Corrigé

Universit´e Montpellier II Ann´ee universitaire 2013-2014
L3 Math´ematiques, GLMA501
Examen d’alg`ebre g´en´erale
vendredi 17 janvier 2014
Dur´ee : 2h
Corrig´e
Exercice 1 (10 points) Soit Gun groupe d’ordre 30.
1. On suppose que Gne poss`ede pas de sous-groupe distingu´e d’ordre 5.
(a) Montrer qu’alors Gposs`ede 24 ´el´ements d’ordre 5.
(b) En d´eduire que Gposs`ede un sous-groupe distingu´e d’ordre 3.
(a) On a |G|= 2×3×5. D’apr`es les th´eor`emes de Sylow, Gposs`ede n5∈ {1,6}sous-
groupes d’ordre 5, qui sont conjugu´es deux `a deux. L’hypoth`ese implique n56= 1.
Donc Gposs`ede 6 sous-groupes d’ordre 5; ils contiennent tous les ´el´ements de G
d’ordre 5. Comme 5 est premier, ces sous-groupes sont cycliques, et pour chacun
d’eux tout ´el´ement distinct du neutre est g´en´erateur. Donc l’intersection de deux
tels sous-groupes distincts est r´eduite `a l’´el´ement neutre, et Gposs`ede 6 ×4 = 24
´el´ements d’ordre 5.
(b) On a n3∈ {1,10}sous-groupes de Gd’ordre 3, conjugu´es deux `a deux. Si
n3= 10, alors |G| ≥ 24 + (2 ×10) >30 en ajoutant les ´el´ements d’ordre 3 `a ceux
d’ordre 5. Donc n3= 1, ce qui montre que Gposs`ede un unique sous-groupe d’ordre
3, qui est alors distingu´e (d’apr`es les th´eor`emes de Sylow).
2. Montrer que Gposs`ede toujours un sous-groupe distingu´e Hd’ordre 15.
D’apr`es la question pr´ec´edente, Gposs`ede un sous-groupe distingu´e d’ordre 5 ou
d’ordre 3. Soit Kce sous-groupe, et Lun sous-groupe de Gd’ordre 3 si Kest
d’ordre 5, et d’ordre 5 si Kest d’ordre 3. Comme plus haut on a K∩L={eG},
et KL =LK puisque Kest distingu´e dans G. Donc KL est un sous-groupe de G,
d’ordre |L||K|/|K∩L|= 15. Son indice dans G´etant ´egal `a |G|/|KL|= 2, KL est
distingu´e dans G. Le groupe H=KL convient donc.
3. Montrer que Hposs`ede deux sous-groupes distingu´es propres et non triviaux, puis
que Hest un groupe cyclique.
On v´erifie imm´ediatement que les sous-groupes Ket Lci-dessus sont distingu´es
dans H(Kparce qu’il l’est dans G, et Lpar les th´eor`emes de Sylow). Soient
kun g´en´erateur de Ket lun g´en´erateur de L(ces groupes sont d’ordre premier
donc cycliques). Montrons que kl engendre H=KL. Comme Kest distingu´e
dans H, il existe k0∈Ktel que lk =k0l. Une r´ecurrence imm´ediate implique que
1

