Bases - chabotsi

PS91 – Bases de coordonnées
Simon CHABOT
5 octobre 2009
Table des matières
1 Coordonnées polaires – (2D) 2
1.1 Calcul des dérivées de vecteurs... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Expression de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Expression de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Coordonnées cylindriques – (3D) 3
2.1 Expression de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Expression de l’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Coordonnées sphériques – (3D) 4
3.1 Expression de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Passer d’une base à une autre 5
4.1 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 Des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . 5
4.3 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . 5
4.4 Des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . 5
4.5 Des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.6 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . 6
1

1 Coordonnées polaires – (2D)
FIGURE 1 – Représentation d’un point M en coordonnées polaires
On a : −−→ OM =ρ−→ eρ
1.1 Calcul des dérivées de vecteurs...
Projection de −→ eρdans la base cartésienne.
−→
eρ= cos φ−→ ex+ sin φ−→ ey
→˙
−→
eρ=˙ φ× − sin φ−→ ex+˙ φ×cos φ−→ ey
=˙ φ(−sin φ−→ ex+ cos φ−→ ey)
=˙ φ−→ eφ
Projection de −→ eφdans la base cartésienne
˙
−→
eφ=˙ φ× − cos φ−→ ex−˙ φ×sin φ−→ ey
=˙ φ(−cos φ−→ ex−sin φ−→ ey)
=˙ φ−→ eρ
D’où : ˙
−→
eρ=˙ φ−→ eφet ˙
−→
eφ=−˙ φ−→ eρ
2

1.2 Expression de la vitesse
−→
v=˙
−−→
OM
= ˙ρ−→ eρ+ρ˙
−→
eρ
= ˙ρ−→ eρ+ρ˙ φ−→ eφ
1.3 Expression de l’accélération
−→
a=˙
−→
v
= ¨ρ−→ eρ+ ˙ρ˙
−→
eρ+ ˙ρ˙ φ−→ eφ+ρ¨ φ−→ eφ+ρ˙ φ˙
−→
eφ
= ¨ρ−→ eρ+ ˙ρ˙ φ−→ eφ+ ˙ρ˙ φ−→ eφ+ρ¨ φ−→ eφ−ρ˙ φ2−→
eρ
=¨ρ−ρ˙ φ2−→ eρ+2 ˙ρ˙ φ+ρ¨ φ−→
eφ
2 Coordonnées cylindriques – (3D)
FIGURE 2 – Représentation d’un point M en coordonnées cylindriques
On a : −−→ OM =ρ−→ eρ+z−→ ez
2.1 Expression de la vitesse
De façon à analogue à la précédente, on trouve : −→ v= ˙ρ−→ eρ+ρ˙ φ−→ eφ+ ˙z−→ ez
3

2.2 Expression de l’accélération
De même : −→ a=¨ρ−ρ˙ φ2−→
eρ+2 ˙ρ˙ φ+ρ¨ φ−→
eφ+ ¨z−→ ez
3 Coordonnées sphériques – (3D)
FIGURE 3 – Représentation d’un point M en coordonnées sphériques
On a : −−→ OM =ρ−→ eρ
3.1 Expression de la vitesse
−→
v= ˙ρ−→ eρ+ρ˙ θ−→ eθ+ρ˙ φsin θ−→ eφ
4 Passer d’une base à une autre
4.1 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques
ρ=px2+y2+z2
θ= arccos z
ρ
φ=(arccos x2
x2+y2Si y>0
2π−arccos x2
x2+y2Si y < 0
4

4.2 Des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes
x=ρsin θcos φ
y=ρsin θsin φ
y=ρcos θ
4.3 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques
ρ=px2+y2
φ= arctan y
x
z=z
4.4 Des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes
x=ρcos φ
y=ρsin φ
z=z
4.5 Des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes
x=ρcos φ
y=ρsin φ
4.6 Des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires
ρ=px2+y2
φ= arctan y
x
5