRE ET PARAMETRES
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1
C
Soit l’équation yx² - 2yx – 2x + y + 3 = 0. Résoudre dans R cette équation :
a) d’inconnue x où y est un paramètre réel
b) d’inconnue y ou x est un paramètre réel.
2
C
Déterminer m pour que l’équation : mx² - 2(m – 1) x + 3m + 2 = 0 admette 1 pour racine.
Déterminer l’autre racine
3
C
m est un réel différent de 2. On considère l’équation d’inconnue x : (m – 2) x² + 5x + 7 – m = 0
a) Démontrer que, quel que soit m, - 1 est racine de cette équation.
b) Déterminer m pour que cette autre racine soit égale à 10.
4
C
Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels k pour que l’équation proposée n’ait qu’une seule solution que l’on
déterminera :
a) 3x² - 5x + k = 0
b) 5x² - kx + 7 = 0
5
C
Déterminer les réels k pour que l’équation 2x² - 3x + k = 0 ait deux solutions distinctes.
6
C
Déterminer les réels k pour que l’équation 3x² + kx + 6,75 = 0 n’ait pas de solution réelle.
7
C
Existe-t-il une (ou des) valeur(s) du paramètre m telle(s) que le polynôme f(x)= (m²-4) x²+ (m²+m-2) x+m+2 soit le polynôme
nul ?
8
C
On considère l’équation suivante : (m – 1) x² - 4mx + 4m – 1 = 0
a) Pour quelle valeur de m cette équation est elle du second degré ?
b) On suppose que m est différent de 1. Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle une solution double ?
c) Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle deux solutions distinctes ?
9C Discuter suivant les valeurs de m, du nombre et du signe des racines :
(3m + 1)x² - 2(5m + 3)x + 2m + 9 = 0
10
C
Soit D la droite d’équation y = x + 2 et P la parabole d’équation y = x² - 2x + 3.
1) La droite D coupe-t-elle la parabole P ?
2) Pour quels réels m la droite D’ d’équation y = mx + 2 coupe-t-elle la parabole P ?
11
C Soit C la courbe d’équation y = 4
²x ; A et B les points de coordonnées respectives A(1 ; 2) et B(-2 ; -4)
1) Donner une équation de la droite (AB)
2) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C et de (AB)
3) Trouver une équation de la parallèle à (AB) qui passe par le point de coordonnées (0 ; m) et discuter suivant le réel
m le nombre de points communs à cette droite et à C.
12
C
On considère le trinôme suivant : (m + 3)x² + 2(3m + 1)x + (m + 3).
1) Pour quelle valeur de m a-t-il une racine double ?
2) Déterminer alors la valeur de cette racine.
13 On considère le trinôme suivant ; x² - (2m + 3)x + m²
1) Pour quelle valeur de m a-t-il une racine double ?
2) Déterminer alors la valeur de cette racine.
14 On considère le trinôme suivant : (4m + 1)x² - 4mx + (m - 3).
Pour quelle(s) valeur(s) de m a-t-il des solutions distinctes ?
15 On considère l’équation 2x² - (m + 2)x + m – 2 = 0.
1) Calculer m pour que l’une des solutions soit égale à 3.
2) En déduire l’autre solution.
16 Résoudre l’équation suivante : 2
mx
x2
x
mx2 =
+
−
+où m est un réel donné.

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CORRIGE :
1 Soit l’équation yx² - 2yx – 2x + y + 3 = 0. Résoudre dans R cette équation :
a) d’inconnue x où y est un paramètre réel.
y11yxety11yxdistinctessolutionsdeuxadmetéquation'let01ySi
2xsolutionuniqueuneadmetéquation'let01ySi
solutionsdepasadmet'néquation'let01ySi
)y1(4
0)3y(x)2y2(²yx
21
0
−++=−−+=>∆<
==∆= <∆> −=∆ =++−−+
b) d’inconnue y ou x est un paramètre réel.
1x2²x
3x2
y1xsi;solutionsdepas1xsi +− − =≠=
2 Déterminer m pour que l’équation : mx² - 2(m – 1) x + 3m + 2 = 0 admette 1 pour racine.
Déterminer l’autre racine
2estsolutionautre'L
2m02m3)1m(2msolutionest1
−
=
⇔
=
+
+
−
−
⇔
3 m est un réel différent de 2. On considère l’équation d’inconnue x : (m – 2) x² + 5x + 7 – m = 0
a) Démontrer que, quel que soit m, - 1 est racine de cette équation.
