Histoire des sciences / Textes scientifiques fondateurs – Avril 2013 Origine et portée de l’équation de Langevin par Jean-Pierre Kahane, membre de l'Académie des sciences Le texte qui suit est une note aux Comptes Rendus de Paul Langevin, volume 146, 1908, pages 530533, intitulée « Sur la théorie cinétique du mouvement brownien ». On le trouve également dans les « Œuvres scientifiques de Paul Langevin », CNRS 1950, pages 301-303. Il comporte trois parties. La première fait le point sur l’état de la théorie du mouvement brownien après les intuitions de Gouy et les travaux d’Einstein et de Smoluchowski ; Einstein et Smoluchowski obtiennent la même formule fondamentale, liant le carré du déplacement au temps écoulé, mais avec un facteur différent. La seconde est la contribution de Langevin ; d’abord, il annonce que, refaisant les calculs de Smoluchowski, il retrouve le même facteur qu’Einstein ; puis, en petits caractères, il donne de la formule sa démonstration propre, « infiniment plus simple », dit-il, et il a raison. La dernière est une analyse critique des résultats des expériences de Svedberg qui semblaient donner raison à Smoluchowski. Le développement de la première et la suite de la dernière partie sont à trouver dans les travaux de Jean Perrin et dans son livre « Les Atomes », un grand classique qui mérite lecture et relecture par un large public. La seconde partie, bien sûr, renferme quelques équations, et nécessite une lecture attentive. Pendant longtemps, elle n’a pas eu l’attention qu’elle mérite. Aujourd’hui encore, elle est largement ignorée des meilleurs connaisseurs et commentateurs de l’œuvre de Paul Langevin : Bernadette BensaudeVincent dans la remarquable présentation qu’elle fait des « propos d’un physicien engagé pour mettre la science au service de la paix », Vuibert-SFHST 2007, ne dit pas un mot de ce travail. Cet oubli correspond sans doute au défaut de citations de cette note dans les années qui ont suivi sa parution, et au fait que l’équation d’Einstein, une fois établie, a été le germe de travaux expérimentaux (Perrin) et mathématiques (Wiener) qui ont fait passer au second plan la manière d’obtenir l’équation. Or la manière de Langevin est d’introduire ce que nous appelons aujourd’hui une équation différentielle stochastique, que nous appelons l’équation de Langevin. Son importance a été reconnue d’abord par Doob en 1942, et elle est aujourd’hui considérée comme fondamentale en mathématiques. Peut-on, en quelques mots et sans formule, dire de quoi il s’agit ? Essayons. On veut décrire le mouvement d’un très petit corps plongé dans un liquide. Il est soumis à la résistance visqueuse du liquide, qui tend à l’arrêter, mais on observe qu’il ne s’arrête pas. Il y a donc une force à introduire dans l’équation du mouvement, une force aléatoire qui ne va privilégier aucune direction. Donc 1 Origine et portée de l’équation de Langevin – Jean-Pierre Kahane – Avril 2013 Tous droits de reproduction et de représentation réservés© Académie des sciences l’accélération du petit corps est égale à la somme de deux termes : un, proportionnel à la vitesse et à la résistance visqueuse, tend à stopper le mouvement, l’autre, aléatoire, le réactive sans cesse. La formule qui traduit cela est l’équation de Langevin. Langevin va ensuite opérer des moyennes, pour obtenir l’expression de la moyenne de la dérivée du carré du déplacement par rapport au temps. C’est une fonction du temps, mais qui est pratiquement stationnaire. Tous calculs faits, c’est l’équation d’Einstein. Doob a spécialisé l’équation de Langevin en choisissant pour loi de la force aléatoire un multiple du bruit blanc. Depuis, la théorie et la pratique des équations différentielles stochastiques se sont développées dans des directions multiples. Le nom d’Itô est associé à leur traitement au moyen d’une nouvelle forme d’intégration connue comme l’intégrale d’Itô. Si vous voulez avoir une idée du retentissement dans la littérature contemporaine, regardez sur Google « équation de Langevin ». 