1s second degre et parametres

1S
SECOND DEGRE ET PARAMETRES
1
C
Soit l’équation yx² - 2yx – 2x + y + 3 = 0. Résoudre dans R cette équation :
a) d’inconnue x où y est un paramètre réel
b) d’inconnue y ou x est un paramètre réel.
2
C
Déterminer m pour que l’équation : mx² - 2(m – 1) x + 3m + 2 = 0 admette 1 pour racine.
Déterminer l’autre racine
3
C
m est un réel différent de 2. On considère l’équation d’inconnue x : (m – 2) x² + 5x + 7 – m = 0
a) Démontrer que, quel que soit m, - 1 est racine de cette équation.
b) Déterminer m pour que cette autre racine soit égale à 10.
4
C
Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels k pour que l’équation proposée n’ait qu’une seule solution que l’on
déterminera :
a) 3x² - 5x + k = 0
b) 5x² - kx + 7 = 0
5
C
6
C
7
C
Déterminer les réels k pour que l’équation 2x² - 3x + k = 0 ait deux solutions distinctes.
Déterminer les réels k pour que l’équation 3x² + kx + 6,75 = 0 n’ait pas de solution réelle.
Existe-t-il une (ou des) valeur(s) du paramètre m telle(s) que le polynôme f(x)= (m²-4) x²+ (m²+m-2) x+m+2 soit le polynôme
nul ?
8
C
On considère l’équation suivante : (m – 1) x² - 4mx + 4m – 1 = 0
a) Pour quelle valeur de m cette équation est elle du second degré ?
b) On suppose que m est différent de 1. Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle une solution double ?
c) Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle deux solutions distinctes ?
9C
Discuter suivant les valeurs de m, du nombre et du signe des racines :
(3m + 1)x² - 2(5m + 3)x + 2m + 9 = 0
10
C
Soit D la droite d’équation y = x + 2 et P la parabole d’équation y = x² - 2x + 3.
1) La droite D coupe-t-elle la parabole P ?
2) Pour quels réels m la droite D’ d’équation y = mx + 2 coupe-t-elle la parabole P ?
11
C
x²
; A et B les points de coordonnées respectives A(1 ; 2) et B(-2 ; -4)
4
Donner une équation de la droite (AB)
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C et de (AB)
Trouver une équation de la parallèle à (AB) qui passe par le point de coordonnées (0 ; m) et discuter suivant le réel
m le nombre de points communs à cette droite et à C.
Soit C la courbe d’équation y =
1)
2)
3)
12
C
On considère le trinôme suivant : (m + 3)x² + 2(3m + 1)x + (m + 3).
1) Pour quelle valeur de m a-t-il une racine double ?
2) Déterminer alors la valeur de cette racine.
13
On considère le trinôme suivant ; x² - (2m + 3)x + m²
1) Pour quelle valeur de m a-t-il une racine double ?
2) Déterminer alors la valeur de cette racine.
14
On considère le trinôme suivant : (4m + 1)x² - 4mx + (m - 3).
Pour quelle(s) valeur(s) de m a-t-il des solutions distinctes ?
15
On considère l’équation 2x² - (m + 2)x + m – 2 = 0.
1) Calculer m pour que l’une des solutions soit égale à 3.
2) En déduire l’autre solution.
16
Résoudre l’équation suivante :
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2x + m
2x
−
= 2 où m est un réel donné.
x
x +m
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SECOND DEGRE ET PARAMETRES
CORRIGE :
1
Soit l’équation yx² - 2yx – 2x + y + 3 = 0. Résoudre dans R cette équation :
a) d’inconnue x où y est un paramètre réel.
yx ² + (−2y − 2)x + (y + 3) = 0
∆ = 4(1 − y)
Si y > 1 ∆ < 0 et l' équation n' admet pas de solutions
Si y = 1 ∆ = 0 et l' équation admet une unique solution x 0 = 2
Si y < 1 ∆ > 0 et l' équation admet deux solutions distinctes x1 = y + 1 − 1 − y et x 2 = y + 1 + 1 − y
b)
d’inconnue y ou x est un paramètre réel.
2x − 3
si x = 1 pas de solutions ; si x ≠ 1 y =
x ² − 2x + 1
2
Déterminer m pour que l’équation : mx² - 2(m – 1) x + 3m + 2 = 0 admette 1 pour racine.
Déterminer l’autre racine
1 est solution ⇔ m − 2(m − 1) + 3m + 2 = 0 ⇔ m = −2
3
m est un réel différent de 2. On considère l’équation d’inconnue x : (m – 2) x² + 5x + 7 – m = 0
a) Démontrer que, quel que soit m, - 1 est racine de cette équation.
Pour tout m différent de – 2 : (m – 2)(-1)² + 5(-1) + 7 – m = m – 2 – 5 + 7 – m = 0
Donc – 1 est solution
143
b) Déterminer m pour que cette autre racine soit égale à 10. m =
99
Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels k pour que l’équation proposée n’ait qu’une seule solution que l’on
déterminera :
a) 3x² - 5x + k = 0
25
5
∆ =0⇔k =
; x0 =
12
6
b) 5x² - kx + 7 = 0
L' autre solution est 2
4
140
10
Déterminer les réels k pour que l’équation 2x² - 3x + k = 0 ait deux solutions distinctes.
∆ = 0 ⇔ k ² − 140 = 0 ⇔ k = ± 140 ; x 0 = ±
5
9
3 − 9 − 8k
3 + 9 − 8k
; x1 =
et x 2 =
8
4
4
Déterminer les réels k pour que l’équation 3x² + kx + 6,75 = 0 n’ait pas de solution réelle.
∆ < 0 ⇔ k² − 81 < 0 ⇔ −9 < k < 9
∆ > 0 ⇔ 9 − 8k > 0 ⇔ k <
6
7
Existe-t-il une (ou des) valeur(s) du paramètre m telle(s) que le polynôme f(x)= (m²-4) x²+ (m²+m-2) x+m+2 soit le polynôme
nul ? m = −2
8
On considère l’équation suivante : (m – 1) x² - 4mx + 4m – 1 = 0
a) Pour quelle valeur de m cette équation est elle du second degré ? Pour m différent de 1.
b) On suppose que m est différent de 1. Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle une solution double ?
1
∆ = 0 ⇔ 4(5m − 1) = 0 ⇔ m =
5
c) Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle deux solutions distinctes ?
1
∆ > 0 ⇔ 4(5m − 1) > 0 ⇔ m >
5
9
Discuter suivant les valeurs de m, du nombre et du signe des racines :
(m + 3)x² + (m + 1)x – (m + 7) = 0
∆ = 5m² + 42m + 85.
∆' = 64
m1 = −5 ou m2 = −3.4.
Donc si m ∈] − ∞ ; − 5[ ∪ ] − 3.4 ; + ∞[ ∆ > 0 et l' équation admet deux solutions.
si m = −5 ou − 3.4 l' équation admet une unique solution
si m ∈] − 5 ; − .4 [ l' équation n' admet pas de solutions.
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SECOND DEGRE ET PARAMETRES
Soit D la droite d’équation y = x + 2 et P la parabole d’équation y = x² - 2x + 3.
1) La droite D coupe-t-elle la parabole P ?
 3− 5 7− 5   3+ 5 7+ 5 

