Ch11 – Equations_de_droites

2nde Chapitre 11 - Équations de droites 2012-2013
Chapitre 11 - Équations de droites
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère (O, I, J).
I Équations de droites
I.1 Droite parallèle à l’axe des ordonnées
TD : Équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées
1. (a) Dans le repère (O, I, J)du plan, placer les points A(2 ; 0),B(2 ; −1)et C(2 ; 4).
(b) Justifier que les trois points A,Bet Csont alignés. La droite (AB)est-elle la représentation
d’une fonction affine ?
(c) Soit Mun point de coordonnées (x;y).
Quelle relation portant sur les coordonnées de Mpermet d’affirmer que Mappartient à la
droite (AB)?
Réciproquement, si le point Mappartient à la droite (AB)cette relation est-elle vérifiée ?
Justifier.
On dit que la relation x=2est une équation de la droite (AB),y∈Rest sous-
entendu.
2. (a) Construire dans le repère (O, I, J)les droites d’équations : x= −1 ; x=0 ; x=7
2
(b) Soit kun réel et Kle point de coordonnées (k; 0).
Donner une équation de la droite dparallèle à l’axe des ordonnées passant par la point K.
Propriété 1
Une droite d, parallèle à l’axe des ordonnées, a pour équation x=k, où kest un réel.
Exemple :
OI
J
K
d
Démonstration : Une droite dparallèle à (OJ)coupe l’axe (OI)en un point A(k; 0). Un point
M(x;y)appartient à dsi et seulement si son abscisse xest égale à k, c’est-à-dire x=k.
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2nde Chapitre 11 - Équations de droites 2012-2013
I.2 Droite non parallèle à l’axe des ordonnées
TD : Équation d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées
On considère la droite (AB)où A(4 ; −1)et B(0 ; 5).
1. Déterminer la fonction affine ftelle que : f(4) = −1 et f(0) = 5.
Quelle est sa courbe représentative ?
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’un point M(x;y)appartienne à la
droite (AB).
Propriété 2
◇La représentation graphique de la fonction affine f∶xz→ax +best une droite dqui n’est pas
parallèle à l’axe des ordonnées.
◇Réciproquement, toute droite dnon parallèle à l’axe des ordonnées représente une fonction affine
f∶xz→ ax +b.
Démonstration : Soit dune droite non parallèle à l’axe des ordonnées.
1. Justifier qu’il existe un point Ade dd’abscisse 0 et un point Bde dd’abscisse 1. On note
A(0 ; yA)et B(1 ; yB).
2. Soit fla fonction affine définie par f(x) = (yB−yA)x+yA. Quelle est sa représentation graphique ?
3. Déterminer f(0)et f(1).
4. Conclure.
Propriété 3
Une droite d, non parallèle à l’axe des ordonnées, admet une équation de la forme y=ax +boù a
et bsont des réels.
Un point M(x;y)appartient à dsi et seulement si y=ax +b.
Exemple : Soit d∶y= −2x+3
A(2 ; −1)appartient à dsi et seulement si yA= −2xA+3. Or −2xA+3= −2×2+3= −1=yA. On en
déduit que A∈d.
En revanche B(−1 ; 3)n’appartient pas à dcar −2xB+3=5≠yB.
Démonstration : dreprésente une fonction f∶xz→ ax +b. Alors M(x;y)appartient à dsi et
seulement si y=f(x)soit y=ax +b. Donc y=ax +best une équation de d.
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2nde Chapitre 11 - Équations de droites 2012-2013
Définition 1
Une équation de la droite dde la forme y=ax +best appelée l’équation réduite de la droite d.
aest le coefficient directeur de la droite det best son ordonnée à l’origine, c’est-à-dire que
la droite dpasse par le point de coordonnées (0 ; b).
Propriété 4
Soient A(xA;yA)et B(xB;yB)deux points tels que xA≠xB. Le coefficient directeur de la
droite (AB)est :
a=yB−yA
xB−xA
=différence des ordonnées
différence des abscisses
Exemple : Soit la droite dpassant par A(4 ; 0)et B(0 ; 2).
