LM372 Année académique 2010-2011 Anneaux, généralités Travaux dirigés Feuille d’exercices 1 • Exercice 1 Soit (G, +) un groupe commutatif. On note End(G) l’ensemble des endomorphismes de G, sur lequel on défini la loi + par f +g G −→ G x 7−→ f (x) + g(x) Montrer que (End(G), +, ◦) est un anneau. Corrigé. C’est une simple vérification. • Exercice 2 Soit (A, +, ×) un anneau. On dit que x ∈ A est niltpotent s’il existe un entier n > 0 tel que xn = 0. (1) Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible. (2) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent alors xy et x+y sont nilpotents. (3) Un corps admet-il des éléments nilpotents? Corrigé. (1) Supposons que xn = 0. En posant y = 1 + x + · · · + xn−1 , on obtient les relations (1 − x)y = 1 − xn = 1, ce qui montre que 1 − x est inversible. (2) Pour la somme, il suffit de procéder comme dans la correction de l’exercice 6 ci-dessous. Pour le produit, si x, y ∈ A sont tels que xn = y m = 0 alors, en posant r = min{n, m}, on obtient l’identité (xy)r = xr y r = 0. 1 2 Le produit xy est don un élément nilpotent. (3) Dans un corps K l’élément neutre 0 (par rapport à la somme) est le seul nilpotent. En effet, pour tout x ∈ K × , en notant y son inverse, si l’on avait l’identité xn = 0, on en déduirait les relations 0 = xn y n = (xy)n = 1n = 1, ce qui est absirde. • Exercice 3 Soit (A, +, ×) un anneau. On appelle centre de A l’ensemble C = {x ∈ A | xy = yx ∀ y ∈ A}. Montrer que C est un sous-anneau de A. Corrigé. C’est une simple vérification. • Exercice 4 Soient A et B deux anneaux. On définit sur A × B les lois ( (x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 ) (x, y) · (x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 ) (1) Montrer que A × B est un anneau. (2) Si A et B sont des corps, en est-il de même pour A × B. Corrigé. (1) C’est une simple vérification. (2) Le produit A×B n’est jamais un corps. Il suffit par exemple de considérer les éléments x = (1, 0) et y = (0, 1) qui sont non nuls, vérifient la relation xy = 0 et ne peuvent donc pas être inversibles. En effet, si x était invesible, d’inverse z, on obtiendrait les relations 0 = xy = z(xy) = (zx)y = y 6= 0, ce qui est absurde. Le même raisonnement s’applique en supposant que y est inversible. • Exercice 5 Considérons les ensembles Z[i] = {a + ib, | a, b ∈ Z} ⊂ Q[i] = {a + ib | a, b ∈ Q} ⊂ C. (1) Montrer que Z[i] et Q[i] sont des anneaux commutatifs pour les lois usuelles de C. (2) Montrer que Q[i] est un corps. (3) Déterminer les éléments inversibles de Z[i]. Corrigé. (1) C’est une simple vérification. 3 (2) Pour tout z = a + ib ∈ Q[i], pososn z̄ = a − ib et N (z) = z z̄ = a2 + b2 ∈ Q. On a l’identité N (z) = 0 si et seulement si z = 0. Ceci découle des inégalités a2 ≥ 0 et b2 ≥ 0. Pour tout z ∈ Q[i] non nul, le rationnel N (z) est non nul, donc inversible (car Q est un corps). on vérifie alors immédiatement que l’élément t= 1 z̄ ∈ Q[i] N (z) est l’inverse de z. On en déduit donc que Q[i] est un corps. (3) Montrons qu’un élément z ∈ Z[i] est inversible si et seulement si N (z) ∈ Z est inversible. Tout d’abord, si N (z) est inversible alors l’expression ci-dessus montr que l’inverse de z (considéré en tant qu’élément de Q[i]) appartient à Z[i]. Pour la réciproque, on vérifie facilement l’identité zt = zt, valable pour tous z, t ∈ Q[i]. En particulier, on obtient l’identité N (zt) = N (z)N (t). Si z ∈ Z[t] est inversible, d’inverse t ∈ Z[t], l’identité zt = 1 amène alors à la relation N (z)N (t) = 1, avec N (z) et N (t) entiers. On en déduit donc que N (z) est inversible (et positif ). En résumé, un éléments de Z[i] est inversible si et seulement si il est de norme 1, ce qui donne explicitement l’identité Z[i]× = {1, −1, i, −i}. • Exercice 6 Soit A un anneau commutatif. Montrer que l’ensemble N (A) des éléments nilpotents de A (cf. exercice 2) est un idéal. Déterminer N (Z/72Z). Corrigé. Tout d’abord, on a clairement 0 ∈ N (A). Soient x, y ∈ N (A), avec xn = y m = 0. On a alors l’identité n+m−1 X n + m − 1 (−1)n+m−1−i xi y n+m−1−i . (x − y)n+m−1 = i i=0 Pour i < n, on a les inégalités n + m − 1 − i > m − 1 ≥ m et donc y n+m−1−i = 0. Pour i ≥ m on a xi = 0. On obtient donc la relation (x − y)n+m−1 = 0, ce qui implique que l’élément x − y est nilpotent. On en déduit que N (A) est un sous-groupe de A. Finalement, pour tout a ∈ N (A) et tou b ∈ A, si an = 0, on obtient alors l’identité (ab)n = an bn = 0, d’où ab ∈ N (A). On en conclut donc que N (A) est un idéal. Considérons maintenant le cas A = Z/72Z. Pour tout entier n, notons n̄ son image canonique dans A. L’élément n̄ est nilpotent si et seulement s’il existe un entier m tel que 72 divise nm . On a la factorisation Q 72 = 23 · 32 . En considérant la