Chapitre 1.14 – L`intégrale en cinématique

Chapitre 1.14 – L’intégrale en cinématique
L’intégrale
En mathématique, on définit l’intégrale d’une fonction f ( x ) tel que
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx
et
F ' (x ) =
d F (x )
= f (x )
dx
où F ( x ) est la fonction qui donne la valeur de l’aire sous la courbe de la fonction f ( x )
dans l’intervalle [0..x ] . L’intégrale est l’opération mathématique inverse de la dérivée.
Exemple graphique :
L’aire sous la courbe f ( x ) dans
l’intervalle [0..6] est égale à F (6) .
Exemple numérique :
Soit
f (5) = 4 et F (5) = 12
À la coordonnée x = 5 , la valeur associée
est 4 et l’aire sous la courbe dans
l’intervalle [0..5] est égale à 12.
Le théorème fondamental du calcul
Afin d’évaluer l’aire sous la courbe de la fonction f ( x ) dans l’intervalle [a..b] plutôt que
dans l’intervalle [0..a ] , on peut utiliser le théorème suivant :
Formule
Représentation graphique
b
∫ f (x )dx = F (b) − F (a )
x =a
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
La position et la vitesse à l’aide de l’intégrale
Nous avons donné la définition suivante à la vitesse et à l’accélération :
d x(t )
dt
v x (t ) =
a x (t ) =
et
d v x (t )
dt
Appliquons le calcul différentiel à la définition de la vitesse et de l’accélération afin
d’obtenir une définition intégrale de la position et de la vitesse :
Intégrale de l’accélération :
a x (t ) =
d v x (t )
dt
⇒
dv x (t ) = a x (t ) dt
t
⇒
⇒
t
∫ dv x (t ) =
t =t i
(Isoler dv x (t ) )
∫a
x
(t ) dt
(Appliquer l’intégrale de t = t i → t )
x
(t ) dt
(Résoudre l’intégrale sur v x )
t = ti
t
[ v x (t )]
t
ti
∫a
=
t = ti
⇒
t
v x (t ) − v xi =
∫a
x
(t ) dt
(Évaluer l’intégrale, v xi = v x (t i ) )
t =ti
Intégrale de la vitesse :
v x (t ) =
d x(t )
dt
⇒
⇒
⇒
dx(t ) = v x (t ) dt
t
t
t =t i
t =t i
∫ dx(t ) = ∫ v
[x(t )]tt
(Isoler dx(t ) )
(t ) dt
(Appliquer l’intégrale de t = t i → t )
(t ) dt
(Résoudre l’intégrale sur v x )
x
t
∫v
=
i
x
t =t i
⇒
x(t ) − xi =
t
∫v
x
(t ) dt
(Évaluer l’intégrale, xi = x(t i ) )
t =ti
Grâce au calcul différentiel, on peut maintenant utiliser la définition de l’intégrale et donner
la définition suivantes à la position, la vitesse et à l’accélération :
La position :
x(t ) − xi =
t
∫v
x
(t ) dt
unité : [x(t )] = m
t =ti
La vitesse :
t
v x (t ) − v xi =
∫a
x
(t ) dt
unité : [v x (t )] = m/s
t =ti
L’accélération :
a x (t )
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
unité : [a x (t )] = m/s 2
Page 2
Situation A : Une planche à roulettes sur un plan incliné : calcul avec intégral. À partir
de l’équation de la vitesse v x (t ) = 1 − 0,5 t associés au mouvement de la planche à roulettes
de la situation 3 du chapitre 1.3, on désire évaluer l’équation de la position x(t ) sachant que
la position à t = 0 est égale à 1,8 m.
À partir de la version intégrale de la position, évaluons l’équation de la position. Utilisons
t = 0 comme borne inférieure à l’intégrale, car la position est connue à ce temps :
x(t ) − xi =
t
∫ v (t )dt
x
t =t i
⇒
x(t ) − x0 =
t
∫ v (t )dt
(Bornes : t = 0 → t )
x
t =0
⇒
x(t ) − x0 =
t
∫ (1 − 0,5 t )dt
(Remplacer v x (t ) = 1 − 0,5 t )
t =0
⇒
x(t ) − x0 =
t
∫ dt +
t =0
⇒
x(t ) − x0 =
t
∫ − 0,5 t dt
(Distribuer l’intégrale)
t =0
t
t
t =0
t =0
∫ dt − 0,5 ∫ t dt
(Factoriser les constantes des intégrales)
t
⇒
t 2 
x(t ) − x 0 = [t ] − 0,5 
 2 0
(Résoudre l’intégrale sur v x )
⇒
 (t )2 (0 )2 