 

;
;
 2
2   2
2 

2) Pour quels réels m la droite D’ d’équation y = mx + 2 coupe-t-elle la parabole P ?
Pour m = 0 ou – 4 : un seul point d’intersection
Pour m < - 4 ou m > 0 : deux points d’intersection
x²
; A et B les points de coordonnées respectives A(1 ; 2) et B(-2;-4)
4
Donner une équation de la droite (AB) y = 2x
Soit C la courbe d’équation y =
1)
8 
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C et de (AB)  
 16 
3) Trouver une équation de la parallèle à (AB) qui passe par le point de coordonnées (0 ; m) et discuter suivant le réel
m le nombre de points communs à cette droite et à C.
x²

y =
4

y = 2x + m

2)
cela revient à résoudre x ² − 8x − 4m = 0
∆ = 16(4 + m)
m < −4 ⇔ ∆ < 0 ⇔ pas de po int d' int er sec tion
m = −4 ⇔ ∆ = 0 ⇔ un unique po int (4 ; 4)
m > −4 ⇔ ∆ > 0 ⇔ deux po int s d' int er sec tions (4 − 2 4 + m ; 8 + m − 4 4 + m )
et (4 + 2 4 + m ; 8 + m + 4 4 + m )
12
C
On considère le trinôme suivant : (m + 3)x² + 2(3m + 1)x + (m + 3).
1) Pour quelle valeur de m a-t-il une racine double ?
L' équation admet une racine double
⇔∆=0
⇔ 4(3m + 1)² − 4(m + 3)² = 0
⇔ m² − 1 = 0
⇔ m = −1 ou 1
2)
Déterminer alors la valeur de cette racine.
Pour m = 1, l’équation devient : 4(x + 1)² = 0 ; la seule solution est x = - 1.
Pour m = - 1, l’équation devient 2(x – 1)² = 0 ; la seule solution est x = 1.
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