h - maths et tiques

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1!
DÉRIVATION
I. Rappels
Vidéos
https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCaoY7qihLa2dHc9-rBgVrgWJ
1) Fonction dérivable
Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel
que :
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
=L
.
L est appelé le nombre dérivé de f en a.
2) Tangente à une courbe
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a
appartenant à I.
L est le nombre dérivé de f en a.
A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative
Cf
de f.
Définition : La tangente à la courbe
Cf
au point A est la droite passant par A de
coefficient directeur le nombre dérivé L.
Propriété : Une équation de la tangente à la courbe
Cf
en A est :
y=f'a
( )
x−a
( )
+f a
( )
Exemple :
On considère la fonction trinôme f définie sur
!
par
f(x)=x2+3x−1
.

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2!
On veut déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au
point A de la courbe d'abscisse 2.
lim
h→0
f(2 +h)−f(2)
h=lim
h→0
2+h
( )
2+3 2 +h
( )
−1−9
h=lim
h→0
h2+7h
h=lim
h→0h+7
( )
=7
Le coefficient directeur de la tangente est égal à 7.
Donc son équation est de la forme :
y=7x−2
( )
+f(2)
, soit :
y=7x−2
( )
+9
y=7x−5
Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe
d'abscisse 2 est
y=7x−5
.
3) Formules de dérivation des fonctions usuelles :
Fonction f
Ensemble de
définition de f
Dérivée f '
Ensemble de
définition de f '
f(x)=a
,
a∈!
!
f'(x)=0
!
f(x)=ax
,
a∈!
!
f'(x)=a
!
f(x)=x2
!
f'(x)=2x
!
f(x)=xn
n≥1
entier
!
f'(x)=nxn−1
!
f(x)=1
x
!
\{0}
f'(x)=−1
x2
!
\{0}
f(x)=1
xn
n≥1
entier
!
\{0}
f'(x)=−n
xn+1
!
\{0}
f(x)=x
0;+∞
⎡
⎣⎡ ⎣
f'(x)=1
2x
0;+∞
⎤
⎦⎡ ⎣
Exemples :
a) Soit la fonction f définie sur
!
par
f(x)=x6
alors f est dérivable sur
!
et on a
pour tout x de
!
,
f'(x)=6x5
.
b) Soit la fonction f définie sur
!
\{0} par
f(x)=1
x4
alors f est dérivable sur
−∞;0
⎤
⎦⎡ ⎣
et sur
0;+∞
⎤
⎦⎡ ⎣
et on a pour tout x de
!
\{0},
f'(x)=−4
x5
.
4) Formules d'opération sur les fonctions dérivées :
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

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3!
Exemples :
a)
f(x)=2x2−5x
( )
3x−2
( )
On pose
f(x)=u(x)v(x)
avec
u(x)=2x2−5x
→
u'(x)=4x−5
v(x)=3x−2
→
v'(x)=3
Donc :
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=4x−5
( )
3x−2
( )
+2x2−5x
( )
×3
=12x2−8x−15x+10 +6x2−15x
=18x2−38x+10
b)
g(x)=6x−5
x3−2x2−1
On pose
g(x)=u(x)
v(x)
avec
u(x)=6x−5
→
u'(x)=6
v(x)=x3−2x2−1
→
v'(x)=3x2−4x
Donc :
g(x)=u'(x)v(x)−u(x)v'(x)
v(x)
( )
2
=
6x3−2x2−1
( )
−6x−5
( )
3x2−4x
( )
x3−2x2−1
( )
2
=6x3−12x2−6−18x3+24x2+15x2−20x
x3−2x2−1
( )
2
=−12x3+27 x2−20x−6
x3−2x2−1
( )
2
Un logiciel de calcul formel permet de vérifier les résultats :
u+v
est dérivable sur I
u+v
( )
'=u'+v'
ku
est dérivable sur I, où k est une constante
ku
( )
'=ku '
uv
est dérivable sur I
uv
( )
'=u'v+uv '
1
u
est dérivable sur I, où u ne s'annule pas sur I
1
u
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
'
=−u'
u2
u
v
est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I
u
v
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
'
=u'v−uv '
v2

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4!
5) Application à l'étude des variations d'une fonction
Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
- Si
f'(x)≤0
, alors f est décroissante sur I.
- Si
f'(x)≥0
, alors f est croissante sur I.
- Admis -
Exemple :
Soit la fonction f définie sur
!
par
f(x)=x2−4x
.
Pour tout x réel, on a :
f'(x)=2x−4
.
Résolvons l'équation
f'(x)≤0
2x−4≤0
2x≤4
x≤2
La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle
−∞;2
⎤
⎦⎤ ⎦
.
De même, on obtient que la fonction f est croissante sur l'intervalle
2;+∞
⎡
⎣⎡ ⎣
.
II. Dérivées de fonctions composées
Vidéo https://youtu.be/kE32Ek8BXvs
1) Dérivée de la fonction
x!u(x)
Propriété : u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction f définie sur I par
f(x)=u(x)
est dérivable sur I et on a :
f'(x)=u'(x)
2u(x)
.

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5!
Démonstration :
Soit
a∈I
et un réel h tel que
a+h∈I
.
On calcule le taux d'accroissement de f entre a et a+h :
f(a+h)−f(a)
h=u(a+h)−u(a) h
=
u(a+h)−u(a)
( )
u(a+h)+u(a)
( )
h u(a+h)+u(a)
( )
=u(a+h)−u(a)
h
×1
u(a+h)+u(a)
Or, la fonction u est dérivable sur I, donc
lim
h→0
u(a+h)−u(a)
h
=u'(a)
.
Et donc,
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
=u'(a)×1
2u(a)
.
Exemple :
f(x)=3x2+4x−1
On pose
f(x)=u(x)
avec
u(x)=3x2+4x−1
→
u'(x)=6x+4
Donc :
f'(x)=u'(x)
2u(x)
=6x+4
23x2+4x−1
=3x+2
3x2+4x−1
2) Dérivée de la fonction
x!u(x)
( )
n
Propriété : n est un entier relatif non nul. u est une fonction dérivable sur un intervalle
I ne s'annulant pas sur I dans le cas où n est négatif.
Alors la fonction f définie sur I par
f(x)=u(x)
( )
n
est dérivable sur I et on a :
f'(x)=nu '(x)u(x)
( )
n−1
.
Démonstration par récurrence :
• Initialisation :
f'(x)=u'(x)=1×u'(x)×u(x)
( )
1−1
La propriété est donc vraie pour n = 1.
• Hérédité :
- Hypothèse de récurrence :