Équation de Fokker

M2 MSA
2013/2014
Du mouvement brownien à la modélisation financière
TD no3
Équation de Fokker-Planck
1 Équation de la diffusion dans un champ homogène
On considère l’équation de la diffusion dans un champ homogène donnant la densité de probabilité P(x, t)
qu’une particule soit en xà l’instant t:
∂
∂tP(x, t) = −c∂ ∂xP(x, t) + D∂2 ∂x2P(x, t),(1)
où cest la vitesse de dérive constante et Dle coefficient de diffusion. La condition initiale P(x, 0) est supposée
connue.
⊲1-1 Déterminer l’équation vérifiée par la fonction caractéristique φ(u, t)de P(x, t):
φ(u, t) = ZeiuxP(x, t)dx.
En déduire φ(u, t).
⊲1-2 Dans le cas où P(x, 0) = δ(x), montrer que l’on a
P(x, t) = 1
√4πDt e−
(x−ct)2
4Dt .
2 Équation de Smoluchowski
Une particule brownienne se déplace dans un champ de force inhomogène F(x). La densité de probabilité
P(x, t)obéit donc à l’équation de Smoluchowski :
∂
∂t P(x, t) = −1 mγ
∂
∂xF(x)P(x, t)+D∂2 ∂x2P(x, t),(2)
où mest la masse de la particule, Dson coefficient de diffusion et γ−1le temps de relaxation de la dynamique
brownienne. On recherche des solutions gaussiennes de l’équation (2) :
P(x, t) = 1
p2πσ(t)e−(x−m(t))2
2σ(t),
où la moyenne m(t)et la variance σ2(t)dépendent a priori du temps. La condition initiale étant
P(x, t) = δ(x−x0).
⊲2-1 Montrer que
d
dt hx(t)i=1 mγ hFx(t)i,
et d
dt hx2(t)i=2 mγ hx(t)Fx(t)i+ 2D.
1

⊲2-2 Calculer m(t)et σ(t)dans le cas d’un champ de pesanteur F(x) = −mg.
⊲2-3 Calculer m(t)et σ(t)dans le cas d’un champ de force harmonique F(x) = −mω2x. Montrer qu’à
l’équilibre on retrouve la relation d’Einstein D=kT
mγ .
3 Équation de Fokker-Planck pour la vitesse
La densité de probabilité P(v, t) = P(v, t |v0)qu’une particule brownienne ait une vitesse và l’instant t
sachant que sa vitesse était v0àt= 0 est donnée par l’équation
∂
∂t P(v, t) = γ∂ ∂v (v P (v, t)) + γ2D∂2 ∂v2P(v, t).(3)
Remarquons que l’on retrouve l’équation de Smoluchowski (2) pour la position dans le cas d’un champ de force
harmonique.
⊲3-1 Dans un premier temps on considère l’équation (3) avec D= 0 :
γP (v, t) = ∂
∂t P(v, t)−γv ∂ ∂v P(v, t).
En comparant cette équation multipliée par un facteur λà la différentielle totale de P(v, t)montrer que l’on
peut proposer le changement de variables suivant :
P(v, t) = Q(u, t)eγt
v=ue−γt.
Effectuer ce changement de variables dans l’équation (3) avec D6= 0 et en déduire la nouvelle équation donnant
Q(u, t).
⊲3-2 Effectuer le changement de variable sur le temps
s=1
2γ(e2γt −1).
En déduire que la densité de probabilité P(v, t)s’écrit
P(v, t) = rm
2kT π
1
√1−e−2γt e−m
2kT
(v−v0e−γt)2
1−e−2γt .
2