pour tout entier nil existe k00 ∈Ktel que (kl)n=klkl . . . kl =k00ln(le produit
contient nfacteurs kl). Soit n≤15 l’ordre de kl. Alors (kl)n=eGimplique
k00 =l−n∈K∩L={eG}. Donc l’ordre de ldivise n. En utilisant de mani`ere
similaire le fait que Lest distingu´e dans H, on montre que l’ordre de kdivise n.
Les ordres de ket l´etant 3 et 5 (premiers entre eux), on d´eduit n= 15.
4. Construire un produit semi-direct de Z/15Zet Z/2Zqui ne soit pas ab´elien (penser
`a l’application g7→ g−1). On exprimera ses ´el´ements en fonction de g´en´erateurs de
Z/2Zet Z/15Z, et les relations entre ces g´en´erateurs.
Notons hun g´en´erateur de Z/15Z,τun g´en´erateur de Z/2Z, 1 les ´el´ements neutres de
Z/15Zet Z/2Z(notation multiplicative), et ϕ(τ)(hn) = h−n. On v´erifie imm´ediatement
que ϕ(τ) est un automorphisme de Z/15Z, et que ϕ:Z/2Z→Aut(Z/15Z), τ7→ ϕ(τ)
est un morphisme. Il d´efinit un produit semi-direct G0= (Z/2Z×Z/15Z,·ϕ), o`u la loi
de groupe ·ϕest d´efinie par (τa, hb)·ϕ(τc, hd) = (τa+c, hbϕ(τa)(hd)). Le groupe G0est
engendr´e par t= (τ, 1) et s= (1, h) v´erifiant les relations t2=s15 = (1,1) = eG0, et tst =
(τ, 1)(1, h)(τ, 1) = (τ, ϕ(τ)(h))(τ, 1) = (τ, h−1)(τ, 1) = (τ2, h−1ϕ(τ)(1)) = (1, h−1) = s−1.
Les ´el´ements de G0peuvent s’´ecrire de mani`ere unique sous la forme satb, avec a∈ {0,1}
et b∈ {0,...,14}.
Exercice 2 (10 points) Soit Eun espace vectoriel r´eel de dimension 3.
1. Soit uun endomorphisme nilpotent de E, ie. il existe un entier ptel que up= 0.
(a) Donner le polynˆome caract´eristique de u.
(b) Donner toutes les r´eduites de Jordan possibles de u, `a l’ordre des blocs pr`es, et
pr´eciser pour chacune le polynˆome minimal de uqui lui correspond.
(c) On suppose que le polynˆome minimal de uest mu(X) = X3. Montrer qu’il
existe un vecteur non nul x∈Etel que (u2(x), u(x), x)soit une base de E.
(d) Ecrire la matrice de udans cette base.
(a) Le spectre d’un endomorphisme nilpotent est toujours r´eduit `a {0}. Comme E
est de dimension n= 3, on a Pu(X) = det(u−XidE) = −X3.
(b) Les polynˆomes minimaux de upossibles sont mu(X) = X, X2, X3. Dans le
premier cas u= 0, sa r´eduite de Jordan est la matrice nulle. Si mu(X) = X2(resp.
mu(X) = X3), alors sa r´eduite de Jordan A(resp. B) a un bloc de Jordan de taille
2 (resp. 3), la multiplicit´e de u.` A l’ordre des blocs pr`es on a donc
A=
0 1 0
0 0 0
0 0 0
, B =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
.
(c) Si mu(X) = X3alors u26= 0 et donc il existe x∈E\Ker(u2). On a u(x), u2(x)6=
0, et la famille (u2(x), u(x), x) est libre. En effet, si λ1, λ2, λ3∈Rson tels que
λ1x+λ2u(x) + λ3u2(x) = 0, alors en appliquant u2on trouve λ1u2(x) = 0. Comme
u2(x)6= 0, on a λ1= 0. En appliquant alors uon d´eduit λ2= 0, puis λ3= 0. La
fammile ´etant libre et de cardinal 3 dans Ede dimension 3, c’est une base de E.
(d) La matrice de udans la base est la matrice Bci-dessus.
2

2. Soit ul’endomorphisme de R3repr´esent´e dans la base canonique par la matrice
suivante
A=
113
2−2 2
−3−1−5
.
(a) Calculer le polynˆome caract´eristique de u. Montrer que le polynˆome minimal
de uest mu(X)=(X+ 2)3.
(b) D´eterminer une r´eduite de Jordan de u.
(c) Construire une base de Jordan de u.
(a) Le calcul de Pu(X) est ´el´ementaire; il peut ˆetre simplifi´e en soustrayant la 3`eme
colonne de la premi`ere dans la matrice A−XI3. Pour d´eterminer mu(X) on peut
v´erifier que (A+ 2I3)26= 0. Alternativement on peut v´erifier que l’espace propre
E−2est de dimension 1, ce qui implique que la r´eduite de Jordan de An’a qu’un
seul bloc de Jordan, n´ecessairement de taille 3. Cette taille est l’ordre de la matrice
nilpotente A+ 2I3, c’est- `a-dire aussi le degr´e de son polynˆome minimal.
(b) L’argument ci-dessus et les questions 1 (c)-(d) appliqu´ees `a l’endomorphisme
u+ 2idR3montrent que la r´eduite de Jordan de A+ 2I3est la matrice Bci-dessus,
donc celle de Aest
J=
−210
0−2 1
0 0 −2
.
(c) On est dans la situation de la question 1 (c). Soit x∈R3\Ker(A+ 2I3)2. On a
(A+ 2I3)2=
2 0 2
0 0 0
−2 0 −2
.
Donc Ker(A+ 2I3)2={(x1, x2, x3)t∈R3|x1=−x3}. Prenons x= (1,0,0)t.
Posons v=u+ 2idR3. Alors la famille (v2(x), v(x), x) est une base de R3,Best la
matrice de vdans cette base, et Jcelle de udans cette base.
(c) D´eterminer la d´ecomposition de Jordan-Dunford A=D+N, o`u Dest diago-
nalisable, Nnilpotente, et DN =ND.
(d) Pour tout entier kexprimer la matrice Aken fonction de D,Net k.
(c) Soit Pla matrice de passage de la base canonique vers la base (v2(x), v(x), x).
Alors A=P JP −1=P(−2I3+B)P−1=D+N, o`u D=P(−2I3)P−1=−2I3et
N=P BP −1, o`u
P=
2 3 1
0 2 0
−2−3 0
.
(d) On a Ak= (D+N)k=Pk
j=0 Ck
jDjNk−j=Dk+kDk−1N+k(k−1)
2Dk−2N2,
puisque N3= 0.
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