2 Origine et portée de l’équation de Langevin – Jean-Pierre Kahane – Avril 2013 Tous droits de reproduction et de représentation réservés© Académie des sciences ACADÉMIE motrice de la pile du circuit électromotrice d'un élément Ces différents effets DES la force peut être diminuée jusqu'à et même d'un élément Daniell. récepteur Leclanohé ont été SCIENCES. constatés avec des dont électrolytiques de diamètre. la avait de millimètre positive ^5, une observation J'ajoute que j'ai faite il y a longtemps déjà. L'intensité du son au téléphone, est très notablement donnée, pour une transmission de toute élévation de température ou de toute accrue, indépendamment pointe dans le circuit récepteur deux électrolytiques agitation, quand on introduit en série au lieu d'un seul. On augmente en même temps le voltage de la pile du circuit. du mouvement brownien. Sur la théorie PHYSIQUE. Note de M. P. Laxgevin, présentée par M. Mascart. les phénomènes de mouon doit à ce physicien M. Gouy (') contid'avoir formulé nettement qui voit dans ce mouvement l'hypothèse en suspension thernuel des particules dans un fluide un écho de l'agitation au moins et de l'avoir moléculaire, mique justifiée expérimentalement, 1. Le très grand intérêt théorique vement- brownien a été signalé par de manière brownien en montrant qualitative, et son indifférence aux présenté par la parfaite du mouvement permanence actions extérieures celles-ci ne lorsque modifient du milieu. pas la température de la Une vérification quantitative M. Einstein (), qui a donné récemment théorie a été une formule rendue possible par de prévoir permettant A^, du déplacement Ax quel est, au bout d'un temps donné t, le carré moyen donnée x par suite du mouved'une particule dans une direction sphérique de ment brownien dans un liquide, en fonction du rayon a de la particule, T. Cette formule est la viscosité et. de la température absolue p. du liquide où R est (') Gouy, la constante Joiirn. des de Phys., gaz relative parfaits 2e série, t. VII, à 1888, une p. 561j et molécule-gramme Comptes t. CIX, rendus, 1889, p. 102. (2) A. Eikstbln, t. XIX, 4e série, Ann. fi, d. Pltysik, p. 071. !f série, t. XVII, 190D, p. 549; Ann. JN d. Pliysik, SÉANCE le nombre DU de molécules dans une et voisin de 8 x io23. aujourd'hui M. Smolnchowski () a tenté MARS 9 1908. nombre molécule-gramme, d'aborder le même thode bien connu problème par une méEinstein dans les deux plus directe que celles employées par M. démonstrations successivement de sa formule, et a obtenu qu'il a données de même forme que Ci), mais qui en diffère pour A; une expression par le coefficient^. IL J'ai pu constater tout d'abord correcte de la qu'une application méthode de M. Smoluchowski conduit à retrouver la formule de M. Einstein exactement toute différente, et, de plus, qu'il une démonstration est facile de donner, infiniment par une méthode plus simple. Le point de départ est toujours le même le théorème d'équiparlition de l'énergie cinétique entre les divers degrés de liberté d'un système en équilibre thermique exige qu'une particule en suspension dans un fluide quelconque possède, dans la direction x, RT une énergie d, d'une l, 1 gazeuse molécule cinétique moyenne d nature de égale l, à celleIl dans une direction quelconque, donnée, à la même température. Si = est la vitesse à un instant donné de la particule dans la direction considérée, on a donc pour la moyenne étendue à un grand nombre de particules identiques de masse m Une comme celle que nous particule à la distance considérons, grande par rapport des molécules du liquide, et se mouvant moyenne à celui-ci avec la vitesse par rapport £ subit une résistance à la visqueuse formule de Stores. égale En réalité, ô^aç d'après cette valeur n'est qu'une et en raison de l'irrégularité moyenne, des chocs des molécules l'action du fluide sur la particule environnantes, oscille autour de la valeur de sorte précédente, du mouvement que l'équation est, dans la direction ,r, Sur la force tive, complémentaire et sa grandeur est telle la résistance visqueuse