Anneaux, généralités

LM372 Ann´ee acad´emique 2010-2011
Anneaux, g´en´eralit´es
Travaux dirig´es Feuille d’exercices 1
•Exercice 1
Soit (G, +) un groupe commutatif. On note End(G)l’ensemble des endomorphismes de
G, sur lequel on d´efini la loi +par
Gf+g −→ G
x7−→ f(x) + g(x)
Montrer que (End(G),+,◦)est un anneau.
Corrig´e. C’est une simple v´erification.
•Exercice 2
Soit (A, +,×)un anneau. On dit que x∈Aest niltpotent s’il existe un entier n > 0
tel que xn= 0.
(1) Montrer que si xest nilpotent alors 1−xest inversible.
(2) Montrer que si xet ysont nilpotents et commutent alors xy et x+ysont nilpotents.
(3) Un corps admet-il des ´el´ements nilpotents?
Corrig´e.
(1) Supposons que xn= 0. En posant y= 1 + x+· · · +xn−1, on obtient les relations
(1 −x)y= 1 −xn= 1,
ce qui montre que 1−xest inversible.
(2) Pour la somme, il suffit de proc´eder comme dans la correction de l’exercice 6 ci-dessous. Pour
le produit, si x, y ∈Asont tels que xn=ym= 0 alors, en posant r= min{n, m}, on obtient
l’identit´e
(xy)r=xryr= 0.
1

2
Le produit xy est don un ´el´ement nilpotent.
(3) Dans un corps Kl’´el´ement neutre 0(par rapport `a la somme) est le seul nilpotent. En effet,
pour tout x∈K×, en notant yson inverse, si l’on avait l’identit´e xn= 0, on en d´eduirait les
relations
0 = xnyn= (xy)n= 1n= 1,
ce qui est absirde.
•Exercice 3
Soit (A, +,×)un anneau. On appelle centre de Al’ensemble
C={x∈A|xy =yx ∀y∈A}.
Montrer que Cest un sous-anneau de A.
Corrig´e. C’est une simple v´erification.
•Exercice 4
Soient Aet Bdeux anneaux. On d´efinit sur A×Bles lois
((x, y)+(x0, y0)=(x+x0, y +y0)
(x, y)·(x0, y0) = (xx0, yy0)
(1) Montrer que A×Best un anneau.
(2) Si Aet Bsont des corps, en est-il de mˆeme pour A×B.
Corrig´e.
(1) C’est une simple v´erification.
(2) Le produit A×Bn’est jamais un corps. Il suffit par exemple de consid´erer les ´el´ements x= (1,0)
et y= (0,1) qui sont non nuls, v´erifient la relation xy = 0 et ne peuvent donc pas ˆetre inversibles.
En effet, si x´etait invesible, d’inverse z, on obtiendrait les relations
0 = xy =z(xy)=(zx)y=y6= 0,
ce qui est absurde. Le mˆeme raisonnement s’applique en supposant que yest inversible.
•Exercice 5
Consid´erons les ensembles Z[i] = {a+ib, |a, b ∈Z} ⊂ Q[i] = {a+ib |a, b ∈Q} ⊂ C.
(1) Montrer que Z[i]et Q[i]sont des anneaux commutatifs pour les lois usuelles de
C.
(2) Montrer que Q[i]est un corps.
(3) D´eterminer les ´el´ements inversibles de Z[i].
Corrig´e.
(1) C’est une simple v´erification.