décomposition en facteurs premiers n = p pep , on en déduit que n̄ est nilpotent si et seulement si les entiers e2 et e3 sont non nuls, ce qui revient à affirmer que n est divisible par 6. On obtient donc l’identité N (A) = 6A = 0̄, 6̄, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66 . • Exercice 7 Montrer que tout anneau fini commutatif intègre est un corps. Corrigé. Soit R un anneau fini intègre et fixons un de ses élément x 6= 0. On peut alors considérer l’application ϕ R→R y 7→ xy 4 qui est en fait un homomorphisme de groupe. L’anneau étant intègre, le noyau de ϕ est trivial. On en déduit que ϕ est injective et donc surjective (car R est fini). En particulier, il existe un élément y ∈ R tel que ϕ(y) = xy = 1. En d’autres termes, y est l’inverse de x. Tout élément non nul de R admet donc un inverse, ce qui implique que R est un corps. • Exercice 8 Soient a, b et c trois idéaux d’un anneau commutatif A. Montrer que si a est contenu dans b ∪ c alors on a a ⊂ b ou a ⊂ c. Corrigé. Procédons par l’absurde, en upposant que a n’est contenu ni dans b, ni dans c. Soient donc b, c ∈ a tels que b ∈ / c et c ∈ / b. L’inclusion a ⊂ b ∪ c amène alors aux relations b ∈ b et c ∈ c. L’élément d = b + c appartient alors à a mais ne peut appartenir ni à b ni à c. En effet si l’on avait d ∈ b. on obtiendrait la relation c = d − b ∈ b, ce qui est exclu. Le même raisonnement montre que d n’appartient pas à c et l’on obtient donc une contradiction. • Exercice 9 Soit R un anneau fini commutatif réduit i.e. sans nilpotents non nuls (cf. exercice 2). (1) Soit p un idéal minimal non nul 1 de R. Montrer que p est principal (indication: montrer que si x ∈ p est non nul, alors p = xR.) (2) Montrer que si un idéal a de R ne contient pas p alors on a l’identité a ∩ p = 0. (3) Montrer qu’il existe un élément e ∈ p tel que ex = x pour tout x ∈ p. (4) Montrer que p, muni des opérations de somme et de produit définies sur R est un corps ayant e comme élément neutre pour le produit. (5) Montrer qu’il existe un homomorphisme canonique R → p (indication: considérer la multiplication par e). (6) Soient p1 , . . . , pn les idéaux minimaux non nuls de R et indiquons par e1 , . . . , en leurs éléments neutres respectifs. Montrer que e1 + · · · + en = 1. (7) En déduire qu’il existe un isomorphisme canonique entre R et p1 × · · · × pn . En résumé, tout anneau fini sans nilpotents est un produit de corps. Corrigé. (1) Pour tout élément non nul x ∈ p, l’idéal xR est non nul et contenu dans p. Par minimalité, on a donc p = xR. (2) Si a ne contient pas p alors a ∩ p est strictement contenu dans p. Par minimalité, on a donc p ∩ a = 0. (3) Par hypothèse, on a x2 6= 0, en particulier, toujours par minimalité, on a l’identité x2 R = p. Il existe donc un élément a ∈ R tel que ax2 = x. Montrons que l’élément e = ax ∈ p vérifie ey = y pour tou y ∈ p. En effet, on a y = bx, et donc ey = abx2 = bx = y. (4) Montrons que tout élément non nul y ∈ p admet un inverse: on a l’identité yp 6= 0 car y = ey ∈ p. En particulier, par minimalité, on a yp = p. Il existe donc un élément z ∈ p tel que yz = e. 1 On dit que l’idéal non nul p est minimal si pour tout idéal q ⊂ p, l’inégalité q 6= 0 est équivalente à q = p. En d’autre termes, il n’existe pas d’idéaux non nuls strictement contenus dans p. 5 (5) Il suffit de considérer l’application f : R → p définie par f (x) = ex. On a clairement f (x + y) = f (x) + f (y). De plus, l’identité e2 = e amène aux relations f (xy) = exy = e2 xy = exey = f (x)f (y) et l’application f est bien un homomorphisme d’anneaux. (6) Posons e = e1 + · · · + en et montrons que e = 1: soit x ∈ R et considérons l’élément y = x − ex. Si y 6= 0, il existe alors un idéal minimal pi contenu dans a = yR. En particulier, on obtient l’identité pi = ei a (cf. le point 2). D’autre part, on a les relations ei y = ei x − ei ex = ei x − ei x = 0, car pour j 6= i, ei ej ∈ pi ∩ pj = 0 (cf. le point 2). On obtient alors l’identité pi = ei a = 0, ce qui est absurde. On a donc ex = x pour tout x ∈ R, ce qui donne e = 1. (7) L’application naturelle ϕ p1 × · · · × pn → R (x1 , . . . , xn ) 7→ x1 + · · · + xn est un homomorphisme d’anneaux. En effet, la relation ϕ(x1 + y1 , . . . , xn + yn ) = ϕ(x1 , . . . , xn ) + ϕ(y1 , . . . , yn ) est immédiate. On a de plus les identités ϕ(x1 y1 , . . . , xn yn ) = x1 y1 + · · · + xn yn = (x1 + · · · + xn )(y1 + · · · + yn ) = ϕ(x1 , . . . , xn )ϕ(y1 , . . . , yn ), car xi yj = 0 pour i 6= j (toujours par le point 2). Finalement, l’identité e1 +· · ·+en = 1 implique que l’homomorphisme ϕ est l’inverse de l’homomorphisme ψ R → p1 × · · · × pn x 7→ (e1 x, . . . , en x) obtenu en considérant le produit des homomorphismes définis dans le point 5.