Equations diophantiennes ternaires de type (p, p, 2) et - IMJ-PRG

TH` ESE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSIT´ E PARIS 6
Sp´ecialit´e
Math´ematiques
Pr´esent´ee par
M. Wilfrid IVORRA
Pour obtenir le grade de
Docteur de l’Universit´e PARIS 6
Sujet de la th`ese :
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Equations diophantiennes ternaires de type (p, p, 2)
et courbes elliptiques
soutenue le 13 f´evrier 2004
devant le jury compos´e de
M. John CREMONA Rapporteur
M. Gerhard FREY Rapporteur
M. Alain KRAUS Directeur de th`ese
M. Jean-Fran¸cois MESTRE Examinateur
M. Joseph OESTERL´ EExaminateur
M. Michel WALDSCHMIDT Examinateur
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Remerciements
Mes remerciements vont tout d’abord `a mon directeur de th`ese, Alain Kraus, qui m’a
aid´e tout au long de l’´elaboration de ce travail. Sa disponibilit´e, son ´ecoute et ses conseils
m’ont ´et´e tr`es pr´ecieux.
Tous mes remerciements ´egalement aux math´ematiciens avec lesquels j’ai ´et´e en con-
tact pendant la r´edaction de cette th`ese. En particulier `a Yann Bugeaud et Nils Bruin
pour les ´echanges que nous avons eus concernant certains points de ce travail.
Je suis reconnaissant `a John Cremona et Gerhard Frey d’avoir accept´e d’ˆetre rappor-
teurs de ma th`ese. Je remercie par ailleurs Gerhard Frey, Jean-Fran¸cois Mestre, Joseph
Oesterl´e et Michel Waldschmidt de m’avoir fait l’honneur de participer au Jury de ma
soutenance de th`ese.
Je souhaite encore remercier l’´equipe de th´eorie des nombres et plus g´en´eralement
l’ensemble des membres de l’institut de math´ematiques de Jussieu qui m’ont accueilli.
Enfin, pour terminer, un petit clin d’œil `a ma famille qui m’a soutenu pendant ces
quatre ann´ees.
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A tous merci encore.
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Table des mati`eres
Introduction ....................................................................p. 5
Chapitre I. Sur les ´equations xp+ 2βyp=z2et xp+ 2βyp= 2z2
Introduction .................................................................p. 9
1. ´ Enonc´e des r´esultats ......................................................p. 10
2. D´emonstration du th´eor`eme 1 .............................................p. 11
3. D´emonstration du corollaire 1 .............................................p. 15
4. D´emonstration du th´eor`eme 2 .............................................p. 15
5. D´emonstration du corollaire 2 .............................................p. 18
Appendice. Sur la d´etermination des ensembles S0(β, 5) et S1(0,5). . . . . . . . . . . .p. 19
Chapitre II. Courbes elliptiques sur Q, ayant un point d’ordre 2rationnel sur
Q, de conducteur 2Np
Introduction ................................................................p. 21
1. ´ Enonc´e des r´esultats ......................................................p. 25
2. Lemmes pr´eliminaires .....................................................p. 36
3. D´emonstration des r´esultats .............................................. p. 45
Chapitre III. Quelques r´esultats sur les ´equations axp+byp=cz2
Introduction ................................................................p. 89
1. ´ Enonc´e des r´esultats sur la conjecture 1 ...................................p. 94
2. Courbes elliptiques .......................................................p. 97
3. Repr´esentations galoisiennes .............................................p. 105
4. La m´ethode modulaire ...................................................p. 109
5. D´emonstrations des th´eor`emes ...........................................p. 113
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6. Description de Sp(4,1,3) et Sp(64,1,7) ..................................p. 120
7. Exemples num´eriques ....................................................p. 123