3
(2) Pour tout z=a+ib ∈Q[i], pososn ¯z=a−ib et N(z) = z¯z=a2+b2∈Q. On a l’identit´e
N(z) = 0 si et seulement si z= 0. Ceci d´ecoule des in´egalit´es a2≥0et b2≥0. Pour tout
z∈Q[i]non nul, le rationnel N(z)est non nul, donc inversible (car Qest un corps). on v´erifie
alors imm´ediatement que l’´el´ement
t=1
N(z)¯z∈Q[i]
est l’inverse de z. On en d´eduit donc que Q[i]est un corps.
(3) Montrons qu’un ´el´ement z∈Z[i]est inversible si et seulement si N(z)∈Zest inversible. Tout
d’abord, si N(z)est inversible alors l’expression ci-dessus montr que l’inverse de z(consid´er´e
en tant qu’´el´ement de Q[i]) appartient `a Z[i]. Pour la r´eciproque, on v´erifie facilement l’identit´e
zt =zt, valable pour tous z, t ∈Q[i]. En particulier, on obtient l’identit´e N(zt) = N(z)N(t). Si
z∈Z[t]est inversible, d’inverse t∈Z[t], l’identit´e zt = 1 am`ene alors `a la relation N(z)N(t) =
1, avec N(z)et N(t)entiers. On en d´eduit donc que N(z)est inversible (et positif). En r´esum´e,
un ´el´ements de Z[i]est inversible si et seulement si il est de norme 1, ce qui donne explicitement
l’identit´e
Z[i]×={1,−1, i, −i}.
•Exercice 6
Soit Aun anneau commutatif. Montrer que l’ensemble N(A)des ´el´ements nilpotents
de A(cf. exercice 2) est un id´eal. D´eterminer N(Z/72Z).
Corrig´e. Tout d’abord, on a clairement 0∈ N (A). Soient x, y ∈ N (A), avec xn=ym= 0. On a alors
l’identit´e
(x−y)n+m−1=
n+m−1
X
i=0 n+m−1
i(−1)n+m−1−ixiyn+m−1−i.
Pour i<n, on a les in´egalit´es n+m−1−i>m−1≥met donc yn+m−1−i= 0. Pour i≥mon a
xi= 0. On obtient donc la relation (x−y)n+m−1= 0, ce qui implique que l’´el´ement x−yest nilpotent.
On en d´eduit que N(A)est un sous-groupe de A. Finalement, pour tout a∈ N (A)et tou b∈A, si
an= 0, on obtient alors l’identit´e (ab)n=anbn= 0, d’o`u ab ∈ N (A). On en conclut donc que N(A)est
un id´eal.
Consid´erons maintenant le cas A=Z/72Z. Pour tout entier n, notons ¯nson image canonique dans A.
L’´el´ement ¯nest nilpotent si et seulement s’il existe un entier mtel que 72 divise nm. On a la factorisation
72 = 23·32. En consid´erant la d´ecomposition en facteurs premiers n=Qppep, on en d´eduit que ¯nest
nilpotent si et seulement si les entiers e2et e3sont non nuls, ce qui revient `a affirmer que nest divisible
par 6. On obtient donc l’identit´e
N(A) = 6A=¯ 0,¯ 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66.
•Exercice 7
Montrer que tout anneau fini commutatif int`egre est un corps.
Corrig´e. Soit Run anneau fini int`egre et fixons un de ses ´el´ement x6= 0. On peut alors consid´erer
l’application
Rϕ →R
y7→ xy

