L`intégration

L’intégration
Définition de l’intégrale
Pour calculer l’intégrale de la fonction f sur l’intervalle (a, b), on subdivise cet intervalle au moyen de points xk :
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b,
on choisit dans chaque sous-intervalle (xk−1 , xk ) un point tk où l’on évalue
la fonction et on forme la somme
Sn = f (t1 )(x1 − x0 ) + f (t2 )(x2 − x1 ) + · · · + f (tn )(xn − xn−1 ).
Par définition,
Z b
f (x) dx = lim Sn .
n→+∞
a
Lorsque la fonction est positive, l’intégrale représente l’aire délimitée par
y
y = fHxL
a
x k-1
tk
xk
b
x
la courbe y = f (x) et les droites x = a, x = b et y = 0. Dans le cas général,
on peut toujours interpréter l’intégrale comme une valeur moyenne :
valeur moyenne de f sur (a,b) =
1
1
b−a
Z b
f (x) dx.
a
En pratique, c’est à l’aide du théorème fondamental du calcul que l’on évalue
une intégrale. Ce théorème affirme que la dérivation et l’intégration sont des
opérations inverses l’une de l’autre. On peut l’énoncer ainsi : si F est une
primitive de la fonction f , c’est-à-dire si
F 0 (x) = f (x),
alors
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Le calcul de l’intégrale est ainsi ramené à la détermination d’une primitive
de f (qui est cependant souvent beaucoup plus difficile que le calcul de
sa dérivée). L’expression intégrale indéfinie est quelquefois employée à la
place de primitive et la notation standard pour désigner la primitive F de
la fonction f est
Z
F (x) =
f (x) dx + C
(la primitive n’est déterminée qu’à une constante additive C près).
Exemples
Z b
•
x2 dx =
a
Z π
•
b3 − a3
3
cos x dx = sin π − sin 0 = 0
0
Z 1
•
0
dx
π
= arctan 1 − arctan 0 =
1 + x2
4
Z +∞
e−x dx =
•
0
Z b
lim
b→+∞ 0
e−x dx =
Exercices
Calculer les intégrales suivantes.
1.
Z b
√
x dx
a
Z π/2
sin x dx
2.
0
Z 1
3.
0
dx
1+x
2
lim e0 − e−b = 1
b→+∞
Pour en savoir plus
http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Mathématiques
Réponses
1.
2
3
b3/2 − a3/2
2 .1
3
3. ln 2