M2 MSA 2013/2014 Du mouvement brownien à la modélisation financière TD no 3 Équation de Fokker-Planck 1 Équation de la diffusion dans un champ homogène On considère l’équation de la diffusion dans un champ homogène donnant la densité de probabilité P (x, t) qu’une particule soit en x à l’instant t : ∂ ∂ ∂2 P (x, t) = −c P (x, t) + D 2 P (x, t), ∂t ∂x ∂x (1) où c est la vitesse de dérive constante et D le coefficient de diffusion. La condition initiale P (x, 0) est supposée connue. ⊲ 1-1 Déterminer l’équation vérifiée par la fonction caractéristique φ(u, t) de P (x, t) : Z φ(u, t) = eiux P (x, t)dx. En déduire φ(u, t). ⊲ 1-2 Dans le cas où P (x, 0) = δ(x), montrer que l’on a (x−ct)2 1 P (x, t) = √ e− 4Dt . 4πDt 2 Équation de Smoluchowski Une particule brownienne se déplace dans un champ de force inhomogène F (x). La densité de probabilité P (x, t) obéit donc à l’équation de Smoluchowski : 1 ∂ ∂2 ∂ P (x, t) = − F (x)P (x, t) + D 2 P (x, t), ∂t mγ ∂x ∂x (2) où m est la masse de la particule, D son coefficient de diffusion et γ −1 le temps de relaxation de la dynamique brownienne. On recherche des solutions gaussiennes de l’équation (2) : 1 P (x, t) = p 2πσ(t) (x − m(t))2 2σ(t) , e − où la moyenne m(t) et la variance σ 2 (t) dépendent a priori du temps. La condition initiale étant P (x, t) = δ(x − x0 ). ⊲ 2-1 Montrer que et d 1 hx(t)i = hF x(t) i, dt mγ d 2 2 hx (t)i = hx(t)F x(t) i + 2D. dt mγ 1 ⊲ 2-2 Calculer m(t) et σ(t) dans le cas d’un champ de pesanteur F (x) = −mg. ⊲ 2-3 Calculer m(t) et σ(t) dans le cas d’un champ de force harmonique F (x) = −mω 2 x. Montrer qu’à kT l’équilibre on retrouve la relation d’Einstein D = mγ . 3 Équation de Fokker-Planck pour la vitesse La densité de probabilité P (v, t) = P (v, t | v0 ) qu’une particule brownienne ait une vitesse v à l’instant t sachant que sa vitesse était v0 à t = 0 est donnée par l’équation ∂ ∂2 ∂ P (v, t) = γ (v P (v, t)) + γ 2 D 2 P (v, t). ∂t ∂v ∂v (3) Remarquons que l’on retrouve l’équation de Smoluchowski (2) pour la position dans le cas d’un champ de force harmonique. ⊲ 3-1 Dans un premier temps on considère l’équation (3) avec D = 0 : γP (v, t) = ∂ ∂ P (v, t) − γv P (v, t). ∂t ∂v En comparant cette équation multipliée par un facteur λ à la différentielle totale de P (v, t) montrer que l’on peut proposer le changement de variables suivant : P (v, t) v = Q(u, t)eγt = ue−γt . Effectuer ce changement de variables dans l’équation (3) avec D 6= 0 et en déduire la nouvelle équation donnant Q(u, t). ⊲ 3-2 Effectuer le changement de variable sur le temps s= 1 2γt (e − 1). 2γ En déduire que la densité de probabilité P (v, t) s’écrit P (v, t) = r m (v − v0 e−γt )2 − 1 m √ e 2kT 1 − e−2γt . 2kT π 1 − e−2γt 2