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qui est en fait un homomorphisme de groupe. L’anneau ´etant int`egre, le noyau de ϕest trivial. On en
d´eduit que ϕest injective et donc surjective (car Rest fini). En particulier, il existe un ´el´ement y∈R
tel que ϕ(y) = xy = 1. En d’autres termes, yest l’inverse de x. Tout ´el´ement non nul de Radmet donc
un inverse, ce qui implique que Rest un corps.
•Exercice 8
Soient a,bet ctrois id´eaux d’un anneau commutatif A. Montrer que si aest contenu
dans b∪calors on a a⊂bou a⊂c.
Corrig´e. Proc´edons par l’absurde, en upposant que an’est contenu ni dans b, ni dans c. Soient donc
b, c ∈atels que b /∈cet c /∈b. L’inclusion a⊂b∪cam`ene alors aux relations b∈bet c∈c. L’´el´ement
d=b+cappartient alors `a amais ne peut appartenir ni `a bni `a c. En effet si l’on avait d∈b. on
obtiendrait la relation c=d−b∈b, ce qui est exclu. Le mˆeme raisonnement montre que dn’appartient
pas `a cet l’on obtient donc une contradiction.
•Exercice 9
Soit Run anneau fini commutatif r´eduit i.e. sans nilpotents non nuls (cf. exercice 2).
(1) Soit pun id´eal minimal non nul 1de R. Montrer que pest principal (indication:
montrer que si x∈pest non nul, alors p=xR.)
(2) Montrer que si un id´eal ade Rne contient pas palors on a l’identit´e a∩p= 0.
(3) Montrer qu’il existe un ´el´ement e∈ptel que ex =xpour tout x∈p.
(4) Montrer que p, muni des op´erations de somme et de produit d´efinies sur Rest un
corps ayant ecomme ´el´ement neutre pour le produit.
(5) Montrer qu’il existe un homomorphisme canonique R→p(indication: consid´erer
la multiplication par e).
(6) Soient p1,...,pnles id´eaux minimaux non nuls de Ret indiquons par e1, . . . , en
leurs ´el´ements neutres respectifs. Montrer que e1+· · · +en= 1.
(7) En d´eduire qu’il existe un isomorphisme canonique entre Ret p1× · · · × pn. En
r´esum´e, tout anneau fini sans nilpotents est un produit de corps.
Corrig´e.
(1) Pour tout ´el´ement non nul x∈p, l’id´eal xR est non nul et contenu dans p. Par minimalit´e, on
a donc p=xR.
(2) Si ane contient pas palors a∩pest strictement contenu dans p. Par minimalit´e, on a donc
p∩a= 0.
(3) Par hypoth`ese, on a x26= 0, en particulier, toujours par minimalit´e, on a l’identit´e x2R=p. Il
existe donc un ´el´ement a∈Rtel que ax2=x. Montrons que l’´el´ement e=ax ∈pv´erifie ey =y
pour tou y∈p. En effet, on a y=bx, et donc ey =abx2=bx =y.
(4) Montrons que tout ´el´ement non nul y∈padmet un inverse: on a l’identit´e yp6= 0 car y=ey ∈p.
En particulier, par minimalit´e, on a yp=p. Il existe donc un ´el´ement z∈ptel que yz =e.
1On dit que l’id´eal non nul pest minimal si pour tout id´eal q⊂p, l’in´egalit´e q6= 0 est ´equivalente `a
q=p. En d’autre termes, il n’existe pas d’id´eaux non nuls strictement contenus dans p.

5
(5) Il suffit de consid´erer l’application f:R→pd´efinie par f(x) = ex. On a clairement f(x+y) =
f(x) + f(y). De plus, l’identit´e e2=eam`ene aux relations
f(xy) = exy =e2xy =exey =f(x)f(y)
et l’application fest bien un homomorphisme d’anneaux.
(6) Posons e=e1+· · · +enet montrons que e= 1: soit x∈Ret consid´erons l’´el´ement y=x−ex.
Si y6= 0, il existe alors un id´eal minimal picontenu dans a=yR. En particulier, on obtient
l’identit´e pi=eia(cf. le point 2). D’autre part, on a les relations
eiy=eix−eiex =eix−eix= 0,
car pour j6=i,eiej∈pi∩pj= 0 (cf. le point 2). On obtient alors l’identit´e pi=eia= 0, ce qui
est absurde. On a donc ex =xpour tout x∈R, ce qui donne e= 1.
(7) L’application naturelle
p1× · · · × pn
ϕ
→R
(x1, . . . , xn)7→ x1+· · · +xn
est un homomorphisme d’anneaux. En effet, la relation
ϕ(x1+y1, . . . , xn+yn) = ϕ(x1, . . . , xn) + ϕ(y1, . . . , yn)
est imm´ediate. On a de plus les identit´es
ϕ(x1y1, . . . , xnyn) = x1y1+· · · +xnyn= (x1+· · · +xn)(y1+· · · +yn)
=ϕ(x1, . . . , xn)ϕ(y1, . . . , yn),
car xiyj= 0 pour i6=j(toujours par le point 2). Finalement, l’identit´e e1+· · ·+en= 1 implique
que l’homomorphisme ϕest l’inverse de l’homomorphisme
Rψ →p1× · · · × pn
x7→ (e1x, . . . , enx)
obtenu en consid´erant le produit des homomorphismes d´efinis dans le point 5.