La droite dcoupe l’axe des ordonnées ; da donc une équation de la forme y=ax +bavec le coefficient
directeur a=2−0
0−4=2 −4= −0,5.
Si x=0, on a y=2 ; d’où l’ordonnée à l’origine b=2.
L’équation réduite de dest y= −0,5x+2.
Exercice : Interprétation graphique
Soit dune droite d’équation y=ax +b.M(xM;yM)est un point de det N(xN;yN)est le point de
dtel que xN=xM+1.
1. Montrer que yN=yM+a.
2. Comment interpréter graphiquement ce résultat ?
Soit dune droite de coefficient directeur a. Lorsque l’on passe d’un point de dà un autre en augmentant
l’abscisse de 1, l’ordonnée varie de a(si a>0 l’ordonnée augmente, si a<0 l’ordonnée diminue).
Exemple : Soit dd’équation y=2x−1.
OI
J
1
2
1
2
Ici a=2 : lorsque l’abscisse augmente de 1, l’ordonnée augmente de 2.
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2nde Chapitre 11 - Équations de droites 2012-2013
Algorithme : Équation réduite d’une droite
Variables :
xA, yA, xB, yB, a, b sont des nombres réels
Initialisation, entrées :
Saisir xA
Saisir yA
Saisir xB
Saisir yB
Traitement :
aprend la valeur yB−yA
xB−xA
bprend la valeur yA−a×xA
Sortie :
Afficher la valeur de a
Afficher la valeur de b
II Positions relatives de deux droites
II.1 Droites parallèles
TP : Avec le logiciel GeoGebra
1. (a) Créer la droite dayant pour équation y=2x+1.
(b) Créer un point Apuis la droite d′parallèle à dpassant par A.
(c) Mettre son équation sous la forme y=ax +b.
(d) Qu’observe-t-on sur ces équations ?
(e) Déplacer A. Ces observations restent-elles valables ?
(f) Énoncer la propriété que l’on peut conjecturer sous la forme Si . . .alors . . .
2. (a) Proposer des équations de deux autres droites qui pourraient être parallèles à d.
Entrer chacune de ces équations dans la zone de saisie.
(b) Ces droites sont-elles parallèles à d?
(c) Énoncer la propriété que l’on peut conjecturer sous la forme Si . . .alors . . .
3. Énoncer les deux propriétés conjecturées en une seule.
Propriété 5 (Admise)
Deux droites d’équations respectives y=ax +bet y=a′x+b′sont parallèles si et seulement si elles
ont le même coefficient directeur, c’est-à-dire si et seulement si a=a′.
Exercice : Soient A(−2 ; −3),B(3 ; 6),C(−3 ; −4)et D(6 ; 11)
1. Les points A,Bet Csont-ils alignés ?
2. (a) Les points A,Bet Dsont-ils alignés ?
(b) Déterminer l’équation de la droite parallèle à (AB)passant par D.
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2nde Chapitre 11 - Équations de droites 2012-2013
Algorithme : Alignement de trois points
Variables :
xA, yA, xB, yB, xC, yC, a, a′sont des nombres réels
Initialisation, entrées :
Saisir xA
Saisir yA
Saisir xB
Saisir yB
Saisir xC
Saisir yC
Traitement :
aprend la valeur yB−yA
xB−xA
a′prend la valeur yC−yA
xC−xA
Sortie :
Si a=a′alors
Afficher "Les trois points sont alignés"
Sinon
Afficher "Les trois points ne sont pas alignés"
FinSi
II.2 Droites sécantes et intersection
TD :
Partie A : Dans un repère (O, I, J), on donne les points A(−1 ; −3),B(0 ; −1),C(4 ; 1)et D(−1 ; 6).
1. Les droites (AB)et (CD)sont-elles parallèles ?
Propriété 6
Soient deux droites det d′d’équations respectives y=ax +bet y=a′x+b′. Les droites det
d′sont sécantes si et seulement si a≠a′.
Remarque : Cette propriété est la négation de la propriété précédente.
2. (a) Donner les équations réduites des droites (AB)et (CD).
(b) Représenter les droites (AB)et (CD)dans le repère ci-dessous.
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