8. Sur les points rationnels des courbes y2=xp+d .........................p. 128
Chapitre IV. Sur les courbes hyperelliptiques cyclotomiques et les ´equations
xp−yp=cz2
Introduction ...............................................................p. 135
1. Principe de d´emonstration du th´eor`eme 2 ................................p. 137
2. Courbes quotients de Cp/Qet Dp/Q.....................................p. 139
3. R´esultats pr´eliminaires ..................................................p. 141
4. Notations ...............................................................p. 143
5. D´etermination de C7(Q) et D7(Q).......................................p. 144
6. D´etermination de C11(Q) et D11(Q).....................................p. 148
7. D´etermination de C13(Q) et D13(Q).....................................p. 153
8. D´etermination de C17(Q) et D17(Q).....................................p. 157
Formulaire .................................................................p. 163
Appendice 1. Quartiques et ´equations de Weierstrass .......................p. 171
Appendice 2. M´ethode de Chabauty elliptique ..............................p. 183
Bibliographie .................................................................p. 195
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Introduction
Dans le cadre de l’´etude des ´equations de Fermat g´en´eralis´ees, la motivation principale
de cette th`ese concerne le cas particulier des ´equations diophantiennes ternaires de type
(p, p, 2), o`u pest un nombre premier sup´erieur ou ´egal `a 5. Il s’agit d’´equations de la forme
(1) axp+byp=cz2,
o`u a,b,csont des entiers naturels non nuls. On s’int`eresse `a la d´etermination de l’ensemble
Sp(a, b, c) des solutions propres non triviales de cette ´equation ; suivant une terminologie
parfois utilis´ee, on dira qu’une solution (x, y, z)∈Z3de l’´equation (1) est non triviale
si xyz est non nul et qu’elle est propre si x,yet zsont premiers entre eux dans leur
ensemble. D’apr`es les travaux de H. Darmon et A. Granville, Sp(a, b, c) est un ensemble
fini ([Da-Gr]).
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Etant donn´es trois entiers naturels non nuls a, b, c, premiers entre eux deux `a deux,
on examinera les probl`emes suivants :
Probl`eme 1. Supposons que les trois entiers a+b,a−bet b−an’appartiennent pas
`a cZ2. Pour tout nombre premier passez grand, en fonction de a, b, c, l’ensemble Sp(a, b, c)
est-il vide ?
Probl`eme 2. Supposons que l’un des entiers a+b,a−bet b−aappartienne `a
cZ2. Pour tout nombre premier passez grand, en fonction de a, b, c, l’implication suivante
est-elle vraie :
(x, y, z)∈Sp(a, b, c) =⇒xy =±1 ?
Probl`eme 3. Le nombre premier p>5 ´etant fix´e, comment d´eterminer Sp(a, b, c) ?
La conjecture (abc) entraˆıne que la r´eponse aux probl`emes 1 et 2 est positive et l’on
a la conclusion souhait´ee si p > α +βlog(abc), o`u αet βsont deux constantes absolues
positives. L’´etude du probl`eme 2 est en fait plus difficile que celle du probl`eme 1. La raison
en est que si a−b,a+bou b−aest dans cZ2, et si ab est distinct de 1, il existe un point
hh ´evident ii (x, y, z)∈Sp(a, b, c) tel que xy =±1.
Afin d’aborder ces probl`emes, on emploie principalement deux m´ethodes. La premi`ere
est la m´ethode modulaire qui utilise les travaux de G. Frey, J.-P. Serre, K. Ribet et A.
Wiles sur les repr´esentations modulaires, qui ont conduit `a la d´emonstration du th´eor`eme
de Fermat (cf. [Fr], [Ri], [Se2], [Wi]). En ce qui concerne les probl`emes 1 et 2, l’approche
modulaire permet de relier la description de Sp(a, b, c) `a l’existence d’une courbe elliptique
d´efinie sur Q, dont le conducteur ne d´epend essentiellement que de a, b, c, et poss´edant
au moins un point d’ordre 2 rationnel sur Q. C’est la raison pour laquelle on a ´et´e amen´e
`a examiner le probl`eme suivant :
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