x(t ) − x0 = ( (t ) − (0 ) ) − 0,5 
−
2 
 2
(Évaluer l’intégrale)
⇒
x(t ) = t − 0,25 t 2 + x0
(Isoler x(t ) )
⇒
x(t ) = t − 0,25 t 2 + (1,8)
(Remplacer x0 = 1,8 )
⇒
x(t ) = −0,25 t 2 + t + 1,8
(Réécriture)
t
0
Voici une représentation graphique de nos deux équations du mouvement :
Graphique de v x (t ) :
Graphique de x(t ) :
0
3
x (m)
2
–1
1
1
vx (m/s)
0
–2
0
1
2
3
4
5 t (s)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
0
1
2
3
4
5 t (s)
Page 3
Situation B : Équation du mouvement d’une accélération constante. Un mobile se
déplace avec une accélération constante a x . À t = 0 , le mobile occupait la position x0 et se
déplaçait à la vitesse v x 0 . On désire évaluer (a) l’équation de la vitesse du mobile et (b)
l’équation de la position du mobile.
(a) À partir de la version intégrale de la vitesse, évaluons l’équation de la vitesse. Puisque
la vitesse connue est exprimée à t = 0 , utilisons t = 0 comme borne inférieure à
l’intégrale :
t
v x (t ) − v xi =
∫a
x
(t ) d t ⇒
t
v x (t ) − v x 0 =
∫a
x
(t ) dt
(Bornes : t = 0 → t )
x
dt
(Remplacer a x (t ) = a x )
t =0
t =ti
⇒
t
v x (t ) − v x 0 =
∫a
t =0
t
⇒
v x (t ) − v x 0 = a x ∫ dt
(Factoriser constante)
t =0
⇒
v x (t ) − v x 0 = a x [t ]0
(Résoudre l’intégrale)
⇒
v x (t ) − v x 0 = a x ( (t ) − (0 ) )
(Évaluer l’intégrale)
⇒
v x (t ) = a x t + v x 0
(Isoler v x (t ) )
t
(b) À partir de la version intégrale de la position, évaluons l’équation de la position.
Puisque la position connue est exprimée à t = 0 , utilisons t = 0 comme borne
inférieure à l’intégrale :
t
x(t ) − xi =
∫ v x (t ) dt ⇒
x(t ) − x 0 =
t
∫v
x
(Bornes : t = 0 → t )
(t ) dt
t =0
t =ti
⇒
x(t ) − x0 =
t
∫ (a t + v )dt
x0
x
(Remplacer v x (t ) = a x t + v x 0 )
t =0
⇒
t
t
t =0
t =0
x(t ) − x 0 = a x ∫ t dt + v x 0 ∫ dt
(Distribuer et factoriser)
t
Remarque :
⇒
t 2 
t
x(t ) − x0 = a x   + v x 0 [t ]0
 2 0
⇒
 (t )2 (0 )2 
 + v x 0 ( (t ) − (0 ) ) (Évaluer l’intégrale)
x(t ) − x0 = a x 
−

2
2


⇒
x(t ) =
1
a x t 2 + v x0 t + x0
2
(Résoudre l’intégrale)
(Isoler x(t ) )
On réalise que l’on retombe exactement sur les équations du MUA.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
Résumé de la cinématique
Voici un court résumé des relations existants entre la position, la vitesse et l’accélération :
Position
x(t )
x(t )
←
↓
dérivée
↑
d x(t )
dt
∫ v (t ) dt + x
x
↓
Vitesse
dérivée
Accélération
v x (t )
0
intégrale
↑
v x (t )
↔
↓
↑
d v x (t )
dt
∫ a (t ) dt + v
↓
↑
a x (t )
Position
x
↔
a x (t )
Vitesse
x0
intégrale
Accélération
Exercices
Exercice A : La voiture jouet téléguidée. À t = 0 , une voiture jouet téléguidée est située à
x = 5 m . Sur un intervalle de temps entre 0 et 3 s, sa vitesse est donnée par la fonction
v x (t ) = 2t où v x est en mètres par seconde et t est en seconde. Évaluez la position de la
voiture à t = 2 s .
Exercice B : La particule accélérée. L’accélération d’une particule est donnée par
l’équation a x (t ) = 3t . Sachant que x0 = 4 m et v x 0 = 2 m/s , calculez (a) l’accélération à 5
s, (b) la vitesse à 5 s et (c) la position à 5 s.
Exercice C : La vitesse du mobile. La vitesse d’un mobile en fonction du temps est donnée
par l’équation suivante :
v x (t ) = 0,4t 2 + 3t
a) Évaluez la fonction qui permet d’évaluer l’accélération du mobile.
b) De combien de mètres s’est-il déplacé entre 1 s et 3 s ?
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Solutions
Exercice A : La voiture jouet téléguidée.
À partir de l’équation de base :
x(t ) − x0 =
2
t
∫ v (t )dt
x
⇒
x 2 − x0 =
t =0
∫ v (t )dt
x
(Bornes : t = 0 → t = 2 )
t =0
2
⇒
x 2 − x0 =
(Remplacer v x (t ) = 2t )
∫ 2t dt
t =0
2
⇒
x 2 − x 0 = 2 ∫ t dt
(Factoriser constante)
t =0
2
⇒
⇒
⇒
t 2 
x 2 − x0 = 2  
 2 0
 (2 )2 (0 )2 

