Fiche 6

Licence L3 – Alg`ebre et th´eorie des nombres Fiche 6
6. Anneaux et polynˆomes (I)
Exercice 6.1 On d´efinit deux lois de composition + et ·sur Z×Zpar :
(a, b) + (a0, b0) = (a+a0, b +b0) et (a, b)·(a0, b0) = (aa0, bb0+ab0+ba0).
Montrer que (Z×Z,+,·) est un anneau unitaire commutatif. Cet anneau est-il int`egre ?
Exercice 6.2 On appelle entier de Gauss tout nombre complexe z=x+iy avec la
partie r´eelle xet la partie imaginaire ydes entiers relatifs. Montrer que l’ensemble des
entiers de Gauss muni des lois d’addition et de multiplication usuelles est un anneau
unitaire commutatif integre. Aest-il un corps ?
Exercice 6.3 Soit (A, +,·) un anneau unitaire idempotent (c’est-`a-dire tout ´el´ement
a∈Av´erifie a·a=a).
1. Montrer 1 = −1 dans Aet que Aest commutatif.
2. Montrer que xy(x+y) = 0 pour tout x, y ∈A.
3. Montrer que si An’a pas de diviseur de 0 et n’est pas r´eduit `a {0}, alors A est le
corps `a deux ´el´ements.
Exercice 6.4 Soit Fun corps commutatif. On suppose qu’il existe un ´el´ement non nul
x∈Ftel que x+x= 0. Montrer que, pour tout y, z ∈F, on a :
(y+z)2=y2+z2.
Exercice 6.5 D´eterminer tous les morphismes d’anneaux de Zdans Z, puis de Qdans
Z, et finalement de Rdans Q.
Exercice 6.6 Soit (A, +,·) un anneau commutatif non nul. Soit Pune partie non-vide
de A. On pose :
E(P) = {a∈Atels que xa = 0 pour tout x∈P}.
1. Montrer que E(P) est un id´eal de A.
2. Soit αun idempotent de Aet soit Il’id´eal de Aengendr´e par α. On note J=E(I).
Montrer que :
(a) I∩J={0}
(b) Tout ´el´ement de Aest la somme d’un ´el´ement de Iet d’un ´el´ement de J.
Exercice 6.7 (Les nombres p-adiques) Soit pun nombre premier. Pour a∈Z,a
non nul, on appelle valuation p-adique de a, not´e vp(a), le plus grand entier i≥0 tel
que pidivise a. Par convention, on pose vp(0) = ∞.

Licence L3 – Alg`ebre et th´eorie des nombres Fiche 6
1. Montrer que, pour tout a, b ∈Z, on a :
vp(ab) = vp(a) + vp(b).
2. Soit r∈Q. On ´ecrit r=a/b avec a, b ∈Zet on pose
vp(r) = vp(a)−vp(b).
Montrer que cette valeur ne d´epend que de ret permet d’´etendre la valuation
p-adique `a Q.
On d´efinit :
Ap={x∈Qtels que vp(x)≥0}.
3. Montrer que Apest un sous-anneau unitaire de Qet d´eterminer ses ´el´ements
inversibles.
4. Montrer que Apest principal et que le seuil id´eal maximal est (p).
5. Montrer que Ap/(p) est isomorphe `a Z/pZ.
Exercice 6.8 Soit pun nombre premier. D´eterminer tous les diviseurs de z´ero de l’an-
neau Z/p2Z.
Exercice 6.9 Soit Aun anneau unitaire. Un ´el´ement a∈Aest nilpotent s’il existe un
entier n > 0 tel que an= 0.
1. Soient aet bdeux ´el´ements d’un anneau Atels que ab est nilpotent. Montrer que
ba est aussi nilpotent.
2. Montrer que si aet bsont nilpotents et de plus ab =ba, alors ab et a+bsont aussi
nilpotents.
3. Soit aun ´el´ement d’un anneau Atel que 1 −aest nilpotent. Montrer que aest
inversible, et que si best l’inverse de a, alors 1 −best aussi nilpotent.
Exercice 6.10 Soit Aun anneau commutatif et Iun id´eal de A. On appelle radical de
Il’ensemble √I={x∈Atels qu’il existe n≥1 avec xn∈I}.
1. Montrer que √Iest un id´eal de Acontenant I.
2. Soit Jun id´eal de Acontenant I. Montrer que √I⊂√J.
3. En d´eduire que p√I=√I.
Exercice 6.11 Soit Aun anneau commutatif, on d´efinit :
Nil(A) = {a∈Atels qu’il existe n≥1 avec an= 0}.
1. Montrer que Nil(A) est un id´eal de A.
2. Montrer que si Pest id´eal premier de A, alors Nil(A)⊂P.
3. Montrer que le seul ´el´ement nilpotent de A/Nil(A) est 0.