L'équation (') M. (3), vos finirait multipliée Smolughowski, X nous savons qu'elle maintient Ami. est l'agitation indifféremment de la particule positive que, arrêter. par par qu'elle x, peut d. s'écrire Physik, 4° série, t. XXt, 1906, p. 756. et négasans elle, ACADÉMIE Si nous considérons un DES nombre grand équations (4) écrites pour chacune demment nulle à cause de l'irrégularité la valeur de l'ordre On a donc, d'où, pour Le io~8 un des terme premier seconde environ actions en régime pour les au bout permanent sur particules et il vient, X, complémentaires la moyenne Xx est évi- d'un le lesquelles en temps raouve- observable. en régime d'agitation, permanent intervalle T, detemps À>c d'une déplacement comme et, ou 67C,u« 6~'JL6! brownien est ment du constante et prenons du terme de particules identiques la valeur d'elles, moyenne des prend SCIENCES. est particule sont ces déplacements donné par indifféremment positifs et négatifs, d'où la formule (i). III. Un premier essai M. T. Svedberg ('), formule (i) que dans de ceux Les deux M. de calculés dont par démonstrations Einstein, en suivant me Smoluchowski, proposée par ce dernier. T. Svedberg, Studien vient expérimentale ne s'écartent les résultats le rapport la formule M. (') de vérification d'être fait par fournis par la de ceux et s'approchent de i à L\ environ de M. Smoluchowski. nouvelles obtenues pour la paraissent sur Lehre que j'ai l'une d'elles écarter marche définitivement von dan kolloïden Lôsungen. davantage de la formule amorcée par la modification Upsala, 1907. SÉANCE tité A^ qui 1908. M. ne mesure Svedberg la formule et l'incertitude que dans figure MARS 9 Il le fait D'ailleurs, DU pas réellement sur le diamètre la quanréel des de nouvelles mequ'il a observés appellent sur des granules de dimensions microscopiques et pour lesquels de la forexactement, l'application granules ultramicroscopiques sures faites de préférence plus faciles à connaitre mule de Stokes, qui néglige plus légitime. Flammes ACOUSTIQUE. Note les effets de M. G. Tubes à flammes même temps deux d'inertie sonores à deux renforçant présentée Athanasiadis, sons. du liquide, est certainement sons. plusieurs par M. Lippmann. I, L'harmonica en chimique peut donner ou plusieurs sons à cause de la coexistence de différents mouvements vibratoires de la flamme. Pour une cela, nous introduisons flamme manométrique dans un tube de verre et, en réglant la hauteur de la flamme et la longueur du tube de verre, nous pouvons entendre ensemble le son propre de la flamme (qui est de la même hauteur que celui du tuyau) et le son de l'harmonica chimique. Pour y arriver, la flamme rendant le son du tuyau, il faut abaisser le tube de la flamme jusqu'au moment où le son de l'harmonica commence à se produire. Nous réglons alors la hauteur de la flamme de manière à faire coexister les deux sons et nous pouvons changer à volonté leurs intensités relatives. La coexistence des deux sons ainsi que l'intensité relative peuvent être montrées par le miroir tournant obtenues mieux gueur et surtout sont bien distinctes encore 86cm d'acétylène, avec et une 3cm,4de produisant avec flamme d'hydrogène donne qui diamètre, sol, du d'acétylène. nous sol,, le son Il est les laquelle images réussit avec une flamme de gaz, mais ou tuyau avec d'acétylène, ('). L'expérience flamme le son une (Dans faisôns un entrer tube une de lon- flamme sonore.) de faire coexister trois possible de donner à la flamme simultanément ou plusieurs sons. Il suffit pour les vibrations qui proviennent cela des capsules de deux ou de plusieurs manométriques tuyaux sonores. II. Si l'on souffle un courant d'air ou d'un autre gaz (oxygène ou acide tube de verre dont l'orifice carbonique) par un second diamètre (d'un de ira-2™) est situé plus bas que l'orifice du tube de la flamme, le son de l'harmonica mais il se reproduit nous interrompons s'éteint, le couquand (') lentille Les images des et d'un miroir flammes peuvent tournant ou d'un miroir être projetées sur un concave oscillant. écran au moyen d'une