Pour tout m différent de – 2 : (m – 2)(-1)² + 5(-1) + 7 – m = m – 2 – 5 + 7 – m = 0
Donc – 1 est solution
b) Déterminer m pour que cette autre racine soit égale à 10. 99
143
m=
4 Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels k pour que l’équation proposée n’ait qu’une seule solution que l’on
déterminera :
a) 3x² - 5x + k = 0
6
5
x;
12
25
k0
0
==⇔=∆
b) 5x² - kx + 7 = 0
10
140
x;140k0140²k0
0
±=±=⇔=−⇔=∆
5 Déterminer les réels k pour que l’équation 2x² - 3x + k = 0 ait deux solutions distinctes.
4
k893
xet
4
k893
x;
8
9
k0k890
21
−+
=
−−
=<⇔>−⇔>∆
6 Déterminer les réels k pour que l’équation 3x² + kx + 6,75 = 0 n’ait pas de solution réelle.
9k9081²k0 <<−⇔<−⇔<∆
7 Existe-t-il une (ou des) valeur(s) du paramètre m telle(s) que le polynôme f(x)= (m²-4) x²+ (m²+m-2) x+m+2 soit le polynôme
nul ?
2
m
−
=
8 On considère l’équation suivante : (m – 1) x² - 4mx + 4m – 1 = 0
a) Pour quelle valeur de m cette équation est elle du second degré ? Pour m différent de 1.
b) On suppose que m est différent de 1. Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle une solution double ?
5
1
m0)1m5(40 =⇔=−⇔=∆
c) Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle deux solutions distinctes ?
5
1
m0)1m5(40 >⇔>−⇔>∆
9 Discuter suivant les valeurs de m, du nombre et du signe des racines :
(m + 3)x² + (m + 1)x – (m + 7) = 0
.solutionsdepasadmet'néquation'l[4.;5]msi
solutionuniqueuneadmetéquation'l4.3ou5msi
.solutionsdeuxadmetéquation'let0[;4.3][5;]msiDonc
.4.3mou5m
64'
.85m42²m5
21
−−∈ −−= >∆∞+−∪−∞−∈ −=−=
=∆ ++=∆

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10 Soit D la droite d’équation y = x + 2 et P la parabole d’équation y = x² - 2x + 3.
1) La droite D coupe-t-elle la parabole P ?
−−
2
57
;
2
53 
++
2
57
;
2
53
2) Pour quels réels m la droite D’ d’équation y = mx + 2 coupe-t-elle la parabole P ?
Pour m = 0 ou – 4 : un seul point d’intersection
Pour m < - 4 ou m > 0 : deux points d’intersection
11 Soit C la courbe d’équation y = 4
²x ; A et B les points de coordonnées respectives A(1 ; 2) et B(-2;-4)
1) Donner une équation de la droite (AB)
x
2
y
=
2) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C et de (AB) 
16
8
3) Trouver une équation de la parallèle à (AB) qui passe par le point de coordonnées (0 ; m) et discuter suivant le réel
m le nombre de points communs à cette droite et à C.
)m44m8;m424(et
)m44m8;m424(tionssecerint'dsintpodeux04m
)4;4(intpouniqueun04m
tionsecerint'dintpodepas04m
)m4(16
0m4x8²xrésoudreàrevientcela
mx2y
4
²x
y
+++++
+−++−⇔>∆⇔−>
⇔=∆⇔−=
⇔<∆⇔−< +=∆ =−−
+=
=
12
C
On considère le trinôme suivant : (m + 3)x² + 2(3m + 1)x + (m + 3).
1) Pour quelle valeur de m a-t-il une racine double ?
1ou1m
01²m
0)²3m(4)²1m3(4
0
doubleracineuneadmetéquation'L
−=⇔ =−⇔ =+−+⇔ =∆⇔
2) Déterminer alors la valeur de cette racine.
Pour m = 1, l’équation devient : 4(x + 1)² = 0 ; la seule solution est x = - 1.
Pour m = - 1, l’équation devient 2(x – 1)² = 0 ; la seule solution est x = 1.