x 2 − x0 = 2
−

2
2


x 2 − x0 = 4
(Résoudre l’intégrale)
(Évaluer l’intégrale)
(Calcul)
On peut maintenant isoler notre position x(t = 2) = x 2 :
x 2 − x0 = 4
⇒
x 2 = 4 + x0
⇒
x 2 = 4 + (5)
⇒
x2 = 9 m
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Exercice B : La particule accélérée.
À partir de l’équation de l’accélération, nous pouvons évaluer l’accélération à 5 s :
a x (t = 5) = 3(5)
⇒
a x (t = 5) = a x 5 = 15 m/s 2
(a)
À partir de l’équation de l’accélération, nous pouvons évaluer l’équation de la vitesse :
v x (t ) − v x 0 =
t
∫ a (t )dt
x
⇒
v x (t ) − v x 0 =
t =0
t
(Remplacer a x (t ) )
∫ 3t dt
t =0
t
⇒
v x (t ) − v x 0 = 3 ∫ t dt
(Remplacer a x (t ) )
t =0
t
t 2 
= 3 
 2 0
 (t )2 (0 )2
= 3
−
2
 2
⇒
v x (t ) − v x 0
⇒
v x (t ) − v x 0
⇒
v x (t ) =
3 2
t + v x0
2
(Isoler v x (t ) )
⇒
v x (t ) =
3 2
t +2
2
(Remplacer v x 0 = 2 m/s )
(Résoudre l’intégrale)

 (Évaluer l’intégrale)


On peut évaluer maintenant la vitesse à 5 s :
3 2
v x (t = 5) = v x 5 = 39,5 m/s
v x (t = 5) = (5) + 2
⇒
2
(b)
À partir de l’équation de vitesse, nous pouvons évaluer l’équation de la position :
t
t
3

x(t ) − x0 = ∫ v x (t ) dt
⇒
x(t ) − x0 = ∫  t 2 + 2  dt (Remplacer v x (t ) )
2

t =0
t =0 
t
⇒
3 t 3 
t
x(t ) − x0 =   + 2[t ]0
2  3 0
⇒
x(t ) − x 0 =
⇒
x(t ) =
1 3
t + 2t + x0
2
(Isoler x(t ) )
⇒
x(t ) =
1 3
t + 2t + 4
2
(Remplacer x0 = 4 m )
1 3
t + 2t
2
On peut évaluer maintenant la position à 5 s :
1 3
x(t = 5) = x5 = 76,5 m
x(t = 5) = (5) + 2(5) + 4 ⇒
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Résoudre l’intégrale)
(Évaluer l’intégrale)
(c)
Page 7
Exercice C : La vitesse du mobile.
À partir de l’équation de vitesse, nous pouvons évaluer l’équation de l’accélération :
d v (t )
a x (t ) = x
dt
(
)
⇒
d 0,4t 2 + 3t
a x (t ) =
dt
⇒
a x (t ) = 0,4
⇒
a x (t ) = 0,4(2t ) + 3(1)
(Évaluer les dérivées)
⇒
a x (t ) = 0,8t + 3
(Simplification)
(Remplacer v x (t ) )
( )
d t2
d (t )
+3
dt
dt
(a)
(Distribution et factorisation)
On peut évaluer le déplacement grâce à l’équation de la vitesse et la notion d’intégrale :
t
x(t ) − xi =
∫ v (t )dt
x
t =t i
3
⇒
x3 − x1 = ∫ v x (t ) dt
(Borne : t = 1 → t = 3 )
t =1
3
⇒
x3 − x1 =
∫ (0,4t
2
)
(Remplacer v x (t ) )
+ 3t dt
t =1
3
⇒
3
x3 − x1 = 0,4 ∫ t dt + 3 ∫ t dt
2
t =1
(Distribution et factorisation)
t =1
3
3
⇒
t 3 
t 2 
x3 − x1 = 0,4   + 3 
 3 1
 2 1
(Résoudre l’intégrale)
⇒
 (3)3 (1)3   (3)2 (1)2 
 + 3

−
x3 − x1 = 0,4
−
3   2
2 
 3
(Évaluer Intégrale)
⇒
x3 − x1 = (3,467 ) + (12 )
(Calcul)
⇒
x3 − x1 = 15,467
(Calcul)
Puisque nous cherchons le déplacement entre 1 et 3 s, nous avons le résultat suivant :
∆x1→3 = x3 − x1
⇒
∆x1→3 = 15,467 m
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(b)
Page 8